2014--2015学年 高三复习专题 椭圆题型归纳(学生版)

椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( )A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ）A 。

椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动点Q的轨迹是( ）A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断动点M 的轨迹。

5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。

(二) 标准方程求参数范围1. 若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。

（3，4）U(4，5） 2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。

必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分又不必要条件3. 已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 。

4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程231y x -=所表示的曲线是 .6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。

高中数学椭圆大题题型归纳总结（145分推荐）一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知椭圆M：x29+y2b2=1(b>0)的一个焦点为(2,0)，设椭圆N的焦点恰为椭圆M短轴上的顶点，且椭圆N过点．(1)求N的方程;(2)若直线与椭圆N交于A，B两点，求|AB|．2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为√32，过点P(1,0)作直线交椭圆于点C，D(与A，B均不重合).当点D与椭圆E的上顶点重合时，|AD|=√5．(1)求椭圆E的方程(2)设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为√22，直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M,N．(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为√103时，求k的值．4.已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，焦距为4，且C过点P(√3,1)．(1)求C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．5.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．6. 若椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2=1(a >b >0)的顶点到直线l 1：y =x 的距离分别为√2和√22． (1)求椭圆C 的标准方程(2)设平行于l 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程．7. 设椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的上顶点为点B ，点A 为椭圆C 上一点，且3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． (1)求椭圆C 的离心率；(2)若b =1，过点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．8. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为√2：1． (Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若不与坐标轴平行的直线l 与椭圆相切于点P ，O 为坐标原点，求直线OP 与直线l的斜率之积．9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为2√2．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆C交于不同的A、B两点，求△AOB(O为坐标原点)的面积．10.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为√22.直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．11.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为√10，过原点O作直线OP的垂线l交椭圆C于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP的面积．13. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且经过点H(−2,1)．(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P(−3,0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线HA ，HB 分别交x 轴于M ，N 两点，点G(−2,0)，若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．14. 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，O 为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A 、B ，点D(0,2)，椭圆C 的离心率为√22，且∠OAB =∠ODA ．(1)求椭圆C 的方程；(2)不与x 轴平行的直线l 与椭圆C 交于不同点P 、Q ，已知点P 关于x 轴对称点为点M ，点Q 关于原点的对称点为点N ，且D 、M 、N 三点共线，求证：直线l 过定点．15. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为2√2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =x −1与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，求△AOB(O 为坐标原点)的面积．16. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，焦距为2． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上两点，O 为坐标原点，k OA ⋅k OB =−12.点D 在线段AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接OD 并延长交椭圆C 于E ，试问|OE||OD|是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．17. 设椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35． (1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．18. 已知F(c,0)是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =x −c 交椭圆C 于M ，N 两点，交y 轴于点A ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，α1+β1=−6． (1)求椭圆C 的离心率e ；(2)B 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求α22+β22的值．19. 已知椭圆C ：x 24+y 2=1，F 为右焦点，圆O ：x 2+y 2=1，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 的两侧． (1)求椭圆C 的焦距及离心率． (2)求四边形OFPT 面积的最大值．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆E上的一动点，且|PF1|的最小值是1，当PF1垂直长轴时，|PF1|=32．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在斜率为−1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆E相交于C、D两点，且|CD|⋅|AB|=24√27若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21.已知A，B为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，P是椭圆C上一点(异于A，B)，满足k PA⋅k PB=−49，且a=6.斜率为−1的直线l交椭圆C于S，T两点，且|ST|=4．(1)求椭圆C的方程及离心率．(2)如图，设直线l1:y=x+m与椭圆C交于M，N两点，求四边形MSNT面积的最大值．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点P(0,1)．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A、B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且CD⊥AB.求证：线段CD的中点在x轴上．23.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点分别为A(−2,0),B(2,0)，离心率为√32．(1)求椭圆C的方程；(2)P为椭圆C上异于A,B的动点，直线AP,PB分别交直线x=−6于M,N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q．(ⅰ)求证：直线AP,AN的斜率之积为定值；(ⅰ)判断M,B,Q三点是否共线，并说明理由．24. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是√22，点F 是椭圆E 的左焦点，点A 为椭圆E 的右顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且S ⅰABF =√2+12．(1)求椭圆E 的方程；(2)设点P(m,0)为椭圆E 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为ba 的直线l 交椭圆E 于S ，T 两点，证明：|PS|2+|PT|2为定值．25. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2√23，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的上端点为P ，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−7． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点Q(1,0)且不与y 轴垂直的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，是否存在点T(t,0)，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．26.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M(点P位于x轴上方)两点，且△OPM(O为坐标原点)的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于A，B(A,B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为−94，求点P到直线l距离的最大值．27.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，且点(2√33,−√33)在C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|⋅|BF1|=103，求|AB|．28.已知椭圆C：x2m2+y2=1(m>1)的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l 交椭圆C于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中y1>0，y2<0，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G1、G2．(Ⅰ)若G1坐标为(13,16)，求椭圆C的方程；(Ⅱ)设△BF1G1和△ABG2的面积为S1和S2，且43≤S1S2≤53，求实数m的取值范围．29.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别是它的左､右顶点，F是它的右焦点，过点F作直线与C交于P，Q(异于A，B)两点，当PQ⊥x轴时，△APQ的面积为92.(Ⅰ)求C的标准方程；(Ⅱ)设直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上．30.如图，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1)，且离心率为√22．(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．答案和解析1.【答案】解：(1)由椭圆M ：x 29+y 2b 2=1(b >0)的一个焦点为(2,0)，得c =2，且b 2=a 2−c 2=9−4=5， ∴椭圆N 的焦点为(0,−√5)，(0,√5). 又椭圆N 过点(√22,√3)，∴椭圆N 的长轴长为(√2(√2=2√6．∴椭圆N 的半长轴长为√6，半焦距为√5，则短半轴长为1． ∴N 的方程为x 2+y 26=1；(2)联立{y =x −2x 2+y 26=1，得7x 2−4x −2=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=47,x 1x 2=−27，∴|AB|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(47)2−4×(−27)=127．【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，属于中档题．(1)由已知可得椭圆N 的焦点坐标，再由椭圆定义求得椭圆N 的长半轴长，结合隐含条件求得短半轴长，则椭圆N 的方程可求；(2)联立直线方程与椭圆N 的方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求|AB|．2.【答案】解：(1)当点D 与椭圆E 的上顶点重合时，有D (0,b )，所以|AD |=√a 2+b 2=√5.① 又因为离心率e =√a 2−b 2a=√32，② 由①②解得a =2，b =1，所以E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意，易知直线CD 的斜率不为0，所以设直线CD 的方程为x =my +1，联立方程组{x 24+y 2=1,x =my +1,得(m 2+4)y 2+2my −3=0，显然Δ>0，设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则y 1+y 2=−2mm 2+4，y 1y 2=−3m 2+4． 由(1)得A (−2,0)，B (2,0)，所以k 1=y 2x2+2，k 2=y 1x1−2，k 1k 2=y 2(x 1−2)y 1(x 2+2)=y 2(my 1−1)y 1(my 2+3)=my 1y 2−y 2my 1y 2+3y 1=my 1y 2−(y 1+y 2)+y 1my 1y 2+3y 1=−mm 2+4+y 1−3mm 2+4+3y 1=13为定值．【解析】本题考查椭圆方程及几何意义，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于中档题． (1)解方程√a 2+b 2=√5.①√a 2−b 2a=√32，②即得解； (2)设直线CD 的方程为x =my +1，联立方程组{x 24+y 2=1,x =my +1,得(m 2+4)y 2+2my −3=0，得到韦达定理，再利用韦达定理化简k 1k 2即得证．3.【答案】解：(1)∵椭圆一个顶点为A (2,0)，离心率为√22， ∴{a =2c a =√22a 2=b 2+c 2,∴b =√2, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(2)联立直线y =k(x −1)与椭圆C 的方程， 消去y 整理得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=4k 21+2k2，x 1x 2=2k 2−41+2k 2，=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2，∵A(2,0)到直线y =k(x −1)的距离为|k|√1+k 2，∴△AMN 的面积S =12·2√(1+k2)(4+6k 2)1+2k 2·|k|√1+k2=|k|√4+6k 21+2k 2，∵△AMN 的面积为√103，∴|k|√4+6k 21+2k 2=√103， 解得，经检验Δ>0，∴k =±1．【解析】本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，三角形面积等，属于中档题．(1)根据椭圆一个顶点为A (2,0)，离心率为√22，可建立方程组，从而可求椭圆C 的方程；(2)直线y =k(x −1)与椭圆C 联立，消元可得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0，从而可求|MN|，A(2,0)到直线y =k(x −1)的距离，利用△AMN 的面积为√103，可求k 的值．4.【答案】解：(1)由题意可得{2c =43a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=6或2(舍)，b 2=2，故椭圆C 的方程为x 26+y 22=1．(2)由题意知，当l 1，l 2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴； 当l 1，l 2的斜率都存在且不为0时， 设l 1：x =my −2(m ≠0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x =my −2x 26+y 22=1，化简可得(m 2+3)y 2−4my −2=0且Δ>0， 所以y 1+y 2=4m m 2+3，y 1y 2=−2m 2+3， 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)−4=−12m 2+3，∴M (−6m 2+3,2mm 2+3)， 同理由{x =−1my −2x 26+y 22=1，可得N (−6m 23m 2+1,−2m 3m 2+1)，则k MN =2m m 2+3+2m3m 2+1−6m 2+3+6m 23m 2+1=4m3(m 2−1)，所以直线MN 的方程为y −2mm 2+3=4m3(m 2−1)(x +6m 2+3)，化简得y =4m3(m 2−1)x +2mm 2−1=4m 3(m 2−1)(x +32)，故直线MN 恒过定点(−32,0). 综上，直线MN 过定点(−32,0)．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程 ，考查圆锥曲线中的定点问题，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用(1)由已知条件得到关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；(2)当l 1，l 2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴；当l 1，l 2的斜率都存在且不为0时， 设l 1：x =my −2(m ≠0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，求出M 坐标，用−1k 代换k ，得到点N 的坐标，进一步得到MN 所在直线方程，得到直线MN 过定点．5.【答案】解：(1)因为F 为C 1的焦点且AB ⊥x 轴，可得F(c,0)，|AB|=2b 2a，设C 2的标准方程为y 2=2px(p >0)，因为F为C2的焦点且CD⊥x轴，所以F(p2,0)，|CD|=2p，因为|CD|=43|AB|，C1，C2的焦点重合，所以{c=p22p=43⋅2b2a，消去p，可得4c=8b23a，所以3ac=2b2，所以3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，由e=ca，则2e2+3e−2=0，解得e=12(−2舍去)，故C 1的离心率为12；(2)由(1)可得a=2c，b=√3c，p=2c，所以C1：x24c2+y23c2=1，C2：y2=4cx，联立两曲线方程，消去y，可得3x2+16cx−12c2=0，所以(3x−2c)(x+6c)=0，解得x=23c或x=−6c(舍去)，从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，解得c=3，所以C1和C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2=12x．【解析】【试题解析】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．(1)由F为C1的焦点且AB⊥x轴，F为C2的焦点且CD⊥x轴，分别求得F的坐标和|AB|，|CD|，由已知条件可得p，c，a，b的方程，消去p，结合a，b，c和e的关系，解方程可得e的值；(2)由(1)用c表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得M的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得c，进而得到所求曲线方程．6.【答案】解：(1)由直线l1：y=x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为√22a，短轴端点到直线l1的距离为√22b，所以√22a=√2，√22b=√22，解得a=2，b=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +t x 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，则△=64t 2−16×5(t 2−1)>0，解得−√5<t <√5， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8t5，x 1x 2=4t 2−45， 故y 1y 2=(x 1+t)(x 2+t)=(x 1+x 2)t +x 1x 2+t 2=t 2−45，因为OA ⊥OB ，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0． 解得t =±2√105，满足−√5<t <√5且t ≠0，所以直线l 的方程为y =x +2√105或y =x −2√105．【解析】(1)由长轴端点到直线l 1的距离为√22a ，短轴端点到直线l 1的距离为√22b ，解得a =2，b =1，即可得椭圆C 的标准方程． (2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +tx 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，由即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0.解得t =±2√105，即可． 本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．7.【答案】解：(1)设A(x 0,y 0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，由3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得{3x 0+4c =03y 0+b =0, {x 0=−4c3y 0=−b 3，即A(−43c,−b 3)， 又∵A(x 0,y 0)在椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1上，∴(−43c)a 22+(−13b)2b 2=1，得ca =√22，即椭圆C 的离心率为e =√22；(2)由(1)知，e =√22，又∵b =1，a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，当线段MN 在x 轴上时，中点为坐标原点(0,0)， 当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 代入椭圆方程x 22+y 2=1中，得(m 2+2)y 2+2my −1=0，∵点F 2在椭圆内部， ∴△>0，y 1+y 2=−2mm 2+2，则x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴点P(x,y)的坐标满足x =2m 2+2，y =−mm 2+2， 消去m 得，x 2+2y 2−x =0(x ≠0)，综上所述，点P 的轨迹方程为x 2+2y 2−x =0．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程，考查动点的轨迹方程，是中档题．(1)设A(x 0,y 0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，通过3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 求出A 的坐标，转化求解离心率；(2)求出椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，当线段MN 在x 轴上时，中点为坐标原点(0,0)，当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，代入椭圆方程x 22+y 2=1中，得(m 2+2)y 2+2my −1=0，通过韦达定理，转化求解轨迹方程即可．8.【答案】解：(I)已知椭圆中2c =2，且2a2b =√2，又a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)由题意：可设l 的方程为y =kx +m(k 存在且k ≠0) 与椭圆C 联立消去y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为(x 0,y 0)， 由判别式△=0可得m 2=1+2k 2， 解得x 0=−2km ,y 0=1m ，因此，直线OP 的斜率为k OP =−12k ，直线l 的斜率为k ， 即直线OP 与直线l 的斜率之积为−12．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为√2：1.求出a ，b ，然后求解椭圆方程． (Ⅱ)设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为(x 0,y 0)，利用△=0，推出直线OP 的斜率为k OP =−12k ，直线l 的斜率为k ，然后求解即可．9.【答案】解：(1)依题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)， 则{a 2=b 2+c 2=(2√2)2e =c a=√22，解得{a =2√2c =2 ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1;(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程{x 28+y 24=1y =x −1消去y并整理得：3x 2−4x −6=0， 所以{x 1+x 2=43x 1⋅x 2=−2， |AB|=√1+12|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2[(43)2−4×(−2)]=4√113.即：|AB|=4√113， 又∵原点O(0,0)到直线y =x −1的距离为d =√2=√22， ∴△AOB 的面积S =12|AB|⋅d =12×4√113×√22=√223．【解析】【试题解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率及性质，即可求得b 2的值，求得椭圆方程；(2)利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式，三角形的面积公式，即可得．10.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，c =1，e =c a =√22，∵a 2=b 2+c 2，∴a =√2,b =1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1．(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，消去y 得，(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 则x 1+x 2=4k 22k 2+1，∵M 为线段AB 的中点，∴x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k2k 2+1，∴k OM =y M x M=−12k，∴k OM ⋅k l =−12k ×k =−12为定值．(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x P =x 1+x 2=4k 22k 2+1，y P =y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−2k2k 2+1，∵点P 在椭圆上，∴(4k 22k 2+1)2+2×(−2k2k 2+1)2=2，解得k 2=12，即k =±√22， ∴当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为k =±√22．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、中点坐标公式、平面向量的坐标运算等知识点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． (Ⅰ)由题可知，c =1，e =c a=√22，再结合a 2=b 2+c 2，解出a 和b 的值即可得解；(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 的方程和椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB 的中点，利用中点坐标公式可用k 表示点M 的坐标，利用k OM =yMx M 可求出直线OM 的斜率，进而得解；(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量的线性坐标运算可以用k 表示点P 的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k 的方程，解之即可得解．11.【答案】(1)解：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由已知椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1， 可得：a +c =3，a −c =1， ∴a =2，c =1， ∴b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 可得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，则{ Δ=64m 2k 2−16(3+4k 2)(m 2−3)=3+4k 2−m 2>0x 1+x 2=−8mk3+4k 2x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2, 又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=3(m 2−4k 2)3+4k 2，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴y 1y 2+x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=0， ∴3(m 2−4k 2)3+4k 2+4(m 2−3)3+k 2+16mk3+4k 2+4=0，∴7m 2+16mk +4k 2=0， 解得：m 1=−2k,m 2=−2k 7，且均满足3+4k 2−m 2>0，当m 1=−2k 时，l 的方程y =k(x −2)，直线过点(2,0)，与已知矛盾； 当m 2=−2k7时，l 的方程为y =k(x −27)，直线过定点(27,0)． 所以，直线l 过定点，定点坐标为(27,0)．【解析】本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．(1)由已知椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a +c =3，a −c =1，从而可求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆方程联立，利用以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．12.【答案】解：(1)设椭圆左焦点为F(−c,0)，则由题意得{√(2+c)2+1=√10c a=12，解得{a =2c =1，则b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由AB ⊥OP 及k OP =12得k l =−2， 所以直线l 为2x +y =0， 由{2x +y =0x 24+y 23=1,得：19x 2−12=0⇒x 1x 2=−1219, ∴|AB |=√1+k 2|x 1−x 2|=√5√4819=4√28519， 因为点P(2,1)到直线l 的距离为d =|OP |=√5, 所以S △ABP =12×d ×|AB|=12×√5×4√28519=10√5719．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数y ，运用韦达定理和弦长公式，考查两点间的距离公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)运用两点的距离公式以及离心率公式，可得a ，c 的值，由a ，b ，c 的关系，可得b ，进而得到椭圆方程；(2)根据垂直直线斜率间的关系，求出直线l 的方程，联立椭圆方程，消去y ，运用韦达定理和弦长公式，及两点间的距离公式，即可得到面积．13.【答案】解：(1)由题意知e =√1−b 2a2=√22;又椭圆C 经过点H(−2,1)，所以4a 2+1b 2=1; 解得a 2=6，b 2=3，所以椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．(2)证明：设直线AB 方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =my −3x 26+y 23=1联立消元得(m 2+2)y 2−6my +3=0，所以△=36m 2−12(m 2+2)>0，y 1+y 2=6mm 2+2，y 1y 2=3m 2+2， 由题意知，y 1，y 2均不为1． 设M(x M ,0)，N(x N ,0)，由H ，M ，A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 所以x M −x 1=(−y 1)(−2−x M )，化简得x M =x 1+2y 11−y 1;由H ，N ，B 三点共线，同理可得X N =x 2+2y 21−y 2;由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x M +3,0)=λ(1,0)，即λ=x M +3; 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可得μ=x N +3; 所以1λ+1μ=1x M +3+1x N +3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x 1−y 1+3+1−y 2x 2−y 2+3=1−y 1(m −1)y 1+1−y 2(m −1)y 2=1m−1(1−y 1y 1+1−y 2y 2)=1m−1(y 1+y 2y 1y 2−2)=1m−1(6m m 2+23m 2+2−2)=2，所以1λ+1μ为定值．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系 以及圆锥曲线中的定点与定值问题，属中档题 (1)由题意根据椭圆的概念得椭圆C 的方程;(2)设直线AB 方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线与椭圆联立消元得(m 2+2)y 2−6my +3=0，由题意知，y 1，y 2均不为1.设M(x M ,0)，N(x N ,0)，由H ，M ，A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，所以x M −x 1=(−y 1)(−2−x M )，化简得x M =x 1+2y 11−y 1;由H ，N ，B 三点共线，同理可得X N ，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得λ，μ表达式，从而证得1λ+1μ为定值．14.【答案】解：(1)∵椭圆C 的离心率为√22， ∴a =√2c ，b =c ， 又∵∠OAB =∠ODA ， ∴tan∠OAB =tan∠ODA ， ∴ba =a2，∴a 2=2b ， ∴2b 2=2b ，∴b =1，a =√2， 故椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)由题意，可设直线l:x =my +n ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)、N(−x 2,−y 2)， 联立方程{x =my +n x 2+2y 2=2，得(m 2+2)y 2+2mny +n 2−2=0， ∴{y 1+y 2=−2mn m 2+2y 1⋅y 2=n 2−2m 2+2， Δ=4m 2n 2−4(m 2+2)(n 2−2)>0，即m 2+2>n 2． DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−y 1−2)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 2,−y 2−2)， ∵D 、M 、N 三点共线，∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 1(−y 2−2)=x 2(y 1+2)， ∴(my 1+n)(−y 2−2)=(my 2+n)(y 1+2)， ∴2my 1y 2+(2m +n)(y 1+y 2)+4n =0． ∴2m ·n 2−2m 2+2+(2m +n)·−2mn m 2+2+4n =0，∴m =2n ．∴直线l 过定点(0,−12).【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，考查椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系及圆锥曲线中的定点值问题，属于较难题． (1)根据条件可得关于a 、b 的方程，求解可得椭圆C 的方程；(2)由题意，可设直线l:x =my +n ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)、N(−x 2,−y 2)，与椭圆方程联立，根据D 、M 、N 三点共线，可得m =2n ，从而可得结论．15.【答案】解：(1)依题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)， 则{a 2=b 2+c 2=(2√2)2e =c a =√22，解得 {a =2√2c =2， ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1 ;(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 联立方程{x 28+y 24=1y =x −1 ，消去y ， 并整理得：3x 2−4x −6=0， 所以{x 1+x 2=43x 1·x 2=−2， |AB |=√1+12|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√2[(43)2−4×(−2)]=4√113·即：|AB|=4√113， 又∵原点O (0,0)到直线y =x −1的距离为d =√2=√22， ∴△AOB 的面积S =12|AB|⋅d =12×4√113×√22=√223.【解析】【试题解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率及性质，即可求得b 2的值，求得椭圆方程；(2)利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式，三角形的面积公式，即可得．16.【答案】解：(1)由已知得e =c a =√22且2c =2，所以a =√2，c =1，所以b =1，所求椭圆方程为x 22+y 2=1．(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 4)， 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 3=2x 1+x23,y 3=2y 1+y 23.设|OE||OD|=λ，则结合题意可知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(λx 3,λy 3). 将点E(λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1.即1λ2=x 322+y 32=(2x 1+x 23)22+(2y 1+y 23)2，变形，得1λ2=49，(x 122+y 12)+49(x 1x 22+y 1y 1)+19(x 222+y 22)(∗)， 又因为点A ，B 均在椭圆上，且k OA ⋅k OB =−12，所以{ x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,k OA ⋅k OB=y 1x 1⋅y 2x 2=−12,代入(∗)式解得λ=3√55. 所以|OE||OD|是定值，为3√55．【解析】本题考查椭圆的性质和方程，圆锥曲线中的定值问题，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)由题给条件求出a ，b ，进而得到方程．(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 4)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 3=2x 1+x23,y 3=2y 1+y 23. ，设|OE||OD|=λ， 则结合题意可知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(λx 3,λy 3)，将点E(λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1， 由此得1λ2=49，由条件求出λ，进而求出答案．17.【答案】解：(1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程得16b 2=1，∴b =4，由e =ca =35，得1−16a 2=925，∴a =5， ∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1；(2)过点(3,0)且斜率为45的直线为y =45(x −3)， 设直线与椭圆C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线方程y =45(x −3)代入椭圆C 方程，整理得x 2−3x −8=0， 由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=45(x 1−3)+45(x 2−3)=45(x 1+x 2)−245=−125．由中点坐标公式AB 中点横坐标为32，纵坐标为−65， ∴所截线段的中点坐标为(32,−65).【解析】【试题解析】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键． (1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,4)，可求b ，利用离心率，求出a ，即可得到椭圆C 的方程；(2)过点(3,0)且斜率为45的直线为y =45(x −3)，代入椭圆C 方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．18.【答案】解：(1)由条件可得A(0,−c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1+c)，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 1,−y 1)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2+c)，NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 2,−y 2)． 由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得， (x 1,y 1+c)=α1(c −x 1,−y 1)，(x 2,y 2+c)=β1(c −x 2,−y 2)， ∴x 1=α1(c −x 1)，x 2=β1(c −x 2)，∴α1=x 1c−x 1，β1=x2c−x 2(由已知，x 1≠c ，x 2≠c)， ∴α1+β1=x 1c−x 1+x2c−x 2=c(x 1+x 2)−2x 1x 2c 2−c(x1+x 2)+x 1x 2．由方程组{y =x −c,b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0.得(a 2+b 2)x 2−2a 2cx +a 2c 2−a 2b 2=0， ∴x 1+x 2=2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2c 2−a 2b 2a 2+b 2．∴a 2c 2a 2+b2−2a 2c 2−2a 2b 2a 2+b 2=c 2+b 2+a 2−a 2b 2a 2+b 2=−6 化简得，2a 2=3c 2，即e =√63．(2)设B(x,y)，由OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得，x =α2x 1+β2x 2，y =α2y 1+β2y 2， 将它们代入b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0并结合b 2x 12+a 2y 12−a 2b 2=0和b 2x 22+a 2y 22−a 2b 2=0化简得，(α22+β22)a 2b 2+2α2β2(b 2x 1x 2+a 2y 1y 2)=a 2b 2．又y 1y 2=(x 1−c)(x 1−c)=x 1x 2−c(x 1+x 2)+c 2=b 2c 2−a 2b 2a 2+b 2， ∴b 2x 1x 2+a 2y 1y 2=b 2(a 2c 2−a 2b 2)a 2+b 2+a 2(b 2c 2−a 2b 2)a 2+b 2=a 2b 2(3c 2−2a 2)a 2+b 2=0，∴(α22+β22)a 2b 2=a 2b 2，所以，α22+β22=1．【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，平面向量的坐标运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．(1)由条件可得A(0,−c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及向量的坐标运算可得a ，b ，c 的关系，即可求离心率．(2)设B(x,y)，结合题意以及向量的坐标运算可得x =α2x 1+β2x 2，y =α2y 1+β2y 2，代入b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0，结合韦达定理化简整理即可得出答案．19.【答案】解：(1)在椭圆C ：x 24+y 2=1中，a =2，b =1，所以c =√a 2−b 2=√3， 故椭圆C 的焦距为2c =2√3， 离心率e =ca =√32；(2)设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则x 024+y 02=1，故y02=1−x024，所以|TP|2=|OP|2−|OT|2=x02+y02−1=34x02，所以|TP|=√32x0，SΔOTP=12|OT|⋅|TP|=√34x0，又O(0,0)，F(√3,0)，故SΔOFP=12|OF|⋅y0=√32y0，因此S四边形OFPT =SΔOFP+SΔOTP=√32⋅(x02+y0)=√32⋅√x024+x0y0+y02=√32⋅√1+x0y0，由x024+y02=1，得2√x024⋅y02≤1，即x0⋅y0≤1，所以S四边形OFPT =√32⋅√1+x0y0≤√62，当且仅当x024=y02=12，即x0=√2，y0=√22时等号成立．【解析】本题考查椭圆的几何性质以及椭圆的标准方程，关键是掌握椭圆的标准方程的形式．(1)根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，据此计算可得答案；(2)设P(x0,y0)，结合椭圆的方程分析可得四边形OFPT面积的表达式，结合基本不等式的性质分析可得答案．20.【答案】解：(1)由题意，点P椭圆上的一动点，且|PF1|的最小值是1，得a−c=1，因为当PF1垂直长轴时，|PF1|=32，所以b2a=32，即2b2=3a，又由a2=b2+c2，解得a=2，b=√3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．(2)假设存在斜率为−1的直线l，不妨设为y=−x+m．由(1)知，椭圆E左右焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，所以以线段F1F2为直径的圆方程为x2+y2=1．由题意，圆心(0,0)到直线l的距离d=√2<1，即得|m|<√2，又|AB|=2√1−d 2=2√1−m 22=√2×√2−m 2，联立方程组{x 24+y 23=1y =−x +m ，消去y ，整理得7x 2−8mx +4m 2−12=0，由题意，△=(−8m)2−4×7×(4m 2−12)=336−48m 2=48(7−m 2)>0， 解得m 2<7，又|m|<√2，所以m 2<2． 又由韦达定理，得x 1+x 2=8m 7，x 1x 2=4m 2−127，所以|CD|=√1+k 2|x 2−x 1|=√2×√Δ7=4√6√7−m 27，若|CD||AB|=24√27， 则√2×√2−m 2×4√67×√7−m 2=24√27， 整理得m 4−9m 2+8=0， 解得m 2=1，或m 2=8．又m 2<2，所以m 2=1，即m =±1.故存在符合条件的直线l ，其方程为y =−x +1，或y =−x −1．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，还涉及了直线与圆方程的应用，属于中等题．(1)根据题中条件得到a −c =1，2b 2=3a ，结合椭圆的性质：a 2=b 2+c 2，建立关于a ，b 的方程组即可求解；(2)由题意，设出直线l 方程y =−x +m ，根据题设条件得到|m|<√2，联立直线l 与椭圆得方程组，利用韦达定理、圆中弦长公式以及两点间距离的坐标公式，依次计算得到|AB|、|CD|关于m 的表达式，由|CD |⋅|AB |=24√27进而可求得m 的值，于是可给出相应的结论．21.【答案】解：(1)设点P 为(x,y )，点A ，B 的坐标分别为(−6,0)，(6,0)．因为k PA ⋅k PB =yx+6⋅yx−6=−49，所以4x 2+9y 2=144即x 236+y 216=1．因为P在椭圆C上，所以x236+y2b2=1，所以b2=16．故椭圆C的方程为x236+y216=1,c=√a2−b2=√62−16=2√5．所以离心率e=ca =2√56=√53．(2)因为，所以四边形MSNT的面积S MSNT=12|ST|⋅|MN|．由题意得|ST|=4，则S MSNT=2 |MN|．即当|MN|取到最大值时，S MSNT取到最大值．联立直线l1与椭圆C的方程，可得13x2+18mx+9m2−144=0．由，可得m2<52．设点M，N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1+x2=−18m13，x1x2=9m2−14413，所以|MN|=√2[(−18m13)2−4×9m2−14413]=12√2√−m2+5213．显然当m=0时，|MN|取到最大值24√2613，故S MSNT的最大值为48√2613．【解析】本题考查椭圆几何性质、标准方程以及圆锥曲线中面积最值问题，属于一般题；(1)本题考查椭圆标准方程以及几何性质，根据斜率乘积求出x、y的一个关系，再根据点在椭圆上及椭圆的性质求解即可；(2)本题考查圆锥曲线中面积以及最值问题，对四边形MSNT面积进行正确转化，进而联立直线与椭圆方程，再利用弦长公式求解即可．22.【答案】解：(1)由椭圆E 经过点P(0,1)，得b =1，由短轴长等于焦距，得2b =2c ，则c =1， 所以a =√b 2+c 2=√12+12=√2， 故椭圆E 的方程为x 22+y 2=1．(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)， A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 0,y 0)，联立直线与椭圆方程：{x =ty +1x 2+2y 2=2，得(t 2+2)y 2+2ty −1=0， 由题意，得△>0，且y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2， 则y 0=y 1+y 22=−t t 2+2，x 0=ty 0+1=2t 2+2，即C (2t 2+2,−tt 2+2)， 设D (0,u )，由得：u+tt 2+2−2t 2+2·1t=−1，解得u =tt 2+2，所以y 0+u =0，所以y 0+u 2=0，故线段CD 的中点在x 轴上．【解析】本题主要考查了直线与椭圆的关系，椭圆的标准方程，考查运算能力，属于中档题．(1)根据题目条件，可得b =c =1，进而可求出a ，可求方程．(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)，联立直线与椭圆方程，消去x 得(t 2+2)y 2+2ty −1=0，由韦达定理可得y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2，则可求C 点坐标，设D (0,u )，由建立等式解得u ，由y 0+u 2=0，可证结果．23.【答案】解：(1)由题意得a =2,e =c a=√32， 所以c =√3,b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)(ⅰ)证明：设P(x 0,y 0)，因为P 在椭圆C 上，所以x 024+y 02=1．因为直线AP 的斜率为y 0x 0+2，直线BP 的斜率为y 0x 0−2， 所以直线BP 的方程为y =y 0x 0−2(x −2)． 所以点N 的坐标为N(−6,−8y 0x0−2)．所以直线AN 的斜率为−8y 0x 0−2−6+2=2y 0x0−2． 所以直线AP,AN 的斜率之积为：y 0x 0+2⋅2y 0x 0−2=2y 02x 02−4=2(1−x 024)x 02−4=−12．(ⅰ)M,B,Q 三点共线．因为点P 异于A ，B 两点，可知直线AP 的斜率存在且不为零．设直线AP 斜率为k(k ≠0)，则直线AP ：y =k(x +2)，可得M(−6,−4k)． 由(ⅰ)可知直线AP,AN 的斜率之积为−12，所以直线AN 的斜率为−12k ， 所以直线AN 的方程为y =−12k (x +2)．联立直线AN 与椭圆方程得，{x 2+4y 2−4=0,x =−2ky −2,可得(4+4k 2)y 2+8ky =0．解得Q 点的纵坐标为−2k 1+k2，所以Q 点的坐标为Q(2k 2−21+k 2,−2k 1+k 2)．所以，直线BQ 的斜率为−2k1+k 2−02k 2−21+k 2−2=k2，直线BM 的斜率为−4k−0−6−2=k2． 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率，所以M,B,Q 三点共线．【解析】本题考查椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率与直线的方程，属于中档题．(1)结合条件和椭圆的几何性质可求得a ，b ，c ，即可求得椭圆的方程；(2)(ⅰ)设P(x 0,y 0)，求得直线AP 的斜率并求出直线BP 方程，求得点N 的坐标，再求得直线AN 的斜率，根据点P 在椭圆上，可证明直线AP,AN 的斜率之积为定值； (ⅰ)根据直线AP 的斜率存在且不为零，设直线AP 斜率为k ，则可得直线AP 方程，求出点M ，根据(ⅰ)中的直线AP,AN 的斜率之积为−12，求出直线AN 的斜率为−12k ，可得直线AN 的方程，联立直线AN 与椭圆方程，求得点Q 坐标，根据直线BQ ，BM 斜率相等，可判定结论．24.【答案】解：(1)F(−c,0)，A(a,0)，B(0,b)，则S △ABF =√2+12=12(a +c)b ， 即(a +c)b =√2+1，即(a +c)√a 2−c 2=√2+1． 又e =ca =√22，a =√2c ，代入上式中得到，(√2c +c)√2c 2−c 2=√2+1， 解得c =1，于是a =√2，b =1．。

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()012222>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,12222≤≤by a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ace =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。

6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），ab 22.7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.（二）运用的知识点及公式1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r rg2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。

12014年高考真题题型分析——椭圆一、椭圆的几何性质1．（2014辽宁，5分）（2014•辽宁）已知椭圆C ：+=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A 、B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|+|BN|= _________ ．二、椭圆与参数方程2．（2014福建，5分）设P ，Q 分别为圆x 2+（y ﹣6）2=2和椭圆+y 2=1上的点，则P ，Q5 + 三、椭圆与直线（交点、比例、向量）3.（2014安徽，5分）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________ 4．（2014江西，5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 _________ ．5. （2014新课标全国卷Ⅱ，12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b . 6.(2014江苏，14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a b y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.2四、椭圆与直线7．（2014江西，5分）过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 _________ ．8．（2014河南，12分）已知点A （0，﹣2），椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线L 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求L 的方程．9．（2014辽宁，12分）圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1：﹣=1过点P 且离心率为．（Ⅰ）求C 1的方程；（Ⅱ）若椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线L 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求L 的方程．10．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．。

2015年高三一轮复习解析几何第3讲 椭圆1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的 等于常数( )的点的集合叫作椭圆，这两个定点F 1，F 2叫作椭圆的 ，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的 ．1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a ＜|F 1F 2|动点P 的轨迹如何？提示：当2a ＝|F 1F 2|时动点的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时动点的轨迹是不存在的.思考：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？1．(·全国新课标高考)设F 1F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.452．(上海高考)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55 C.12D.524．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．5．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．【例1】(·青岛模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.【思路点拨】 关键抓住点P 为椭圆C 上的一点，从而有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，再利用PF 1→⊥PF 2→，进而得解．【例2】(兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】求满足下列各条件的椭圆的标准方程；(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，－6)；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连接互相垂直，且焦距为6；(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23；(4)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63.【思路点拨】 由已知条件设出椭圆的标准方程，解方程(组)，用待系数定法求解，应注意处理椭圆焦点位置不确定时的情况．【归纳提升】 求椭圆的标准方程时的三个思考角度(1)“定形”，指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上．(2)“定式”，根据“形”设出椭圆方程的具体形式，若焦点在x 轴上，则设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若焦点在y 轴上，则设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若焦点位置不明确，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．(3)“定量”，指利用定义和已知条件确定方程中的系数a ，b 或m ，n .【例1】(·全国新课标高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．【例2】已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若 PF →1·PF →2＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53【跟踪训练】 (2011·北京高考)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．【思路点拨】 (1)由椭圆方程可直接求出c ，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB |长的表达式从而求出|AB |的最大值．【归纳提升】 1. 求椭圆离心率的常用方法：(1)求得a 、c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．弦长公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.【例1】(天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．【思路点拨】 第(1)问由|PF 2|＝|F 1F 2|建立关于a 、c 的方程；第(2)问可以求出点A 、B 的坐标或利用根与系数的关系求|AB |均可，再利用圆的知识求解．【例2】已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．【归纳提升】 1.直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离． 2. 直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“差分法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化． 【考情】从近两年的高考试题来看，椭圆的定义，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，求椭圆的标准方程是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高，部分解答题为较难题目；客观题主要考查对椭圆的基本概念与性质的理解及应用；主观题考查较为全面，在考查对椭圆基本概念与性质的理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力、运算能力以及数形结合思想．预测1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题；2．考查椭圆的方程及其几何性质；3．考查直线与椭圆的位置关系．命题新动向利用椭圆的定义解题利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化．一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考查用定义来解题．【例1】(·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知(1，e)和（e，32）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.(ⅰ)若|AF1|－|BF2|＝62，求直线AF1的斜率；(ⅱ)求证：|PF1|＋|PF2|是定值．训练：(·浙江高考)如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.(1)求椭圆C的方程；(2) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．。

椭__圆[知识能否忆起]1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质条件2a ＞2c ，a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞0，c ＞0图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 顶点 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0，±b ) 长轴顶点(0，±a ) 短轴顶点(±b,0) 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2)离心率 e ＝ca∈(0,1)，其中c ＝a 2－b 2 通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为2b2a[小题能否全取]1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y 29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6. 2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.3．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝15．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2， 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， 所以离心率e ＝2c 2a ＝33.答案：331.椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在．2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．椭圆的定义及标准方程典题导入[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] ∵椭圆的离心率为32， ∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20.故椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.[答案] D本例中条件“双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径”问题不变．解：∵x 2＋y 2－2x －15＝0，∴(x －1)2＋y 2＝16，∴r ＝4，即2a ＝4，a ＝2. 又c a ＝32，∴c ＝3， ∴b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B＞0，且A ≠B )．以题试法1．(2012·张家界模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72 B.32C. 3D ．4解析：选A 因为a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则－324＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22－12＝72.椭圆的几何性质典题导入[例2] (1)F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则1PF u u u r ·2PF u u u r的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4(2)(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B.55C.12D.5－2[自主解答] (1)设P (x ，y )，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，1PF u u u r ·2PF u u u r＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵0≤x 2≤4，∴－2≤34x 2－2≤1.∴1PF u u u r ·2PF u u u r 的最大值是1.(2)由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，故e ＝55.[答案] (1)B (2)B由题悟法1．求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝c a或e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2去整体求解．2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．以题试法2．(1)(2012·西工大附中适应性训练)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|AM u u u u r ,|＝1，且PM u u u r ,·AM u u u u r ,＝0，则|PM u u u r,|的最小值为________．(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：(1)由|AM u u u u r,|＝1，A (3,0)知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM u u u r ,·AM u u u u r,＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，∴PM 为⊙A 的切线，连接PA (如图)，则|PM u u u r ,|＝ |PA u u u r |2－|AM u u u u r |2＝ |PA u u u r |2－1，∴当|PA u u u r ,|min＝a －c ＝5－3＝2时，|PM u u u r,|min ＝ 3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c2(b 2－2c 2≠0)由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝a 2＋c 22c 2－b2c2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c －c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1.答案：(1) 3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1直线与椭圆的位置关系典题导入[例3] (2012·安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.由题悟法1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2].3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．以题试法3．(2012·潍坊模拟)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值． 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，y 23＋x22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0， 整理得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0.设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.1．(2012·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件解析：选B 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件．2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B ∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 4．(2013·沈阳二中月考)已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，1MF u u u u r ,·2MF u u u u r,＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x |＝263，即点M 到y 轴的距离为263.5．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 6．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．椭圆x 216＋y 24＝1的两焦点F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.解析：易得|PF 1|＝b 2a ＝44＝1.又点P 在椭圆上，于是有|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 2|＝8－|PF 1|＝7.答案：79．(2012·哈尔滨模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15， 当P ，M ，F 2三点共线时取等号． 答案：1510．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23， 又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.率为63，F 为11．(2013·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心椭圆的右焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF u u u u r ,＝λFN u u u r,(λ＞0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN u u u u r ,⊥AF u u u r,；(2)若当λ＝1时，有AM u u u u r ,·AN u u u r ,＝1063，求椭圆C 的方程．解：(1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)，则MF u u u u r ,＝(c －x 1，－y 1)，FN u u u r,＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，MF u u u u r ,＝FN u u u r,，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c .∵M ，N 两点在椭圆C 上，∴x 21＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 22b 2， ∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN u u u u r ,＝(0,2y 2)，AF u u u r ,＝(c ＋4,0)，∴MN u u u u r ,·AF u u u r,＝0，∴MN u u u u r ,⊥AF u u u r ,.(2)当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ∴AM u u u u r ,＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋4，b 2a ，AN u u u r ,＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋4，－b 2a ，∴AM u u u u r ,·AN u u u r ,＝(c ＋4)2－b 4a2＝1063.(*)∵c a ＝63， ∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得56c 2＋8c ＋16＝1063，∴c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.12．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB u u u r ＝2OA u u u r，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB u u u r ＝2OA u u u r及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2.又由OB u u u r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k2＝161＋4k2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB u u u r ＝2OA u u u r及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2.由OB u u u r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2.将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .1．(2012·长春模拟)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|1MF u u u u r,|＝2|MO u u u u r ,|＝2|2MF u u u u r,|，则该椭圆的离心率为( )A.33B.23C.63D.255解析：选C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，0，并设|1MF u u u u r ,|＝2|MO u u u u r ,|＝2|2MF u u u u r ,|＝2t ，根据勾股定理可知，|1MF u u u u r ,|2－|1NF u u u u r ,|2＝|2MF u u u u r ,|2－|2NF u u u u r ,|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.2．(2012·太原模拟)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2＞b 1b 2；④a 1－a 2＜b 1－b 2. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③解析：选C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.3．(2012·西城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k. 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，312.1．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1. ①把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k4y 2－y ＋m ＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1. ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 2．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－x 02－2≠0，Δ＝8[2－x 02＋y 20－2]>0，①且k 1k 2＝y 20－22－x 02－2＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 212＝1，y 2－22－x 02－2＝12，得5x 20－8x 0－36＝0.解得x 0＝－2或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，575或⎝⎛⎭⎪⎫185，－575.3．(2012·河南模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫ 2，22. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12. 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1. 设点O 到直线l 的距离为d ， 则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12·1＋k2x 1－x 22·|m |1＋k 2＝12|x 1－x 2||m |＝m 22－m2，又0＜m 2＜2且m 2≠1，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．。

2014届高三理科数学一轮复习试题选编21：椭圆一、选择题1 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322 二、填空题2 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．3 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ,点P 在椭圆上,若1||4PF =,12F PF ∠的小大为_____________.三、解答题4 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）(本小题满分14分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>椭圆短轴的一个端点与两个焦(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点的横坐标为12-,求斜率k 的值;②若点7(,0)3M -,求证:MA MB ⋅为定值.5 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知点A 是椭圆()22:109x y C t t+=>的左顶点，直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B .且当0m =时，△AEF 的面积为163. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ？并请说明理由.6 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的四个顶点. (I)求椭圆M 的方程;(II)直线l 与椭圆M 交于A ,B 两点,且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-,求AOB ∆(O 为原点)面积的最大值.7 ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22,且过点A .直线y m +交椭圆C 于B ,D (不与点A 重合)两点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 8 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分13分)如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率2e =,F 为椭圆的左焦点,且1AF BF = . (I)求此椭圆的方程;(II)设P 是此椭圆上异于,A B 的任意一点,PH x ⊥轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP PQ =. 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.9 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=2， 54AC =时，求椭圆12,C C 的方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围．10．（2013北京西城高三二模数学理科）如图,椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ,M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点,点P 与点A 关于点M 对称.(Ⅰ)若点P 的坐标为9(5,求m 的值;(Ⅱ)若椭圆C 上存在点M ,使得OP OM ⊥,求m 的取值范围.11．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知椭圆C:2214x y +=的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C 交于E,F 两点,其中点M (m,12) 满足0m ≠,且m ≠(Ⅰ)求椭圆C 的离心率e; (Ⅱ)用m 表示点E,F 的坐标;(Ⅲ)若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍,求m 的值.12．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为21,F F ,且221=F F ,点P 在椭圆上,且21F PF ∆的周长为6.(I)求椭圆C 的方程;(II)若点P 的坐标为()1,2,不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点,设线段AB 的中点为M ,点P 到直线l 的距离为d ,且P O M ,,三点共线.求2216131312d AB +的最大值.13．（2013北京东城高三二模数学理科）已知椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的离心率2e =,原点到过点(,0)A a ,(0,)B b -. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求2211x y +的取值范围.(Ⅲ)如果直线1(0)y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ,F ,且E ,F 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值.14．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）设椭圆C:2222x y a b+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,上顶点为A,在x 轴负半轴上有一点B,满足112BF F F =,且AB ⊥AF 2. (I)求椭圆C 的离心率;(II)若过A 、B 、F 2三点的圆与直线l :x 3-=0相切,求椭圆C 的方程;(Ⅲ)在(II)的条件下,过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,线段MN 的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m 的取值范围.15．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知椭圆()11:222>=+a y ax C 的上顶点为A ,左焦点为F ,直线AF 与圆0726:22=+-++y x y x M 相切.过点⎪⎭⎫⎝⎛-21,0的直线与椭圆C 交于Q P ,两点.(I)求椭圆C 的方程;(II)当APQ ∆的面积达到最大时,求直线的方程.16．（2013北京高考数学（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.17．（2011年高考（北京理））已知椭圆G:2214x y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B两点.(Ⅰ)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;(Ⅱ)将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.18．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0),短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点,弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ,试求DPMN的取值范围. 19．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A. 求证：直线l 过定点,并求出定点的坐标.20．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）椭圆T 的中心为坐标原点O ,,,OM ON OP 的斜率之和为0,求证. 21．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为.36（I ）若原点到直线0=-+b y x 的距离为,2求椭圆的方程； （II ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为︒45的直线和椭圆交于A ，B 两点. （i ）当3||=AB ，求b 的值；（ii ）对于椭圆上任一点M ，若OB OA OM μλ+=，求实数μλ,满足的关系式.22．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆22:143x y C +=的左右两个顶点分别为A B ，,点M 是直线:4l x =上任意一点,直线MA ,MB 分别与椭圆交于不同于A B ，两点的点P ,点Q .(Ⅰ)求椭圆的离心率和右焦点F 的坐标; (Ⅱ)(i)证明,,P F Q 三点共线; (Ⅱ)求PQB ∆面积的最大值.23．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12,且经过点3(1,)2A .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设,M N 为椭圆C 上的两个动点,线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ,求0y 的取值范围.24．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且经过点(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．25．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为12,短轴长为(I)求椭圆C 的标准方程;(II)直线x =2与椭圆C 交于P 、Q 两点,A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点,且直线AB 的斜率为12. ①求四边形APBQ 面积的最大值;②设直线PA 的斜率为1k ,直线PB 的斜率为2k ,判断1k +2k 的值是否为常数,并说明理由.26．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 过点,离心率为,点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点,直线AE ,AF 与直线3x =分别交于点M ,N . (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求EM FN ⋅的取值范围.27．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F F 作直线，交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线的斜率．北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编21：椭圆参考答案一、选择题 1. 【答案】D解：当点P 位于椭圆的两个短轴端点时，12F F P ∆为等腰三角形，此时有2个。

高中数学椭圆题型归纳一．椭圆の标准方程及定义1．已知椭圆+ =1 上一点 P 到椭圆の一个焦点の距离为3，则点 P 到另一个焦点の距离为（）A．2 B．3 C．5D．72、已知椭圆の标准方程为，并且焦距为6，则实数 mの值为．3．求满足下列条件の椭圆の标准方程（1）焦点分别为（ 0，﹣ 2），（0，2），经过点（ 4，）（2）经过两点（ 2，），（）4．求满足下列条件の椭圆方程：（1）长轴在 x 轴上，长轴长等于 12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣ 6，0）和（ 0，8）；（3）椭圆の一个焦点到长轴两端点の距离分别为10 和 4．5．设 F1，F2分别是椭圆+=1 の左，右焦点， P 为椭圆上任一点，点 Mの坐标为（ 6，4），则 |PM|+|PF 1| の最大值为．二、离心率1、已知 F1、F2是椭圆の两个焦点， P 是椭圆上一点，∠ F1PF2=90°，则椭圆离心率の取值范围是．2．设 F1、F2是椭圆 E：+ =1（ a＞b＞0）の左右焦点， P 是直线x= a 上一点，△ F2PF1是底角为 30°の等腰三角形，则椭圆 E の离心率为（）A．B．C．D．3．已知点 F1、F2是双曲线 C：﹣=1（a＞0，b＞0）の左、右焦点，O为坐标原点，点 P 在双曲线 Cの右支上，且满足 |F 1F2 |=2|OP| ，|PF1| ≥3|PF2| ，则双曲线 Cの离心率の取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，] D．（1，]三、焦点三角形1、已知椭圆+ =1 左，右焦点分别为F1，F2，点 P 是椭圆上一点，且∠ F1PF2=60°．①求△ PF1F2の周长②求△ PF1F2の面积．2．已知点（ 0，﹣）是中心在原点，长轴在x 轴上の椭圆の一个顶点，离心率为，椭圆の左右焦点分别为F1和 F2．（1）求椭圆方程；（2）点 M在椭圆上，求△ MF1F2面积の最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点 P，使 ? =0，若存在，请求出点 P の坐标；若不存在，请说明理由．四、弦长问题1、已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数 mの取值范围．（2）求被椭圆截得の最长弦の长度．2、设 F1，F2分别是椭圆の左、右焦点，过F1斜率为 1 の直线 ? 与 E 相交于 A，B 两点，且 |AF 2| ，|AB| ，|BF2| 成等差数列．（1）求 E の离心率；（2）设点 P（0，﹣ 1）满足 |PA|=|PB| ，求 E の方程．五、中点弦问题1、已知椭圆+=1 の弦 ABの中点 Mの坐标为（ 2，1），求直线ABの方程，并求 ABの长．六、定值、定点问题22 21、已知椭圆 C：9x +y =m（m＞0），直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C有两个交点 A，B，线段 ABの中点为 M．（1）证明：直线 OMの斜率与 l の斜率の乘积为定值；（2）若 l 过点（，m），延长线段 OM与 C 交于点 P，四边形 OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l の斜率；若不能，说明理由．七、对称问题1．已知椭圆方程为，试确定m の范围，使得椭圆上有不同の两点关于直线y=4x+m对称．Fpg高中数学椭圆题型归纳参考答案与试题解析一．选择题（共 3 小题）1．（2016 春?马山县期末）已知椭圆+ =1 上一点 P 到椭圆の一个焦点の距离为 3，则点 P到另一个焦点の距离为（）A．2 B．3 C．5D．7【分析】先根据条件求出 a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离 d の等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得： a=5．根据椭圆の定义得： 2a=3+d? d=2a﹣3=7．故选 D．【点评】本题主要考查椭圆の定义．在解决涉及到圆锥曲线上の点与焦点之间の关系の问题中，圆锥曲线の定义往往是解题の突破口．2．（2015 秋?友谊县校级期末）设F1、F2是椭圆 E：+ =1（a＞b ＞0）の左右焦点， P 是直线 x= a 上一点，△ F2PF1是底角为 30°の等腰三角形，则椭圆 E の离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△ F2 PF1是底角为 30°の等腰三角形，可得 |PF2|=|F 2F1| ，Fpg 根据 P 为直线 x= a 上一点，可建立方程，由此可求椭圆の离心率．【解答】解：∵△ F2PF1是底角为 30°の等腰三角形，∴|PF2|=|F 2F1|∵P为直线 x= a 上一点∴2（ a﹣c）=2c∴e= =故选： B．【点评】本题考查椭圆の几何性质，解题の关键是确定几何量之间の关系，属于基础题．3．（2016?衡水模拟）已知点 F1、F2是双曲线 C：﹣=1（a＞0，b＞0）の左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C の右支上，且满足 |F 1F2|=2|OP| ，|PF 1| ≥3|PF2| ，则双曲线 C の离心率の取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，] D．（1，]【分析】由直角三角形の判定定理可得△ PF1F2为直角三角形，且PF1Fpg⊥PF2，运用双曲线の定义，可得|PF1| ﹣|PF2|=2a ，又|PF1| ≥3|PF2| ，可得 |PF 2| ≤a，再由勾股定理，即可得到 c≤a，运用离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：由 |F 1F2|=2|OP| ，可得 |OP|=c ，即有△ PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，可得 |PF1| 2+|PF2| 2=|F 1F2| 2，由双曲线定义可得 |PF1| ﹣|PF2|=2a ，又|PF1| ≥3|PF2| ，可得 |PF2| ≤a，即有（ |PF2|+2a ）2 +|PF2| 2=4c2，化为（ |PF2|+a ）2=2c2﹣a2，即有 2c2﹣a2≤4a2，可得 c≤a，由e= 可得1＜e≤，故选： C．【点评】本题考查双曲线の离心率の范围，注意运用双曲线の定义和直角三角形の性质，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共 3 小题）4．已知椭圆の标准方程为，并且焦距为6，则实数 m の值为 4 或．【分析】由题设条件，分椭圆の焦点在x 轴上和椭圆の焦点在y 轴上两种情况进行讨论，结合椭圆中a2﹣b2=c2进行求解．【解答】解：∵椭圆の标准方程为，椭圆の焦距为 2c=6，c=3，2∴当椭圆の焦点在x 轴上时， 25﹣m=9，解得 m=4；2当椭圆の焦点在y 轴上时， m﹣25=9，解得 m=．综上所述， mの取值是 4 或．故答案为： 4 或【点评】本题考查椭圆の简单性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想の合理运用．5．（2016?漳州一模）设 F1，F2分别是椭圆+=1 の左，右焦点， P 为椭圆上任一点，点M の坐标为（ 6，4），则 |PM|+|PF 1| の最大值为15．【分析】由椭圆の定义可得， |PM|+|PF 1 |=2a+|PM| ﹣|PF 2| ≤2a+|MF2| ，由此可得结论．【解答】解：由题意 F2（3，0），|MF2|=5 ，由椭圆の定义可得，|PM|+|PF 1|=2a+|PM| ﹣|PF 2|=10+|PM| ﹣ |PF2| ≤10+|MF2|=15 ，当且仅当 P，F2，M三点共线时取等号，故答案为： 15．【点评】本题考查椭圆の定义，考查学生分析解决问题の能力，属于基础题．6．已知 F1、F2是椭圆の两个焦点， P 是椭圆上一点，∠ F1PF2=90°，则椭圆离心率の取值范围是．【分析】根据题意，点 P即在已知椭圆上，又在以 F1F2为直径の圆上．因此以 F1 F2为直径の圆与椭圆有公式点，所以该圆の半径 c 大于或等于短半轴 b の长度，由此建立关于 a、c の不等式，即可求得椭圆离心率の取值范围．【解答】解∵ P点满足∠ F1PF2=90°，∴点 P 在以 F1 F2为直径の圆上又∵ P是椭圆上一点，∴以 F1 F2为直径の圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆の焦点∴以 F1 F2为直径の圆の半径r 满足： r=c ≥b，两边平方，得 c2≥b2即c2≥a2﹣c2? 2c2≥a2两边都除以 a2，得 2e2≥1，∴e≥，结合 0＜e＜1，∴≤e＜1，即椭圆离心率の取值范围是 [ ，1）．Fpg 故答案为： [，1）．【点评】本题在已知椭圆上一点对两个焦点张角等于 90 度の情况下，求椭圆の离心率，着重考查了椭圆の基本概念和解不等式の基本知识，属于中档题．三．解答题（共9 小题）7．（2013 秋?琼海校级月考）已知椭圆+=1 左，右焦点分别为 F1，F2，点 P是椭圆上一点，且∠ F1PF2=60°．①求△ PF1F2の周长②求△ PF1F2の面积．【分析】①根据椭圆の方程求得 c，利用△ PF1F2の周长 L=2a+2c，即可得出结论；②设出 |PF|=t ，|PF|=t ，利用余弦定理可求得t t の值，最后利用【解答】解：①∵ a=5，b=3，∴ c=4∴△ PF1F2の周长 L=2a+2c=18；②设 |PF1|=t 1，|PF 2|=t 2，则由椭圆の定义可得：t 1+t 2=10在△ F1PF2中∠ F1PF2=60°，2 2∴t1 +t 2﹣2t 1t 2?cos60°=28，可得 t 1 t 2=12，∴==3．【点评】解决此类问题の关键是熟练掌握椭圆の标准方程、椭圆の定义，熟练利用解三角形の一个知识求解问题．8．（2015 秋?揭阳月考）已知点（ 0，﹣）是中心在原点，长轴在x 轴上の椭圆の一个顶点，离心率为，椭圆の左右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点 M在椭圆上，求△ MF1F2面积の最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点 P，使 ? =0，若存在，请求出点 P の坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点の坐标和离心率得b= ，根据 a2=b2 +c2求出 a の值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出の椭圆标准方程，求出点M纵坐标の范围，即求（3）先假设存在点 P 满足条件，根据向量の数量积得?，根据椭圆の焦距和椭圆の定义列出两个方程，求出Sの值，结合（2）中三角形面积の最大值，判断出是否存在点P．【解答】解：（1）由题意设椭圆标准方程为+ =1，由已知得， b=．（2分）则 e2= ==1﹣= ，解得 a2 =6（4 分）∴所求椭圆方程为+=1（5 分）（2）令 M（x1，y1），则 S= |F 1 F2| ?|y 1|= ?2?|y 1|=|y 1| （7 分）∵点 M在椭圆上，∴﹣≤y1≤，故|y 1| の最大值为，（8分）∴当 y1 =±时，Sの最大值为．（9分）（3）假设存在一点 P，使 ? =0，∵≠ ，≠ ，∴ ⊥，（10 分）∴△ PF1F2为直角三角形，∴ |PF1| 2+|PF2| 2=|F 1F2| 2=4 ①（ 11 分）又∵ |PF1|+|PF 2|=2a=2 ②（ 12 分）2 ﹣①，得 2|PF | ?|PF |=20 ，∴ |PF | ?|PF |=5 ，（13 分）∴②1 2 1 2即 S=5，由（ 1）得 S最大，故矛盾，∴不存在一点 P，使?=0．（14 分）【点】本考了方程の求法以及の性、向量数量の几何意，利用 a、b、c、e 几何意和 a2=b2+c2求出 a 和 b の，根据上点の坐范求出相三角形の面最，即根据此范判断点 P 是否存在，此合性，涉及の知多，考了分析和解决の能力．9．（2015 秋?葫芦校月考）求足下列条件のの准方程（1）焦点分（ 0， 2），（0，2），点（ 4，）（2）两点（ 2，），（）【分析】（1）出の准方程，代入点の坐，合c=2，即可求得の准方程；（2）出の准方程，代入点の坐，即可求得の准方程．【解答】解：（1）依意，所求方程=1（a＞b＞0）因点（ 4，3），在上，又c=2，得，解得 a=6，b=4⋯（10分）故所求の方程是=1；（2）方程mx2+ny2=1，∵经过两点（ 2，），（），∴，∴，n=，∴椭圆方程为=1．【点评】本题考查椭圆の标准方程，考查学生の计算能力，属于基础题．10．（2012 秋?西安期末）求满足下列条件の椭圆方程：（1）长轴在 x 轴上，长轴长等于 12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣ 6，0）和（ 0，8）；（3）椭圆の一个焦点到长轴两端点の距离分别为10 和 4．【分析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c の关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；2 2（2）设椭圆方程为 mx+ny =1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣ 6，0）和（ 0，8），解方程即可得到椭圆方程；（3）讨论椭圆の焦点の位置，由题意可得 a﹣c=4，a+c=10，解方程可得 a，c，再由 a，b，c の关系解得 b，即可得到椭圆方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得， 2a=12，e= ，即有 a=6，= ，即有 c=4，b===2，Fpg 即有椭圆方程为+=1；（2）设椭圆方程为 mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣ 6，0）和（ 0，8），可得36m+0=1，且 0+64n=1，解得 m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（3）当焦点在 x 轴上时，可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得 a﹣c=4，a+c=10，解得 a=7，c=3，b= =2 ，即有椭圆方程为+=1；同理，当焦点在y 轴上时，可得椭圆方程为+=1．即有椭圆方程为+ =1 或+ =1．【点评】本题考查椭圆の方程和性质，主要考查椭圆の方程の求法，注意运用椭圆の方程の正确设法，以及椭圆性质の运用，属于基础题．11．（2010?宁夏）设 F1，F2分别是椭圆の左、右焦点，过 F1斜率为 1 の直线 ? 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2| ，|AB| ，FpgFpg （1）求 E の离心率；（2）设点 P（0，﹣ 1）满足 |PA|=|PB| ，求 E の方程．【分析】（I ）根据椭圆の定义可知 |AF2|+|BF 2|+|AB|=4a ，进而根据|AF2| ，|AB| ，|BF2 | 成等差数表示出 |AB| ，进而可知直线 l の方程，1 12 2设 A（x ，y ），B（x ，y ），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出 x1 +x2和 x1 x2进而根据，求得 a 和 b の关系，进而求得 a 和 c の关系，离心率可得．（II ）设 ABの中点为 N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和 y0，根据 |PA|=|PB| ，推知直线 PNの斜率，根据求得c，进而求得 a 和 b，椭圆の方程可得．【解答】解：（ I ）由椭圆定义知 |AF2|+|BF 2|+|AB|=4a ，又2|AB|=|AF 2|+|BF 2| ，得，l の方程为 y=x+c，其中．设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 A、B两点坐标满足方程组化简の（ a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线 AB斜率为 1，|AB|= |x 1﹣x2|=，得，故 a2=2b2所以 E の离心率Fpg （II ）设 ABの中点为 N（x0，y0），由（I ）知，．由|PA|=|PB| ，得 k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆 E の方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中の椭圆性质以及直线与椭圆の位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题の能力及运算能力12．（2014 春?广水市校级月考）已知椭圆+ =1 の弦 ABの中点 M の坐标为（ 2，1），求直线 ABの方程，并求 ABの长．【分析】首先，根据椭圆の对称轴，得到该直线の斜率存在，设其方程为 y﹣1=k（x﹣2），然后联立方程组，利用一元二次方程根与系数の关系，并且借助于中点坐标公式，确定斜率k の值，然后，利用两点间の距离公式或弦长公式，求解ABの长．【解答】解：当直线 ABの斜率不存在时，不成立，故直线 ABの斜率存在，设其方程为 y﹣1=k（x﹣2），Fpg 联立方程组，消去 y 并整理，得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣16=0，∴x1+x2 =﹣，∵，∴2k（2k﹣1）=1+4k2，∴k=﹣，∴直线 ABの方程： x+2y﹣4=0．将k=﹣代人（ 1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣16=0，得 x2﹣4x=0，解得 x=0，x=4，∴A（0，），B（4，﹣），∴|AB|=．∴A Bの长 2 ．【点评】本题属于中档题，重点考查了椭圆の简单几何性质、直线与椭圆の位置关系、弦长公式、两点间の距离公式等知识，属于高考の热点和重点问题．22 213．（2015?新课标Ⅱ）已知椭圆 C：9x +y =m（m＞0），直线 l 不过原点 O且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A，B，线段 ABの中点为M．FpgFpg（2）若 l 过点（，m），延长线段 OM与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l の斜率；若不能，说明理由．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应の直线斜率即可得到结论．（2）四边形 OAPB为平行四边形当且仅当线段 AB与线段 OP互相平分，即 x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线 l ：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B （x2，y2），M（x M，y M），将 y=kx+b 代入2 2 2 2 2 2 29x +y =m（m＞0），得（ k +9）x +2kbx+b ﹣m=0，2 2 2 2 20，则判别式△ =4k b ﹣4（k +9）（b ﹣m）＞则 x +x = ，则 x = = ，y =kx +b= ，1 2 M MM于是直线 OMの斜率 k = = ，OM即 k OM?k=﹣9，∴直线 OMの斜率与 l の斜率の乘积为定值．（2）四边形 OAPB能为平行四边形．∵直线 l 过点（，m），2 222 2∴由判别式△ =4k b ﹣4（k +9）（b ﹣m）＞ 0，2 22 2即 k m＞9b ﹣9m，∵b=m﹣m，2 22 2∴k m＞9（m﹣m）﹣ 9m，即 k2＞k2﹣6k，则k＞0，∴l 不过原点且与 C有两个交点の充要条件是 k＞0，k≠3，由（ 1）知 OMの方程为 y= x，设 P の横坐标为 x P，由得P，，即 x =将点（，m）の坐标代入 l の方程得 b= ，即 l の方程为 y=kx+ ，将 y= x，代入 y=kx+ ，得 kx+ = x解得 x M= ，四边形 OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段 OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得 k1 =4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1 ，2，∴当 l の斜率为 4﹣或 4+ 时，四边形 OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线の相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间の关系是解决本题の关键．综合性较强，难度较大．14．（2013 秋?阜城县校级月考）已知椭圆4x2 +y2=1 及直线 y=x+m．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数 mの取值范围．（2）求被椭圆截得の最长弦の长度．【分析】（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成の方程组有解，等价于消掉 y 后得到 x の二次方程有解，故△≥ 0，解出即可；（2）设所截弦の两端点为 A（ x1，y1），B（x2，y2），由（ 1）及韦达定理可把弦长 |AB| 表示为关于 mの函数，根据函数表达式易求弦长最大值；【解答】解：（1）由2 2得： 5x +2mx+m﹣1=0，当直线与椭圆有公共点时，△2 2 2=4m﹣4×5（ m﹣1）≥0，即﹣ 4m+5≥0，解得﹣≤m≤，所以实数 mの取值范围是﹣≤ m≤；（2）设所截弦の两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（ 1）知， x1+x2=﹣，x1x2=，所以弦长|AB|=|x 1﹣x2|= ?= ?=2×，当 m=0时|AB| 最大，最大值为：．【点评】本题考查直线与圆锥曲线の位置关系，考查函数与方程思想，弦长公式、韦达定理是解决该类题目の基础知识，应熟练掌握．Fpg15．（2012 秋?裕华区校级期中）已知椭圆方程为，试确定m の范围，使得椭圆上有不同の两点关于直线y=4x+m对称．【分析】根据对称性可知线段 AB被直线 y=4x+m垂直平分，从而可得直线 ABの斜率 k=﹣，直线 AB与椭圆有两个交点，且 ABの中点 M在直线 y=4x+m，可设直线 AB の方程为 y=，联立方程整理可得 13x2﹣8bx+16（b2﹣3）=0 可求中点 M，由△ =64b2﹣4×13 ×16（b2﹣3）＞0 可求 b の范围，由中点 M在直线 y=4x+m可得 m，b の关系，从而可求mの范围【解答】解：设椭圆上关于直线y=4x+m对称の点 A（x1，y1），B（x2，y2），则根据对称性可知线段AB被直线 y=4x+m垂直平分．可得直线 ABの斜率 k=﹣，直线AB与椭圆有两个交点，且ABの中点M（x0，y0）在直线 y=4x+m，故可设直线 AB の方程为 y=，整理可得 13x2﹣8bx+16（b2﹣3）=0，所以，，由△ =64b2﹣4×13×16（b2﹣3）＞ 0 可得，所以代入直线 y=4x+m可得 m=Fpg 所以，．【点评】本题主要考查了直线与椭圆の位置关系の应用，解题の关键是灵活应用已知中の对称性设出直线方程，且由中点在y=4x+m 上建立 m，b 之间の关系，还要注意方程の根与系数の关系の应用．。

2014年高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾3. 椭圆的参数方程22(,)B x y ，AB0>，以及在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2,)y 代入椭圆方程，并将两式相减，可二 典例剖析1 求椭圆的标准方程 【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为-____________（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，若0OP OQ ⋅=，且10PQ =，则椭圆方程为_____________________10PQ =即有：x【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =（1）求椭圆的离心率。

（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。

2ac =。

即 ac 【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2F 与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且22MB BF = （1）若k ≤（2）若k =AB 的中点到右准线的距离为100，求椭圆的方程代入椭圆方程，并整理得：点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点（1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=，求直线l 的方程（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点 （4）求OPQ 的最大面积有已知及（2）知：OPQ S=2k -OPQ【例5】已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1 （1）求椭圆C 的标准方程（2）若直线:l y kx m =+与椭圆交于,A B 两点（,A B 不是左，右顶点）且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标)12120x x y y ++=2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0Fc ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= （1）求椭圆离心率e 的取值范围（2）当离心率e 取最小值时，12PF F 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。

高考数学复习考点题型归类解析专题41椭圆一、关键能力1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．3.了解椭圆的简单应用．4.理解数形结合的思想. 二、教学建议教学中要让学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，进而再了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。

三、自主梳理 知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集．知识点二 椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a，－b≤x≤b，1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．2．焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中 (1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a . 4．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k 2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.四、高频考点+重点题型 考点一.椭圆的定义及其应用题组一（定义法求轨迹方程）1.如图所示,圆O 的半径为定长r ,A 是圆O 内一 个定点,P 是圆上任意一点,线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ,当点P 在圆上运动时,点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆2.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169,C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9,动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切,和圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 264－y 248＝1B ．y 264＋x 248＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1题组二（焦点三角形之定义使用）1.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.59C.49D.5132．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( )A ．20B.10 C ．25D ．4 53.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1―→⊥PF 2―→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________.4.已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若AF 2＝2F 2B ，AB ＝BF 1，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1题组三（线段的转移）1.已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．考点二.椭圆的标准方程1.(2021·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 22＝12.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5,0)为C 的左焦点，P为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 236＋y 216＝1B.x 240＋y 215＝1 C.x 249＋y 224＝1D.x 245＋y 220＝13.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆的方程为____________________．4.过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为___________．5.与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆标准方程为________．考点三.椭圆的离线率题组一（离心率的值）1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.142.若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A.5－12B.33C.22D.633.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切,则C 的离心率为( ) A ．63 B ．33 C ．23 D ．134．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为( )A.33B.12C.22D.32题组二（离心率的范围）1.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，12.已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．3.正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－124．已知椭圆C ：x 2＋y 2b 2＝1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y ＝x ＋m 交于M ，N 两点，B 为上顶点．若BM ＝BN ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，63考点四、椭圆上的点1.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是___________．2．设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．3．椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．[12，34]B．[38，34]C．[12，1]D．[34，1]4．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B.(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．6．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，若点P 是椭圆C 上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为K PM 、K PN ，当K PM ⋅K PN =−14时，则椭圆方程为（ ）A ．x 216+y 24=1B ．x 24+y 22=1 C ．x 2+y 24=1D ．x 24+y 2=17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，则椭圆C 的离心率为________．考点五.椭圆中的范围与最值问题题组一（不等式求范围）1.设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)2.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．题组二（函数求范围）1.如图所示,焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12,F ,A 分别是椭圆的左焦点和右顶点,P 是椭圆上任意一点,则PF →·P A →的最大值为________．图10.2-52.已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．3．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B.(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)4．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( )A.22B. 2C. 3 D ．2题组三（数形结合求范围）1.P 为椭圆x 216＋y 215＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE ―→·PF ―→的取值范围是( )A ．[0,15]B.[5,15]C ．[5,21]D ．(5,21)2.已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．3．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]考点六、焦点三角形1．过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心做一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为．2．已知F1，F2是椭圆x29+y25=1的焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=π3，则点P到x轴的距离为．3．已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，若直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B两点，且∠AFB ＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．[√32，1)B ．(0，√32]C ．[12，1)D ．(0，12]4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．设线段NF 1的中点为D ，若MD →⋅NF 1→=0，且MF →1∥DF 2→，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．√33C ．12D ．√225．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2离心率为√32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；考点七直线与椭圆的位置关系1.（2020·海南省琼山中学模拟）若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m＞1B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠52.（2020·模拟）已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．3.已知椭圆221259x y +=，直线45400x y -+=，椭圆上是否存在一点,到直线l 的距离最小?最小距离是多少?考点八 弦长1.已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 之长．．2.斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为()A．2 B.455 C.4105 D.81053.(2020·湖北武汉模拟)设离心率为22的椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为2－1.(1)求E的方程；(2)矩形ABCD的两顶点C，D在直线y＝x＋2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为1123，求直线AB的方程．3.（2020·四川省广汉中学模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．考点九.中点弦问题1.已知椭圆221164x y +=过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．2.如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB的垂直平分线与x 轴交于点G ，则点G 横坐标的取值范围为________．3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.554．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．5.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.14 D.326．过点M(－2,0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．考点十、设而不求法1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．2．(2120·山西太原一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，A ，B 分别是其左、右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且△PF 1F 2的周长为6，若△PF 1F 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点F 2且斜率不为0的直线交椭圆C 于M ，N 两个不同的点，证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上．考点十一、椭圆的探究1.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b2．(多选)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 1与过F 2的直线l 2交于点M ，设M 的坐标为(x 0，y 0)，若l 1⊥l 2，则下列结论正确的有( )A.x 204＋y 203<1B.x 204＋y 203>1C.x 04＋y 03<1 D ．4x 20＋3y 20>13．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B (离地面最远的点)距地面n 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ,2b ,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )4．(多选)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C ．PQ ＝233D ．△PF 2Q 的周长为4 3巩固训练一、单项选择题1．平面上到两定点A (−1,1)，B (3,4)距离之和为5的点的轨迹是( )A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆2．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）A ．2a bB ．22a bC ．2b aD ．22b a3．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上一动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝⎭B. 5,,5⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ⎛ ⎝⎭D. 35,,5⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．已知方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A. m>-9B. m<25C. -9<m<25D. 8<m<255．过点(－3，2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程是（ ）A ．2211510x y +=B ．2211015x y +=C ．221925x y +=D ．221105x y += 6．(2021·南昌模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b a 的值为( )A.32B.233C.932D.2327二、多项选择题7．椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是（ ）A. (－3，0)B. (2，0)C. (3，0)D. (－2，0)8．已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2．给出如下四个结论，其中正确的结论有（ ）A.椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；B. a 21－a 22＝b 21－b 22；C. a 1a 2＞b 1b 2；D. a 1－a 2＜b 1－b 2． 三、填空题9．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________．10.已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线P A ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为________．11．如图所示，A 、B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为____________．12．已知椭圆x 225＋y 216＝1外一点A(5，6)，l 为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点P 到l的距离为d ，则PA ＋35d 的最小值为四、解答题13．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ．(1) 若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2) 若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．14．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系x O y 中，已知椭圆C 1：x 26＋y 23＝1，A 1、A 2分别为椭圆C 1的左、右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1) 求椭圆C 2的方程；(2) 设P 为椭圆C 2上异于A 1、A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H ．求证：H 为△PA 1A 2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)。

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第九章 解析几何 第五节 椭圆一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1. 【改编自2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷）】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．3C ．12. 【2015高考数学一轮配套特训】椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A ．14 B ．12C ．2D ．43. 【2014届福建省福州市高三5月综合练习】已知P(x,y)为椭圆22:12516x y C +=上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )125D.14. 【2015高考数学一轮配套特训】设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A ．2421x －2425y ＝1B ．2421x ＋2425y ＝1C ．2425x －2421y ＝1D ．2425x ＋2421y ＝15. 【2014年高考数学考前复习】设F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x＝2a c 上存在P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．0,3⎛ ⎝⎦ C ．2⎫⎪⎪⎣⎭ D ．3⎫⎪⎪⎣⎭6.【2014届安徽省“江淮十校协作体”四月联考】如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为00(090)θθ<<的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30时，这个椭圆的离心率为（ ）A.1223 【答案】A【解析】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴b R =，因为截面与底面所成角为θ，所以椭圆的长轴长22cos R a θ=，得3a R =c R === 所以椭圆的离心率12c e a == 故选A7. 【2015高考数学一轮配套特训】已知椭圆C ：24x ＋22y b ＝1(b>0)，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．[1,4) B ．[1，＋∞) C ．[1,4)∪(4，＋∞) D ．(4，＋∞) 【答案】C【解析】直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4．8. 【2014届安徽省“江南十校”高三第二次模拟】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>右焦点为(,0)(0)F c c >，方程20ax bx c +-=的两实根分别为12,x x ，则12(,)P x x （ ）A.必在圆222x y +=内 B.必在圆222x y +=外 C.必在圆221x y +=外D.必在圆221x y +=与圆222x y +=形成的圆环之间9. 【2015高考数学一轮配套特训】若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆29x ＋24y ＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．010. 【2014届河北省唐山市高三年级第三次模拟】椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为12,F F ，过1F 作直线l 交C 于A ，B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，且0290AF B ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2．12-C 1D ．211. 【2015数学一轮复习迎战高考】[2014·福建调研]若点O 和点F 分别为椭圆24x ＋23y ＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8∴OP ·FP ＝x 02＋x 0＋3(1－204x )＝204x ＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.∵－2≤x 0≤2，∴OP ·FP 的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.12. 【改编自2014届安徽省“江南十校”高三第二次模拟】设1F 是椭圆2214y x +=的下焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则1PF PO ⋅的最大值为( ).A ．4+．4- C 1 D 1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

可编辑修改精选全文完整版学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 上课时间２0１４年12月１3日 第( )次课 共( ）次课课时: 课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义ﻫ 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(）,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.ﻫ 注意：若,则动点的轨迹为线段;若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2.若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二:椭圆的标准方程ﻫ １.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；2．当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:，其中;注意:ﻫ １.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；ﻫ 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；ﻫ ３．椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

讲练结合二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=１（１）表示圆，则实数ｋ的取值是 .(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (3)表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ． (4)表示椭圆，则实数ｋ的取值范围是 ．2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于 ， 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ，３.椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。

4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

讲练结合三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点(4,0)-,(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。

椭圆高考典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；例2. 方程2x =+所表示的曲线是 练习：1.6=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆2.10=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆3.10=成立的充要条件是（ ）A.2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 221925x y +=4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线例1.方程2211625x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆22221x y a b+=共焦点的椭圆可设其方程为222221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2214x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题例1. 已知椭圆2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；例2.题型四.椭圆的几何性质例 1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为例 2.椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例3.若椭圆22114x y k +=+的离心率为12，则k = ； 例 4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且01215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为题型五.求范围例1.方程22221(1)x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；题型六.椭圆的第二定义的应用例1. 方程2x y =++所表示的曲线是 例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例3.椭圆221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52，那么P 到右焦点的距离为例4．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结知识点梳理： 1. 椭圆定义：第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a?|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为椭圆;; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P 的轨迹不存在; 当PF1?PF2?2a?F1F2时, P的轨迹为以F1、F2为端点的线段椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0?e?1)的点的轨迹为椭圆. 2.椭圆的方程与几何性质: y2x2x2y2标准方程??1(a?b?0) ??1(a?b?0)a2b2a2b2 性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性离心率a2?b2?c2 (c,0),(?c,0)(0,c),(0,?c) 2c |x|?a,|y|?b (?a,0),(a,0),(0,?b),(0,b) |y|?a,|x|?b (0,?a),(0,a),(?b,0),(b,0) 关于x轴、y轴和原点对称ce??(0,1) a准线a2x?? ca2y??c 考点1 椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例 1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况:(1)A?C?A,此时小球经过的路程为2(a－c); (2)A?B?D?B?A, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A?P?B?Q?A此时小球经过的路程为4a,故选D 总结：考虑小球的运行路径要全面练习2的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B3两点，则△ABF2的周长为[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12 C A O y P D B x Q 1.短轴长为5，离心率e?x2y2??1上的一点，M,N分别为圆(x?3)2?y2?1和圆2.已知P 为椭圆2516(x?3)2?y2?4上的点，则PM?PN的最小值为A．5 B．7 C ．13D．15 |PC|?|PD|?10，PM?PN的最[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，?小值为10-1-2=7 题型 2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来x2y2x2y2[解析]设椭圆的方程为2?2?1或2?2?1(a?b?0)，abbab?c??则?a?c?4(2?1)，?a2?b2?c2?x2y2x2y2?1或??1. 解之得：a?42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为?32161632总结：准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系．［警示］易漏焦点在y轴上的情况．练习： 3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________. x2y22[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k22kk又k>0，∴0 4.已知方程x2cos??y2sin??1,??(0,?),讨论方程表示的曲线的形状?[解析]当??(0,)时，sin??cos?，方程表示焦点在y轴上的椭圆，4?当??时，sin??cos?，方程表示圆心在原点的圆，4??当??(,)时，sin??cos?，方程表示焦点在x轴上的椭圆425. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程. 2??a?c?3x2yx2y2?a?23??[解析] ?，?b?3，所求方程为+=1或+=1. 129129??a?2c?c?3 考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率[例 3 ] 在△ABC 中，?A?300,|AB|?2,S?ABC?3．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e?．【解题思路】条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率[解析] S?ABC?1|AB|?|AC|sinA?3，2?|AC|?23，|BC|?|AB|2?|AC|2?2|AB|?|AC|cosA?2e?|AB|23?1 ??|AC|?|BC|23?22总结：离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定只要列出a、b、c 的齐次关系式，就能求出离心率“焦点三角形”应给予足够关注练习6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为1532 A. B. C. D. 2422[解析]选 B x2y2?1的离心7.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆?mn率为?2n?2m?n?m?2x2y22?22?1的离心率为[解析]?n?mn??，椭圆?mn2?n?4?mn?0?题型2:椭圆的其他几何性质的运用x2y2?1,求x2?y2?x的最大值与最小值[例4 ] 已知实数x,y满足?42【解题思路】把x2?y2?x看作x 的函数1x2y2?1得y2?2?x2, [解析] ?242?2?12x?0??2?x?2 2113?x2?y2?x?x2?x?2?(x?1)2?,x?[?2,2] 2223当x?1时,x2?y2?x取得最小值,当x??2时,x2?y2?x取得最大值6 2练习x2y29.已知点A,B是椭圆2?2?1上两点,且AO??BO,则?= mn [解析] AO??BO知点A,O,B共线,因椭圆关于原点对称,????1 x2y210.如图，把椭圆??1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭2516圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点则________________PF?P?P12F?PF34F?P5F?P6F?P7F?［解析］椭圆的对称性知：P1F?P7F?P2F?P6F?P3F?P5F?2a?35 ．考点3 椭圆的最值问题x2y2??1上的点到直线l:x?y?9?0的距离的最小值为[例 5 ]椭圆169___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(4cos?,3sin?). 那么点P到直线l的距离为：|4cos??3sin??12|12?12?2|5sin(???)?9|?22. 2总结：也可以直接设点P(x,y)，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想” 练习：x2y2?1的内接矩形的面积的最大值为11.椭圆?169[解析]设内接矩形的一个顶点为(4cos?,3sin?)，矩形的面积S?48sin?cos??24sin2??24 x2y212. P是椭圆2?2?1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，求|PF1|?|PF2|的ab最大值与最小值。

椭圆题型归纳一、知识总结1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。

3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。

长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2．6.离心率7.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

考点39 椭圆一、选择题1.（2014·福建高考文科·Ｔ12）在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （ ）【解题指南】本题是新定义问题，考查学生分析问题、解决问题的能力．【解析】选A.以线段12F F 的中点为坐标原点，12F F 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系． 不妨设12(,0),(,0),(,)F c F c P x y -，则0c >．由题意2x c y x c y a +++-+=（2a 为定值），整理得22x c x c y a ++-+=．当x c ≤-时，方程化为222x y a -+=，即y x a =+，即,0,0y x a y y x a y =+≥⎧⎨=--<⎩．当x c ≥时，方程化为222x y a +=，即y x a =-+，即,0,0y x a y y x a y =-+≥⎧⎨=-<⎩．当c x c -<<时，方程化为222c y a +=，即y c a =-+．所以A 图象符合题意．2.（2014·福建高考理科·Ｔ9）．设Q P ,分别为圆()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C. 27+D.26【解题指南】两动点问题，可以化为一动一静，因此考虑与圆心联系． 【解析】D.圆心M (0,6)，设椭圆上的点为(,)Q x y ， 则22222(6)1010(6)91246MQ x y y y y y =+-=-+-=--+当2[1,1]3y =-∈-时，max 52MQ =max 52262PQ == 二、填空题3. （2014·辽宁高考文科·Ｔ1５）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ1５）相同已知椭圆22:194x y C +=，点M 与点C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在C 上，则___AN BN +=【解析】根据题意，椭圆的左右焦点为12(F F ，由于点M 的不确定性，不妨令其为椭圆的左顶点(3,0)M -,线段MN 的中点为椭圆的上顶点(0,2)H ，则M 关于C的焦点的对称点分别为(3,0),3,0)A B -，而点(3,4)N ， 据两点间的距离公式得12AN BN +==答案：12【误区警示】 在无法明确相关点的具体情况的时候，可以取特殊情形处理问题。