《微积分》期末复习指导

《微积分》期末复习指导

一、复习要求和重点

函数

⒈理解函数概念，了解函数的两要素 定义域和对应关系，会判断两函数是否相同。

⒉掌握求函数定义域的方法，会求函数值，会确定函数的值域。

⒊了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。

⒋了解复合函数概念，会对复合函数进行分解，知道初等函数的概念。

⒌了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。

⒍知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）。

⒎了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数。

⒏会列简单应用问题的函数关系式。

本章重点：函数概念，函数的奇偶性，几类基本初等函数。

一元函数微分学

⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件：

且

⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即。

⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。

两个重要极限的一般形式是：

，

⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念。知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。

⒌理解导数定义，会求曲线的切线。知道可导与连续的关系。

⒍熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单隐函数的导数。

⒎了解微分概念，即。会求函数的微分。

⒏知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。

本章重点：导数概念，极限、导数和微分的计算。

导数的应用

⒈掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。

⒉了解函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法。知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值。

⒊了解边际概念和需求价格弹性概念，掌握求边际函数的方法，会求需求弹性。

⒋熟练掌握经济分析中的平均成本最低、收入最大和利润最大等应用问题的解法，会求简单的几何问题的最大（小）值问题。

本章重点：函数的极值及其应用 最值问题。

一元函数积分学

⒈理解原函数与不定积分概念，会求当曲线的切线斜率已知时，满足一定条件的曲线方程，知道不定积分与导数（微分）之间的关系。

了解定积分的定义，设在上连续，存在使得，则

⒉熟练掌握积分基本公式。了解不定积分和定积分的性质，尤其是：

熟练掌握不定积分的直接积分法。

⒊掌握第一换元积分法（凑微分法）。

注意：不定积分换元，要还原回原变量的函数；定积分换元，一定要换上、下限，直接计算其值。

⒋掌握分部积分法。分部积分公式为：

或

或

会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分：

①幂函数与指数函数相乘，

②幂函数与对数函数相乘，

③幂函数与正（余）弦函数相乘；

⒌知道无穷限积分的收敛性，会求简单的无穷限积分。

⒍知道变上限定积分概念，知道是的原函数。即

⒎知道奇偶函数在对称区间上的积分结果。即

若是奇函数，则有

若是偶函数，则有

本章重点：不定积分、原函数概念，积分的计算。

积分的应用

⒈掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积。 由

及

围成图形的面积为

⒉熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。 已知

已知

已知

（或

,

）

本章重点：积分在几何问题与经济分析中的应用。

二、考试说明

考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，60分为及格。考试时间为120分钟。 试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题、应用题或证明题，解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为：单项选择题和填空题40%，解答题60%（其中若有证明题，分数约占5%）。

试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在试卷中的比例为：4:4:2。

三、样卷

一、单项选择题

1. 下列极限计算中，正确的是（ ）． (A) limln()x x →+=0

11 (B) lim

x x →∞

-

=12022

π

e

(C) lim

sin x x

x

→∞=1 (D) lim()t t t →-=01

1e 2. 关于函数f x x ()=-1，正确结论是（ ）． (A) f x ()在x =1处连续，但不可导 (B) f x ()在x =0处连续，但不可导 (C) f x ()在x =1处既不连续，又不可导

(D) f x ()在x =1处既连续，且可导

3. 曲线y x =-

1

2

在x =2处的切线斜率是（ ）． (A) -14 (B) -12 (C) －1 (D) 1

4

4. 设y x =lg2，则d y =（ ）．

(A) 12d x x (B) 1d x

x (C) 1d x x ln10 (D) ln10

x x d

5. 设某商品的需求函数为q p p

()=-102

e

，则当p =6时，需求弹性为（ ）．

(A) --53e (B) －3 (C) 3 (D) -12

6. 设

f x x F x C ()()d =+⎰，则sin (cos )x f x x d =⎰（ ）．

(A) -+F x C (cos ) (B) F x C (cos )+ (C) -+F x C (sin ) (D) F x C (sin )+

7.

1

21x x -=⎰d （ ）．

(A) ln()21x C -+ (B) ln()21x C -+

(C) 1

2

21ln()x C -+ (D) -

-+2212()x C 二、填空题

8. 函数y x x =

+--1

13ln()

的定义域是 ．

9. 设f x x

()=e ，则lim ()()x f x f x

→-=00 ．

10. [(]x x x 20

1

e )d '=⎰

．

三、极限与微分计算题

11. 求极限lim[

sin()]x x x x →--++1211

1

21．

12. 设y x =-ln()21，求d y ．

四、积分计算题（每小题６分，本题共12分） 13. 计算积分

ln x x

x +⎰

2

d ． 五、应用题

14.生产某种产品产量为q （单位：百台）时总成本函数为C q q ()=+3（单位：万元），销售收入函数为R q q q ()=-

612

2

（单位：万元），问产量为多少时利润最大？最大利润是多少？

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