复习题2
一、填空题（每小题4分，共20分）
1. 设曲线L :422=+y x ，则曲线积分=
++-⎰L
ds y x y x 22)1(π8．
2．若在全平面上曲线积分dy y x dx x axy L
)cos ()sin 2-++⎰（与路径无关，则常数
=a 2 .
3．向量场{}
z xy y e y e F x x ln ,cos ,sin =
的散度 =
F div z
xy ．
4．设球面∑：2222R z y x =++的质量面密度222),,(z y x z y x ++=ρ，则球面构件的质量为
3
4R π．
5. 幂级数∑∞
=+014n n n
x 在收敛区间）
（4,4-上的和函数=)(x s x
-41 ．
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．设有向曲线L 为x y =，从点)1,1(到点)0,0(，则⎰=L
dx y x f ),(（ B ）.
A . dx x x f ⎰
10
),(; B. dx x x f ⎰
01),(; C.
dy y y f ⎰
01
2),(;
D.
dy y y f y ⎰
10
2),(2.
2．设曲面∑质量分布均匀，且曲面∑的面积3=A ，曲面∑的质心是)0,1,2(-，则=⎰⎰∑
dS y （ A ）．
A . 3-; B. 2-; C. 0; D. 1.
3．设曲面∑为1-=z （10,10≤≤≤≤y x ）的上侧，则（ D ）. A . ⎰⎰∑
=1zdxdy ; B. ⎰⎰∑
=1zdydz ;
C.
⎰⎰∑
-=1zdzdx ; D. ⎰⎰∑
-=1zdxdy .
4. 下列正项级数中收敛的是（ B ）.
A. ∑∞
=-1
435n n
n
n ; B. ∑∞
=02n n n ; C. ∑
∞
=1
1n n
;
D.
∑∞
=+12
1
n n
n . 5. 幂级数n
n n x n
∑
∞
=-1
)1(（ C ）. A. 在1-=x ，1=x 处均发散; B. 在1-=x 处收敛，在1=x 处发散; C. 在1-=x 处发散，在1=x 处收敛; D. 在1-=x ，1=x 处均收敛.
6． 设()f x 是以2π为周期的函数，在一个周期内⎩⎨⎧<<+≤≤--=ππx x x x x f 0,
10,1)( ，
则()f x 的傅里叶级数在点0=x 处收敛于（ B ）.
A. 2;
B. 1;
C. 0;
D. 1-.
三、（6分）设曲线L :12+=x y （10≤≤x ）上任意一点处的质量密度为
xy y x =),(ρ，求该曲线构件的质量M .
解： 2='y ，dx ds 5=， （1分）
⎰=L
ds xy M （3分）
⎰+=1
5)12(dx x x （5分）
6
5
7=
（6分）
四、（6分）求质点在平面力场j x i y y x F
2),(+=作用下沿抛物线L ：21x y -=从
点)0,1(移动到点()1,0所做的功W 的值.
解： ⎰+=L
dy x dx y W 2 （2分）
[]
⎰-+-=0
1
2)2(21dx x x x （4分）
⎰-=0
1
2)51dx x （ （5分）
3
2
=
（6分）
五、（7分）利用格林公式计算曲线积分⎰++++L
dy x x y dx y x y )13sin 2()cos (2，
其中曲线L 为122=+y x 的右半部分，从)1,0(-A 到)1,0(B .
解： 0:1=x L ，y 从1到1-， （1分）
,1cos 2,
cos 2+=∂∂+=x y y
P
y x y P ,3cos 2,13sin 2+=∂∂++=x y x Q x x y Q （2分） π==∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰⎰⎰
+dxdy dxdy y P
x Q Qdy Pdx D
D
L L 2)1
（
， （5分） 又
⎰⎰
--==+11
21
dy Qdy Pdx L （6分）
所以2)13sin 2()cos (2+=++++⎰πL
dy x x y dx y x y （7分）
六、 （6分）利用对面积的曲面积分计算旋转抛物面∑：221y x z --=在xoy 面上方部分的面积．
解： 221y x z --=，,2,2y z x z y x -='-='dxdy y x dS 2
2441++=， （1分）
⎰⎰∑
=dS A （2分）
dxdy y x D
⎰⎰++=22441 （4分）
ρρρθπd d ⎰⎰+=1
220
41 （5分）
π6
1
55-=
（6分）
七、（6分）利用高斯公式计算曲面积分
yzdxdy
dzdx yz dydz xy -+⎰⎰∑
, ∑其中为
圆锥面22y x z +=及平面0=z ，1=z 所围成的圆锥体Ω的整个边界曲面的外侧． 解： yz R yz Q xy P -===,,，
