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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n aa >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000ab a bcd cd =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n aa >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+（3） （A ） （B ） （C ） （D ）（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000ab a bcd cd =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim且01==-∞→∞→xx y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）５．行列式dc d c ba b a00000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c bd a - （D ）2222c bd a +- 【详解】20000000000000000)()()(bc ad bc ad bc bc ad ad dc b a bcd c b a ad dc c ba b d c d b a a dcd c ba b a--=-+--=+-=+-=应该选（B ）．6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）． 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P 505030=-=-=-==-． 所以60.)(=A P ，=-)(A B P 205050.)(..)()(=-=-A P AB P B P ．故选择（B ）． 8．设321X X X ,,为来自正态总体),(20σN 的简单随机样本，则统计量3212X X X S -=服从的分布是（A ）),(11F （B ）),(12F （C ） )(1t （D ）)(2t 【详解】232132122XX X X X X S -=-=，显然),(~10221N X X σ-，)(~12223χσX ，且),(~10221N X X σ-与)(~12223χσX 相互独立，从而)(~1222223212321321t X X X XX X X X X S σσ-=-=-=故应该选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为 ． 【详解】2240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为 ． 【详解】22112101ln +=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S11．设412=⎰ax dx xe ，则=a ． 【详解】411241244120202+-=-==⎰)(|)(a e x e dx xe a ax ax ．所以.21=a12．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e xe dy y y x 11022． 【详解】)()(12111010101010100110101102222222222-==+-=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dy ye dy e e dy y e dy x e x d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dxx xy x x y y x y y x 13．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．14．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,,),(02322θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单样本，若∑=ni iXC12是2θ的无偏估计，则常数C = ．【详解】22222532θθθθ==⎰2dx x x X E )(，所以21225θCn X C E n i i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=，由于∑=ni i X C 12是2θ的无偏估计，故125=Cn，nC 52=． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D DD dr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u x cos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分） 求幂级数∑∞=++031n nxn n ))((的收敛域、和函数．【详解】 由于11=+∞→nn n a a lim，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-． 令和函数)(x S =∑∞=++031n nxn n ))((，则3211121112131111234)('"'")())(()()(x xx x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n nn nn n--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++=∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=∞=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+ba dtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 21．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 22．（本题满分11分）设随机变量X 的分布为2121====)()(X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ．（1） 求Y 的分布函数； （2） 求期望).(Y E 【详解】（1）分布函数())/()/()()/()()/(),(),()()(2121221121=≤+=≤===≤+==≤==≤+=≤=≤=X y Y P X y Y P X P X y Y P X P X y Y P X y Y P X y Y P y Y P y F当0<y 时，0=)(y F ；当10<≤y 时，y y y y F 4322121=+=)(； 当21<≤y 时，214122121+=+=y y y F )(； 当2≥y 时，1=)(y F ． 所以分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<≤<=2121421104300y y y y y y y F ,,,,)( （2）概率密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<==其它,,,)(')(021411043y y y F y f ，434432110=+=⎰⎰dy y ydy Y E )(．23．（本题满分11分）设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为321310====)(,)(X P X P ，且X ，Y 的相关系数21=XY ρ． （1） 求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布； （2） 求概率)(1≤+Y X P ．[详解]由于X ，Y 的概率分布相同，故321310====)(,)(X P X P ，321310====)(,)(Y P Y P ， 显然32==EY EX ，92==DY DX 相关系数()929421-=-===XY E DYDX EXEY XY E DY DX Y X COV XY )(),(ρ，所以95=)(XY E ． 而),()(1111==⨯⨯=Y X P XY E ，所以9511===),(Y X P ，从而得到),(Y X 的联合概率分布：11 9511===),(Y X P ，9110===),(Y X P ，9101===),(Y X P ，9200===),(Y X P （2）.),()()(94111111===-=>+-=≤+Y X P Y X P Y X P。
2014数三考研真题答案2014年数学三考研真题答案一、选择题1. 答案：B解析：根据题意及图片可知，直线AB与x轴和y轴的交点分别为A(0, -3)和B(4, 0)。
直线AB的斜率可以通过斜率公式计算：$$k =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-3)}{4 - 0} = \frac{3}{4}$$2. 答案：D解析：已知函数f(x)的定义域为[-2, 3]，求函数f(g(-1))的值。
根据g(x)定义可得g(-1) = 1。
将g(-1)代入f(x)中，得到f(1) = 1 + 2 = 3。
3. 答案：D解析：根据题意，有三种颜色的糖果分别为红、蓝、黄。
根据已知条件可得：2个黄色糖果的重量等于5个蓝色糖果的重量，5个蓝色糖果加2个黄色糖果的重量等于7个红色糖果的重量。
设蓝色糖果的重量为x，黄色糖果的重量为y，红色糖果的重量为z。
根据上述条件，列出方程组：\[\begin{equation}\begin{cases}2y = 5x \\5x + 2y = 7z\end{cases}\end{equation}\]解方程组可得z = 5x。
4. 答案：C解析：已知函数f(x)和g(x)的定义域均为实数集，对于任意实数x，有f(g(x)) = f(x + 1) + 5。
因此，f(g(4)) = f(5) + 5 = 3 + 5 = 8。
5. 答案：B解析：根据题意，甲、乙两人每天上课时间和休息时间之和均为12小时，记甲的上课时间为x小时，乙的上课时间为y小时，则甲的休息时间为12 - x小时，乙的休息时间为12 - y小时。
根据题意可得方程：$$\frac{x}{12} + \frac{y}{12} + \frac{12 - x}{3} + \frac{12 - y}{3} =12$$整理方程可得：x + y = 36。
二、填空题1. 答案：-9解析：给定等差数列的第一项a = 3，公差d = 2，可使用等差数列通项公式an = a + (n - 1)d来求解。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若a a n n =∞→lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ）（A ）2a a n > （B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> （D ）na a n 1+< 【答案】A【考点】极限的概念 【详解】 【解法一】lim 0n n a a ε→∞=⇔∀>，当n 充分大时，有-n a a ε<取2a ε=，有-2n a a a <即22n a a a a a -<<+当0a >时，322n a a a <<；当0a <时，322n a aa <<.从而2n a a >.故选A .【解法二】根据极限的保号性推论：若,0lim ≠=∞→a a n n 则存在0>N ，当N n >时，10,<<>θθa a n取21=θ，故选A . 【解法三】令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=为偶数为奇数n n a n n a a n 1111，则排除D C B ,,，故选A .（2）下列曲线中有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数的渐近线 【详解】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlimx x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1limsin0x x y x x→∞→∞-⋅==.所以1sin y x x =+存在斜渐近线y x =.故选C.（3）设23()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3x 高阶的无穷小，则下列选项错误的是（ ）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【答案】D【考点】高阶无穷小、泰勒公式、洛必达法则 【详解】 【解法一】由泰勒展开式：)(31tan 33x o x x x ++=知，若()tan P x x -是比3x 高阶的无穷小 则必有：31,0,1,0====d c b a ，故选D.【解法二】由题意可知2330tan lim0x a bx cx dx xx →+++-= 230lim(tan )00x a bx cx dx x a →∴+++-=⇒=23223200tan 23sec lim lim 03x x a bx cx dx x b cx dx xx x →→+++-++-==220lim(23sec )01x b cx dx x b →∴++-=⇒=22222222220000123sec 23tan 23tan lim lim lim lim 3333x x x x cx dx x cx dx x cx dx x x x x x →→→→++-+--==+ 20211lim()00,333x cx d c d x →=+-=⇒==（4）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性 【详解】 【解法一】令)()()(x f x g x F -=则)()1()0()(x f f f x F '-+-='由拉格朗日中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()01()0()1(ξξf f f f '='-=- 即0)(='ξF又因为)()(x f x F ''-=''若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，所以)(x F '单调递减， 当(0,),()0,()x F x F x ξ'∈>单调递增， 当(,1),()0,()x F x F x ξ'∈<单调递减，又0)1(.0)0(==F F ，所以()0F x ≥，即()()f x g x ≤，故选D 【解法二】令2()f x x =，则函数()f x 具有2阶导数，且()0f x ''≥所以()(0)(1)(1)g x f x f x x =-+= 当]1,0[∈x 时，()()f x g x ≤，故选D（5）行列式00000000ab a bc d cd=（ ） （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【详解】 【解法一】13230000000000000000000000a b b a b a a b a b d c c c r r c d d c a b c dcd cd↔-↔2()()()b a a b bc ad ad bc ad bc d c c d=⋅=--=-- 故选B 【解法二】21410a 00000(1)0(1)0000000b ab a b a b a cd c b c d dcd c d++=⨯-+⨯- 3323(1)(1)a b a b a d c b c d c d++=-⨯⨯--⨯⨯-2()()a b a b a b ad bc bc ad ad bc c dc dc d=-+=-=--（6）设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性无关性 【详解】132312310(,)(,,)01k l k l ααααααα⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭记132312310(,),(,,),01A k l B C k l ααααααα⎛⎫⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭若123,,ααα线性无关，则1323()()()2,r A r BC r C k l αααα===⇒++线性无关. 由1323,k l αααα++线性无关不一定能推出123,,ααα线性无关.如：123100=0=1=0000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，1323,k l αααα++线性无关，但此时123,,ααα线性相关.故选A.（7）设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5P B =，()0.3P A B -=，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B【考点】事件的概率、事件的独立性 【详解】()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=- ()0.5()0.5()0.3()0.6P A P A P A P A =-==⇒=.()()()()()()0.50.50.60.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=.故选B.（8）若321,,X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，则统计量3212X X X S -=服从的分布为（ ）（A ）)1,1(F (B))1,2(F (C))1(t (D))2(t 【答案】C 【考点】t 分布 【详解】 【解法一】212~(0,2~(0,1),X X N N σ- 2233~(0,1),()~(1)X X N χσσ~(1)t ∴【解法二】因为分子为正态分布，故不是F 分布，为t 分布， 又因为分母仅一项，故自由度为1，选C二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为P Q 240-=（P 为商品的价格），则商品的边际收益为【答案】Q -20 【考点】导数的经济意义 【详解】40()24012022QR QP Q dR Q Q QdQ -==-=-=-收益边际收益（10）设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+x y 及2=y 围成的有界区域，则D 的面积为【答案】2ln 23- 【考点】平面图形的面积2212113(ln )ln 2122S y dy y y y =+=-+=-⎰面积（-）（11）设412=⎰dx xe ax ，则=a【答案】21 【考点】分部积分法 【详解】222200011()022aa a xxx x a xe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰2222111111()()0222224a x a a a ae e ae e =-=-+=12a ∴=（12）二次积分=-⎰⎰dx e xe dy y y x110)(22【答案】)1(21-e 【考点】交换累次积分的次序、二重积分的计算 【详解】2222111111000()x xy y y y y e e dy e dx dy dx dy e dx x x -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222221111100000(1)x xy x y y e dx dy y e dy e dx e dy ye dy x=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰221201111(1)0222y y e dy e e ===-⎰ （13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是【答案】]2,2[-【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 因二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a aa ，即]2,2[-∈a【解法二】2222222212312132311332233(,,)2424f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x =-++=++-+- 2222222213233123()(2)(4)(4)x ax x x a x y y a y =+--+-=-+-若负惯性指数为1，则240[2,2]a a -≥⇒∈-（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，若212θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑=n i i X c E ，则=c【答案】n52【考点】统计量的数字特征 【详解】322222112()()()3n ni i i i x E c X c E X ncE X nc dx θθθ======∑∑⎰4222221523425nc nc x c nθθθθθ=⋅==∴=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e txtx +--⎰+∞→【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】11221122((1))((1))limlim11ln(1)xxttx x t e t dt t e t dtx x xx→+∞→+∞----=+⋅⎰⎰1122(1)1lim lim (1)1xx x x x e x x e x→+∞→+∞--==-- 20001111lim lim lim 222t t t t t t e t e e t x t t +++→→→---====令 （16）（本题满分10分）设平面区域}0,0,41|),{(22≥≥≤+≤=y x y x y x D ，计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】积分区域D 关于y x =对称，利用轮换对称性，D D =12D dxdy =⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰ 22201111sin()d cos()24d r r r rd r πθππ==-⎰⎰⎰221111cos()|cos()d 44r r r r ππ=-+⎰34=-（17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x=满足cos sin (4cos )x x z zyy z e y e x y∂∂-=+∂∂，若0)0(=f ，求)(u f 的表达式. 【考点】多元函数求偏导、一阶线性微分方程 【详解】 令y e u xcos =，()cos x zf u e y x∂'∴=⋅∂ ()(sin )x zf u e y y ∂'=⋅-∂ cos sin (4cos )x x z zyy z e y e x y∂∂-=+∂∂Q 22()cos ()sin [4()]x x x f u e y f u e y f u u e ''∴⋅+⋅=+即：u u f u f =-')(4)(u u ue u f u f e 44)](4)([--=-'∴两边积分得：)41(41)(4444C e ue du ue u f eu u u u++-==----⎰即：)41(41)(4uCe u u f ++-=因为0)0(=f ，解得41-=C所以41()(41)16uf u e u =--（18）（本题满分10分） 求幂级数(1)(3)nn n n x∞=++∑的收敛域及和函数.【考点】幂级数求收敛域、和函数 【详解】 （Ⅰ）(2)(4)lim1(1)(3)n n n n n ρ→∞++==++Q ，∴收敛半径11R ρ==当1x =±时，级数发散，故收敛域为(1,1)-（Ⅱ）令0()(1)(3)nn S x n n x∞==++∑，则1201()(3)(3),0xn n n n S t dt n xn x x x ∞∞++===+=+≠∑∑⎰令210()(3)n n S x n x∞+==+∑，则3310()1xn n x S t dt xx∞+===-∑⎰3231232()1(1)x x x S x x x '⎛⎫-∴== ⎪--⎝⎭2321223132323()(),0(1)(1)(1)x x x x x S x S x x x x x x x '''⎛⎫⎛⎫---⎛⎫∴===≠ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 又03S =（），所以33,(1,1)(1)xSx x x -=∈--（）（19）（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，且)(x f 单调增加，1)(0≤≤x g . 证明：（I ）a x dt t g xa-≤≤⎰)(0，],[b a x ∈；（II ）⎰⎰⎰≤+badtt g a abadx x g x f dx x f )()()()(【考点】定积分中值定理、不等式的证明 【详解】 （I ）【解法一】因为函数)(x g 在区间],[b a 上连续，且1)(0≤≤x g . 所以⎰⎰⎰≤≤xax axadt dt t g dt 1)(0即a x dt t g x a-≤≤⎰)(0【解法二】由定积分中值定理知：存在),(b a ∈ξ，使得)()()(ξg a x dt t g xa-=⎰，又因为],[b a x ∈时1)(0≤≤x g ，所以)()()(0a x g a x -≤-≤ξ 即a x dt t g xa-≤≤⎰)(0【解法三】 设1()()xah x g t dt =⎰，则1()0h a =，1'()()0h x g x =≥1()h x ∴单调增加∴当[],x a b ∈时，1()0h x ≥.设2()()xah x g t dt x a =-+⎰，则2'()()1h x g x =-0()1g x ≤≤Q ，2'()0h x ∴≤ 2()h x ∴单调减少.又2()0h a =，∴当[],x a b ∈时，2()0h x ≤∴当[],x a b ∈时，a x dt t g xa-≤≤⎰)(0（II ）令()()()()()xa xa g t dt aaF x f u g u du f u du+⎰=-⎰⎰'()()()[()]()()[()]()x xa a F x f x g x f a g t dt g x f x f a g t dt g x ⎡⎤∴=-+⋅=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()xaa g t dt a x a x +≤+-=⎰，又()f x 单调增加，()[()]x af x f ag t dt ∴≥+⎰；又因为(x)0g ≥'()0F x ∴≥ ()F x ∴在区间[],a b 上单调增加又()0F a =，()0F b ∴≥即()()()()ba ba g t dtaaf xg x dx f x dx +⎰≥⎰⎰（20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B .【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解 【详解】1234100()01110101203001A E --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭M M M M1205412301021310013141--⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭M M M 100126101021310013141-⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭M M M （I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x x x x x ，即方程组0=Ax 的一个基础解系为1231α-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为12110k α⎛⎫⎪- ⎪+ ⎪- ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=0433*******241x x x x x x x x ，即通解为26340k α⎛⎫⎪- ⎪+ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为31110k α-⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，123261131(,,)141000B k k k ααα-⎛⎫⎪-- ⎪∴=+ ⎪-- ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数（21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM O M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似. 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L111111111A ，⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L0001000200n B 因为1)(,1)(==B r A r所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλΛB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλΛ 关于A 的特征值0，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O同理，关于B 的特征值0，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似. （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY .【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望） 【详解】（I ）()()y F y P Y y =≤(1)(1)(2)(2)P Y y X P X P Y y X P X =≤==+≤== 11(1)(2)22P Y y X P Y y X =≤=+≤= ① 当0y < 时，(y)0Y F =② 当01y ≤<时，1113(y)2224Y F y y y =+⨯= ③ 当12y ≤<时，1111(y)22224Y yF y =+⨯=+④ 当2y ≥时，11(y)122Y F =+=综上：003y 014(y)1122412Y y y F y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩（II ）'30141(y)(y)1240Y Y y f F y ⎧<<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他12-013131133()4442424Y EY yf y dy ydy ydy +∞∞==+=⨯+⨯=⎰⎰⎰ （23）（本题满分11分）设随机变量Y X ,的概率分布相同，X 的概率分布为32}1{,31}0{====X P X P ，且X 与Y 的相关系数为21=XY ρ. （I ）求),(Y X 的概率分布； （II ）求}1{≤+Y X P .【考点】二维离散型随机变量及其概率【详解】 （I ）由题意有：111222XY ρ=⇒=⇒= 2212,3339EX EY DX DY ====⨯=Q1222529339EXY EX EY ∴=⋅=⨯+⨯=即：95)1,1()1(=====Y X P XY P(II)54(1)1(1)1(1,1)199P X Y P X Y P X Y +≤=-+>=-===-=。
