上海交大杜秀华老师现代控制理论 控制系统状态空间表达式的解

三、 多输入多输出系统的标准形旺纳姆（Wonham ）标准形和龙伯格（Luenberger ）标准形。

1.多输入多输出系统的能控标准形考虑线性定常系统:Σx Ax Bu y Cx=+=x 为n 维状态向量，u 为p 输入向量，y 为q 维输出向量如果系统能控，则系统的能控性矩阵的秩为n ，即cQ 中有n 个线性无关列。

111121212[]c Q b b b Ab Ab Ab A b A b A b n n n p p p ---=对多输入系统，1p >，c Q 中有np 列，所以，在c Q 中可以找出很多种n 个线性无关列的情况。

这里介绍两种寻找n 个线性无关列的方法，以构成状态变换阵，将状态空间描述形式变换为旺纳姆能控标准形和龙伯格能控标准形。

定理 [旺纳姆能控标准形]对完全能控的线性定常系统，存在线性非奇异变换1x Px Q x -==使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形:Σx A x B u y C xcW c c c =+=式中111211222A A A 0A A A Q AQ 00A m m c mm -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11(11(1)11010011,2,,0001A ,i i ii i mννννααα⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦）112()00,1,,00A i j ij ij ij ij j i m νννγγγ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1(1)11(1)001001B Q B m p c n m np ββββ+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C CQ c =（无特殊形式）证明：见书 例 求如下系统的旺纳姆能控标准形121100*********A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦计算系统的能控性矩阵2101204010101001042BABA B c Q ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3c Q rank =，系统完全能控。

现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。

2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。

状态变量个数是2。

…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。

（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。

若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。

…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。

第六章稳定性与李雅普诺夫（Lyapunov）方法6.1 概述研究平衡状态及其稳定性介绍两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。

第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解的非线性微分方程，通过构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。

一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。

虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，需要技巧和经验。

6.2 Lyapunov 意义下的稳定性问题一、 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (6.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量1x ,2x ,…,n x 和t 的n 维向量函数。

假设在给定初始条件下，式(6.1）有唯一解),;(00t x t Φ，且当0t t =时，0x x =。

于是0000),;(x t x t =Φ在式(6.1)的系统中，总存在0),(≡t x f e , 对所有t (6.2) 则称e x 为系统的平衡状态或平衡点。

如果系统是线性定常的，也就是说Ax t x f =),(，则当A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态0=e x ；当A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。

对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t ，总存在e x x =）。

平衡状态的确定不包括式(6.1)的系统微分方程的解，只涉及式(6.2）的解。

任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动)(t x φ=都可通过坐标变换，统一化为扰动方程),~(~~t x f x = 之坐标原点，即0),0(~=t f 或0~=e x 。

《现代控制理论》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：AU3022、课程名称（中/英文）：现代控制理论（Modern Control System）3、学时/学分：54学时/3学分4、先修课程：自动控制理论5、面向对象：自动化专业本科生，相邻专业研究生6、开课院（系）、教研室：自动化系7、教材、教学参考书：教材：现代控制理论刘豹机械工业出版社2000教学参考书：Linear System Theory and Design Chi-Tsong Chen Oxford university press 1999二、本课程的性质和任务现代控制理论是自动化专业的高年级本科生的必修课程，课程包括了现代控制理论中的基础理论部分，主要内容为线性系统理论基础内容。

课程首先介绍了控制理论的发展概况和应用概况，说明了线性系统的特性，然后深入讲解系统的状态空间描述，状态空间表达式的求解，线性控制系统的能控性和能观性、系统的稳定性和李雅普诺夫方法、线性定常系统的综合，最优控制问题的概述和线性定常二次型最优控制问题。

通过本课程的学习，学生可以掌握线性系统的基本分析和设计方法，为学生学习后继课程、从事工程技术工作、科学研究及开拓性技术工作打下坚实的基础。

三、本课程教学内容和基本要求《现代控制理论》现代控制理论的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。

(数字表示供参考的相应的学时数)第一章概论(1)控制理论的发展、现代控制理论的特点及举例、线性系统的特点(1)要求：掌握现代控制理论与经典控制理论的不同点和线性系统的特点。

第二章控制系统的状态空间表达式（7）1．状态变量及状态空间表达式、状态空间表达式的模拟结构图（2）2．状态空间表达式的建立（一）（1）3．状态空间表达式的建立（二）（1）4．状态向量的线性变换（1）5．由状态空间表达式求传递函数阵、时变系统和非线性系统的状态空间表达式（2）要求：熟练掌握系统状态空间表达方法的概念、形式，掌握系统状态空间表达式的各种建立方法、掌握系统的线性变换方法、掌握模型转换方法。

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CC L L R L L R x x x 。

Elements of Modern Control Theory主讲：董霞现代控制理论基础西安交通大学机械工程学院第二章控制系统的状态空间描述§2.1 基本概念§2.2 系统的状态空间描述§2.3 由微分方程求状态空间表达式§2.4 由传递函数求状态空间表达式§2.5 非线性状态方程的线性化§2.6 系统的传递函数矩阵§2.7 状态方程的线性变换§2.8 机电液系统状态空间表达式的建立§2.9基于Matlab的系统模型转换§2.1 基本概念在对控制系统进行动态分析和研究时,首先需要建立系统的数学描述，即数学模型。

在经典控制理论中，只表明系统输入-输出关系的数学描述通常是微分方程（或差分方程）、传递函数（代数方程）或方框图。

在现代控制理论中，对于系统的数学描述除了表达系统的输入-输出关系外，还要加上反映系统内部状态变化的参量-状态变量，这种描述方法称状态空间描述。

其数学模型为状态空间方程。

基本概念1.状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。

状态可以理解为系统记忆，t=t 0时刻的初始状态能记忆系统在t<t 0时的全部输入信息。

2. 状态变量：动态系统的状态变量是确定动态系统状态的数量最少的一组变量。

如果能用最少的n个变量就能完全描述动态系统的行为，即一旦已知t≥t 0时的输入并且给定t=t 0时的初始状态，则系统在t≥t 0时刻的状态就完全可以确定，那么这样的n个变量就是系统的一组状态变量。

应该注意的是，状态变量的选择具有自由性，它并不一定要在物理上可测量或可观测，但从实用上考虑，应尽可能取容易测量的量作为状态变量，这样会带来很多方便。

1(),x t 2(),,()L n x t x t3.状态向量：如果完全描述一个系统的动态行为需要n个状态变量，那么可将这n个状态变量看作向量的各个分量，就叫状态向量。

5.4.9 系统设计的分离性原理：观测器的引入对闭环系统的影响1、闭环系统设计的分离性原理在极点配置的设计过程中，假设真实状态)(t x 可用于反馈。

然而实际上，真实状态)(t x 可能无法量测，所以必须设计一个观测器，并且将观测到的状态)(~t x 用于反馈，如 图5.6所示。

因此，该设计过程分为两个阶段，第一个阶图5.6 带观测器的状态反馈控制系统段是确定反馈增益矩阵K ，以产生期望的反馈闭环系统的特征方程；第二个阶段是确定观测器的增益矩阵e K ，以产生期望的观测器特征方程。

这里不采用真实状态)(t x 而采用观测或重构的状态)(~t x 来实现系统的状态反馈。

需要研究这种方式对闭环反馈系统的影响。

考虑如下线性定常系统Cxy BuAx x =+=且假定该系统状态完全能控且完全能观测。

对基于重构状态x ~的线性状态反馈控制v x K u ＋~-=利用该控制，状态方程为)~()(~x x BK Bv x BK A Bv x BK Ax x-++-=+-=(5.57)将真实状态)(t x 和重构状态)(~t x 之差定义为误差)(t e ，即)(~)()(t x t x t e -=将误差向量代入式（5.57），得BKe Bv x BK A x++-=)(（5.58）注意，观测器的误差方程由式（5.31）给出，重写为e C K A e e )(-=（5.59）将式（5.58）和(5.59)合并，可得v B e x C K A BK BK A e x e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00＋ (5.60)又[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e x C y 0式（5.60）描述了带观测器的状态反馈控制系统的动态特性。

该系统的特征方程为00=+--+-CK A sI BKBK A sI e或0=+-+-C K A sI BK A sI e注意，带观测器的状态反馈控制系统的闭环极点由极点配置单独设计产生的极点和由观测器单独设计产生的极点两部分组成。