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大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
大一微积分高数期末知识点微积分是大一高数课程中的一门重要学科，涵盖了许多基础的数学知识和计算方法。
在期末考试前，了解和掌握微积分的关键知识点对于取得好成绩至关重要。
本文将为您总结大一微积分高数期末考试中的主要知识点。
一、极限与连续1. 极限的定义和性质极限是微积分的核心概念之一，了解极限的定义和性质是理解微积分的基础。
掌握函数极限和数列极限的定义，熟练运用极限的性质进行计算和证明是必不可少的。
2. 连续的概念与判定了解函数在某一点的连续性的定义和判定方法。
可利用极限的性质判定函数在某一点的连续性。
二、导数与微分1. 导数的定义和计算法则理解导数的定义和计算法则是解决微积分问题的关键。
熟悉基本的导数计算法则，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数等，并能够熟练运用。
2. 高阶导数了解高阶导数的概念和计算方法。
能够使用高阶导数解决相关的数学问题。
3. 微分的概念与应用理解微分的概念，能够根据问题应用微分进行计算，如求近似值、求最大值最小值等。
三、积分与不定积分1. 积分的定义和计算法则熟悉积分的定义和计算法则，包括基本积分法则、分部积分法、换元积分法等。
能够运用这些法则解决各种不定积分问题。
2. 定积分了解定积分的概念和几何意义。
能够计算定积分，求解曲线下的面积、弧长、旋转体的体积等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念了解微分方程的定义和基本概念，包括阶数、常微分方程和偏微分方程等。
2. 一阶常微分方程掌握一阶常微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
3. 高阶常微分方程了解高阶常微分方程的求解方法，特别是二阶常微分方程的特征方程法和常系数法等。
五、级数与幂级数1. 级数的定义和性质掌握级数的概念及其基本性质，理解级数的敛散性和收敛域的判定方法。
2. 幂级数了解幂级数的定义和性质，掌握幂级数的收敛域和求和方法，熟练运用幂级数求解函数展开和逼近问题。
六、空间解析几何1. 空间直角坐标系与向量理解空间直角坐标系的基本概念和性质，熟悉向量的基本运算法则和坐标表示。
09-10年微积分 (高数(三)) （下）期末复习指导第六章定积分一．本章重点定积分的基本性质，定积分的计算，变上限定积分的求导法。
二．复习要求1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。
函数()f x的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。
函数()f x在[],a b上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数()f x及积分区间[],a b有关。
2. 理解并记住定积分的基本性质。
3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法：4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。
牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数()f x的一个原函数()F x，再应用牛—莱公式即可。
因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。
5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。
注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。
定积分适用分部积分的类型及u、dv的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出auvb的值。
6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。
7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。
三．例题选解例1.求极限limx+→46arcsinxx⎰解: 这是型不定式，应用罗彼塔法则及变上限定积分求导法，有原式＝35(arcsinlim6xxx+→＝23524lim6xx xx+→⋅（无穷小代换）＝43例2. 求定积分：⑴11x-⎰⑵dxxx⎰+411（3）21exdx⎰.解: ⑴根据奇函数在对称区间积分的性质，有：11x-=⎰⑵．本题被积函数含一次函数的根式，且不能用直接积分法和凑微分求解，适用第二类换元法。
令t=则2,2x t dx tdt==；当1=x时，1=t，当4x=时2t=.dxxx⎰+411=tdttt21212⋅+⎰=dttt⎰+212212=dttt⎰+-+21221222=dtt⎰+-212122=21)arctan22(tt-（3）显然本题积分21exdx⎰属适用分步积分的类型.,根据)11(1++=αααx d dx x ，可得25552444(41)525251e e x e =-=+. 例3. 求1y x -=、y x =、2x =围成的平面图形的面积以及该平面图形绕X 轴旋转一周形成的旋转体的体积。
高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点微积分是高等数学一门重要的学科，对于大部分学习该学科的学生来说，微积分考试是一个必须要过的关卡。
为了帮助大家更好地应对微积分考试，下面将对微积分的重点内容进行归纳总结，希望对大家有所帮助。
1. 导数与微分- 定义：导数是描述函数在某一点的变化率，微分是导数的代数形式。
- 基本公式：常见函数的导函数，如幂函数、指数函数、对数函数等。
- 高阶导数：描述函数变化率变化的快慢程度。
2. 极限与连续性- 极限的概念：函数逐渐趋近于某一值的过程。
- 常见极限：基本极限，如常数极限、幂函数极限、指数函数极限等。
- 连续性：函数在某一点上没有间断的特性。
- 常见连续函数：多项式函数、三角函数、指数函数等。
3. 微分中值定理与导数应用- 中值定理：介于两个点之间存在某一点，该点的切线斜率等于这两个点的斜率之差。
- 增量与微分：增量是函数值的改变量，微分是函数值的无穷小部分。
- 泰勒展开：将函数表示为幂级数的形式，用来逼近函数在某一点附近的近似值。
4. 积分与定积分- 不定积分：求函数的原函数，即求导的逆运算。
- 定积分：表示曲线下面的面积。
- 牛顿-莱布尼兹公式：定积分与不定积分的关系。
5. 微分方程与应用- 常微分方程：描述变化的过程中，一些量的关系式。
- 一阶微分方程：只涉及到一阶导数的方程。
- 区分可分离方程、一阶线性方程、齐次方程、可化为齐次形式的方程等常见类型。
以上就是微积分考试的必过归纳总结要点重点，希望对大家的学习有所帮助。
无论是在理论还是实际应用中，微积分都是一门重要的学科，需要大家掌握扎实。
希望大家通过复习和练习，能够在微积分考试中取得好成绩。
祝愿大家学业进步！。
微积分(知识点概要)微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
3初等函数（P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。
大一微积分下期期末知识点微积分是数学的一个重要分支，对于大一学生而言，学习微积分是非常重要的一门课程。
下面我将为大家总结一下大一微积分下学期期末考试的知识点，希望能够帮助大家复习和备考。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质- 函数的定义及表示法- 常见函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等2. 极限的定义与性质- 极限的定义与极限存在的条件- 极限的性质：唯一性、局部有界性等- 极限运算法则：四则运算、复合函数、有理函数等3. 极限的计算- 基本初等函数的极限计算- 无穷大与无穷小的概念与计算- 极限存在的判定方法：夹逼准则、单调有界准则等二、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义与几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系- 常见函数的导数公式与性质2. 导数的计算- 基本初等函数的导数计算- 导数的四则运算法则与复合函数求导法则- 高阶导数的定义与计算3. 微分的概念与性质- 微分的定义与几何意义- 微分的计算与近似计算三、微分中值定理与应用1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理- 罗尔中值定理的条件与结论- 拉格朗日中值定理的条件与结论2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义与表述- 泰勒公式的应用：函数近似、极值、曲线拟合等3. 函数的单调性与曲线的凹凸性- 函数单调性的判定方法- 函数曲线的凹凸性与拐点的判定方法四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义与几何意义- 基本积分表与常见公式2. 不定积分的计算方法- 基本积分法与换元积分法- 分部积分法与有理函数积分法3. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性、区间可加性等4. 定积分的计算- 几何应用：面积、体积、弧长等- 基本积分表与常见公式的应用五、微分方程与其应用1. 微分方程的基本概念与分类- 微分方程的定义与基本概念- 一阶微分方程与高阶微分方程的分类2. 一阶微分方程的求解- 可分离变量方程的求解- 齐次方程的求解- 一阶线性微分方程的求解3. 高阶微分方程的求解- 常系数齐次线性微分方程的求解- 非齐次线性微分方程的求解：待定系数法、常数变易法等4. 微分方程的应用- 物理问题中的微分方程建模- 生物问题中的微分方程建模以上就是大一微积分下学期期末考试的知识点总结。
大学数学微积分复习重点微积分是大学数学中的重要组成部分，对于理工科和经济类专业的学生来说，掌握微积分知识至关重要。
为了帮助大家更好地复习微积分，以下是一些重点内容。
一、函数与极限函数是微积分的基础，要理解函数的概念，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
掌握常见函数的性质和图像，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
极限是微积分的核心概念之一。
要掌握极限的定义、性质和运算法则。
学会求各种类型的极限，如数列极限、函数极限（包括趋向于无穷大、某一点等情况）。
熟练运用极限的四则运算法则、两个重要极限以及等价无穷小替换等方法来计算极限。
二、导数与微分导数是函数的变化率，要理解导数的定义和几何意义。
掌握基本初等函数的求导公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数。
熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
微分是导数的应用，理解微分的概念和几何意义。
掌握微分的运算法则，以及利用微分进行近似计算和误差估计。
三、中值定理与导数的应用中值定理是微积分中的重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
要理解这些定理的条件和结论，并能够运用它们证明相关的问题。
导数的应用广泛，如函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点、函数图形的描绘等。
通过求导判断函数的单调性和极值点，利用二阶导数判断函数的凹凸性和拐点，能够准确地描绘出函数的图形。
四、不定积分与定积分不定积分是求导的逆运算，要掌握不定积分的基本公式和积分方法，如换元积分法、分部积分法。
定积分是微积分的重要内容，理解定积分的定义、几何意义和性质。
掌握定积分的计算方法，包括牛顿莱布尼茨公式。
能够运用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
五、反常积分反常积分包括无穷限的反常积分和无界函数的反常积分。
要理解反常积分的收敛和发散的概念，掌握反常积分的计算方法和判别敛散性的方法。
六、多元函数微积分对于多元函数，要理解多元函数的概念、定义域、值域。
微积分期末复习重点纲要z h s h u y u a nSANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#09-10年微积分 (高数(三)) （下）期末复习指导第六章定积分一．本章重点定积分的基本性质，定积分的计算，变上限定积分的求导法。
二．复习要求1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。
函数()f x的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。
函数()f x在[],a b上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数()f x及积分区间[],a b有关。
2. 理解并记住定积分的基本性质。
3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法：4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。
牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数()f x的一个原函数()F x，再应用牛—莱公式即可。
因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。
5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。
注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。
定积分适用分部积分的类型及u、dv的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出auvb的值。
6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。
7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。
三．例题选解例1.求极限limx+→46arcsinxx⎰解: 这是型不定式，应用罗彼塔法则及变上限定积分求导法，有原式＝35(arcsinlim6xxx+→＝23524lim6xx xx+→⋅（无穷小代换）＝43例2. 求定积分：⑴11x-⎰⑵dxxx⎰+411（3）21exdx⎰.解: ⑴根据奇函数在对称区间积分的性质，有：11x-=⎰⑵．本题被积函数含一次函数的根式，且不能用直接积分法和凑微分求解，适用第二类换元法。
令t=则2,2x t dx tdt==；当1=x时，1=t，当4x=时2t=.dxxx⎰+411=tdttt21212⋅+⎰=dttt⎰+212212=dttt⎰+-+21221222=dtt⎰+-212122=21)arctan22(tt-（3）显然本题积分21e xdx ⎰ 属适用分步积分的类型.,根据)11(1++=αααx d dx x ，可得25552444(41)525251e e x e =-=+. 例3. 求1y x -=、y x =、2x =围成的平面图形的面积以及该平面图形绕X 轴旋转一周形成的旋转体的体积。
解：由所给曲线方程解得交点：（1，1），（2，12），(2，2) .画出平面图形如下:（1）求平面图形的面积.视平面图形为X 形区域，得平面图形面积为：＝223(ln )ln 2122x x -=-（2）求旋转体的体积.视平面图形为X 形区域，有： 四．练习题及参考答案1、求极限34limx x x →⎰2、求积分⑴35-⎰⑵3⎰（3）4cos 2x xdx π⎰.3、求由曲线sin y x =，直线2y x =以及2x π=围成的平面区域D 的面积，及区域D 绕X 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
参考答案：1、3.42、⑴ 0；⑵ 11615；（3）1.84π-3、⑴21;4π-⑵4264ππ-.自我复习习题六 (A) 4. (3)、(5). 5.(3)、（6）、(8)、(10) .6.（1）、(3) . 12.(1) 、(3)、 (5) . 14.(1)、(2) .21. (2)、(5). 25.(1)、(2).第七章 无穷级数一．本章重点数项级数收敛性的判定(包括正项级数的收敛性判定；交错级数的绝对收敛与条件收敛的判定)。
幂级数的收敛域的确定。
利用幂级数的性质求幂级数的和函数。
二．复习要求1. 理解级数的基本概念； 记住级数的基本性质，特别是：若级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim 0n n u →∞=，但lim 0n n u →∞=时，级数1nn u∞=∑未必收敛。
2. 熟记等比级数 1n n aq ∞=∑ 的敛散性：当|q|<1时，等比级数1n n aq ∞=∑收敛到1aqq-； 当|q|≥1时，等比级数1n n aq ∞=∑发散。
3. 熟记p 级数 11pn n∞=∑的敛散性：当p>1时，p 级数11p n n ∞=∑收敛；当p ≤1时，p 级数11p n n∞=∑发散。
4. 熟练掌握正项级数收敛性的判定。
(1)首先考察是否有lim 0n n u →∞≠，若有则1nn u∞=∑必发散；(2)通常可先考虑用比值判别法判定正项级数的1nn u∞=∑收敛性，特别是n u 中含!n 或na 的情形。
(3)考虑用比较判别法时，应先对通项n u 作初步估计，再用适合的p 级数的通项与之比较作出判定。
5.熟练掌握交错级数1(1)(0)nnn n u u ∞=->∑绝对收敛还是条件收敛的判定。
(1)先考查1n n u ∞=∑是否收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则1(1)nnn u∞=-∑ 是绝对收敛；(2)若1nn u∞=∑ 发散，则用莱布尼兹判别法判定1(1)n n n u ∞=-∑ 是否收敛，若收敛，则为条件收敛。
6. 会求幂级数的收敛域。
(1) 对不缺项的幂级数0n n n a x ∞=∑（允许缺有限项），取其后项与前项系数之比的绝对值取极限：1limn n na l a +→∞= 确定收敛半径1R l=及收敛区间(,)R R -。
对有缺项的幂级数（指缺无限多项），则直接取其后项与前项之比的绝对值取极限：1()lim ()n n nu x l u x +→∞= 然后根据定理确定收敛半径R 及收敛区间(,)R R -。
(2) 讨论(-R , R )的端点x R =- 及x R =处级数0n n n a x ∞=∑的收敛性，并写出收敛域(收敛区间加收敛的端点)。
7. 熟记幂级数的性质，特别是幂级数在收敛区间内可以逐项微分、逐项积分的性质，并能应用它们及如下公式求幂级数的和函数。
(1)01111n n x x x∞==-<<-∑(2) 101(1)111n n n x x x∞-=-=-<<+∑三.例题选讲例1．判定下列级数的敛散性，对交错级数需说明是绝对收敛还是条件收敛 (1). 11(1cos )n n∞=-∑(2) 11(1)n n ∞-=-∑(3) 1(1)(1)3nnn n n ∞=+-∑解：(1)令11cos n u n =-当n →+∞时，2)1(21~nu n ， 显然 2112n n∞=∑收敛，故原级数收敛。
小结：利用p 级数作比较标准，用比较判别法来判别正项级数的敛散性时，用等价无穷小代换是一个简便实用的方法，常用的等价无穷小代换还有：n →+∞时， n n 1~1sin ，nn 1~)11ln(+……（参见教材P79）。
(2) 132132)1(111+∑=+-∑∞=-∞=n n n n n ，事实上 ，根据正项级数的比较判别法的极限形式， 因为1233lim 233lim 32232lim=+=+=+∞→∞→∞→n n n n nn n n n 又因为nnn n 1323211∞=∞=∑=∑=发散，所以11(1)n n ∞-=-∑发散；但有:记132+=n u n1n n u u +=>=，lim 0n n u →∞=，所以交错级数11(1)n n ∞-=-∑敛。
(3). n n n n n n n n n 3)1(3)1()1(111+∑=+-∑∞=-∞=， 根据正项级数的比值判别法，由13132lim 3)1(3)2)(1(lim1<=+=+++∞→+∞→n n n n n n n nn n n n n n 3)1(1+∑∴∞=收敛 ∴1(1)(1)3nnn n n ∞=+-∑绝对收敛。
例2 求幂级数 21112n n n x ∞-=∑ 的收敛半径和收敛区间.解：所给幂级数为缺项情形,由2(1)1121211()12lim lim 1()22n n n n n n n nx u x x u x x+-++→∞→∞-== 根据定理7-12,当2112x <即x <,所给幂级数绝对收敛; 当2112x >即x >,所给幂级数发散.所以幂级数的收敛半径R =(.例3.求0(2)n n n x ∞=+∑的收敛半径,收敛区间及和函数,解: 记2n a n =+,则幂级数收敛半径为:12limlim 13n n n n a n R a n →∞→∞++===+,收敛区间为(1,1)-.且当1x =±时,幂级数为(2)(1)nn n ∞=+±∑,其通项求极限∴幂级数的收敛域也是(1,1).-记幂级数和函数为()f x .即 (1)当0x ≠时,=)1(1)(1)(122020'-='∑='∑+∞=+∞=xx x x x x x n n n n =222)1(2)1(21x x x x x x --=--⋅ （2）当0=x 时，=)(x f 2 综上: 22()11(1)xf x x x -=-<<-四．练习题及参考答案1. 判定下列级数的敛散性。
(1) 111(1)3n n n n ∞--=-∑(2)111(1))n n n ∞-=-+∑(3) 11(1)31n n n -∞=-+∑(4) 111(1)41n n n n ∞-=--+∑ 2. 求幂级数21(1)5nnn n x ∞=-∑的收敛半径和收敛区间. 3. 求21n n nx∞+=∑的收敛半径,收敛区间及和函数。
参考答案：1.(1).绝对收敛 ；(2).绝对收敛；(3)条件收敛 ; (4) 发散.2.(R =-收敛区间3 32(1,1),()(1)x f x x -=-.自我复习：习题七(A)4. (7) ,(8) ；5,(4); 7.(1),(3); 8. (1),(3); 9. (5),(12); 10. (2).第八章 多元函数一．本章重点多元函数的偏导数及全微分；多元函数的极值与条件极值；二重积分在直角坐标系下的计算。
二．复习要求1.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；2.熟练掌握二元函数一阶及二阶偏导数的计算，会求二元函数的全微分；3.熟练掌握多元复合函数的链式求导法，特别是抽象复合函数的偏导数求导法；4.熟练掌握利用多元复合函数求导法导出的隐函数求导公式：若(,,)0F x y z =可确定隐函数(,)z f x y =则 ,y x z z F F zz x F y F ''∂∂=-=-''∂∂ 求 ,,x y z F F F ''' 时，均视,,x y z 为地位平等的自变量。
