第3讲：质数、合数及分解质因数讲解及习题

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第3讲：质数、合数及分解质因数

(数学：张老师)

【知识点1】质数和合数

一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也叫质数．

一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．

质因数是指：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数

【考点分析】对于质数与合数的考查主要放在概念的理解上，主要以填空、选择的形式出现，一种是文字描述的形式出现，另一种是给定某数让你判别它是质数还是合数；而对于质因数考查的一般是判别给定的数是否为某数的质因数（或者说求某数的质因数），还有一种考法是对给定的数进行质因数的分解。

【典型例题】

1、填空：在正整数中，既不是质数也不是合数的数是_____，既是质数又是偶数的数是______

分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是质数，也不是合数。而2是唯一一个属于质数的偶数，且2是最小的质数。

2、39、47、57、83中为质数的有（ ）

（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83

分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。

3、下列说法中正确的是（ ）

（A）自然数包括质数和合数两类 (B）不存在最小的质数

（C）1既不是质数，也不是合数 （D）2是最小的合数

分析：记住1这个特殊情况。

4、两个质数相乘的积一定是 （ ）

（A）奇数 （B）偶数 （C）质数 （D）合数

分析：用排除法，其中对于D选项，如果有两个质数相乘所得来的数，除了含有这两个质数作它的因数外，至少还有1。所以得数肯定不能为质数。

5、根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中，

（1）是奇数又是质数的数是（ ）； （2）是奇数不是质数的数是（ ）； 跟老雷学考试，问兴趣要分数

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（3）是质数而不是奇数的数是（ ）；（4）是合数而不是偶数的数是（ ）；

（5）是合数而不是奇数的数是（ ）．

6 、在14＝2×7中，2和7都是14的（ ）。

（A）质数 （B）互质数 （C）质因数 （D）公因数

7、12的质因数是（ ）

（A）1，2，3，4 （B）2，3 （C）2，2，3 （D）1，2，3，4，6，12

【知识点2】分解质因数主要方法：树枝分解法、短除法。

分解质因数的方法：

（1）用树枝分解法分解质因数

例如：

72

8×9

2×4×3×3

2×2×2×3×3

常常适用于较小数目

（2）用短除法分解质因数

用短除法分解质因数的步骤如下：

1、 先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除。

2、 得出商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直得出的商是质数为止。

3、 然后把各个除数和最后的商按从小到的顺序写成连乘的形式。 100以内的质数表：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 跟老雷学考试，问兴趣要分数

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例如：

2 7 8

3 3 9

1 3

用短除法分解质因数，初步阶段同学们容易出现错误：

第一左侧边选用的除数出现合数，如：60＝4×3×5

4 6 0

3 1 5

5

一定注意分解质因数的时候，每个因数都必须是质数。

第二最后的商还是合数。如：

5 455

91

一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7，商13，才停止短除。

【典型例题】

8、下列分解质因数正确的是（ ）

（A）42＝2×21 （B）48＝1×2×2×2×2×3

（C）24＝4×6 （D）62＝2×31

每个因数都只能为质数，排除法。

9、把下列各数写成几个质因数乘积的形式．（树枝分解法）

（1）54 （2）153

（3）195 （4）57

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10、把以下各数分解质因数(用短除法)

（1）189 （2）72

（3）238 （4）338

【基础练习1】

一、 填空题

1、1到2到10的正整数中，质数有（ ）个；合数有（ ）个.

2、 20以内不是偶数的合数是（ ）；不是奇数的质数是（ ）.

3、最小的自然数、最小的质数、最小的合数之和是（ ）

4、在23，27，29，31，37，47，51，57，73这些数中，质数是（ ）

5、100以内最大的质数与最小的质数的和是（ ）

二、选择题

1.一个质数含有的因数个数含是（ ）.

A.1个 B.2个 C.3个 D . 4个

2.一个质数的倍数有（ ）.

A.1个 B.2个 C.3个 D . 无数个

3.两个连续自然数的积一定是（ ）.

A.质数 B.合数 C.奇数 D . 偶数

4.把15写成两个质数相加的形式是（ ）. 跟老雷学考试，问兴趣要分数

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A.11+4 B.12+3 C.13+2 D . 14+1

5.下列说法中正确的是（ ）.

A.5的倍数一定是质数 B.5的倍数一定是合数

C.合数都比质数大 D. 除2以外，所有的质数都是奇数

三、解答题

1、有两个质数，它们的和是18，积是65，求这两个数的差.

2、一个两位数既是奇数又是合数，它能被3和5同时整除，这个数最小是多少？

【拓展练习1】

1、由2、3、7三个质数组成一位、两位、三位数中，质数有（）个.

2、梯形上下底的长度都是奇数，高的长度是偶数，那么梯形的面积一定是（）

A.既是奇数又是质数 B. 既是偶数又是质数

C. 既是奇数又是合数 D. 既是偶数又是合数

3、在括号内填上适当质数，是下列等式成立：

（1）（ ）+（ ）=14 （2）28-（ ）=（ ）

小华给出（1）的答案是分别填入3，11；

小强给出（2）的答案是分别填入5，23.

请你评一评，他俩做得对不对？为什么？

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【基础练习2】

一、填空题

1、在算式3329218中，2和9是18的（ ），2和3是18的（ ）（选填“因数”或“质因数”）.

2、21的全部质因数是（ ），全部因数是（ ）.

3、把60分解质因数，结果是60=（ ）.

二、解答题

1、将下列各数分解质因数：

（1）84（用树枝分解法） （2）96（用短除法） （3）171 （4）429

2、一个数既是24的因数，又是24的倍数，求这个数，并将它分解质因数.

3、(1)把144分解成两个因数，使这两个因数的差是10，求这两个因数.

(2)把240分解成两个因数，要使这个因数的差最大，求这两个因数.

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4、一个长方形的周长是56厘米，表示长和宽的数都是质数，试问这个长方形的面积最大是多少？最小是多少？

课后练习1:

一、填空题

1．正整数可以分为 、 和合数三类.

2．质数有 个因数，合数至少有 个因数，1有 个因数.

3．1到20的正整数中，质数有 .

4．最小的质数是 ，最小的合数是 .

5．1既不是 也不是 ，唯一的一个既是偶数又是质数的数是 .

6. 36的全部质因数是 .

7. 分解质因数12＝ ，12的因数是

.

8. 把24分解质因数得 ，24的因数是

.

9．把32分解质因数得 ，32的因数是

.

10．24和32公有的质因数有 ，公有的因数有 .

二、选择题

1、12含有的质因数是（）.

A.1，2，3，4 B.2，3 C.1，2，3 D . 4，6，12

2、8含有的全部质因数是（ ）.

A.222 B.2，2，2 C.2，2 D . 2

3、28和42相同的质因数一共有（ ）个.

A.1 B.2 C.3 D . 4

4、下列式子中，分解质因数正确的是（ ）.

A.92590 B. 173363 C. 55511 D . 33218

5、下列说法中错误的是（ ）.