苏教版必修4高中数学第1章《三角函数》弧度制教学案

rrr1radlr rad3rr3rad2rr2rad§1.1.2 弧度制（一）

学习目标：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.

2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.

3.熟记特殊角的弧度数

学习重点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.

学习难点：弧度的概念及其与角度的关系.

学习过程：

一、自学质疑：

（A）问题1 我们已经学习了“角的概念的推广”，请简述“角”的概念，并说明什么是“正角”、“负角”、“零角”.

（A）问题2 度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？初中我们是如何计算弧长的，其公式是怎么样的？

（B）问题3 请研究30°、60°的圆心角，当半径r为1，2，3时，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比。你可以得到什么结论？

（B）问题4 弧度的定义____________________________________________它的单位是rad 读作______，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做______．

如下图，用弧度制表示其圆心角大小依次为______、_______、______、______、

lr 二、数学运用：

1 把'3067化成弧度 2 把rad53化成度

3 用弧度制表示：

1 终边在x轴上的角的集合

2 终边在y轴上的角的集合

3 终边在坐标轴上的角的集合

三、巩固练习：

1．完成下表，并熟记.

角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

弧度 0 π/2 π

角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

弧度 2π

1 课题： 1.1.2弧度制

教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4

一、教学目标

1．理解1弧度的角及弧度制的定义，领会其必要性和合理性．

2．会根据定义求任意角的弧度数及进行角度数与弧度数的互化．

3．理解任意角的集合与实数集的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式．

二、教学重点

弧度制的探究生成及如何约定新制度（弧度制）下的单位1.

三、教学难点

弧度制的生成与理解.

四、教学方法与教学手段

课堂采用启发引导，合作探究的教学模式，利用几何画板辅助教学，从活动中体会数形结合、以形助数的数学思想．

五、教学过程

思考：点P的位置与哪些几何量有关？

（体会学习弧度制的必要性） 探究：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 问题2：哪些几何量能唯一确定角的大小．

(独立探究，小组交流)

问题3：如何建立一种新的度量角的制度呢？

（类比几何量长度，知识迁移，独立探究，小组交流）

问题4：角度与弧度如何互化？

类比长度单位制的构建过程，完成探究发现角的新单位制（弧度制）构建的过程． 提炼概括：

从特殊事物中揭示一般规律：单位制构建的一般过程． 问题1：同一个量，它的度量结果可以用不同的单位表示吗？ (学生举例，发现探究的可行性）

) 2 1．创设情境，引出必要

思考：点P的位置与哪些几何量有关呢？

师生活动：将所得几何量分为两大类：六十进制的角及十进制的长度．

小结：数学就是建立量与量关系的模型，在同一运动中，两类几何量度量进制的不一致会给我们的数学研究带来很多不便．

探究：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

【设计意图】

客观世界变化万千，为了研究它们的规律，我们常常需要用数学的眼光去观察我们现实生活中的各种现象，以摩天轮为例，师生一起抽象建模进行研究刻画点P的位置的几何量，发现分为角及长度这两类几何量，它们度量的不一致会给我们的数学研究带来很多的不方便，让学生体会到学习弧度制的必要性．此时适时渗透数学史并引出本节课探究主题：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

让学生学会学习

1.1.2 弧度制

教学目标：

1．理解1弧度的角及弧度的定义；

2．掌握角度与弧度的换算公式并熟练进行角度与弧度的换算；

3．理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．

教学重点：

理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；熟练进行弧长和面积公式的应用．

教学难点：

弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．

教学方法：

问题链导学法．

教学过程：

一、问题情境

探究：l、α、r三者之间关系.

二、学生活动

1．改变α、r ,观察l的变化

2．改变l，r，观察α的变化

3．分析原因

三、建构数学

1．弧度角的定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

2．记法：1rad．

3．引入弧度制的概念

4．通过问题构建弧长，半径，圆心角之间的关系：l = |α| r

5．通过问题引导学生进行角度制与弧度制的互换． OBArl让学生学会学习

360°＝2rad 180°= rad

1801rad≈0.01745rad 1rad=)180(≈57.30°

6．通过问题引导学生推导出弧度制下的扇形面积公式．

四、数学应用

1．例题．

例1 把下列各角从度化为弧度．

（1）135° （2）-75° （3）11°15′

例2 把下列各角从弧度化为度．

（1）53rad （2）34rad

例3 已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积.

2．练习．

（1）填表

度 0° 45° 60° 180° 360°

弧度 6 2 23

说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算．

（2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合．

（3）周长为20的扇形，当圆心角为多少弧度时，其面积最大？

1.1.2 弧度制（1）

教学目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式||lr（l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆半径）。

教学重、难点

弧度与角度之间的换算。

教学过程

复习：uiu

初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？

新课讲解

1．弧度角的定义：

规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad．

练习：圆的半径为r，圆弧长为2r、3r、2r的弧所对的圆心角分别为多少？

说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

思考：什么弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？

2．弧度的推广及角的弧度数的计算：

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角的弧度数的绝对值是rl||，（其中l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径）。

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad经常省略，即只写一实数表示角的度量。

例如：当弧长4lr且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是

4||4lrrr．

3．角度与弧度的换算

3602rad 180rad

1801rad 0.01745rad 1rad=)180(5718

例题分析：

例1 把'3067化成弧度．

例2 把35rad化成度。

例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

（1）终边落在x轴的非正、非负半轴，y轴的非正、非负半轴的角的集合。

（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。

例4 将下列各角化为2(02,)kkZ的形式，并判断其所在象限。

（1）193； （2）315； （3）1485．