微积分期末复习重点纲要z h s h u y u a n
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
09-10年微积分 (高数(三)) （下）期末复习指导
第六章定积分
一．本章重点
定积分的基本性质，定积分的计算，
变上限定积分的求导法。
二．复习要求
1. 理解定积分的概念，知道定积分与不
定积分的区别。
函数()
f x的不定积分是求导和求微分运
算的逆运算。函数()
f x在[],a b上的定积
分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数()
f x及积分区间[],a b有关。
2. 理解并记住定积分的基本性质。
3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握
求变上限定积分的导数的方法：
4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定
积分的方法。
牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来，求定积分的
值，只需求出被积函数()
f x的一个原函
数()
F x，再应用牛—莱公式即可。因而
计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。
5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。
注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。
定积分适用分部积分的类型及u、dv的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计
算出a
uv
b
的值。
6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。
三．例题选解
例1.求极限
lim
x+
→
4
6
arcsin
x
x
⎰
解: 这是
型不定式，应用罗彼塔法则及变上限定积分求导法，有
原式＝
3
5
(arcsin
lim
6
x
x
x
+
→
＝
23
5
24
lim
6
x
x x
x
+
→
⋅
（无穷小代换）＝
4
3
例2. 求定积分：
⑴
1
1
x
-
⎰⑵dx
x
x
⎰
+
4
1
1
（3
）
2
1
e
xdx
⎰.
解: ⑴根据奇函数在对称区间积分的性
质，有：
1
1
x
-
=
⎰
⑵．本题被积函数含一次函数的根式，且不能用直接积分法和凑微分求解，适用第二类换元法。
令t=则2,2
x t dx tdt
==；
当1
=
x时，1
=
t，当4
x=时2
t=.
dx
x
x
⎰
+
4
1
1
=tdt
t
t
2
1
2
1
2
⋅
+
⎰=dt
t
t
⎰
+
2
1
2
2
1
2
=dt
t
t
⎰
+
-
+
2
1
2
2
1
2
2
2
=dt
t
⎰
+
-
2
1
21
2
2
=2
1
)
arctan
2
2(t
t-
（3
）显然本题积分2
1
e xdx ⎰ 属适用分
步积分的类型.,根据)1
1(1
++=αααx d dx x ，可得
25552444
(41)52525
1e e x e =-=+. 例3. 求1y x -=、y x =、2x =围成的平面图形的面积以及该平面图形绕X 轴旋转一周形成的旋转体的体积。
解：由所给曲线方程解得交点：（1，1），
（2，1
2
），(2，2) .画出平面图形如下:
（1）求平面图形的面积.
视平面图形为X 形区域，得平面图形面积为：
＝2
23(ln )ln 2122x x -=-
（2）求旋转体的体积.
视平面图形为X 形区域，有： 四．练习题及参考答案
1、求极限
3
4
lim
x x x →⎰
2、求积分
⑴3
5
-⎰
⑵3
⎰
（3）4
cos 2x xdx π⎰.
3、求由曲线sin y x =，直线2y x =以及
2
x π
=
围成的平面区域D 的面积，及区域D 绕X 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
参考答案：1、3
.4
2、⑴ 0；⑵ 11615；（3）1
.84π-
3、⑴
2
1;
4
π-⑵
4
2
6
4
ππ-
.
自我复习
习题六 (A) 4. (3)、(5). 5.(3)、（6）、(8)、(10) .6.（1）、(3) . 12.(1) 、(3)、 (5) . 14.(1)、(2) .21. (2)、(5). 25.(1)、(2).
第七章 无穷级数
一．本章重点
数项级数收敛性的判定(包括正项级数的收敛性判定；交错级数的绝对收敛与条件收敛的判定)。幂级数的收敛域的确定。利用幂级数的性质求幂级数的和函数。
二．复习要求
1. 理解级数的基本概念； 记住级数的基本性质，特别是：若级数1n n u ∞
=∑收敛，则
必有lim 0n n u →∞
=，但lim 0n n u →∞
=时，级数
1
n
n u
∞
=∑未必收敛。
2. 熟记等比级数 1
n n aq ∞
=∑ 的敛散性：
当|q|<1时，等比级数1
n n aq ∞
=∑收敛到
1aq
q
-； 当|q|≥1时，等比级数1
n n aq ∞
=∑发散。
3. 熟记p 级数 11
p
n n
∞
=∑
的敛散性：
