课程作业
曲柄摇杆优化设计
姓名：XX
学号：XXXXX
班级：XXXXX
ＸX大学机械与动力学院
目录
1摘要
2问题研究
2.1问题重述
2.2问题分析
3数学模型的建立
3.1设计变量的确定
3.2目标函数的建立
3.3约束条件的确定
3.4标准数学模型
4使用MATLAＢ编程求解
4.1调用功能函数
4.2首先编写目标函数 M 文件
4.3编写非线性约束函数 M 文件
4.4编写非线性约束函数Ｍ文件ｃｏnｆun.m
4.5运行结果
5结果分析
6结论推广
7过程反思
8个人小结
9参考文献
1.ﻬ
1摘要: 为分析机构能够满足给定的运动规律和运动空间的要求,运用Matlab
2
2.1
0(32
π
ψψ+=式中0ϕ和0ψ得小于4=≥][min γγ＝1。另外,＝5。
2.2 设计时,00要求摇杆的输出角最优地实现一个给定的运动规律()f ϕ。这里假设要求:
()()2
0023E f φϕφϕϕπ
==+
- (1）
图1 曲柄摇杆机构简图
对于这样的设计问题，可以取机构的期望输出角()E f φϕ=和实际输出角
()F φϕ=的平方误差之和作为目标函数，使得它的值达到最小。
在图 1 所示的曲柄摇杆机构中,1l 、2l 、3l 、 4l 分别是曲柄AB 、连杆BC 、摇杆CD 和机架AD 的长度。这里规定0ϕ为摇杆在右极限位置0φ时的曲柄起始位置角，它们由1l 、2l 、3l 和4l 确定。
3
数学模型的建立 3.1 设计变量的确定
决定机构尺寸的各杆长度1l 、2l 、3l 和4l ，以及当摇杆按已知运动规律开始
运行时，曲柄所处的位置角0ϕ应列为设计变量，所有设计变量有:
[][]
1
234
512340T T
x x x x x x l l l l ϕ== (２)
考虑到机构的杆长按比例变化时,不会改变其运动规律，通常设定曲柄长度
1l =１．０，在这里可给定4l =5．0，其他杆长则按比例取为1l 的倍数。若取曲柄
的初始位置角为极位角，则ϕ及相应的摇杆l 位置角φ均为杆长的函数，其关系式为:
()()()()2222212432301242125arccos 2101l l l l l l l l l l ϕ⎡⎤⎡⎤
++-+-+==⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （３)
()()222221243230343125arccos 210l l l l l l l l l φ⎡⎤⎡⎤
+--+--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(4）
因此，只有2l 、3l 为独立变量,则设计变量为[][]1223T T
x x x l l ==。
3.2 目标函数的建立
目标函数可根据已知-的运动规律与机构实际运动规律之间的偏差最小为指标来建立，即:
()()2
1min m
Ei i i f x φφ==-→∑
(５)
式中，Ei φ-期望输出角； ｍ-输出角的等分数;
i φ-实际输出角,由图 1 可知：
图2 曲柄摇杆机构的运动学关系
()()02i i i i i i i παβϕπφπαβπϕπ--≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩
（6） 式中，222222322132arccos arccos 22i i i i i r l l r x x rl r x α⎛⎫⎛⎫+-+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (７)
222241424arccos arccos 210i i i i i r l l r rl r β⎛⎫⎛⎫
+-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(8)
i r == (9） 3.3 约束条件
曲柄存在条件:
12131423;,l l l l l l l l ≤≤+≤+ ()()24133412,l l l l l l l l ≤-+≤-+
曲柄与机架共线位置时的传动角(连杆BC 和摇杆CD 之间的夹角): 最小传动角min min 45r BCD ︒=∠≥ 最大传动角max max 135r BCD ︒=∠≤ 由上面的分析可以算出:
()222222234112
min
231216arccos 4522l l l l x x r l l x x ︒⎡⎤+--⎡⎤
+-⎢⎥==≥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦ （10)
()222222234112
max 231236arccos 13522l l l l x x r l l x x ︒⎡⎤+-+⎡⎤
+-⎢⎥==≤⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣⎦ （11） 3.4 标准数学模型
通过上面的分析后,将输入角分成 30 等分（ｍ=30),经过转化为标准形式得到曲柄摇杆机构优化设计标准数学模型为:
()()2
1
min m
Ei i i f x φφ==-→∑
[][]231
2T
T
x l l x x ==
()()()()()()()
112231241252122612122271212101060..40
401.41436036 1.4140
g x x g x x g x x x s t g x x x g x x x g x x x x x g x x x x x =-≤⎧
⎪
=-≤⎪
⎪=--≤⎪
=--≤⎨⎪=--≤⎪
=+--≤⎪⎪=---≤⎩ (12) 机械优化设计中的问题,大多数属于约束优化问题,此为非线性约束优化问题,运
用 MA ＴLA Ｂ 优化工具箱的命令函数 fmincon 来处理有约束的非线性多元函数最小化优化问题。
4
使用MA ＴLA Ｂ编程求解
4.1 本问题属于一般非线性规划问题，其标准型为：
min ()f x
,,()0
..()0,AX b Aeq X beq C X s t Ceq X vlb X vub ≤•=≤⎧⎨
=≤≤⎩ （１３）
调用MA ＴLA Ｂ软件优化工具箱中非线性规划求解函数fmincon 来求解。 其命令的基本格式为： ［函数］ fm ｉn ｃon [格式]
x = ｆminc ｏn(fu ｎ,ｘ0,A,b)
x = fm ｉncon(ｆｕn,x ０，Ａ,b ，Ａeq,beq)
x = ｆm ｉncon(f ｕｎ,ｘ0,A,b,Ａeq,be ｑ,ｌb,ｕb)
x ＝ ｆmi ｎcon （fun,x ０,A,b ，A ｅq,beq ，lb,ub ，nonl ｃｏn)
ｘ ＝ fmincon （fun,x0,A ，b,A ｅq ，beq ，ｌb,ｕb,nonlcon,o ｐtions) [x,fv ａｌ] = ｆｍi ｎｃo ｎ(…)
[x,f ｖal,ｅxit ｆla ｇ] = fmincon(…)
[ｘ,ｆval,ex ｉtf ｌag,o ｕｔput ］ = fm ｉｎcon(…）
[x,ｆｖal,ｅxit ｆla ｇ,ｏu ｔpu ｔ,lamb ｄa] = ｆｍin ｃon(…) [ｘ,f ｖal,exitf ｌag ，o ｕｔｐu ｔ,ｌambda,gr ａd] ＝ f ｍincon(…) [x,fv ａl,e ｘit ｆla ｇ,o ｕtp ｕt,l ａmbda,grad ，h ｅs ｓia ｎ] = fm ｉｎcon （…)
［说明]fu ｎ 是目标函数
ｏｐt ｉons 设置优化选项参数
fval 返回目标函数在最优解ｘ点的函数值 e ｘi ｔｆlag 返回算法的终止标志
o ｕtp ｕt 返回优化算法信息的一个数据结构 gr ａd 返回目标函数在最优解x 点的梯度
hessian 返回目标函数在最游解x 点Hessi ａn 矩阵值 编写程序求解
