上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第五章2

[例5.1] 考虑如下线性定常系统

BuAxx

式中

100,651100010BA

利用状态反馈控制Kxu，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。

首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：

3161610100][2BAABBQ

所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配臵极点。

下面，我们来求解这个问题，并用本章介绍的3种方法中的每一种求解。

方法1：第一种方法是利用式（5.13）。该系统的特征方程为：

01566511001||0122323asasasssssssAsI

因此

1,5,6012aaa

期望的特征方程为

02006014)10)(42)(42(*0*12*2323asasasssssjsjs

因此

200a60a14a012***,,

参照式（5.13），可得

]855199[]6145601200[K

方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为

][321kkkK

并使||BKAsI和期望的特征多项式相等，可得

651100010000000||sssBKAsI321[100kkk

20060141)5()6(65110012312233321ssskskskskskkss

因此

2001,605,146123kkk

从中可得

8,55,199321kkk

或

]855199[K

方法3：第三种方法是利用爱克曼公式。参见式（5.18），可得

)(]][100[*12ABAABBK

由于

IAAAA2006014)(23*

11743771598855199100010001200651100010606511000101465110001023

且

3161610100][2BAABB

可得

]855199[11743771598855199001016165]100[117437715988551993161610100]100[1K

显然，这3种方法所得到的反馈增益矩阵K是相同的。使用状态反馈方法，正如所期望的那样，可将闭环极点配臵在s = -2±j4和s = -10处。

应当注意，如果系统的阶次n等于或大于4，则推荐使用方法1和3，因为所有的矩阵计算都可由计算机实现。如果使用方法2，由于计算机不能处理含有未知参数nkkk,,,21的特征方程，因此必须进行手工计算。

5.2.6 注释

对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环极点的位臵（这决定了响应速度与阻尼），这一点很重要。注意，所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快速性和干扰、测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快误差响应速度，则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。如果系统是2阶的，那么系统的动态特性（响应特性）正好与系统期望的闭环极点和零点的位臵联系起来。对于更高阶的系统，期望的闭环极点位臵不能和系统的动态特性（响应特性）联系起来。因此，在决定给定系统的状态反馈增益

矩阵K时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基于几种不同的期望特征方程）下的响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵K。

5.3 利用极点配臵法设计调节器型系统

考虑如图5.2所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在平面内运动的二维问题。

图5.2 倒立摆系统

希望在有干扰时，保持摆垂直。当以合适的控制力施加于小车时，可将该倾斜的摆返回到垂直位臵，且在每一控制过程结束时，小车都将返回到参考位臵θ= 0。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，用合理的阻尼（如对主导闭环极点有ζ=0.5），可快速地（如调整时间约为2秒）使摆返回至垂直位臵，并使小车返回至参考位臵（θ = 0）。假设M、m和l的值为

M = 2千克， m = 0.1千克， l = 0.5米

进一步设摆的质量集中在杆的顶端，且杆是无质量的。

对于给定的角度θ和（/或）角速度的初始条件，设计一个使倒立摆保持在垂直位臵的控制系统。此外，还要求控制系统在每一控制过程结束时，小车返回到参考位臵。该系统对初始条件的干扰有效地做出响应（所期望的角θd总为零，并且期望的小车的位臵总在参考位臵上。因此，该系统是一个调节器系统）。

这里，我们采用极点配臵的状态反馈控制方法来设计控制器。如前所述，对任意极点配臵的充要条件为系统状态完全能控。

设计的第一步是推导倒立摆系统的数学模型。

5.3.1 数学建模

我们首先推导了如下图5.a所示的倒立摆系统的数学模型。

结论：当角度θ不大时，描述系统动态特性的方程可以写为

mglxmlmlumlxmM2)(

整理后可得

ugmMMl)( (5.21)

mguxM (5.22)

从式（5.21）可得系统的传递函数为

gmMMlssUs)(1)()(2

代入给定的数值，且注意到g = 9.81米/秒2，可得

222)539.4(1601.201)()(sssUS

显然，该倒立摆系统在负实轴上有一个极点（s = -4.539），另一个极点在正实轴上（s = 4.539），因此，该系统是开环不稳定的。

定义状态变量为

xxxxxx4321

注意，θ表示摆杆围绕点P的旋转角，x表示小车的位臵，将θ和x作为系统的输出，即

3121xxxyyy

又由于θ和x均是易于量测的量。由状态变量的定义和式（5.21）和（5.22），可得

uMgxMmxxxuMlgxMlmMxxx1144311221

以向量-矩阵方程的形式表示，可得

uMMlxxxxgMmgmlmMxxxx10104321000100000000104321

(5.23)

43212101000001xxxxyy (5.24)

式（5.23）和（5.24）给出了该倒立摆系统的状态空间表达式（注意，该系统的状态空间表达式不是唯一的，存在无穷多个这样的表达式）。

代入给定的M、m和l的值，可得

5.01,11,4905.0,601.20MMlgMmgMlmM

于是，式（5.23）和（5.24）可重写为

CxyBuAxx

式中

01000001,5.0010,0004905.01000000601.200010CBA

采用下列线性状态反馈控制方案

Kxu

为此首先检验该系统是否状态完全能控。由于

04905.005.04905.005.000601.2001601.20010][32BABAABBQ

的秩为4，所以系统是状态完全能控的。

系统的特征方程为

0601.20004905..010000601.20001||012233424asasasasssssssAsI

因此

0,0,601.20,00123aaaa

其次，选择期望的闭环极点位臵。由于要求系统具有相当短的调整时间（约2秒）和合适的阻尼（在标准的二阶系统中等价于ξ= 0.5），所以我们选择期望的闭环极点为is(i =1,2,3,4），其中

10,10,322,3224321jj

在这种情况下，μ1，和μ2是一对具有ξ= 0.5和ωn

= 4的主导闭环极点。剩余的两个极点μ3和μ4位于远离主导闭环极点对的左边。因此，μ3和μ4响应的影响很小。所以，可满足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程为

0160072019624)100202)(1642()10)(10)(322)(322())()()((*0*12*23*342344321asasasasssssssssssjsjsssss

因此

1600,720,196,24*0*1*2*3aaaa

现采用式（5.13）来确定状态反馈增益矩阵K，即

133221100][cTaaaaaaaaK

式中cT由下式得到

1010010001bbAbAT1n21321n2n1nc

10601.200010601.20001000015.004905.0005.004905.010601.200010601.20

5.0081.9005.0081.910000100