2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. 1、当0x +→时，若ln (12)x α
+，1
(1cos )x α
-均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ）
（A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2
【答案】B
【考点】等价无穷小、高阶无穷小 【详解】
当0x +
→时，ln (12)~(2)x x αα
+，1
1
21(1cos )~2x x α
α??-
???
因为它们都是比x 高阶的无穷小，故12
,1>>α
α，即21<<α
2、下列曲线中有渐近线的是（ ）
（A ）sin y x x =+ （B ）2
sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2
1sin y x x
=+ 【答案】C
【考点】函数的渐近线 【详解】 关于C 选项：
()1sin
lim
lim 1
1
lim limsin 0
1
sin x x x x x y
x k x x y x x
y x y x
x
→∞
→∞
→∞→∞+===-==∴=+=存在斜渐近线 3、设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥
（B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≤时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≤时，()()f x g x ≤ 【答案】C
【考点】函数单调性的判别 【详解】 【解法一】
令)()()(x f x g x F -=
则)()1()0()(x f f f x F '-+-='
由拉格朗日中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()01()0()1(ξξf f f f '='-=- 即0)(='ξF
又因为)()(x f x F ''-=''
若0)(≤''x f ，则0)(≥''x F ，所以)(x F '单调递增， 当)(,0)(),,0(x F x F x <'∈ξ单调递减， 当)(,0)(),1,(x F x F x >'∈ξ单调递增，
又0)1(.0)0(==F F ，所以0)(≤x F ，即()()f x g x ≥，故选C 【解法二】
令2
)(x x f -=，则函数()f x 具有2阶导数，且0)(≤''x f 所以()(0)(1)(1)g x f x f x x =-+=- 当]1,0[∈x 时，()()f x g x ≥，故选C
4、曲线2
2
7,
41
x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A
（B
（C
）（D
）【答案】C
【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径 【详解】
22
2321
2
13
3222
2
33
22
2242222(24)8(2)2(2)3,1"1
(1')
(13)
1(13)10t t dy dy t dt dx dx t
dt
t t d y t dx t t dy d y dx dx y k y R k
==+==?-+-==∴==-∴=
=
++∴==+==Q
5、设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则2
2
lim
x x
ξ→=（ ）
（A ）1 （B ）
23 （C ）1
2
（D ）13
【答案】D
【考点】函数求导、函数求极限 【详解】
2
()arctan 1
1f x x x x ξ==+Q
. 2arctan arctan x x
x ξ-∴=.
2
2
23
0arctan arctan lim
lim
lim rctan x x x x x x x
x x a x x ξ→→→--∴==?
222220
01
111lim
lim 33(1)3
x x x x x x x →→-+===
+. 6、设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20u
x y ?≠??及
2222
0u u
x y ??+=??，则（ ） （A ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 （B ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得
（C ）(,)u x y 的最大值在D 的内部取得，(,)u x y 的最小值在D 的边界上取得 （D ）(,)u x y 的最小值在D 的内部取得，(,)u x y 的最大值在D 的边界上取得 【答案】A
【考点】二元函数极值的充分条件 【详解】
因为22220u u x y ??+=??，故22
u A x ?=?与22u
C y
?=?异号.又20u B x y ?=≠??， 则2
0AC B -<，所以函数(,)u x y 在区域D 内没有极值.
又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在D 的边界点取到.
7、行列式
0000000
a
b a b
c
d c d
=（ ）
（A ）2
()ad bc - （B ）2
()ad bc -- （C ）2
2
22
a d
b
c - （D ）22
2
2
b c a d - 【答案】B
【考点】分块矩阵的行列式运算、行列式的性质、行列式按行（列）展开定理
【解法一】
1323
200000000000
00
0000
00
00
0()()()a b b a b a a b a b d c c c r r c d
d c a b c d
c d
c d
b a a b b
c a
d ad bc ad bc d c c d
?-
?=?=--=--
故选B 【解法二】
21413323
2
0a 0000000
(1)0(1)00000
(1)(1)()
()b a b c d c d a b
a b
a c d
c b
d c d a b a b
a d c
b
c
d c d
a b a b ad
bc c d c d
a b
bc ad c d
ad bc ++++=?-+?-=-??--??-=-+=-=--
8、设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组
123,,ααα线性无关的（ ）
（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件
（D ）既非充分也非必要条件
【考点】向量组的线性相关性 【详解】
1231132231122123121213231323123123+k )()0++k )00+k ++k +100=0=1=0000l l k l l l αααλααλααλαλαλλαλλλλαααααααααααααα++=+=?==+=??????
? ? ?
? ? ?
? ? ???????
已知，，无关
设（即（从而，无关
反之，若，无关，不一定有，，无关例如，，，
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. 9、
1
21
25dx x x -∞=++? .
【答案】π8
3
【考点】无穷限的反常积分 【详解】
()1
1122111113arctan |[()]2522242814x dx dx x x x πππ-∞-∞-∞+===--=++++?? 10、设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f
【答案】1
【考点】一阶微分方程、周期函数 【详解】
()22
'2(1)[0,2]()2()(0)00()2[0,2]()4
(7)(3)(1)(1)(12)1
f x x x f x x x c f x f c f x x x x f x f f f f =-∈∴=-+∴=∴=∴=-∈∴==-=-=--=Q 又是奇函数
的周期为
11、设(,)z z x y =是由方程2227
4yz
e
x y z +++=
确定的函数，则11(,)22
dz = . 【答案】)(2
1
dy dx +-
【考点】隐函数求偏导、全微分 【详解】
221111(,)(,)22
22
11(,)22
11
,0
22
,(2)20(22)20
11
,22
1
()
2yz
yz x y z x y z z e y x x x z z e z y y y y z z x y dz dx dy ===????++=?????
???+++=????
??=-=-
??=-+当时，代入方程解得方程两边对分别求偏导得，解得：故
12、曲线L 的极坐标方程是r θ=，则L 在点(,)(,)22
r ππ
θ=处的切线的直角坐标方程
是 . 【答案】2
2
π
π
+
-
=x y
【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程 【详解】
把极坐标方程化为直角坐标方程
令cos cos sin sin x r y r θθθ
θθθ
==??
==?
2
sin cos cos sin 102
2
01
2
cos 02sin 2
2
()(0)
222
dy dy d dx dx d dy dx
x y y x y x πθθθθθθθθ
θπ
π
π
θθπθπ
θθπππ
π=+==
-+
?==--
?==??=?==??-=--=-+
则当时，则切线方程为:化简为: 13、一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度2
()21x x x ρ=-++，则该细棒的质心坐标x = . 【答案】
20
11 【考点】质心坐标 【详解】
质心横坐标公式：??=b a
b
a dx
x dx x x x )()(ρρ 所以：4321
2
123201121
()
(21)4320111201(21)()
30
x x x x x x dx x x x dx x x x -++-++===-++-++??
14、设二次型22
123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围
是 .
【答案】]2,2[-
【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】
二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠???
?
? ??-0221001，记特征值为321,,λλλ
则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 故二次型的负惯性指数为?1特征值1负2正或1负1正1零；
040
2
210012≤+-=-?a a
a ，即]2,2[-∈a
【解法二】
22123121323
222222113322332
222132332222
1232(,,)2424()(2)(4)(4)140[2,2]
f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x x ax x x a x y y a y a a =-++=++-+-=+--+-=-+--≥∈-若负惯性指数为，则，
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
求极限12
1
2[(1)]lim
1
ln(1)
x
t
x t e t dt x x
→+∞
--+?
【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
222((1))((1))(1)1lim
lim
lim lim (1)11
1ln(1)1111lim lim 22x
x
t
t
x
x x x x x t t x x t e t dt
t e t dt
x e x x e x
x x x x
e t e t x t t →∞
→∞→∞→∞→∞→∞------===--+?
---===??令
16、（本题满分10分）
已知函数()y y x =满足微分方程22
1x y y y ''+=-，且(2)0y =，求()y x 的极大值与极小值.
【考点】微分方程、函数的极值 【详解】
222
2
222233332
2'1'1'1
(1)(1),(1)(1)11
33
2
(2)03
112333
1'0,1
1
(,1),'0,(11),'0,(1+),'0,x y y y x y y y dy x dx y dy x dx y y x x c y c y y x x x y x y x y x y x y +=--∴=+∴+=-+=-∴+=-+=∴=
∴+=-+-===±+∈-∞-<∈->∈∞
所以函11(1)0,(1)1()1,0
x x y y y x =-=-==数在时取得极小值，在时取得极大值由函数方程解得：故：的极大值是极小值是
17、（本题满分10分）
设平面区域{}2
2
(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥
，计算D
.
【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】
积分区域D 关于y x =对称，利用轮对称行，
121sin(2D D D D
dxdy ==+=
??
222
011
22
1111sin()d cos()
2411cos()|cos()d 44113244
d r r r rd r r r r r πθππππ==-=-+=--=-
????
18、（本题满分10分）
设函数()f u 具有2阶连续导数，(cos )x
z f e y =满足22222(4cos )x x z z z e y e x y
??+=+??.
若(0)0f =，(0)0f '=，求()f u 的表达式.
【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程
【详解】 令y e u x
cos =
x
x x x
x x x x
x x x
e u u
f y e u f y e u f e y e z y
z
x z y e u f y e u f y z y e u f y z y e u f y e u f x z y e u f x z 222222222222222222])(4[sin )(cos )()cos 4(cos )(sin )(),sin ()(cos )(cos )(,cos )(+=?''+?''∴+=??+???'-?''=??-?'=???'+?''=???'=??∴Θ 即：u u f u f =-'')(4)(
对应的齐次微分方程的特征方程为：042
=-r 解得：2,221-==r r
故齐次微分方程的通解为：u u e C e C u f 2221)(-+=
设b au u f +=)(*
，则0)(,)(*
*="
='u f a u f ，
代入微分方程解得：0,41=-=b a ，即u u f 41)(*-= 故u e C e C u f x
x 4
1)(2221-+=-
所以u
u u u e C e C u f e C e C u f 2221222144)(,4
122)(--+=''--='
因为(0)0f =，(0)0f '=，代入解得：16
1
,16121-==C C
所以22111
()16164
x x f u e e u -=--
19、（本题满分10分）
设函数()f x ，()g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤. 证明：（Ⅰ）（I ）a x dt t g x
a
-≤≤?
)(0，],[b a x ∈；
（II ）
?
??≤+b
a
dt
t g a a
b
a
dx x g x f dx x f )()()()(
【考点】定积分中值定理、不等式的证明 【详解】
（I ）【解法一】
因为函数)(x g 在区间],[b a 上连续，且1)(0≤≤x g . 所以
???
≤≤x
a
x a
x
a
dt dt t g dt 1)(0
即a x dt t g x a
-≤≤
?
)(0
【解法二】
由定积分中值定理知：存在),(b a ∈ξ，使得)()()(ξg a x dt t g x
a
-=?
，
又因为],[b a x ∈时1)(0≤≤x g ， 所以)()()(0a x g a x -≤-≤ξ 即a x dt t g x
a
-≤≤
?
)(0
【解法三】
[][]11111222222()()()0'()()0(),()0()()'()()10()1'()0()()0,()0
x
a
x
a h x g t dt
h a h x g x h x x a b h x h x g t dt x a
h x g x g x h x h x h a x a b h x ===≥∴∴∈≥=-+=-≤≤∴≤∴=∴∈≤??Q 单调不减当时，单调不增又当时，
（II ）令()()()()()x
a x
a g t dt a
a
F x f u g u du f u du +
?=
-?
?
()'()()()[()]()()[()]()I (),()()[()]
'()0()0()0()()()b
a x
x
a
a x a
x
a b
a g t dt a a
F x f x g x f a g t dt g x f x f a g t dt g x a g t dt a x a x f x f x f a g t dt F x F x F a F b f x g x dx f x dx
+??∴=-+?=-+????
+≤+-=∴≥+∴≥∴=∴≥?≥?
?????
由（）知又单调增加单调不减又（）即
20、（本题满分11分） 设函数()1x
f x x
=
+，[0,1]x ∈.定义数列 1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，L ，1()(())n n f x f f x -=，L
记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞
.
【考点】定积分求面积、函数求极限 【详解】
1213222
(),()()11()(())121112()(())13112(),[0,1]111
()0(1)(1)()(0)=0()0[0,1]
n n n n n x
f x f x f x x
x
x
x f x f f x x x x x
x
x f x f f x x x x x
f x x nx
nx nx f x nx nx f x f f x x ==++∴===
++++∴===
++
+=∈++-'==>++∴∴≥∈Q Q Q 由归纳法知：单调递增
，，
1
120021111=(1)=ln(1)1111ln(1)
lim lim [ln(1)]1lim ln(1)1
1lim 1lim 1
1n n n n n x x x S dx dx n nx n nx n n
n nS n n n n n
x x
x →∞→∞→∞→∞→∞∴=--++++=-+=-+=-=-=+?
?
21、（本题满分11分） 已知函数(,)f x y 满足
2(1)f
y y
?=+?，且2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+--.求曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转所成旋转体的体积. 【考点】偏积分、隐函数、旋转体的体积 【详解】
由函数(,)f x y 满足
2(1)f
y y
?=+?可知：)(2),(2x y y y x f ?++= 又2
2
(,)2()(1)(2)ln f y y y y y y y y ?=++=+-- 所以()1(2)ln y y y ?=--
所以x x y x x y y x y y y x f ln )2()1(ln )2(12)(2),(2
2
2
--+=--++=++=? 令1+=y z ，则(,)0f x y =对应的曲线方程为：x x z ln )2(2
-=，定义域为]2,1[
则曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转，即x x z ln )2(2-=绕0=z 旋转，所成的旋转体体积
π
ππππ)4
5
2ln 2()412(ln )212()2
12(ln ln )2(2
1222
1
22
1
21
2-=?
??
???---=-
=-==???x x x x x x x xd xdx
x dx z V x
22、（本题满分11分）
设E A ,302111104321???
?
?
??----=为3阶单位矩阵.
（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B . 【考点】解线性方程组 【详解】
1234100()011101012030011205412301021310013141100126101021310013141A E --?? ?
=- ?
?-??--?? ?→--- ? ?--??-?? ?→--- ? ?---??
M M M M M M M M M M （I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为???????===-=44434
24132x x x x x
x x x ，即基础解系为???????
??-1321
（II ）????? ??=001Ax 的同解方程组为：???????+=-=-=+-=0131
2244
434241x x x x x x x x ，即通解为??????? ??--+??????? ??-011213211k
????? ??=010Ax 的同解方程组为：???????+=-=-=+-=0
433
26444342
41x x x x x x x x ，即通解为???????
??--+??????? ??-043613212k
????? ??=100Ax 的同解方程组为：???????+=+=+=--=0
131
21444342
41x x x x x x x x ，即通解为???????
??-+??????? ??-011113213k ，
123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--??
?--+ ?∴= ?--+ ???
，321,,k k k 为任意常数
23、（本题满分11分）
证明：n 阶矩阵???????
??111111111ΛM O M M Λ
Λ
与????
??
?
??n 0
020010
0Λ
M M M ΛΛ相似. 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】
设??
???
?=??
????L L L L L L L
1
111
111
1
1A ，??
???
?
=??????
L L L L L L L L
000100
020
0n B 因为1)(,1)(==B r A r
所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλΛ
B 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,012
1λλλλΛ 关于A 的0特征值，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，
故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于??????
?
?
?n 00
O
同理，关于B 的0特征值，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，
故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于??????
?
?
?n 00O
由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似.
2014年考研数一真题与答案解析
数学一试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）A （7）（B） （8）（D）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）012=---z y x （10）11=-)(f （11）12+=x x y ln （12）π （13）[-2,2] （14）25n 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．． 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【答案】 2 1211111111102 0221 121 2112=-=--=--=--=--=+ --++→→+∞→+∞ →+∞→+∞→???u e lim u u e lim x )e (x lim ,x u x )e (x lim x tdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x x x x x x x 则令 （16）【答案】 20 20 2232222=+=+='++'?++')x y (y xy y y x xy y y x y y y x y )(y 20-==或舍。 x y 2-=时，
2 110 660 62480 62480 633333223223-==?==+-=+-+-=+-?+?+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y 04914 190 141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''?+'?+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。 （17）【答案】 y cos e )y cos e (f x E x x '=?? )y cos (e )y cos e (f y sin e )y cos e (f y E )y sin (e )y cos e (f y E y cos e )y cos e (f y cos e )y cos e (f x E x x x x x x x x x x -'+''=??-'=??'+''=??22222222 y cos e )y cos e (f )y cos e (f e )y cos e E (e )y cos e (f y E x E x x x x x x x +=''+=''=??+??44222 222 令u y cos e x =， 则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214 -+=- 由,)(f ,)(f 0000='=得 4 161622u e e )u (f u u --=- （18）【答案】 补{}∑=1 1z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω，
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 3．设)(x f 是连续函数，则=? ?---y y dy y x f dy 1110 2 ),(（ ） （A ）? ?? ?---+2 100 11 010 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ）? ?? ? ----+0 101 1 10 1 2 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ）? ?? ? +++θθππθθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1 2 10 20 dr r r f d dr r r f d （D ）? ?? ? +++θθππ θθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10 2 10 20rdr r r f d rdr r r f d 4．若函数{ } ??-∈---=--π π ππ dx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ） （A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2 5．行列式d c d c b a b a 000 000 0等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
2014年数学二真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ? ? ? 1 ________________________________________ (1)当X 0时，若In (1 2x)，(1 cosx)—均是比X咼阶的无 2
(A) (2, )(B) (1,2)(C)(2,1) (D)囲) ⑵下列曲线中有渐近线的是() (A) y x sin x (B) 2 . y x sin x (C) y x sin 1 x (D) y 2 . 1 x sin x ⑶设函数f( x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，贝y 在区间［0,1］上( ) (A)当f(x)0 时，f (x) g(x) (B)当f (x) 0时， f(x) g(x) (C)当f(x) 0 时，f (x) ? g(x) (D)当f (x) 0时，f(x) g(x) ⑷丄 2 曲线x t2 y t27上对' 4t 1 应于t 1的点处的曲率半径是 3
2 4 (D) 5.10 (D )1 (6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续，在D 的内部 2 2 2 具有2阶连续偏导数，且满足」0及-u -4 0，则 x y x y ( ) (A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y) 的最大值和最小值都在D 的内部上取得 (C) u(x,y) 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的 边界上取得 (A) 10 50 ■ 10 100 (C) 10.10 (5) 设函数 f (x) arctan x , f(x) xf () , lim 2 x 0 x 2 (A) 1 (叫 (C)1
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α ，1 (1cos )x -均是比x 高阶的无穷小， 则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1 (,1)2 (D) 1(0,)2 (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1 sin y x x =+ (D) 2 1sin y x x =+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ） (A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ (4) 曲线2 2 7 41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ） (C) (D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则2 2 l i m x x →=ξ （ ） (A)1 (B) 2 3 (C) 12 (D) 13 (6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20 u x y ?≠??及22220u u x y ??+=??，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得
2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a > （B ）2 n a a < （C ）1n a a n >- （D ）1 n a a n <+ （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2 1sin y x x =+ （3） （A ） （B ） （C ） （D ） （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式 00000000a b a b c d c d = （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2 2 22 a d b c - （D ）22 2 2 b c a d - （6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4 （8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ 服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ，则_____.a = (12)二次积分2 21 1 0( )________.x y y e dy e dx x -=?? （13）设二次型22 123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是_________
2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
2020年考研数学二大纲原文 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限。 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容
导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复 合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则、函数单调性的判别、函数的 极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、函数的最大值与最小值、弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求 平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量， 理解函数的可导性与连续性之间的关系. 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数. 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西( Cauchy )中值定理. 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌 握函数最大值和最小值的求法及其应用. 了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径. 三、一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式、定积分的概 念和基本性质、定积分中值定理、积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式、不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法、有理函数、 三角函数的有理式和简单无理函数的积分、反常(广义)积分、定积分的应用 考试要求
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 3．设)(x f 是连续函数，则 =??---y y dy y x f dy 11102),(（ ） （A ） ????---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ） ????----+010*******x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ） ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d （D ） ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d 4．若函数{} ??-∈---=--πππ πdx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ） （A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2 5．行列式d c d c b a b a 000000 00等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）（数三） 若a a n n =∞ →lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ） （A ）2 a a n > （B ）2 a a n < （C ）n a a n 1- > （D ）n a a n 1 +< （2）（数二） 当0x +→时，若ln (12)x α +，1 (1cos )x α -均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是 （ ） （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2 （3）（数一、二、三） 下列曲线中有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2 sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x =+ （4）（数三） 设2 3 ()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3 x 高阶的无穷小，则下 列选项中错误．． 的是（ ） （A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6 1 =d
（5）（数一、二、三） 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ （6）（数二） 曲线22 7,41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A （B （C ）（D ） （7）（数二） 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则2 2 lim x x ξ→=（ ） （A ）1 （B ）23 （C ）12 （D ）13
2014年考研数三真题与答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a > （B ）2 n a a < （C ）1 n a a n >- （D ）1 n a a n <+ （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2 1sin y x x =+ （3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16 d = （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式 00000000a b a b c d c d = （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222 b c a d - （6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4 （8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量12 3 2X X X -服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ，则_____.a =
推荐：考研数字题库和资料 2014年考研数学二真题和分析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当