晶体点群、空间群简要归纳
本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。
另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：
若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书
太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...
1.对称操作、对称元素
对称操作：保持系统不变的操作。
对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。对称元素可以是点、直线、⾯等。
2.点群：
1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群
物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。这些对称操作会保持⼀个点不动。
2）点群分类
第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。
第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。
因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。
3）点群的性质
性质1：点群这个集合可以写成C
k(2π/n)、IC
k′2π/n′
的形式，其中
n,→
k′
,n′
取有限个⽅向和值；C
k(2π/n)是绕→
k
轴转2π/n⾓的操作。
性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即
K=G∩SO(3)
∘.
点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：
1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。
2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。
3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+
同构,其中，G+
=K∪K+
, ⽽K+
定义
为:K+
={Ig∣g∈G, 但 g∉K}
根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+
晶体的对称群与空间群的分类与表示
晶体是由原子、分子或离子按照一定的几何排列规律而形成的固体物质。晶体的结构对于物质的性质和行为具有重要影响，而晶体的对称性则是晶体结构研究的核心之一。晶体的对称群和空间群是描述晶体对称性的重要工具，本文将探讨晶体的对称群与空间群的分类与表示。
一、晶体的对称群
对称群是指在某种操作下保持晶体结构不变的一组操作的集合。晶体的对称群可以分为平移对称群和点群。平移对称群是指晶体在平移操作下保持不变的一组操作，而点群则是指晶体在旋转、镜面反射和反演操作下保持不变的一组操作。
对于平移对称群，可以通过研究晶体的晶格来进行分类。晶格是指晶体中原子、分子或离子排列的周期性重复结构。根据晶格的性质，可以将晶体的平移对称群分为14种布拉菲格子。这些布拉菲格子包括简单立方格子、体心立方格子、面心立方格子等。每种布拉菲格子都具有特定的对称性操作，如平移、旋转和镜面反射等。
对于点群，可以通过研究晶体的晶体学元胞来进行分类。晶体学元胞是指晶体中最小的重复单元，可以通过平移操作得到整个晶体。根据晶体学元胞的对称性，可以将晶体的点群分为32种。这些点群包括三角晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱面晶系和六方晶系等。每种点群都具有特定的对称性操作，如旋转、镜面反射和反演等。
二、晶体的空间群
空间群是指晶体在平移、旋转、镜面反射和反演等操作下保持不变的一组操作。空间群是对称群的扩展，包含了更多的对称性操作。根据晶体的对称性，可以将晶体的空间群分为230种。 空间群的表示可以通过国际晶体学表（International Tables for Crystallography）中给出的符号来进行。这些符号包括Hermann-Mauguin符号和Schoenflies符号。Hermann-Mauguin符号是一种简化的表示方法，用来描述晶体的点群和空间群。Schoenflies符号是一种更详细的表示方法，用来描述晶体的点群和空间群的具体对称性操作。
第7章: 第7章:
晶体内部结构的微观对称和空间群 晶体内部结构的微观对称和空间群晶体内部结构的微观对称和
空间群
晶体内部结构的微观对称和空间群 l 晶体微观对称要素
l 晶体微观对称要素 l 二维空间群
l 二维空间群
l 空间群 l 空间群晶体内部结构的微观对称和空间群
晶体内部结构的微观对称和空间群晶体微观对称元素晶体微观对称元素晶体结构中可能出现的对称元素,包括两部分:宏观对称元
素: 对称心,对称面,对称轴倒转轴只能在作无限图形的晶体结构中
才能出现的微 观对称元素。特点是,在它们的对称操作中都包
含有平移动作。 晶体微观对称元素 晶体微观对称元素平移轴translation axis为一直线方向,相应
的对称变换为沿此
直线方向平移一定的距离。对于具有平移轴 的图形,当施行上述对称变换后,必可使图
形相同部分重复,亦即整个图形复原。在平 移这一对称变换中,能够使图形复原的最小
平移距离,称为平移轴的移距。晶体结构中的行列均是平移轴平移轴有无限多一般晶体结构-平移轴
一般晶体结构-平移轴?金刚石中的碳原子都以共价键结
金刚石中的碳原子都以共价键结合 合, ,原 原子 子排 排列 列的 的基 基本 本规 规律 律是 是每 每一 一
个碳原子的周围都有4个按照正四 个碳原子的周围都有4个按照正四
面体分布的碳原子;
面体分布的碳原子; 这 这种 种结 结构 构可 可看 看成 成是 是由 由两 两套
套面 面心 心立 立方格子套构而成的,套构的方式 方格子套构而成的,套构的方式
是沿着单胞 [结晶学元胞]立方体
是沿着单胞 [结晶学元胞]立方体 对角线的方向移动1/4距离,是一
对角线的方向移动1/4距离,是一 种 种复 复式 式晶 晶格 格。 。
也可以看成是由许多(111)的
也可以看成是由许多(111)的 原子密排面沿着[111]方向、按照
原子密排面沿着[111]方向、按照 A AB BC CA AB BC CA AB BC C规 规律 律堆 堆积 积起 起
(二)点群、单形及空间群
点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种对称类型，称32种点群
2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。其余类推
同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。如错误!未找到引用源。，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态―单形和聚形：
单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!书签自引用无效。，错误!书签自引用无效。，错误!书签自引用无效。所示
聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一表1- 3 32种点群及所属晶系
晶 系 三 斜 单 斜 正 交 四 方 菱
方 六 方 立 方
1 m m m 2 4 3 6 2 3
对 称
要 素 2 2 2 2 4 3 6 2/m 3
2/m 2/m 2/m 2/m 4/m 3m 6/m 4 3 m
4 2 m 3 2 6 2 m 4 3 2
4 m m 3 2/m 6 m m 4/m 3 2/m
4 2 2 6 2 2
4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/m 定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态
空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4
国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：
P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。
F：代表面心格子。
I：代表体心格子。
C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
