第7章第8节 机械能守恒定律

第七章机械能守恒定律第1节追寻守恒量第2节功一、功的公式W＝Flcos α的基本应用例1质量m＝3 kg的物体，受到与斜面平行向下的拉力F＝10 N，沿固定斜面下滑距离l＝2 m，斜面倾角θ＝30°，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝33.求各力对物体所做的功，以及力对物体所做的总功．(g取10 m/s2)二、有关摩擦力的功的计算例2如图所示的水平传送装置，AB间距为l，传送带以速度v匀速运转．把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求从A到B的过程中，摩擦力对零件所做的功．三、变力做功问题例3如图所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力Ff的大小不变，求摆球从A运动到竖直位置B时，重力mg、绳的拉力FT、空气阻力Ff各做了多少功？1.伽利略的斜面实验反映了一个重要的事实：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地到达同它出发时相同高度的点，决不会更高一点，也不会更低一点．这说明，小球在运动过程中有一个“东西”是不变的，这个“东西”应是()A．弹力B．势能C．速度D．能量2．下列关于做功的说法中正确的是()A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功D．只要物体受力，又在力的方向上发生位移，则力一定对物体做功3．如图所示，木块A放在木块B的左上端，用恒力F拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做的功为W1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，F做的功为W2，比较两次做功，可能是()A．W1<W2B．W1＝W2C．W1>W2D．无法比较4．人以20 N的恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0 m，人放手后，小车还前进了2.0 m 才停下来，则小车在运动过程中，人的推力所做的功为()A．100 J B．140 JC．60 J D．无法确定5.质量是2 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受拉力F作用沿水平面做匀变速运动，物体运动的速度—时间图象如图所示，若物体受摩擦力为10 N，则下列说法正确的是( ) A．拉力做功150 JB．拉力做功100 JC．摩擦力做功250 JD．物体克服摩擦力做功250 J6．如图所示，在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F1＝3 N和F2＝4 N的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10 m，求：(1)F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？(2)F1和F2合力为多大？合力做功是多少？7.如图所示，磨杆长为L，在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F，求杆绕轴转动一周的过程中力F所做的功．8．如图所示，是一个物体受到的力F与位移l的关系图象，由图象求力F对物体所做的功．题型①功的正负判断及计算如图所示，质量m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平面成θ＝37°，大小F ＝10 N的拉力作用，物体移动了l＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2.求：(1)拉力F所做的功W1.(2)摩擦力Ff所做的功W2.(3)重力G所做的功W3.(4)弹力FN所做的功W4.(5)合力F合所做的功W.题型②摩擦力做功的特点质量为M的长木板放在光滑水平地面上，如图所示．一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A端滑到B点，在木板上前进的距离为L，而木板前进的距离为x，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求：(1)摩擦力对滑块所做的功多大？(2)摩擦力对木板所做的功多大？题型③变力做功的计算如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中：(1)拉力F做的功．(2)重力mg做的功．(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功．1.如图所示，电动小车沿斜面从A匀速运动到B，则在运动过程中()A．动能减少，势能增加B．动能不变，势能增加C．动能减少，势能不变D．动能不变，势能减少2．下列说法正确的是()A．功是矢量，正、负表示方向B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功C．力对物体做正功还是负功，取决于力和位移的方向关系D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量3．关于摩擦力对物体做功，下列说法中正确的是()A．滑动摩擦力总是做负功B．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功C．静摩擦力对物体一定做负功D．静摩擦力对物体总是做正功4．如图所示，在加速向左运动的车厢中，一个人用力沿车前进的方向推车厢，已知人与车厢始终保持相对静止，那么人对车厢做功的情况是()A．做正功B．做负功C．不做功D．无法确定5．如图所示，重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于木板始终保持静止，关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是() A．摩擦力对重物做正功B．摩擦力对重物做负功C．支持力对重物不做功D．支持力对重物做正功6．如图所示，质量为m的物体，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是()A．如果物体做加速直线运动，F一定对物体做正功B．如果物体做减速直线运动，F一定对物体做负功C．如果物体做匀减速直线运动，F也可能对物体做正功D．如果物体做匀速直线运动，F一定对物体做正功7．下列哪些情况中力做的功为零()A．向上抛出一物体，上升过程中，重力对物体做的功B．卫星做匀速圆周运动时，卫星受到的引力对卫星所做的功C．汽车加速前进时，车厢底部对货物的支持力所做的功D．汽车加速前进时，车厢底部对货物的摩擦力所做的功8.质量为1 500 kg的汽车在平直的公路上运动，v—t图象如图9所示．由此可求( )A．前25 s内汽车的平均速度B．前10 s内汽车的加速度C．前10 s内汽车所受的阻力D．15～25 s内合外力对汽车所做的功9．如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F开始提升原来静止的质量为m＝10 kg的物体，以大小为a＝2 m/s2的加速度匀加速上升，求前3 s内力F做的功．(g取10 m/s2)10．如图所示，水平传送带以速度v＝6 m/s顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上，已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，在物体由M处传送到N处的过程中，传送带对物体的摩擦力做了多少功？(g取10 m/s2)11．如图所示，质量为m的物体以一定初速度v0滑上斜面，上滑到最高点后又沿原路返回．已知斜面倾角为θ，物体与斜面的动摩擦因数为μ，上滑的最大高度为h.则物体从开始滑上斜面到滑回到原出发点的过程中，重力做功是多少？摩擦力做功是多少？第3节功率一、功率的计算例1一台起重机从静止起匀加速地将质量m＝1.0×103kg的货物竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4.0 m/s.求起重机在这2 s内的平均输出功率及2 s末的瞬时功率．(g＝10 m/s2)二、有关功率和速度的问题例2为了响应国家的“节能减排”号召，某同学采用了一个家用汽车的节能方法．在符合安全行驶要求的情况下，通过减少汽车后备箱中放置的不常用物品和控制加油量等措施，使汽车负载减少．假设汽车以72 km/h的速度匀速行驶时，负载改变前、后汽车受到的阻力分别为2 000 N和1 950 N．请计算该方法使汽车发动机输出功率减少了多少？三、关于机车的启动分析例3质量为10 t的汽车，额定功率为5.88×104 W，在水平路面上行驶的最大速度为15 m/s，则汽车所受的最大阻力是多少？当车速为10 m/s时，汽车的加速度是多大？1.关于功率公式P＝Wt和P＝Fv的说法正确的是()A．由P＝Wt知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率B．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率C．从P＝Fv知汽车的功率与它的速度成正比D．从P＝Fv知当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比2．质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是()A ．at 即为汽车额定功率下的速度最大值B ．at 还不是汽车额定功率下速度最大值C ．汽车的额定功率是ma 2tD ．题中所给条件求不出汽车的额定功率3．一质量为m 的木块静止在光滑的水平面上，从t ＝0开始，将一个大小为F 的水平恒力作用在该木块上，在t ＝t 1时刻力F 的功率是 ( )A.F 22m t 1B.F 22m t 21C.F 2m t 1D.F 2mt 21 4．一汽车在水平公路上行驶，设汽车在行驶过程中所受阻力不变．汽车的发动机始终以额定功率输出，关于牵引力和汽车速度的下列说法中正确的是 ( )A ．汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大B ．汽车加速行驶时，牵引力增大，速度增大C ．汽车加速行驶时，牵引力减小，速度增大D ．当牵引力等于阻力时，速度达到最大值5．质量为m 的物体沿直线运动，只受到一个力F 的作用．物体的位移l 、速度v 、加速度a 和F 对物体做功功率P 随时间变化的图象如图所示，其中不可能的是 ()6．质量为m ，发动机的额定功率为P 0的汽车沿平直公路行驶，当它的加速度为a 时，速度为v ，测得发动机的实际功率为P 1，假设运动中所受阻力恒定，则它在平直公路上匀速行驶的最大速度是 ( )A ．v B.P 1maC.P 0v P 1－mavD.P 1v P 0－mav7．将一质量为m 的物体从离地面h 处，以速度v 0水平抛出，求物体从抛出到落地过程中重力的功率和在物体刚要落地时重力的功率(不计空气阻力)．8．医生用20 N 的力将5 mL 药液在30 s 的时间内注入病人的体内，若活塞的横截面积是1 cm 2，试计算医生对活塞做功的平均功率是多大？题型 ① 瞬时功率和平均功率的计算如图1所示，质量为m ＝2 kg 的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g ＝10 m/s 2，求：(1)前2 s 内重力做的功． (2)前2 s 内重力的平均功率． (3)2 s 末重力的瞬时功率．题型 ② 功率和速度的关系铁路提速，要解决许多技术问题．通常，列车阻力与速度平方成正比，即Ff ＝kv 2.列车要跑得快，必须用大功率的机车来牵引．试计算列车分别以120 km/h 和40 km/h 的速度匀速行驶时，机车功率大小的比值．拓展探究 一质量为m 的汽车，它的发动机的额定功率为P ，沿一倾角为α的坡路向上行进，设坡路足够长，摩擦阻力是汽车重力的k 倍，汽车在上坡过程中最大速度为 ( )A.P mgsin αB.Pcos αmgC.P mg (k ＋sin α)D.P mgk题型 ③ 机车的启动问题一汽车额定功率为100 kW ，质量为1.0×104 kg ，设阻力恒为车重的k ＝0.1倍．(1)若汽车保持恒定功率运动，求运动的最大速度．(2)若汽车以0.5 m/s 2匀加速运动，求其匀加速运动的最长时间．拓展探究 (1)在上例中保持额定功率运动，当汽车速度为5 m/s 时，运动的加速度是多大？ (2)汽车从静止开始能保持加速度a 做匀加速运动的最长时间为tm ，此后汽车的运动情况是( ) A ．加速度为零，速度恒定B ．加速度逐渐减小直到为零，速度逐渐增大直到最大值后保持匀速C ．加速度逐渐减小，直到为零，速度也逐渐减小直到为零D ．加速度增大到某一值后不变，速度逐渐增大直到最后匀速1.关于功和功率，下列说法正确的是 ( )A ．不同物体做相同的功，它们的功率一定相同B ．物体做功越多，它的功率就越大C ．物体做功越快，它的功率就越大D ．发动机的额定功率与实际功率可能相等，也可能不相等2．同一恒力按同样的方式施于物体上，使它分别由静止开始沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同的一段距离，恒力做的功和平均功率分别为W 1、P 1和W 2、P 2，则两者的关系是( )A ．W 1>W 2，P 1>P 2B ．W 1＝W 2，P 1<P 2C ．W 1＝W 2，P 1>P 2D ．W 1<W 2，P 1<P 23．提高物体(如汽车)运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减小阻力因数(设介质阻力与物体运动速率的平方成正比，即F 阻＝kv 2，k 是阻力因数)．当发动机的额定功率为P 0时，物体运动的最大速率为vm ，如果要使物体运动速率增大到2vm ，则下列方法可行的是( )A ．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到2P 0B ．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到k4C ．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到8P 0D ．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到k84．一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s 内做匀加速直线运动，5 s 末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v —t 图象如图2所示．已知汽车的质量为m ＝2×103 kg ，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，则( )A ．汽车在前5 s 内的牵引力为4×103 NB ．汽车在前5 s 内的牵引力为6×103 NC ．汽车的额定功率为60 kWD ．汽车的最大速度为30 m/s5．雨滴在空中运动时所受阻力与其速度的平方成正比，若有两个雨滴从高空中落下，其质量分别为m 1、m 2，至落到地面前均已做匀速直线运动，此时重力的功率之比为( )A ．m 1∶m 2 B.m 1∶m 2C.m 2∶m 1D.m 31∶m 326．如图3所示，质量相同的两物体处于同一高度，A 沿固定在地面上的光滑斜面下滑，B 自由下落，最后到达同一水平面，则( )A ．重力对两物体做功相同B ．重力的平均功率相同C ．到达底端时重力的瞬时功率P A <P BD ．到达底端时两物体的动能相同，速度相同7．大地震，破坏性巨大，山崩地裂，房屋倒塌，道路中断，给抗灾抢险工作带来很大难度，大型机械一旦进入现场，其作用非常巨大．一起重机由静止开始匀加速竖直提起质量为m 的重物，当重物的速度为v 1时，起重机的有用功率达到最大值P ，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度匀速上升为止，重力加速度为g ，空气阻力不计．(1)试对重物上升的整个过程进行运动性质分析． (2)求钢绳的最大拉力为多大？ (3)求重物的最大速度为多大？8．滑板运动是一项非常刺激的水上运动．研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力FN 垂直于板面，大小为kv 2，其中v 为滑板速率(水可视为静止)．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时(如图所示)，滑板做匀速直线运动，相应的k ＝54 kg/m ，人和滑板的总质量为108 kg ，试求(g 取10 m/s 2，sin 37°＝35，忽略空气阻力)：(1)水平牵引力的大小． (2)滑板的速率．(3)水平牵引力的功率．9．随着我国汽车行业的不断发展壮大，汽车逐步走入城市和少数农村家庭，但是拖拉机以其独有的特点在广大的农村乡镇，田间地头还是经常见到．假如某台拖拉机的输出功率是2.72×104 W ，已知拖拉机三个挡的速度分别为36 km/h 、46 km/h 和54 km/h ，则(1)拖拉机在采用这三个挡的速度时的牵引力各为多大？ (2)由上面的计算分析，拖拉机与普通汽车相比有何特点？(3)由上面的计算，给驾驶拖拉机的农民朋友提一条合理的建议．第4节 重力势能一、重力做功问题例1 在高处的某一点将两个重力相同的小球以相同速率v 0分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是(不计空气阻力) ( )A ．从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等B ．从抛出到刚着地，重力分别对两球做的功都是正功C ．从抛出到刚着地，重力对两球的平均功率相等D ．两球刚着地时，重力的瞬时功率相等 二、重力势能及其变化的理解 例2 如图所示，桌面距地面的高度为0.8 m ，一物体质量为2 kg ，放在距桌面0.4 m 的支架上，则(g 取10 m/s 2)(1)以桌面为零势能参考面，计算物体具有的重力势能，并计算撤去桌面及支架后物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？(2)以地面为零势能参考面，计算物体具有的重力势能，并计算撤去桌面及支架后物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？(3)比较以上计算结果，说明什么问题？三、重力做功与重力势能的变化关系例3 起重机以g4的加速度，将质量为m 的物体匀减速地沿竖直方向提升h 高度，则起重机钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做功为多少？物体的重力势能变化了多少？(空气阻力不计)1.如图所示， A 点距地面高为h ，B 点在地面上，一物体沿两条不同的路径ACB 和ADB 由A 点运动到B 点，则( )A ．沿路径ACB 重力做的功多一些 B ．沿路径ADB 重力做的功多一些C ．沿路径ACB 和路径ADB 重力做的功一样多D ．无法判断沿哪条路径重力做的功多一些 2．关于重力势能，下列说法中正确的是( )A ．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B ．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C ．一个物体的重力势能从－5 J 变化到－3 J ，重力势能减少了D ．重力势能的减少量等于重力对物体做的功3．下列关于重力做功及重力势能的说法中，正确的是( )A ．两物体A 、B ，A 的高度是B 的2倍，那么A 的重力势能也是B 的2倍B ．如果考虑空气阻力，从某一高度下落一物体到达地面，物体重力势能的减少要比无阻力自由下落时重力势能减少得少C ．重力做功的多少，与参考平面的选取无关D ．相对不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但这并不影响研究有关重力势能的问题4．利用超导材料和科学技术可以实现磁悬浮．若磁悬浮列车的质量为20 t ，因磁场间的相互作用而浮起的高度为 100 mm ，则该过程中磁悬浮列车增加的重力势能为( )A ．20 JB ．200 JC ．2.0×104 JD ．2.0×107 J5．甲、乙两个物体的位置如图7－4－6所示， 质量关系m 甲<m 乙，甲在桌面上，乙在地面上，若取桌面为零势能面，甲、乙的重力势能分别为E p1、E p2，则有( )A ．E p1>E p2B ．E p1<E p2C ．E p1＝E p2D ．无法判断6．一只100 g 的球从1.8 m 的高处落到一个水平板上又弹回到1.25 m 的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g ＝10 m/s 2)( )A ．重力做功为1.8 JB ．重力做了0.55 J 的负功C ．物体的重力势能一定减少0.55 JD ．物体的重力势能一定增加1.25 J7.面积很大的水池，水深为H ，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a ，密度为水的12，质量为m ，开始时，木块静止，有一半没入水中．如图7－4－7所示，现用力F 将木块缓慢地压到池底，不计摩擦．求从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量.题型 ① 重力做功的特点问题如图所示，质量为m 的小球从高为h 的斜面上的A 点滚下经水平面BC 后，再滚上另一斜面，当它到达h3处的D 点时，速度为零，此过程中重力做的功是多少？拓展探究 将一个物体由A 移至B ，重力做功( ) A ．与运动过程中是否存在阻力有关 B ．与物体沿直线或曲线运动有关C ．与物体做加速、减速或匀速运动有关D ．与物体初末位置的高度差有关题型 ② 重力势能以及重力势能的变化问题如图所示，质量为m 的小球，从离桌面H 高处由静止下落，桌面离地高度为h.若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是( )A ．mgh 减少mg(H －h)B ．mgh 增加mg(H ＋h)C ．－mgh 增加mg(H －h)D ．－mgh 减少mg(H ＋h)拓展探究 上题中，若以地面为参考面结果如何呢？题型 ③ 重力做功与重力势能的改变之间的关系如图所示，总长为2 m 的光滑匀质铁链，质量为10 kg ，跨过一光滑的轻质定滑轮．开始时铁链的两端相齐，当略有扰动时某一端开始下落，求：从铁链刚开始下落到铁链刚脱离滑轮这一过程中，重力对铁链做了多少功？重力势能如何变化？(g 取10 m/s 2)拓展探究 一根均匀的直棒水平放在地面上，将它垂直立起时O 端不滑动，如图所示，若棒的质量为m ，棒长为l ，则棒被垂直立起时外力做功至少为多少？重力做功为多少？重力势能如何变化？1.如图所示，某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A 点滚到了山脚下的B 点，高度标记如图所示，则下列说法正确的是( )A ．从A 到B 的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功 B ．从A 到B 过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功C ．从A 到B 重力做功mg(H ＋h)D ．从A 到B 重力做功mgH2．关于重力势能，下列说法中正确的是( ) A ．重力势能的大小只由重物本身决定 B ．重力势能恒大于零C ．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零D ．重力势能实际是物体和地球所共有的3．要将一个质量为m 、边长为a 的匀质正立方体翻倒，推力对它做功至少为 ( )A.2mgaB.2mga2C ．(2＋1)mga 2D ．(2－1)mga24．有关重力势能的变化，下列说法中正确的是( )A ．物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1 J ，但物体重力势能的增加量有可能不是1 JB ．从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化是相同的C ．从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的D ．物体运动中重力做功是－1 J ，但物体重力势能的增加量不是1 J5．运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是( )A．阻力对系统始终做负功B．系统受到的合外力始终向下C ．重力做功使系统的重力势能增加D ．任意相等的时间内重力做的功相等6．一条长为l 、质量为m 的匀质轻绳平放在水平地面上，在缓慢提起全绳的过程中，设提起前半段绳人做的功为W 1，提起后半段绳人做的功为W 2，则W 1∶W 2等于( )A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶47．如图所示， 在光滑的桌面上有一根均匀柔软的质量为m 、长为l 的绳，其绳长的14悬于桌面下，从绳子开始下滑至绳子刚好全部离开桌面的过程中，重力对绳子做的功为多少？绳子重力势能变化如何？(桌面离地高度大于l.)8．如图所示，杆中点有一转轴O ，两端分别固定质量为2m 、m 的小球a 和b ，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a 和b 构成的系统的重力势能如何变化，变化了多少？9．如图所示， 有一连通器，左右两管的横截面积均为S ，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h.若打开底部中央的阀门K ，液体开始流动，最终两液面相平．在这一过程中，液体的重力势能变化了多少？答案 重力势能减少了14ρgSh 2第5节 探究弹性势能的表达式一、弹性势能的理解例1 关于弹性势能，下列说法中正确的是 ( ) A ．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能 B ．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变 C ．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D ．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关 二、弹力做功的计算例2 弹簧原长L 0＝15 cm ，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到L 1＝20 cm 时，作用在弹簧上的力为400 N ，问：(1)弹簧的劲度系数k 为多少？ (2)在该过程中弹力做了多少功？ (3)弹簧的弹性势能变化了多少？三、重力势能和弹性势能例3 在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为m 的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F ，使木块缓慢向下移动h ，力F 做功W 1，此时木块再次处于平衡状态，如图7－5－5所示．求：(1)在木块下移h 的过程中重力势能的减少量． (2)在木块下移h 的过程中弹性势能的增加量．1.关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是 ( ) A ．弹簧的弹性势能跟拉伸(或压缩)的长度有关 B ．弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关C ．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大D ．弹性势能的大小跟使弹簧发生形变的物体有关2．关于弹性势能和重力势能，下列说法不正确的是( )A ．重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能属于发生弹性形变的物体B ．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的C ．重力势能和弹性势能都是相对的D ．重力势能和弹性势能都是状态量3．如图7－5－6所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F 作用下缓慢拉伸了l.关于拉力F 随伸长量l 的变化图线，下图中正确的是( )4．在一次演示实验中，一压紧的弹簧沿一粗糙水平面射出一小球，测得弹簧压缩的距离d 和小球在粗糙水平面滚动的距离l 的数据如下表所示．由此表可以归纳出小球滚动的距离l跟弹簧压。

讨论
下列各物理量中，与参照系有关的物理量
是哪些？ （不考虑相对论效应）
1）质量
2）动量
3）冲量
4）动能
5）势能
6） 功
答：动量、动能、功.
1 动量定理
t2 t1
Fdt

p2

p1

mv2
mv1
2 动量守恒定律


F ex Fiex 0
i
p pi
i
3 动能定理
FN
h
P sin
Pcos
P
已知 h 50m , 0.050, s' 500m , 求 s .
解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得
Wf E2 E1
Wf mg cos s'mgs mg (s's)
又
E2 E1 mgh
s'
C
D
C
D
A
B
A
B
例 1 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由 静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m. 雪橇滑至山下 点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C 处.若摩擦因数为0.050 .求此雪橇沿水平冰道滑行的路 程.(点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力.)
s'
Ff
1 2
m1v120

1 2
m2v220

1 2
m1v12

1 2
m2v22
m1 v10 m2 v20
AB v1 v2
m1(v120 - v12 ) m2 (v22 v220 )
AB

机械能守恒定律机械能守恒定律（1）机械能包括动能、重力势能和弹性势能. 其中，重力势能的大小和零势面的选取有关，可正可负，是个标量；弹性势能是物体由于发生形变而具有的能，如果一个弹簧的形变量不变，那么它的弹性势能也不变.（2）机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变.k p k p E E E E ''+=+，或k p E E ∆=∆（3）机械能守恒定律的应用①条件：对某一物体，若只有重力（或弹簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体机械能守恒；对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有化为其他形式的能，则系统机械能守恒．②判断机械能守恒：若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，则机械能守恒；若物体或系统中只有动能和势能的相互转化，则机械能守恒；物体间发生非弹性碰撞（除特别说明）时，机械能不守恒.③机械能守恒定律与动能定理的比较：机械能守恒定律反映的是物体初末状态的机械能间的关系，这种守恒是有条件的；动能定理反映了物体动能变化与合外力做功的关系，这个关系总是成立的.④应用机械能守恒定律时，要先明确研究对象，根据研究对象经过的物理过程，进行受力和做功分析，判断机械能是否守恒，若守恒，再恰当地选取参考平面，确定研究对象在初末态的机械能，最后列方程求解. ⑤重力做了多少功，物体的重力势能就改变了多少，即G p W E =-.⑥若机械能不守恒，那么除了重力及系统内弹力之外的其它力所做的功就是机械能的改变量.【诊断自测】1. 朝诗人杜甫的《登高》中有这样两句诗：“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。

”从物理学的角度来说，“落木萧萧下”的过程是 能转化为 能；而“滚滚来”的长江水蕴含丰富的 能。

2. 如图所示，长为L 的匀质链条，对称地悬挂在光滑的小滑轮上.若链条因受到微扰而滑动，则链条刚脱离滑轮时的速度为 。

第七章 机械能守恒定律及其守恒7.1 追寻守恒量举出生活中的一个例子，说明不同形式的机械能之间可以相互转化. 你的例子是否向我们提示，转化过程中能的总量保持不变？答:做自由落体运动的物体在下落过程中，势能不断减少，动能不断增加，在转化的过程中，动能和势能的总和不变.7.2 功1. 图7.2-8表示物体在力F 的作用下在水平面上发生了一段位移x ，分别三种情形下力F 对物体做的功. 设这三种情形下力F 和位移x 的大小都是一样的；F=10N ，x=2m. 角θ的大小如图所示.17.32J －17.32J 17.32J2. 用起重机把重量为2.0×104N 的物体匀速地提高了5m ，钢绳的拉力做了多少功？重力做了多少功？物体克服重力做了多少功？这些力做的总功是多少？拉力做功W 1＝－1×105 J ，重力做功W 2＝－1×105J ，物体克服重力功1×105J ，总功是0J3. 一位质量m=60kg 的滑雪运动员从高h=10m 的斜坡自由下滑. 如果运动员在下滑过程中受到的阻力F=50N ，斜坡的倾角θ=300，运动员滑至坡底的过程中，所受的几个力做的功各是多少？这些力做的总功是多少？重力做功:6.0×103J 支持力做功:0 阻力做功:－1.0×103J 总功:5.0×103J.4. 一个 重量为10N 的物体，在15N 的水平拉力作用下，一次在光滑水平面上移动0.5m ，另一次在粗糙水平面上移动相同的距离，粗糙面与物体间与物体间的动摩擦因数为0.2. 在这两种情况下，拉力做的功各是多少？拉力这两次做的功是否相同？各个力对物体做的总功是否相同？θ Fv乙θ＝30° θFv甲θ＝150°θ＝30°vF θ 图7.2-8解：在这两种情况下，物体所受拉力相同，移动的距离也相同，所以拉力所做的功也相同，为7.5J. 拉力做的功与是否有其他力作用在物体上没有关系，与物体的运动状态也没有关系. 光滑水平面上，各个力对物体做的总功为7.5J. 粗糙水平面上，各个力对物体做的总功为6.5N.7.3 功率1. 一台电动机工作时的功率是10kw ，要用它匀速提升2.7×104kg 的货物，提升的速度将是多大？3.7×10-2 m/s2. 一台抽水机每秒能把30kg 的水抽到10m 高的水塔上，如果不计额外功的损失，这台抽水机输出的功率是多大？如果保持这一输出功率，半小时内能做多少功？ 5.4×106J.3. 有一个力F,它在不断增大. 某人以此为条件，应用P=Fv 进行了如下推导. 根据P=Fv ，F 增大则P 增大；又根据F P v =，P 增大则v 增大；再根据vPF =，v 增大则F 减小. 这个人推导的结果与已知条件相矛盾. 他错在哪里？答：此人推导的前提不明确. 当F 增大，根据P ＝Fv 推出，P 增大的前提应是v 不变，从P v F=推出，P增大则v 增大的前提是F 不变，从P F v=推出，v 增大F 减小的前提是P 不变.4. 质量为m 的汽车在平直公路上行驶，阻力F 保持不变. 当它以速度v. 加速度a 加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在额定功率下工作. （1）汽车的加速度和速度将如何变化？说出理由. （2）如果公路足够长，汽车最后的速度是多大？解：（1）汽车的加速度减小，速度增大. 因为，此时开始发动机在额定功率下运动，即P ＝F 牵v . v 增大则F 牵减小，而F Fa m-=牵，所以加速度减小. （2）当加速度减小到零时，汽车做匀速直线运动，F牵＝F ，所以P v F=，此为汽车在功率P 下行驶的最大速度.7.4 重力势能1. 图7.4-8中的几个斜面，它们的高度相同. 倾角不同. 让质量相同的物体沿斜面从顶端运动到底端. 试根据功的定义计算沿不同斜面运动时重力做的功，以证明这个功与斜面的倾角无关.证明：设斜面高度为h ，对应于倾角为θ1. θ2. θ3的斜面长分别为l 1. l 2. l 3.由功的公式可知，在倾角为θ1的斜面，重力与位移的夹角为（12πθ-），重力所做的功为：WG ＝mg l 1cos （12πθ-）＝mg l 1sinθ1＝mgh. 同理可证，在倾角为θ2. θ3的斜面上，重力所做的功都等于mgh ，与斜面倾角无关.2. 如图7.4-9，质量为m 的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中达到的最高点2的高度为h.（1）足球由位置1运动到位置2时，重力做了多少功？足球克服重力做了多少功？足球的重力势能增加了多少？（2）足球由位置2运动到位置3时，重力做了多少功？足球重力势能减少了多少？ （3）足球由位置1运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能变化了多少？答：（1）足球由位置1运动到位置2时，重力所做的功为－mgh ，足球克服重力所做的功为mgh ，足球的重力势能增加了mgh.（2）足球由位置2运动到位置3时，重力做的功为mgh ，足球的重力势能减少了mgh. （3）足球由位置1运动到位置3时，重力做功为零，重力势能变化为零.123h图7.4-9图7.4-83. 如图7.4-10，质量m=0.5kg 的小球，从桌面以上高h 1=1.2m 的A 点下落到地面的B 点，桌面高h 2=0.8m. （1）在表格的空白外按要求填入数据.（2）如果下落时有空气阻力，表格中的数据是否应该改变？答：（1）所选择的参考平面 小球在A 点的重力势能 小球在B 点的重力势能 整个下落过程中小球重力做的功 整个下落过程中小球重力势能的变化 桌面 5.88J －3.92J 9.8J 9.8J 地面9.8J9.8J9.8J（2）如果下落过程中有空气阻力，表格中的数据不变.4. 以下说法是否正确？如果正确，说出一种可能的实际情况；如果不正确，说明这种说法为什么错.A. 物体受拉力作用向上运动，拉力做的功是1J ，但物体重力势能的增加量不是1J.B. 物体受拉力作用向上匀速运动，拉力做的功是1J ，但物体重力势能的增加量不是1J.C. 物体运动，重力做的功是-1J ，但物体重力势能的增加量不是1J.D. 没有摩擦时物体由A 沿曲线运动到B ，克服重力做的功大于1J.所选择的参考平面小球在A 点的重力势能小球在B 点的重力势能整个下落过程中小球重力做的功整个下落过程中小球重力势能的变化桌面 地面图7.4-10答：A 正确. 例如：物体在向上的拉力作用下，如果做匀加速直线运动，这时拉力的功大于重力势能的增加量. 如果物体做匀减速直线运动，这时拉力的功小于重力势能的减少量.B 错误. 物体匀速上升，拉力的大小等于重力，拉力的功一定等于重力势能的增加量.C 错误. 根据W G ＝E p1－E p2可知，重力做－1J 的功，物体势能的增加量为1J.D 错误. 重力做功只与起点和终点的位置有关，与路径无关，A. B 两点的位置不变，从A 点到B点的过程中，无论经过什么路径，重力的功都是相同的.7.7 动能和动能定理1. 改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变. 在下列几种情形下，汽车的动能各是原来的几倍？A. 质量不变，速度增大到原来的2倍.B. 速度不变，质量增大到原来的2倍.C. 质量减半，速度增大到原来的4倍.D. 速度减半，质量增大到原来的4倍.答：a ．动能是原来的4倍. b ．动能是原来的2倍. c ．动能是原来的8倍. d ．动能不变.2. 把一辆汽车的速度从10km/h 加速到20km/h ，或者从50km/h 加速到60km/h ，哪种情况做的功比较多？通过计算说明.解：由动能定理W ＝E k2－E k1＝22211()2m v v -可知，在题目所述的两种情况下，第二种情况增加的动能较大，需要做的功较多.速度由10km/h 加速到20km/h 的情况下：(2221v v -)＝（202－102）（km/s ）2＝300（km/s ）2 速度由50km/h 加快到60km/h 情况下：(2221v v -)＝（602－502）（km/s ）2＝1100（km/s ）2可见，后一种情况所做的功比较多.3. 质量是2g 的子弹，以300m/s 的速度射入厚度是5cm 的木板（图7.7-4），射穿后的速度是100m/s. 子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力是多大？你对题目中所说的“平均”一词有什么认识？解：设平均阻力为f ，根据动能定理W ＝22211122mv mv - ，有 f scos180°＝22211122mv mv -. f ＝1.6×103N ，子弹在木板中运动5cm 时，所受木板的阻力各处不同，题目所说的平均阻力是对这5cm 说的.4. 我们在第四章曾用牛顿运动定律解答过一个问题：民航客机机舱紧急出口的气囊是一条连接出口与地面的斜面，若斜面高3.2m ，斜面长6.5m ，质量60kg 的人沿斜面滑下时所受的阻力是240N ，求人滑至底端时的速度. 请用动能定理解答本题.42m/s≈5.66m/s5、运动员把质量是500g 的足球踢出后，某人观察它在空中的飞行情况，估计上升的最大高度是10m ，在最高点的速度为20m/s. 请你根据这个估计，计算运动员踢球时对足球做的功. 150J7.8 机械能守恒定律1. 如图7.8-6，质量为m 的小球从光滑曲面上滑下. 当它到达高度为h 1的位置A 时，速度的大小为v 1，滑到高度为h 2的位置B 时，速度的大小为v2. 在由高度h 1滑到高度h 2的过程中，重力做的功为W. （1）根据动能定理列出方程，描述小球在A. B 两点间动能的关系.（2）根据重力做功与重力势能的关系，把以上方程变形，以反映出小球运动过程中机械能是守恒的.（1）小球在从A 点下落至B 点的过程中，根据动能定理W ＝ΔE k ， mg(h 1－h 2)＝22211122mv mv -（2）由mg(h 1－h 2)＝22211122mv mv -，得：mgh 1+2112mv ＝mgh 2+2212mv等式左边表示物体在A 点时的机械能，等式右边表示物体在B 点时的机械能，小球从A 点运动到B 点的过程中，机械能守恒.2. 神舟号载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱的机械能是守恒的？ A. 飞船升空的阶段.B. 飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段.C. 返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段.D. 降落伞张开后，返回舱下降的阶段.答：A ．飞船升空的阶段，动力对飞船做功，飞船的机械能增加.B ．飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只有引力对飞船做功，机械能守恒.C ．飞船在空中减速后，返回舱与轨道分离，然后在大气层以外向着地球做无动力飞行的过程中，只有引力做功，机械能守恒.D ．进入大气层并运动一段时间后，降落伞张开，返回舱下降的过程中，空气阻力做功，机械能减少.3. 把质量为0.5kg 的石块 从10m 高处以300角斜向上方抛出（图7.8-7），初速度是v 0=5m/s. 不计空气阻力.（1）石块落地时的速度是多大？请用机械能守恒定律和动能定理分别讨论. （2）石块落地时的速度的大小与下列哪些量有关，与哪些量无关？说明理由.图7.8-6A. 石块的质量B. 石块初速度的大小C. 石块初速度的仰角D. 石块抛出时的高度解：（1）石块从抛出到落地的过程中，只有重力做功，所以机械能守恒. 设地面为零势能面，根据机械能守恒定律：2201122t mv mgh mv +=，得根据动能定理：W ＝E kt －E k0，即mgh ＝ 2201122t mv mv -，v t ＝202v gh +v t ＝15m/s（2）由v t ＝202v gh +知，石块落地时速度大小与石块初速度大小和石块抛出时的高度有关，与石块的质量和石块初速度的仰角无关.4. 有一种地下铁道，车站的路轨建得高些，车辆进站时要上坡，出站时要下坡，如图7.8-8. 设坡高h 为2m ，进站车辆到达坡下的A 点时，速度为25.2km/h ，此时切断电动机的电源，车辆能不能“冲”到坡上？如果能够，到达坡上的速度是多大？列车能冲上站台, 3m/s7.9 实验：验证机械能守恒定律1. 把质量是0.2kg 的小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A 的位置，如图7.9-3甲所示. 迅速松手后，弹簧把球弹起，球升至最高位置C （图丙），途中经过位置B 时弹簧正好于自由状态（图乙）. 已知B. A 的高度差为0.1m ，C. B 的高度差为0.2m ，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略. (1) 分别说出由状态甲至状态乙. 由状态乙至状态丙的能量转化情况. (2) 状态甲中弹簧的弹性势能是多少？状态乙中小球的动能是多少？答：（1）从状态甲至状态丙过程中，弹性势能逐渐减少，动能和重力势能逐渐增大，当弹簧对小球向上的弹力大小与小球所受重力大小相等时，小球动能最大. 之后，弹性势能和动能逐渐减小，重力势能逐渐增大，当弹簧恢复到自然长度时，弹性势能为0. 之后，重力势能仍然逐渐增大，动能逐渐减小，到达C 点时，动能减少到0，重力势能达到最大.小球从状态甲运动到状态丙的过程中，机械能守恒. 故状态甲中，弹簧的弹性势能 ()()0.2100.10.20.6p AB BC E mg h h =+=⨯⨯+= J（2）小球从状态乙到状态丙的过程中，动能逐渐减少，重力势能逐渐增大.小球从状态乙到状态丙的过程中，机械能守恒，所以小球在B 点的动能与小球在C 点的势能相等. 故小球在状态乙中的动能0.2100.20.4k BC E mgh ==⨯⨯= J2. 游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来（图7.9-4）. 我们把这种情形抽象为图7.9-5的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动. 实验发现，只要h 大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点. 如果已知圆轨道的半径为R ，h 至少要等于多大？不考虑摩擦等阻力.AB C甲乙 丙5R23、第五章第2节“问题与练习”第3题描述了一个实验. 实际做一做这个实验，用你当时得到的计算式计算钢球离开桌面的高度，按照机械能守恒定律计算钢球到达桌面的速度. 对比两种不同方法得到的速度值并尝试解释两者的差异.答：用平抛运动的知识测出的小球离开桌面时的速度要略大于小球从斜面上滚下的过程中用机械能守恒定律算出的速度，这是由于小球从斜面与桌面上运动时受到的摩擦阻力远大于小球做平抛运动时所受的空气阻力.7.10 能量守恒定律与能源1. 生活中的许多用品都可以看做能量转换器，它们把能量从一种形式转化为另一种形式. 请观察你家中的各种生活用品，分别指出它们工作时发生了哪些能量转化.答：家用电饭锅是把电能转化为内能；洗衣机是把电能转化为动能，等等.2. 三峡水力发电站是我国最大的水力发电站，平均水位落差约100m，水的流量约1.35×104m3/s. 船只通航需要约3500m3/s的流量，其余流量全部用来发电. 水流冲击全部用来发电. 水流冲击水轮机发电时，水流减少的机械能有20%转化为电能.（1）按照以上数据估算，三峡发电站的发电功率最大是多少？（2）根据你对家庭生活用电量的调查，如果三峡电站全部用于城市生活用电，它可以满足多少个百万人口城市的生活用电？（1）2.7×106kW (2)设三口之家每户的家庭生活用电功率为1kW，考虑到不是每家同时用1kW的电，我们平均每家同时用电0.5kW，则三峡发电站能供给＝5.8×106户用电，人口数为3×5.8×106＝17×106人，即可供17个百万人口城市的生活用电.3. 为了节约能源，从个人的角度讲，你能做些什么？从社会的角度讲，你能为决策者提出什么建议？。