北京市中考新定义练习1

专题11 新定义一．解答题（共15小题）1．（2020•丰台区一模）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy 中，点E ，F 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上．（1）分别以点(1,0)A ，(1,1)B ，(3,2)C 为圆心，1为半径作圆，得到A ，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆的是 ；（2）如果以点(,2)D t 为圆心，以1为半径的D 为EOF ∠的角内圆，且与直线y x =有公共点，求t 的取值范围；（3）点M 在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆，直接写出EOM ∠的取值范围．【分析】（1）画出图象，根据角内相切圆的定义判断即可． （2）求出两种特殊位置时t 的值即可判断．（3）如图3中，连接OP ，OM ．首先求出POE ∠，根据图象可知当射线OM 在POF ∠的内部（包括射线OP ，不包括射线)OF 时，存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆．故答案为：B ，C ．（2）解：如图，当1D 与y 轴相切时，设切点为M ，则11MD =，可得11t =．当2D 与y x =相切时，设切点为H ，连接2HD ，设直线y x =与直线2y =交于点K ，则2HKD ∆，MOK ∆都是等腰直角三角形， 21KH HD ==，2KD ∴=2OM MK ==，222MD MK KD ∴=+=可得22t =观察图象可知，满足条件的t 的取值范围是122t +．（3）如图3中，连接OP ，OM ．(2P ，，tan POE ∴∠== 60POE ∴∠=︒，观察图象可知当射线OM 在POF ∠的内部（包括射线OP ，不包括射线)OF 时，存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆，6090EOM ∴︒∠<︒．2．（2020•燕山一模）在平面直角坐标系xOy 中，过T （半径为)r 外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若02PQ r <，则称点P 为T 的伴随点． （1）当O 的半径为1时，①在点(4,0)A ，B ，C 中，O 的伴随点是 ；②点D 在直线3y x =+上，且点D 是O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）M 的圆心为(,0)M m ，半径为2，直线22y x =-与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）①画出图形，求出切线长，根据O的伴随点的定义判断即可．②如图2中，设点D的坐标为(,3)d d+，构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题．（2）求出几种特殊位置时m的值即可判断．①如图31FT=时，线段EF-中，设ET是M的切线，当4上的所有点都是M的伴随点．②如图32∠=︒．③如图-中，设ET是M的切线，连接MT，则90MTE-中，当M在直线EF的左侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．分别求出m的值，结合图形即可33得出结论．【解答】解：（1）①如图1中，A，B，C，(4,0)∴切线AG的长2，切线BN的长2==，切线CM 的长2<，∴点B ，C 是，O 的伴随点，故答案为：B ，C ．②如图2中，设点D 的坐标为(,3)d d +，当过点D 的切线长为22r =时，OD =22(3)5d d ∴++=， 解得12d =-，21d =-．结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d --．（2）由题意(1,0)E ，(0,2)F -．①如图31-中，设ET 是M 的切线，当4FT =时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，此时4m =．观察图象可知：当34m <时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点． ②如图32-中，设ET 是M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，EM ===1m =-③如图33-中，当M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT ．(1,0)E ，(0,2)F -，1OE ∴=，2OF =，EF ∴==EF 是切线， EF MT ∴⊥，90MTE EOF ∴∠=∠=︒， MET FEO ∠=∠， MTE FOE ∴∆∆∽，∴EM MTEF OF=， ∴22=，EM ∴=此时1m =结合图象可知，当11m -<-时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，综上所述，m 的取值范围是11m -<-34m <．3．（2020•海淀区一模）A ，B 是C 上的两个点，点P 在C 的内部．若APB ∠为直角，则称APB ∠为AB 关于C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB ∠边（含顶点）上时，称APB ∠为AB 关于C 的最佳内直角．如图1，AMB ∠是AB 关于C 的内直角，ANB ∠是AB 关于C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中． （1）如图2，O 的半径为5，(0,5)A -，(4,3)B 是O 上两点．①已知1(1,0)P ，2(0,3)P ，3(2,1)P -，在1APB ∠，2AP B ∠，3AP B ∠，中，是AB 关于O 的内直角的是 ； ②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB ∠是AB 关于O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以(,0)T t 为圆心，4为半径的圆上一个动点，T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点(1,0)M ，(0,)N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．【分析】（1）判断点1P ，2P ，3P 是否在以AB 为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线2y x b =+与弧AB 相切时为临界情况，证明OAH BAD ∆∆∽，可求出此时5b =，则答案可求出；（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【解答】解：（1）如图1，1(1,0)P ，(0,5)A -，(4,3)B ，AB ∴=1P A ==1P B =， 1P ∴不在以AB 为直径的圆弧上，故1APB ∠不是AB 关于O 的内直角， 2(0,3)P ，(0,5)A -，(4,3)B ，28P A ∴=，AB =24P B =，22222P A P B AB ∴+=， 290AP B ∴∠=︒，2AP B ∴∠是AB 关于O 的内直角，同理可得，22233P B P A AB +=， 3AP B ∴∠是AB 关于O 的内直角， 故答案为：2AP B ∠，3AP B ∠；（2）APB ∠是AB 关于O 的内直角， 90APB ∴∠=︒，且点P 在O 的内部，∴满足条件的点P 形成的图形为如图2中的半圆H （点A ，B 均不能取到），过点B 作BD y ⊥轴于点D ， (0,5)A -，(4,3)B ，4BD ∴=，8AD =，并可求出直线AB 的解析式为25y x =-，∴当直线2y x b =+过直径AB 时，5b =-，连接OB ，作直线OH 交半圆于点E ，过点E 作直线//EF AB ，交y 轴于点F ， OA OB =，AH BH =，EH AB ∴⊥， EH EF ∴⊥，EF ∴是半圆H 的切线．OAH OAH ∠=∠，90OHB BDA ∠=∠=︒， OAH BAD ∴∆∆∽，∴4182OH BD AH AD ===， 1122OH AH EH ∴==， OH EO ∴=，EOF AOH ∠=∠，90FEO AHO ∠=∠=︒，()EOF HOA ASA ∴∆≅∆， 5OF OA ∴==，//EF AB ，直线AB 的解析式为25y x =-，∴直线EF 的解析式为25y x =+，此时5b =，b ∴的取值范围是55b -<．（3）对于线段MN 上每一个点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，∴点T 一定在DHE ∠的边上，4TD =，90DHT ∠=︒，线段MN 上任意一点（不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，∴当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值，即n 的最大值为2． 分两种情况：①若点H 不与点M 重合，那么点T 必须在边HE 上，此时90DHT ∠=︒，∴点H 在以DT 为直径的圆上，如图3，当G 与MN 相切时，GH MN ⊥，1OM =，2ON =，MN ∴=GMH OMN ∠=∠，GHM NOM ∠=∠，2ON GH ==，()GHM NOM ASA ∴∆≅∆，MN GM ∴==，1OG ∴，1OT ∴=，当T 与M 重合时，1t =，∴此时t 的取值范围是11t <，②若点H 与点M 重合时，临界位置有两个，一个是当点T 与M 重合时，1t =，另一个是当4TM =时，5t =，∴此时t 的取值范围是15t <，综合以上可得，t 的取值范围是15t <．4．（2020•平谷区一模）在ABM ∆中，90ABM ∠=︒，以AB 为一边向ABM ∆的异侧作正方形ABCD ，以A 为圆心，AM 为半径作A ，我们称正方形ABCD 为A 的“关于ABM ∆的友好正方形”，如果正方形ABCD 恰好落在A 的内部（或圆上），我们称正方形ABCD 为A 的“关于ABM ∆的绝对友好正方形”， 例如，图1中正方形ABCD 是A 的“关于ABM ∆的友好正方形”．（1）图2中，ABM ∆中，BA BM =，90ABM ∠=︒，在图中画出A 的“关于ABM ∆的友好正方形ABCD ”． （2）若点A 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>上，它的横坐标是2，过点A 作AB y ⊥轴于B ，若正方形ABCD为A 的“关于ABO ∆的绝对友好正方形”，求k 的取值范围．（3）若点A 是直线2y x =-+上的一个动点，过点A 作AB y ⊥轴于B ，若正方形ABCD 为A 的“关于ABO ∆的绝对友好正方形”，求出点A 的横坐标m 的取值范围．【分析】（1）BA BM =，90ABM ∠=︒，则圆的半径AM AC =，故点C 在圆上，即可求解； （2）分2a =、2a >、2a <三种情况，分别探究即可求解；（3）分1m =、01m <<、0m =、0m <、1m >五种情况，通过画图探究即可求解．【解答】（1）BA BM =，90ABM ∠=︒，∴圆的半径AM AC ==，故点C 在圆上，补全图形如图1，（2）设(2,)A a ，当2a =时，正方形ABCD 的顶点C 恰好落在A 上（如图2)； 当2a >时，正方形ABCD 的顶点均落在A 内部（如图3)； 当2a <时，正方形ABCD 的顶点C 落在A 外部（如图4)； 反比例函数()(0,0)2,ky k x A a x=>>过点，∴当2a 时，则4k ，k ∴的取值范围为：4k ；（3）当1m =时，正方形ABCD 的顶点C 恰好落在A 上（如图5)； 当01m <<时，正方形ABCD 均落在A 内部（如图6)； 当0m =时，ABO ∆ 不存在；当0m <时，正方形ABCD 均落在A 内部（如图7)；当1m >时，正方形ABCD 的顶点C 落在A 外部（如图8)，（当2m =时ABO ∆不存在）；综上分析，点A 的横坐标m 的取值范围为：01m <或0m <．5．（2020•顺义区一模）已知：点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，若点P 与点Q 之间的距离PQ 始终满足0PQ >，则称图形M 与图形N 相离． （1）已知点(1,2)A 、(0,5)B -、(2,1)C -、(3,4)D ．①与直线35y x =-相离的点是 ； ②若直线3y x b =+与ABC ∆相离，求b 的取值范围；（2）设直线3y =+、直线3y =+及直线2y =-围成的图形为W ，T 的半径为1，圆心T 的坐标为(,0)t ，直接写出T 与图形W 相离的t 的取值范围．【分析】（1）①将A ，B ，C ，D 四个点的坐标代入直线35y x =-计算即可判断． ②根据直线3y x b =+经过点A ，和点C 计算b 的值即可得出答案． （2）分三种情形求出经过特殊位置的T 的坐标即可得出答案． 【解答】解：（1）①点(1,2)A ，∴当1x =时，352-=-， ∴点A 不在直线35y x =-上，同理，点(2,1)C -不在直线35y x =-上，点(0,5)B -，点(3,4)D 在直线上，∴与直线35y x =-相离的点是A ，C ；故答案为：A ，C ；②当直线3y x b =+过点(1,2)A 时，32b ∴+=． 1b ∴=-．当直线3y x b =+过点(2,1)C -时， 61b ∴+=-． 7b ∴=-．b ∴的取值范围是1b >-或7b <-．（2）①如图1，图形W 为ABC ∆，直线3y =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，令0x =，3y =，令0y =，x =3OA ∴=，OD30OAD ∴∠=︒，60ADO ∠=︒，当T 位于直线AC 右侧，且与直线AC 相切于点H ，连接TH ，TH DH ∴⊥，60TDH ADO ∠=∠=︒，1TH =，∴=DT∴=+==，OT OD DT∴，0)，T∴当t>时，T与图形W相离，②如图2，当T位于直线3y=+左侧，且与直线AB相切于点H，连接TH，直线AB与x轴交于点E，同理可得，TE OE=∴=，OT∴，0)，(T∴当t<T与图形W相离，③如图3，当T位于直线AC左侧，且与直线AC相切时，同理可得TD=OD∴=-==，OT OD TDT∴0)，当T与AB相切，且位于直线AB的右侧时，(T0)，∴当t<<T与图形W相离．综合以上可得，T与图形W相离时t的取值范围是：t<t>或t<<6．（2020•东城区一模）在ABC∆的内部或边上，∆的中线，如果CD上的所有点都在ABC∆中，CD是ABC则称CD为ABC∆的中线弧．（1）在Rt ABC∠=︒，1AC=，D是AB的中点．ACB∆中，90①如图1，若45∆的一条中线弧CD，直接写出ABC∆的中线弧CD所在圆的半径r的最∠=︒，画出ABCA小值；②如图2，若60∆的最长的中线弧CD的弧长l．∠=︒，求出ABCA（2）在平面直角坐标系中，已知点(2,2)A，(4,0)B，(0,0)C，在ABC∆中，D是AB的中点．求ABC∆的中线弧CD所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）①如图1中，当直线弧CD的圆心是AC或BC的中点时，CD所在圆的半径r的最小．②如图2中，当中线弧CD所在的圆与AC，AB都相切时，CD的弧长最大．（2）分两种情形：如图3中，若中线弧CD在线段CD的下方时，如图4中，若中线弧CD在线段CD的上方时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，当直线弧CD的圆心是AC或BC的中点时，CD所在圆的半径r的最小，此时1122r AC==，ABC∴∆的中线弧CD所在圆的半径r的最小值为12．②如图2中，当中线弧CD所在的圆与AC，AB都相切时，CD的弧长最大，此时，CD的圆心在BC上，⊥，ND BDNDB∴∠=︒，90ACB∠=︒，∠=︒，90A60∴∠=︒，B30∴==，BN DN CN22∴==，3CN BC∴=CN∴．（2）如图3中，若中线弧CD在线段CD的下方时，ABC ∆的中线弧CD 所在的圆的圆心在线段CD 使得垂直平分线上，当中线弧CD 所在圆与BC 相切时，可得(0,5)P ，观察图象可知中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标5t ．如图4中，若中线弧CD 在 线段CD 的上方时，当中线弧CD 所在圆与AC 相切时，可得5(2P ，5)2-，观察图象可知中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标52t -． 综上所述，．中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围为：5t 或52t -．7．（2020•石景山区一模）在ABC ∆中，以AB 边上的中线CD 为直径作圆，如果与边AB 有交点E （不与点D 重合），那么称DE 为ABC ∆的C -中线弧．例如，如图中DE 是ABC ∆的C -中线弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆存在C -中线弧，其中点A 与坐标原点O 重合，点B 的坐标为(2t ，0)(0)t >．（1）当2t =时，①在点1(3,2)C -，2(0C ，，3(2,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ；②若在直线(0)y kx k =>上存在点P 是ABC ∆的C -中线弧DE 所在圆的圆心，其中4CD =，求k 的取值范围；（2）若ABC ∆的C -中线弧DE 所在圆的圆心为定点(2,2)P ，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）①先确定出点C 的横坐标的范围即可得出结论； ②先确定出分界点点P ，P '的坐标，即可得出结论；（2）表示出点D 的坐标，再分点E 在线段AD 和BD 上，求出AE ，利用02AE t ，且AE t ≠，即可得出结论．【解答】解：（1）当2t =时，点B 的坐标为(4,0)， 点D 是AB 的中点，(2,0)D ∴， ①如图1，过点C 作CE AB ⊥于E ，则90CED ∠=︒， CE AB ∴⊥，即点C 和点E 的横坐标相同，点E 是以CD 为直径与边AB 的交点，04AE ∴，点E 与点D 重合，2AE ∴≠，∴点E 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，即点E 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，点1(3,2)C -，2(0C ，，3(2,4)C ，4(4,2)C ，∴只有点2C ，4C 的横坐标满足条件，故答案为2C ，4C ；②ABC ∆的中线4CD =，∴点C 在以点D 为圆心4为直径的弧上，由①知，点C 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，∴点C 在如图2所示的CC '上（点(2,4)H 除外），点P 是以CD 为直径的圆的圆心，∴点P 在如图2所示的PP '上（点(2,2)G 除外），在Rt OAM ∆中，2AD =，4MD =，根据勾股定理得，AO =(0C ∴，，同理：(4C '，，点P 是DC 的中点，P ∴，同理：点P '，当直线y kx =过点P 时，得k =当直线y kx =过点P '时，得k =， 当直线y kx =过点(2,2)G 时，得1k =，结合图形，可得k 3k 且1k ≠；（2）同（1）①知，点E 的横坐标大于等于0小于等于2t ，且不等于t ， 点D 是AB 的中点，且(2,0)B t ， (,0)D t ∴，当点E 在线段AD 上时，2(2)40AE t t t =--=-+，4t ∴，当点E 在线段BE 上时，2(2)2AE t t t =-+，43t∴， ∴443t 且2t ≠．8．（2020•西城区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的图形1W 和图形2W ，给出如下定义：在图形1W 上存在两点A ，B （点A 与点B 可以重合），在图形2W 上存在两点M ，N （点M 与点N 可以重合），使得2AM BN =，则称图形1W 和图形2W 满足限距关系．（1）如图1，点(1,0)C ，(1,0)D -，E ，点P 在线段DE 上运动（点P 可以与点D ，E 重合），连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为 ，最大值为 ，线段CP 的取值范围是 ； ②在点O ，点C 中，点 与线段DE 满足限距关系；（2）如图2，O 的半径为1，直线(0)y b b +>与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与O 满足限距关系，求b 的取值范围；（3）O 的半径为(0)r r >，点H ，K 是O 上的两点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到H 和K ，若对于任意点H ，K ，H 和K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题． ②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，(0,)G b ，分三种情形：①线段FG 在O 内部，②线段FG 与O 有交点，③线段FG 与O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（2）如图3中，不妨设K ，H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据H 和K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【解答】解：（1）①如图1中，(1,0)D -，E ，1OD ∴=，OE =tan OEEDO OD∴∠== 60EDO ∴∠=︒，当OP DE ⊥时，sin 60OP OD =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP当CP DE ⊥时，CP 的值最小，最小值cos60CD =︒ 当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，2CP ．②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足2OM ON =， 故点O 与线段DE 满足限距关系． 故答案为O ．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，(0,)G b ，当01b <<时，线段FG 在O 内部，与O 无公共点，此时O 上的点到线段FG 的最小距离为1b -，最大距离为1b +， 线段FG 与O 满足限距关系， 12(1)b b ∴+-，解得13b， b ∴的取值范围为113b <． 当12b 时，线段FG 与O 有公共点，线段FG 与O 满足限距关系， 当2b >时，线段FG 在O 的外部，与O 没有公共点，此时O 上的点到线段FG 的最小距离为112b -，最大距离为1b +，线段FG 与O 满足限距关系， 112(1)2b b ∴+-，而112(1)2b b +-总成立，2b ∴>时，线段FG 与O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b．（3）如图3中，不妨设K ，H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为22r -，最大值为22r +，H 和K 都满足限距关系，222(22)r r ∴+-，解得3r ，故r 的取值范围为03r <．9．（2020•通州区一模）如果MN 的两个端点M ，N 分别在AOB ∠的两边上（不与点O 重合），并且MN 除端点外的所有点都在AOB∠的内部，则称MN是AOB∠的“连角弧”．（1）图1中，AOB∠是直角，MN是以O为圆心，半径为1的“连角弧”．①图中MN的长是，并在图中再作一条以M，N为端点、长度相同的“连角弧”；②以M，N为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M，点(,0)N t在x轴正半轴上，若MN是半圆，也是AOB∠的“连角弧”求t的取值范围．（3）如图3，已知点M，N分别在射线OA，OB上，4ON=，MN是AOB∠的“连角弧”，且MN所在圆的半径为1，直接写出AOB∠的取值范围．【分析】（1）①利用弧长公式计算即可．如图11-中，作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得劣弧MN．②作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得优弧MNJ即为最长的弧．（2）求出两种特殊情形ON的长即可判断．（3）如图3中，当MN为直径，且NM AB⊥时，AOB∠的值最大，求出AOB∠的最大值即可．【解答】解：（1）①MN的长9011802ππ==．如图11-中，MN即为所求．②作正方形OMKN ，以K 为圆心，KM 为半径画弧，交AO 于M ，交OB 于N ，可得优弧MNJ 即为最长的弧优弧MN 的长270131802ππ==， 故答案为2π，32π．（2）如图2中，(1,3)M ，tan MOB ∴∠=，60MOB ∴∠=︒，2OM ，当1MN OB ⊥时，可得11ON =，此时1t =， 当2MN OM ⊥时，可得24ON =，此时4t =， 观察图象可知满足条件的t 的值为14t ．（3）如图3中，当MN 为直径，且NM AB ⊥时，AOB ∠的值最大，在Rt OMN ∆中，21sin 42MN AOB ON ∠===， 30AOB ∴∠=︒，观察图形可知满足条件的AOB ∠的值为030AOB ︒<∠︒10．（2020•延庆区一模）对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，以r 为半径作P ，使得图形M 上的所有点都在P 的内部（或边上），当r 最小时，称P 为图形M 的P 点控制圆，此时，P 的半径称为图形M 的P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的位置如图所示，其中点(2,2)B ．（1）已知点(1,0)D ，正方形OABC 的D 点控制半径为1r ，正方形OABC 的A 点控制半径为2r ，请比较大小：1r 2r ；（2）连接OB ，点F 是线段OB 上的点，直线:l y b =+；若存在正方形OABC 的F 点控制圆与直线l 有两个交点，求b 的取值范围．【分析】（1）根据控制半径的定义，分别求出1r 和2r 的值即可得解．（2）如图所示：O 和B 的半径均等于OB ，分两种情况：①当直线:l y b =+与O 相切于点M 时，连接OM ，则OM l ⊥，②当直线:l y b =+与B 相切于点N 时，连接BN ，则BN l ⊥；分别求得两个切点的坐标，进而得出b 值，则可得答案．【解答】解：（1）由题意得：1r BD CD ====2r AC === 12r r ∴<，故答案为：<．（2）如图所示：O 和B 的半径均等于OB ，当直线:l y b =+与O 相切于点M 时，连接OM ，则OM l ⊥，则直线OM 的解析式为：y =，设(,)M x ， OM OB =，OM ∴== 2283x x ∴+=，解得：x =x =)，=，(M ∴，将(M 代入y b =+(b =+，解得：b =当直线:l y b =+与B 相切于点N 时，连接BN ，则BN l ⊥，同理，设直线BN 的解析式为：y n =+，将(2,2)B 代入得：22n =+，2n ∴=+，∴直线BN 的解析式为：2y =++，设(,2N m +， BN OB =，∴= 2244448333m m m m ∴-++-+=2420m m ∴-+=，2m ∴=)或2m =222+=+++=-(2N ∴+2-，∴将(2N +2-代入y b =+得：2b +，解得：2b =-，∴存在正方形OABC 的F 点控制圆与直线l 有两个交点，此时b 的取值范围为：2b -<．11．（2020•房山区一模）如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点(0,1)P ，点(2,1)A --，点(2,1)B -．（1）在点(0,0)O ，(2,1)C -，(3,0)D 中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标K x 的取值范围； （3）已知点(,1)M m -，若直线132y x =+上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当Q 与A 重合时，点C 在以AP 为直径的圆上，所以可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ；（2）由两点的距离公式可得AP BP ==分别画以AP 和BP 为直径的圆交x 轴于4个点：1K 、2K 、3K 、4K ，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；（3）先根据直线132y x =+，当0x =和0y =计算与x 轴和y 轴的交点坐标，分两种情况：M 在A 的左侧和右侧，先计算圆E 与直线132y x =+相切时m 的值，从而根据图形可得结论． 【解答】解：（1）如图1，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ，故答案为：C ；（2）(0,1)P ，点(2,1)A --，点(2,1)B -．AP BP ∴==，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点1K 、2K 、3K 、4K ，1OP OG ==，//OE AB ，PE AE ∴==112OE AG ∴==，1(1K ∴--0)，2(1k ，0)，31k ，0)，4(1k 0)，点K 为点P 与线段AB 的共圆点，112k x ∴--或112k x +；（3）分两种情况：①如图3，当M 在点A 的左侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线132y x =+相切于点F ，连接EF ，则EF FH ⊥，当0x =时，3y =，当0y =时，1302y x =+=，6x =-， 3ON ∴=，6OH =，31tan 62ON EF EHF OH FH ∠====，设EF a =，则2FH a =，EH ，6OE ∴=-，Rt OEP ∆中，1OP =，EP a =，由勾股定理得：222EP OP OE =+，∴2221(6)a =+，解得：a =（舍)22(6)3QG OE ∴==-=-+3210m ∴-②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线132y x =+相切于点F ，连接EF ，则EF FH ⊥，同理得3QG =+3210m ∴+综上，m 的取值范围是3210m -或3210m +．12．（2020•门头沟区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意点(P x ，)y ，如果满足(0x y a x +=，a 为常数），那么我们称这样的点叫做“特征点”． （1）当23a 时，①在点(1,2)A ，(1,3)B ，(2.5,0)C 中，满足此条件的特征点为 ；②W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数1(0)Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．【分析】（1）①根据“特征点”的定义判断即可．②如图2中，当1W 与直线2y x =-+相切时，1(2W 0)，当2W 与直线3y =-相切时，2(3W 0)，结合图象，W 与图中阴影部分有交点时，W 上存在满足条件的特征点．（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中）．【解答】解：（1）①123+=，134+=，2.50 2.5+=， 又23a ，A ∴，C 是特征点．故答案为：A ，C ．②如图2中，当1W 与直线2y x =-+相切时，1(2W -0)，当2W 与直线3y =-相切时，2(3W +0)，观察图象可知满足条件的m 取值范围为：232m +．（2）0x >，1y x∴=的图象在第一象限，这个图象上的点的坐标为1(,)x x ，特征点满足(0x y a x +=，a 为常数），1x a x ∴+=，特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中），此时交点的坐标为(1,1)，1Z x x∴=+的值最小，最小值为2．13．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy 中，点(,0)A t ，(2,0)B t +，(,1)C n ，若射线OC 上存在点P ，使得ABP ∆是以AB 为腰的等腰三角形，就称点P 为线段AB 关于射线OC 的等腰点．（1）如图，0t =，①若0n =，则线段AB 关于射线OC 的等腰点的坐标是 ；②若0n <，且线段AB 关于射线OC 的等腰点的纵坐标小于1，求n 的取值范围；（2）若n =，且射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，则t 的取值范围是 ． 【分析】（1）①根据线段AB 关于射线OC 的等腰点的定义可知2OP AB ==，由此即可解决问题． ②如图2中，当OP AB =时，作PH x ⊥轴于H ．求出点P 的横坐标，利用图象法即可解决问题． （2）如图31-中，作CH y ⊥轴于H ．分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作A ，B ．首先证明30COH ∠=︒，由射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，推出射线OC 与A ，B 只有一个交点，求出几种特殊位置t 的值，利用数形结合的思想解决问题即可． 【解答】解：（1）①如图1中，由题意(0,0)A ，(2,0)B ，(0,1)C ，点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴==，2OP ABP∴．(0,2)故答案为(0,2)．②如图2中，当OP AB⊥轴于H．=时，作PH x在Rt POH==OP AB∆中，1==，2PH OC∴，OH观察图象可知：若0n<，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n<（3）如图31⊥轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作A，B．-中，作CH y由题意C ，1)，CH ∴=，1OH =，tan CH COH OH ∴∠==， 30COH ∴∠=︒，当B 经过原点时，(2,0)B -，此时4t =-，射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，∴射线OC 与A ，B 只有一个交点，观察图象可知当42t -<-时，满足条件，如图32-中，当点A 在原点时，60POB ∠=︒，此时两圆的交点P 在射线OC 上，满足条件，此时0t =，如图33-中，当B 与OC 相切于P 时，连接BP ．OC ∴是B 的切线，OP BP ∴⊥， 90OPB ∴∠=︒，2BP =，60POB ∠=︒，cos60PB OB ∴==︒2t =-，如图34-中，当A 与OC 相切时，同法可得OA t =观察图形可知，满足条件的t 432t-<，综上所述，满足条件t 的值为42t -<-或0t =432t-<．故答案为：42t -<-或0t =432t-<．14．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意一点P ，给出如下定义：经过点P 且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P 的“特征线”． 例如：点(1,3)M 的特征线是2y x =+和4y x =-+；（1）若点D 的其中一条特征线是1y x =+，则在1(2,2)D 、2(1,0)D -、3(3,4)D -三个点中，可能是点D 的点有 ；（2）已知点(1,2)P -的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x 轴相交于点A ，直线(0)y kx b k =+≠经过点P ，且与x 轴交于点B ．若使BPA ∆的面积不小于6，求k 的取值范围；（3）已知点(2,0)C ，(,0)T t ，且T 的半径为1．当T 与点C 的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．（2）过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y x b =-+，求出PAB ∆的面积为6时点B 的坐标，再利用待定系数法求直线PB 的解析式，结合图形即可解决问题．（3）如图3中，由题意点C 的特征线的解析式为2y x =-或2y x =-+，设当T 与直线2y x =-+相切于点M 时，当T '与直线2y x =-相切于点N 时，分别求出OT ，OT '结合图象即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，点2D 的特征线是1y x =+．故答案为2D ．（2）如图2中，设过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y x b =-+， 12b ∴+=， 1b ∴=，∴过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为1y x =-+，(1,0)A ∴，当BPA ∆的面积6=时，1262AB =，6AB ∴=，(5,0)B ∴-或(7,0)，当y kx b =+'经过(1,2)P -，(5,0)B -时，250k b k b -+'=⎧⎨-+'=⎩解得12k =， 当直线y kx b =+'经过(1,2)P -，(7,0)B 时，270k b k b -+'=⎧⎨+'=⎩，解得14k =-， 观察图形可知满足条件的k 的值为1142k-且0k ≠．（3）如图3中，由题意点C 的特征线的解析式为2y x =-或2y x =-+，当T 与直线2y x =-+相切于点M 时，连接TM ， 在Rt TCM ∆中，90TMC ∠=︒，45MCT ∠=︒， 1MT MC ∴==，TC ∴=，2OT ∴=，此时2t =当T '与直线2y x =-相切于点N 时，推出法可得2OT '=+2t =结合图象可知满足条件的t 的值为：222-+．15．（2020•大兴区一模）已知线段AB ，如果将线段AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AC ，则称点C 为线段AB 关于点A 的逆转点．点C 为线段AB 关于点A 的逆转点的示意图如图1: （1）如图2，在正方形ABCD 中，点 为线段BC 关于点B 的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(,0)x ，且0x >，点E 是y 轴上一点，点F 是线段EO 关于点E 的逆转点，点G 是线段EP 关于点E 的逆转点，过逆转点G ，F 的直线与x 轴交于点H ． ①补全图；②判断过逆转点G ，F 的直线与x 轴的位置关系并证明；③若点E 的坐标为(0,5)，连接PF 、PG ，设PFG ∆的面积为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据点C 为线段AB 关于点A 的逆转点的定义判断即可．（2）结论：GF x ⊥轴．证明()GEF PEO SAS ∆≅∆，推出90GFE EOP ∠=∠=︒可得结论．（3）分两种情形：如图41-中，当05x <<时，如图42-中，当5x >时，分别利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意，点A 是线段AB 关于点B 的逆转点，故答案为A．（2）①图形如图3所示．②结论：GF x⊥轴．理由：点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，=，=，EF EO∴∠=∠=︒，EG EPOEF PEG90∴∠=∠，GEF PEO∴∆≅∆，GEF PEO SAS()∴∠=∠，GFE EOPOE OP⊥，∴∠=︒，90POEGFE∴∠=︒，90OEF EFH EOH∠=∠=∠=︒，90∴四边形EFHO是矩形，∴∠=︒，90FHOFG x ∴⊥轴．③如图41-中，当05x <<时，(0,5)E ， 5OE ∴=，四边形EFHO 是矩形，EF EO =，∴四边形EFHO 是正方形，5OH OE ∴==， 21115(5)2222y FG PH x x x x ∴==-=-+． 如图42-中，当5x >时，21115(5)2222y FG PH x x x x ==-=-．。

专题11 新定义一．解答题（共15小题）1．（2020•丰台区一模）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy 中，点E ，F 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上．（1）分别以点(1,0)A ，(1,1)B ，(3,2)C 为圆心，1为半径作圆，得到A ，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆的是 ；（2）如果以点(,2)D t 为圆心，以1为半径的D 为EOF ∠的角内圆，且与直线y x =有公共点，求t 的取值范围；（3）点M 在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆，直接写出EOM ∠的取值范围．【分析】（1）画出图象，根据角内相切圆的定义判断即可． （2）求出两种特殊位置时t 的值即可判断．（3）如图3中，连接OP ，OM ．首先求出POE ∠，根据图象可知当射线OM 在POF ∠的内部（包括射线OP ，不包括射线)OF 时，存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，B 和C ，其中是EOF ∠的角内圆．故答案为：B ，C ．（2）解：如图，当1D 与y 轴相切时，设切点为M ，则11MD =，可得11t =．当2D 与y x =相切时，设切点为H ，连接2HD ，设直线y x =与直线2y =交于点K ，则2HKD ∆，MOK ∆都是等腰直角三角形， 21KH HD ==，2KD ∴=2OM MK ==，222MD MK KD ∴=+=可得22t =观察图象可知，满足条件的t 的取值范围是122t +．（3）如图3中，连接OP ，OM ．(2P ，，tan POE ∴∠== 60POE ∴∠=︒，观察图象可知当射线OM 在POF ∠的内部（包括射线OP ，不包括射线)OF 时，存在一个半径为1且过点(2P ，的圆为EMO ∠的角内相切圆，6090EOM ∴︒∠<︒．2．（2020•燕山一模）在平面直角坐标系xOy 中，过T （半径为)r 外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若02PQ r <，则称点P 为T 的伴随点． （1）当O 的半径为1时，①在点(4,0)A ，B ，C 中，O 的伴随点是 ；②点D 在直线3y x =+上，且点D 是O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）M 的圆心为(,0)M m ，半径为2，直线22y x =-与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）①画出图形，求出切线长，根据O的伴随点的定义判断即可．②如图2中，设点D的坐标为(,3)d d+，构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题．（2）求出几种特殊位置时m的值即可判断．①如图31FT=时，线段EF-中，设ET是M的切线，当4上的所有点都是M的伴随点．②如图32∠=︒．③如图-中，设ET是M的切线，连接MT，则90MTE-中，当M在直线EF的左侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．分别求出m的值，结合图形即可33得出结论．【解答】解：（1）①如图1中，A，B，C，(4,0)∴切线AG的长2，切线BN的长2==，切线CM 的长2<，∴点B ，C 是，O 的伴随点，故答案为：B ，C ．②如图2中，设点D 的坐标为(,3)d d +，当过点D 的切线长为22r =时，OD =22(3)5d d ∴++=， 解得12d =-，21d =-．结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d --．（2）由题意(1,0)E ，(0,2)F -．①如图31-中，设ET 是M 的切线，当4FT =时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，此时4m =．观察图象可知：当34m <时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点． ②如图32-中，设ET 是M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，EM ===1m =-③如图33-中，当M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT ．(1,0)E ，(0,2)F -，1OE ∴=，2OF =，EF ∴==EF 是切线， EF MT ∴⊥，90MTE EOF ∴∠=∠=︒， MET FEO ∠=∠， MTE FOE ∴∆∆∽，∴EM MTEF OF=， ∴22=，EM ∴=此时1m =结合图象可知，当11m -<-时，线段EF 上的所有点都是M 的伴随点，综上所述，m 的取值范围是11m -<-34m <．3．（2020•海淀区一模）A ，B 是C 上的两个点，点P 在C 的内部．若APB ∠为直角，则称APB ∠为AB 关于C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB ∠边（含顶点）上时，称APB ∠为AB 关于C 的最佳内直角．如图1，AMB ∠是AB 关于C 的内直角，ANB ∠是AB 关于C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中． （1）如图2，O 的半径为5，(0,5)A -，(4,3)B 是O 上两点．①已知1(1,0)P ，2(0,3)P ，3(2,1)P -，在1APB ∠，2AP B ∠，3AP B ∠，中，是AB 关于O 的内直角的是 ； ②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB ∠是AB 关于O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以(,0)T t 为圆心，4为半径的圆上一个动点，T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点(1,0)M ，(0,)N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．【分析】（1）判断点1P ，2P ，3P 是否在以AB 为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线2y x b =+与弧AB 相切时为临界情况，证明OAH BAD ∆∆∽，可求出此时5b =，则答案可求出；（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【解答】解：（1）如图1，1(1,0)P ，(0,5)A -，(4,3)B ，AB ∴=1P A ==1P B =， 1P ∴不在以AB 为直径的圆弧上，故1APB ∠不是AB 关于O 的内直角， 2(0,3)P ，(0,5)A -，(4,3)B ，28P A ∴=，AB =24P B =，22222P A P B AB ∴+=， 290AP B ∴∠=︒，2AP B ∴∠是AB 关于O 的内直角，同理可得，22233P B P A AB +=， 3AP B ∴∠是AB 关于O 的内直角， 故答案为：2AP B ∠，3AP B ∠；（2）APB ∠是AB 关于O 的内直角， 90APB ∴∠=︒，且点P 在O 的内部，∴满足条件的点P 形成的图形为如图2中的半圆H （点A ，B 均不能取到），过点B 作BD y ⊥轴于点D ， (0,5)A -，(4,3)B ，4BD ∴=，8AD =，并可求出直线AB 的解析式为25y x =-，∴当直线2y x b =+过直径AB 时，5b =-，连接OB ，作直线OH 交半圆于点E ，过点E 作直线//EF AB ，交y 轴于点F ， OA OB =，AH BH =，EH AB ∴⊥， EH EF ∴⊥，EF ∴是半圆H 的切线．OAH OAH ∠=∠，90OHB BDA ∠=∠=︒， OAH BAD ∴∆∆∽，∴4182OH BD AH AD ===， 1122OH AH EH ∴==， OH EO ∴=，EOF AOH ∠=∠，90FEO AHO ∠=∠=︒，()EOF HOA ASA ∴∆≅∆， 5OF OA ∴==，//EF AB ，直线AB 的解析式为25y x =-，∴直线EF 的解析式为25y x =+，此时5b =，b ∴的取值范围是55b -<．（3）对于线段MN 上每一个点H ，都存在点T ，使DHE ∠是DE 关于T 的最佳内直角，∴点T 一定在DHE ∠的边上，4TD =，90DHT ∠=︒，线段MN 上任意一点（不包含点)M 都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，∴当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值，即n 的最大值为2． 分两种情况：①若点H 不与点M 重合，那么点T 必须在边HE 上，此时90DHT ∠=︒，∴点H 在以DT 为直径的圆上，如图3，当G 与MN 相切时，GH MN ⊥，1OM =，2ON =，MN ∴=GMH OMN ∠=∠，GHM NOM ∠=∠，2ON GH ==，()GHM NOM ASA ∴∆≅∆，MN GM ∴==，1OG ∴，1OT ∴=，当T 与M 重合时，1t =，∴此时t 的取值范围是11t <，②若点H 与点M 重合时，临界位置有两个，一个是当点T 与M 重合时，1t =，另一个是当4TM =时，5t =，∴此时t 的取值范围是15t <，综合以上可得，t 的取值范围是15t <．4．（2020•平谷区一模）在ABM ∆中，90ABM ∠=︒，以AB 为一边向ABM ∆的异侧作正方形ABCD ，以A 为圆心，AM 为半径作A ，我们称正方形ABCD 为A 的“关于ABM ∆的友好正方形”，如果正方形ABCD 恰好落在A 的内部（或圆上），我们称正方形ABCD 为A 的“关于ABM ∆的绝对友好正方形”， 例如，图1中正方形ABCD 是A 的“关于ABM ∆的友好正方形”．（1）图2中，ABM ∆中，BA BM =，90ABM ∠=︒，在图中画出A 的“关于ABM ∆的友好正方形ABCD ”． （2）若点A 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>上，它的横坐标是2，过点A 作AB y ⊥轴于B ，若正方形ABCD为A 的“关于ABO ∆的绝对友好正方形”，求k 的取值范围．（3）若点A 是直线2y x =-+上的一个动点，过点A 作AB y ⊥轴于B ，若正方形ABCD 为A 的“关于ABO ∆的绝对友好正方形”，求出点A 的横坐标m 的取值范围．【分析】（1）BA BM =，90ABM ∠=︒，则圆的半径AM AC =，故点C 在圆上，即可求解； （2）分2a =、2a >、2a <三种情况，分别探究即可求解；（3）分1m =、01m <<、0m =、0m <、1m >五种情况，通过画图探究即可求解．【解答】（1）BA BM =，90ABM ∠=︒，∴圆的半径AM AC ==，故点C 在圆上，补全图形如图1，（2）设(2,)A a ，当2a =时，正方形ABCD 的顶点C 恰好落在A 上（如图2)； 当2a >时，正方形ABCD 的顶点均落在A 内部（如图3)； 当2a <时，正方形ABCD 的顶点C 落在A 外部（如图4)； 反比例函数()(0,0)2,ky k x A a x=>>过点，∴当2a 时，则4k ，k ∴的取值范围为：4k ；（3）当1m =时，正方形ABCD 的顶点C 恰好落在A 上（如图5)； 当01m <<时，正方形ABCD 均落在A 内部（如图6)； 当0m =时，ABO ∆ 不存在；当0m <时，正方形ABCD 均落在A 内部（如图7)；当1m >时，正方形ABCD 的顶点C 落在A 外部（如图8)，（当2m =时ABO ∆不存在）；综上分析，点A 的横坐标m 的取值范围为：01m <或0m <．5．（2020•顺义区一模）已知：点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，若点P 与点Q 之间的距离PQ 始终满足0PQ >，则称图形M 与图形N 相离． （1）已知点(1,2)A 、(0,5)B -、(2,1)C -、(3,4)D ．①与直线35y x =-相离的点是 ； ②若直线3y x b =+与ABC ∆相离，求b 的取值范围；（2）设直线3y =+、直线3y =+及直线2y =-围成的图形为W ，T 的半径为1，圆心T 的坐标为(,0)t ，直接写出T 与图形W 相离的t 的取值范围．【分析】（1）①将A ，B ，C ，D 四个点的坐标代入直线35y x =-计算即可判断． ②根据直线3y x b =+经过点A ，和点C 计算b 的值即可得出答案． （2）分三种情形求出经过特殊位置的T 的坐标即可得出答案． 【解答】解：（1）①点(1,2)A ，∴当1x =时，352-=-， ∴点A 不在直线35y x =-上，同理，点(2,1)C -不在直线35y x =-上，点(0,5)B -，点(3,4)D 在直线上，∴与直线35y x =-相离的点是A ，C ；故答案为：A ，C ；②当直线3y x b =+过点(1,2)A 时，32b ∴+=． 1b ∴=-．当直线3y x b =+过点(2,1)C -时， 61b ∴+=-． 7b ∴=-．b ∴的取值范围是1b >-或7b <-．（2）①如图1，图形W 为ABC ∆，直线3y =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，令0x =，3y =，令0y =，x =3OA ∴=，OD30OAD ∴∠=︒，60ADO ∠=︒，当T 位于直线AC 右侧，且与直线AC 相切于点H ，连接TH ，TH DH ∴⊥，60TDH ADO ∠=∠=︒，1TH =，∴=DT∴=+==，OT OD DT∴，0)，T∴当t>时，T与图形W相离，②如图2，当T位于直线3y=+左侧，且与直线AB相切于点H，连接TH，直线AB与x轴交于点E，同理可得，TE OE=∴=，OT∴，0)，(T∴当t<T与图形W相离，③如图3，当T位于直线AC左侧，且与直线AC相切时，同理可得TD=OD∴=-==，OT OD TDT∴0)，当T与AB相切，且位于直线AB的右侧时，(T0)，∴当t<<T与图形W相离．综合以上可得，T与图形W相离时t的取值范围是：t<t>或t<<6．（2020•东城区一模）在ABC∆的内部或边上，∆的中线，如果CD上的所有点都在ABC∆中，CD是ABC则称CD为ABC∆的中线弧．（1）在Rt ABC∠=︒，1AC=，D是AB的中点．ACB∆中，90①如图1，若45∆的一条中线弧CD，直接写出ABC∆的中线弧CD所在圆的半径r的最∠=︒，画出ABCA小值；②如图2，若60∆的最长的中线弧CD的弧长l．∠=︒，求出ABCA（2）在平面直角坐标系中，已知点(2,2)A，(4,0)B，(0,0)C，在ABC∆中，D是AB的中点．求ABC∆的中线弧CD所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）①如图1中，当直线弧CD的圆心是AC或BC的中点时，CD所在圆的半径r的最小．②如图2中，当中线弧CD所在的圆与AC，AB都相切时，CD的弧长最大．（2）分两种情形：如图3中，若中线弧CD在线段CD的下方时，如图4中，若中线弧CD在线段CD的上方时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，当直线弧CD的圆心是AC或BC的中点时，CD所在圆的半径r的最小，此时1122r AC==，ABC∴∆的中线弧CD所在圆的半径r的最小值为12．②如图2中，当中线弧CD所在的圆与AC，AB都相切时，CD的弧长最大，此时，CD的圆心在BC上，⊥，ND BDNDB∴∠=︒，90ACB∠=︒，∠=︒，90A60∴∠=︒，B30∴==，BN DN CN22∴==，3CN BC∴=CN∴．（2）如图3中，若中线弧CD在线段CD的下方时，ABC ∆的中线弧CD 所在的圆的圆心在线段CD 使得垂直平分线上，当中线弧CD 所在圆与BC 相切时，可得(0,5)P ，观察图象可知中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标5t ．如图4中，若中线弧CD 在 线段CD 的上方时，当中线弧CD 所在圆与AC 相切时，可得5(2P ，5)2-，观察图象可知中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标52t -． 综上所述，．中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围为：5t 或52t -．7．（2020•石景山区一模）在ABC ∆中，以AB 边上的中线CD 为直径作圆，如果与边AB 有交点E （不与点D 重合），那么称DE 为ABC ∆的C -中线弧．例如，如图中DE 是ABC ∆的C -中线弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆存在C -中线弧，其中点A 与坐标原点O 重合，点B 的坐标为(2t ，0)(0)t >．（1）当2t =时，①在点1(3,2)C -，2(0C ，，3(2,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ；②若在直线(0)y kx k =>上存在点P 是ABC ∆的C -中线弧DE 所在圆的圆心，其中4CD =，求k 的取值范围；（2）若ABC ∆的C -中线弧DE 所在圆的圆心为定点(2,2)P ，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）①先确定出点C 的横坐标的范围即可得出结论； ②先确定出分界点点P ，P '的坐标，即可得出结论；（2）表示出点D 的坐标，再分点E 在线段AD 和BD 上，求出AE ，利用02AE t ，且AE t ≠，即可得出结论．【解答】解：（1）当2t =时，点B 的坐标为(4,0)， 点D 是AB 的中点，(2,0)D ∴， ①如图1，过点C 作CE AB ⊥于E ，则90CED ∠=︒， CE AB ∴⊥，即点C 和点E 的横坐标相同，点E 是以CD 为直径与边AB 的交点，04AE ∴，点E 与点D 重合，2AE ∴≠，∴点E 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，即点E 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，点1(3,2)C -，2(0C ，，3(2,4)C ，4(4,2)C ，∴只有点2C ，4C 的横坐标满足条件，故答案为2C ，4C ；②ABC ∆的中线4CD =，∴点C 在以点D 为圆心4为直径的弧上，由①知，点C 的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，∴点C 在如图2所示的CC '上（点(2,4)H 除外），点P 是以CD 为直径的圆的圆心，∴点P 在如图2所示的PP '上（点(2,2)G 除外），在Rt OAM ∆中，2AD =，4MD =，根据勾股定理得，AO =(0C ∴，，同理：(4C '，，点P 是DC 的中点，P ∴，同理：点P '，当直线y kx =过点P 时，得k =当直线y kx =过点P '时，得k =， 当直线y kx =过点(2,2)G 时，得1k =，结合图形，可得k 3k 且1k ≠；（2）同（1）①知，点E 的横坐标大于等于0小于等于2t ，且不等于t ， 点D 是AB 的中点，且(2,0)B t ， (,0)D t ∴，当点E 在线段AD 上时，2(2)40AE t t t =--=-+，4t ∴，当点E 在线段BE 上时，2(2)2AE t t t =-+，43t∴， ∴443t 且2t ≠．8．（2020•西城区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的图形1W 和图形2W ，给出如下定义：在图形1W 上存在两点A ，B （点A 与点B 可以重合），在图形2W 上存在两点M ，N （点M 与点N 可以重合），使得2AM BN =，则称图形1W 和图形2W 满足限距关系．（1）如图1，点(1,0)C ，(1,0)D -，E ，点P 在线段DE 上运动（点P 可以与点D ，E 重合），连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为 ，最大值为 ，线段CP 的取值范围是 ； ②在点O ，点C 中，点 与线段DE 满足限距关系；（2）如图2，O 的半径为1，直线(0)y b b +>与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与O 满足限距关系，求b 的取值范围；（3）O 的半径为(0)r r >，点H ，K 是O 上的两点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到H 和K ，若对于任意点H ，K ，H 和K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题． ②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，(0,)G b ，分三种情形：①线段FG 在O 内部，②线段FG 与O 有交点，③线段FG 与O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（2）如图3中，不妨设K ，H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据H 和K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【解答】解：（1）①如图1中，(1,0)D -，E ，1OD ∴=，OE =tan OEEDO OD∴∠== 60EDO ∴∠=︒，当OP DE ⊥时，sin 60OP OD =︒=，此时OP 的值最小，当点P 与E 重合时，OP当CP DE ⊥时，CP 的值最小，最小值cos60CD =︒ 当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，2CP ．②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足2OM ON =， 故点O 与线段DE 满足限距关系． 故答案为O ．（2）直线y b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，(0,)G b ，当01b <<时，线段FG 在O 内部，与O 无公共点，此时O 上的点到线段FG 的最小距离为1b -，最大距离为1b +， 线段FG 与O 满足限距关系， 12(1)b b ∴+-，解得13b， b ∴的取值范围为113b <． 当12b 时，线段FG 与O 有公共点，线段FG 与O 满足限距关系， 当2b >时，线段FG 在O 的外部，与O 没有公共点，此时O 上的点到线段FG 的最小距离为112b -，最大距离为1b +，线段FG 与O 满足限距关系， 112(1)2b b ∴+-，而112(1)2b b +-总成立，2b ∴>时，线段FG 与O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b．（3）如图3中，不妨设K ，H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为22r -，最大值为22r +，H 和K 都满足限距关系，222(22)r r ∴+-，解得3r ，故r 的取值范围为03r <．9．（2020•通州区一模）如果MN 的两个端点M ，N 分别在AOB ∠的两边上（不与点O 重合），并且MN 除端点外的所有点都在AOB∠的内部，则称MN是AOB∠的“连角弧”．（1）图1中，AOB∠是直角，MN是以O为圆心，半径为1的“连角弧”．①图中MN的长是，并在图中再作一条以M，N为端点、长度相同的“连角弧”；②以M，N为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M，点(,0)N t在x轴正半轴上，若MN是半圆，也是AOB∠的“连角弧”求t的取值范围．（3）如图3，已知点M，N分别在射线OA，OB上，4ON=，MN是AOB∠的“连角弧”，且MN所在圆的半径为1，直接写出AOB∠的取值范围．【分析】（1）①利用弧长公式计算即可．如图11-中，作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得劣弧MN．②作正方形OMKN，以K为圆心，KM为半径画弧，交AO于M，交OB于N，可得优弧MNJ即为最长的弧．（2）求出两种特殊情形ON的长即可判断．（3）如图3中，当MN为直径，且NM AB⊥时，AOB∠的值最大，求出AOB∠的最大值即可．【解答】解：（1）①MN的长9011802ππ==．如图11-中，MN即为所求．②作正方形OMKN ，以K 为圆心，KM 为半径画弧，交AO 于M ，交OB 于N ，可得优弧MNJ 即为最长的弧优弧MN 的长270131802ππ==， 故答案为2π，32π．（2）如图2中，(1,3)M ，tan MOB ∴∠=，60MOB ∴∠=︒，2OM ，当1MN OB ⊥时，可得11ON =，此时1t =， 当2MN OM ⊥时，可得24ON =，此时4t =， 观察图象可知满足条件的t 的值为14t ．（3）如图3中，当MN 为直径，且NM AB ⊥时，AOB ∠的值最大，在Rt OMN ∆中，21sin 42MN AOB ON ∠===， 30AOB ∴∠=︒，观察图形可知满足条件的AOB ∠的值为030AOB ︒<∠︒10．（2020•延庆区一模）对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，以r 为半径作P ，使得图形M 上的所有点都在P 的内部（或边上），当r 最小时，称P 为图形M 的P 点控制圆，此时，P 的半径称为图形M 的P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的位置如图所示，其中点(2,2)B ．（1）已知点(1,0)D ，正方形OABC 的D 点控制半径为1r ，正方形OABC 的A 点控制半径为2r ，请比较大小：1r 2r ；（2）连接OB ，点F 是线段OB 上的点，直线:l y b =+；若存在正方形OABC 的F 点控制圆与直线l 有两个交点，求b 的取值范围．【分析】（1）根据控制半径的定义，分别求出1r 和2r 的值即可得解．（2）如图所示：O 和B 的半径均等于OB ，分两种情况：①当直线:l y b =+与O 相切于点M 时，连接OM ，则OM l ⊥，②当直线:l y b =+与B 相切于点N 时，连接BN ，则BN l ⊥；分别求得两个切点的坐标，进而得出b 值，则可得答案．【解答】解：（1）由题意得：1r BD CD ====2r AC === 12r r ∴<，故答案为：<．（2）如图所示：O 和B 的半径均等于OB ，当直线:l y b =+与O 相切于点M 时，连接OM ，则OM l ⊥，则直线OM 的解析式为：y =，设(,)M x ， OM OB =，OM ∴== 2283x x ∴+=，解得：x =x =)，=，(M ∴，将(M 代入y b =+(b =+，解得：b =当直线:l y b =+与B 相切于点N 时，连接BN ，则BN l ⊥，同理，设直线BN 的解析式为：y n =+，将(2,2)B 代入得：22n =+，2n ∴=+，∴直线BN 的解析式为：2y =++，设(,2N m +， BN OB =，∴= 2244448333m m m m ∴-++-+=2420m m ∴-+=，2m ∴=)或2m =222+=+++=-(2N ∴+2-，∴将(2N +2-代入y b =+得：2b +，解得：2b =-，∴存在正方形OABC 的F 点控制圆与直线l 有两个交点，此时b 的取值范围为：2b -<．11．（2020•房山区一模）如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点(0,1)P ，点(2,1)A --，点(2,1)B -．（1）在点(0,0)O ，(2,1)C -，(3,0)D 中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标K x 的取值范围； （3）已知点(,1)M m -，若直线132y x =+上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当Q 与A 重合时，点C 在以AP 为直径的圆上，所以可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ；（2）由两点的距离公式可得AP BP ==分别画以AP 和BP 为直径的圆交x 轴于4个点：1K 、2K 、3K 、4K ，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；（3）先根据直线132y x =+，当0x =和0y =计算与x 轴和y 轴的交点坐标，分两种情况：M 在A 的左侧和右侧，先计算圆E 与直线132y x =+相切时m 的值，从而根据图形可得结论． 【解答】解：（1）如图1，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ，故答案为：C ；（2）(0,1)P ，点(2,1)A --，点(2,1)B -．AP BP ∴==，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点1K 、2K 、3K 、4K ，1OP OG ==，//OE AB ，PE AE ∴==112OE AG ∴==，1(1K ∴--0)，2(1k ，0)，31k ，0)，4(1k 0)，点K 为点P 与线段AB 的共圆点，112k x ∴--或112k x +；（3）分两种情况：①如图3，当M 在点A 的左侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线132y x =+相切于点F ，连接EF ，则EF FH ⊥，当0x =时，3y =，当0y =时，1302y x =+=，6x =-， 3ON ∴=，6OH =，31tan 62ON EF EHF OH FH ∠====，设EF a =，则2FH a =，EH ，6OE ∴=-，Rt OEP ∆中，1OP =，EP a =，由勾股定理得：222EP OP OE =+，∴2221(6)a =+，解得：a =（舍)22(6)3QG OE ∴==-=-+3210m ∴-②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线132y x =+相切于点F ，连接EF ，则EF FH ⊥，同理得3QG =+3210m ∴+综上，m 的取值范围是3210m -或3210m +．12．（2020•门头沟区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意点(P x ，)y ，如果满足(0x y a x +=，a 为常数），那么我们称这样的点叫做“特征点”． （1）当23a 时，①在点(1,2)A ，(1,3)B ，(2.5,0)C 中，满足此条件的特征点为 ；②W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数1(0)Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．【分析】（1）①根据“特征点”的定义判断即可．②如图2中，当1W 与直线2y x =-+相切时，1(2W 0)，当2W 与直线3y =-相切时，2(3W 0)，结合图象，W 与图中阴影部分有交点时，W 上存在满足条件的特征点．（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中）．【解答】解：（1）①123+=，134+=，2.50 2.5+=， 又23a ，A ∴，C 是特征点．故答案为：A ，C ．②如图2中，当1W 与直线2y x =-+相切时，1(2W -0)，当2W 与直线3y =-相切时，2(3W +0)，观察图象可知满足条件的m 取值范围为：232m +．（2）0x >，1y x∴=的图象在第一象限，这个图象上的点的坐标为1(,)x x ，特征点满足(0x y a x +=，a 为常数），1x a x ∴+=，特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x+的值最小（如图3中），此时交点的坐标为(1,1)，1Z x x∴=+的值最小，最小值为2．13．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy 中，点(,0)A t ，(2,0)B t +，(,1)C n ，若射线OC 上存在点P ，使得ABP ∆是以AB 为腰的等腰三角形，就称点P 为线段AB 关于射线OC 的等腰点．（1）如图，0t =，①若0n =，则线段AB 关于射线OC 的等腰点的坐标是 ；②若0n <，且线段AB 关于射线OC 的等腰点的纵坐标小于1，求n 的取值范围；（2）若n =，且射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，则t 的取值范围是 ． 【分析】（1）①根据线段AB 关于射线OC 的等腰点的定义可知2OP AB ==，由此即可解决问题． ②如图2中，当OP AB =时，作PH x ⊥轴于H ．求出点P 的横坐标，利用图象法即可解决问题． （2）如图31-中，作CH y ⊥轴于H ．分别以A ，B 为圆心，AB 为半径作A ，B ．首先证明30COH ∠=︒，由射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，推出射线OC 与A ，B 只有一个交点，求出几种特殊位置t 的值，利用数形结合的思想解决问题即可． 【解答】解：（1）①如图1中，由题意(0,0)A ，(2,0)B ，(0,1)C ，点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴==，2OP ABP∴．(0,2)故答案为(0,2)．②如图2中，当OP AB⊥轴于H．=时，作PH x在Rt POH==OP AB∆中，1==，2PH OC∴，OH观察图象可知：若0n<，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n<（3）如图31⊥轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作A，B．-中，作CH y由题意C ，1)，CH ∴=，1OH =，tan CH COH OH ∴∠==， 30COH ∴∠=︒，当B 经过原点时，(2,0)B -，此时4t =-，射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，∴射线OC 与A ，B 只有一个交点，观察图象可知当42t -<-时，满足条件，如图32-中，当点A 在原点时，60POB ∠=︒，此时两圆的交点P 在射线OC 上，满足条件，此时0t =，如图33-中，当B 与OC 相切于P 时，连接BP ．OC ∴是B 的切线，OP BP ∴⊥， 90OPB ∴∠=︒，2BP =，60POB ∠=︒，cos60PB OB ∴==︒2t =-，如图34-中，当A 与OC 相切时，同法可得OA t =观察图形可知，满足条件的t 432t-<，综上所述，满足条件t 的值为42t -<-或0t =432t-<．故答案为：42t -<-或0t =432t-<．14．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意一点P ，给出如下定义：经过点P 且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P 的“特征线”． 例如：点(1,3)M 的特征线是2y x =+和4y x =-+；（1）若点D 的其中一条特征线是1y x =+，则在1(2,2)D 、2(1,0)D -、3(3,4)D -三个点中，可能是点D 的点有 ；（2）已知点(1,2)P -的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x 轴相交于点A ，直线(0)y kx b k =+≠经过点P ，且与x 轴交于点B ．若使BPA ∆的面积不小于6，求k 的取值范围；（3）已知点(2,0)C ，(,0)T t ，且T 的半径为1．当T 与点C 的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．（2）过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y x b =-+，求出PAB ∆的面积为6时点B 的坐标，再利用待定系数法求直线PB 的解析式，结合图形即可解决问题．（3）如图3中，由题意点C 的特征线的解析式为2y x =-或2y x =-+，设当T 与直线2y x =-+相切于点M 时，当T '与直线2y x =-相切于点N 时，分别求出OT ，OT '结合图象即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，点2D 的特征线是1y x =+．故答案为2D ．（2）如图2中，设过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y x b =-+， 12b ∴+=， 1b ∴=，∴过点P 平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为1y x =-+，(1,0)A ∴，当BPA ∆的面积6=时，1262AB =，6AB ∴=，(5,0)B ∴-或(7,0)，当y kx b =+'经过(1,2)P -，(5,0)B -时，250k b k b -+'=⎧⎨-+'=⎩解得12k =， 当直线y kx b =+'经过(1,2)P -，(7,0)B 时，270k b k b -+'=⎧⎨+'=⎩，解得14k =-， 观察图形可知满足条件的k 的值为1142k-且0k ≠．（3）如图3中，由题意点C 的特征线的解析式为2y x =-或2y x =-+，当T 与直线2y x =-+相切于点M 时，连接TM ， 在Rt TCM ∆中，90TMC ∠=︒，45MCT ∠=︒， 1MT MC ∴==，TC ∴=，2OT ∴=，此时2t =当T '与直线2y x =-相切于点N 时，推出法可得2OT '=+2t =结合图象可知满足条件的t 的值为：222-+．15．（2020•大兴区一模）已知线段AB ，如果将线段AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AC ，则称点C 为线段AB 关于点A 的逆转点．点C 为线段AB 关于点A 的逆转点的示意图如图1: （1）如图2，在正方形ABCD 中，点 为线段BC 关于点B 的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(,0)x ，且0x >，点E 是y 轴上一点，点F 是线段EO 关于点E 的逆转点，点G 是线段EP 关于点E 的逆转点，过逆转点G ，F 的直线与x 轴交于点H ． ①补全图；②判断过逆转点G ，F 的直线与x 轴的位置关系并证明；③若点E 的坐标为(0,5)，连接PF 、PG ，设PFG ∆的面积为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据点C 为线段AB 关于点A 的逆转点的定义判断即可．（2）结论：GF x ⊥轴．证明()GEF PEO SAS ∆≅∆，推出90GFE EOP ∠=∠=︒可得结论．（3）分两种情形：如图41-中，当05x <<时，如图42-中，当5x >时，分别利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意，点A 是线段AB 关于点B 的逆转点，故答案为A．（2）①图形如图3所示．②结论：GF x⊥轴．理由：点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，=，=，EF EO∴∠=∠=︒，EG EPOEF PEG90∴∠=∠，GEF PEO∴∆≅∆，GEF PEO SAS()∴∠=∠，GFE EOPOE OP⊥，∴∠=︒，90POEGFE∴∠=︒，90OEF EFH EOH∠=∠=∠=︒，90∴四边形EFHO是矩形，∴∠=︒，90FHOFG x ∴⊥轴．③如图41-中，当05x <<时，(0,5)E ， 5OE ∴=，四边形EFHO 是矩形，EF EO =，∴四边形EFHO 是正方形，5OH OE ∴==， 21115(5)2222y FG PH x x x x ∴==-=-+． 如图42-中，当5x >时，21115(5)2222y FG PH x x x x ==-=-．。

新定义阅读理解问题新定义学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自学能力，便于学生养成良好的学习习惯。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”； 归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

一、基础练习部分★例1:【2021——2021海淀期末】对于正整数n ，定义210()=()10，，≥n n F n f n n ⎧<⎨⎩，其中f(n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10．规定F 1(n )=F(n )，F k +1(n )=F(F K (n ))（K 为正整数）．例如：F 1(123)=F(123)=10，F 2(123)=F(F 1(123))=F(10)=1．（1）求：F 2(4)=，F 2021(4)=；（2）若F 3m (4)=89，则正整数m 的最小值是．答案：（1）37，26；（2）6. 练习①：【2021通州一模】定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使得k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次……，若1n =，则第2次“F 运算”的结果是；若13n =，则第2021次“F 运算”的结果是.答案：1，4练习②：【2021门头沟二模】我们知道，一元二次方程x 2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2=-1 (即方程x 2=-1有一个根为i )，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=-1，i 3= i 2·i =(-1)（-1）·i =-i , i 4=( i 2)2=(-1) 2=1，从而对任意正整数n ，则i 6=______________;由于i 4n+1=i 4n ﹒i=(i 4)n ﹒i=i,同理可得i 4n+2=﹣1, i 4n+3=﹣i , i 4n =1那么i + i 2+ i 3+ i 4+…+ i 2012+ i 2021的值为_____ 答案:-1，i★例2：【2009宣武一模】任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n =p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ），如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()p F n q =．例如18可以分解成1×18、2×9或3×6，这时就有31(18)62F ==．给出下列关于F(n )的说法：（1）1(2)2F =；（2）3(24)8F =；（3）(27)3F =；（4）若n 是一个完全平方数，则F(n )=1．其中正确说法的个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4 答案：Ｂ练习①：【2011北京中考】在右表中，我们把第i 行第j列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i ≥j 时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i =2，j=1时，a i ，j =a 2，1=1．按此规定，a 1，3=；表中的25个数中，共有个1；计算a 1，1•a i ，1+a 1，2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，4•a i ，4+a 1，5•a i ，5的值为．答案：0；15；1.练习②：【2011海淀二模】某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输．现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01．我们用A 0表示没有经过加密的数字串．这样对A 0进行一次加密就得到一个新的数字串A 1，对A 1再进行一次加密又得到一个新的数学串A 2，依此类推，…，例如：A 0：10，则A 1：1001．若已知A 2：100101101001，则A 0：，若数字串A 0共有4个数字，则数字串A 2中相邻两个数字相等的数对至少．．有 对． 答案：101 ，4练习③：【202X 燕山一模】若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．如在代数式a ＋b ＋c 中，把a 和b 互相替换，得b ＋a ＋c ；把a 和c 互相替换，得c ＋b ＋a ；把b 和c ……；a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：① (a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中为完全对称式的是A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 答案：A练习④：【202X 西城一模】在平面直角坐标系中，对于平面内任一点P (a ,b )若规定以下两种变换： ①f (a ,b )= (-a ,-b )．如f (1,2)= (-1,-2);②g (a ,b )= (b ,a )．如g (1,3)= (3,1)按照以上变换，那么f （g (a ,b )）等于A ．(-b ,-a )B ．(a ,b )C ．(b ,a )D ．(-a ,-b ) 答案：A★例3：【2009昌平二模】请阅读下列材料：我们规定一种运算：，例如：． 按照这种运算的规定,请解答下列问题：（1）直接写出 的计算结果；（2）若，直接写出和的值．（3）当取何值时, ； 答案：(1)3.5; (2)x=8,y=2. (3) ; a b ad bc c d=-2325341012245=⨯-⨯=-=-1220.5--0.517830.51x y xy --==--x y x 0.5012x xx -=15x -±=a 1，1 a 1，2 a 1，3 a 1，4 a 1，5 a 2，1 a 2，2 a 2，3 a 2，4 a 2，5 a 3，1 a 3，2 a 3，3 a 3，4 a 3，5 a 4，1a 4，2 a 4，3 a 4，4 a 4，5 a 5，1a 5，2 a 5，3 a 5，4 a 5，5变式练习：【2008宣武一模】对于实数d c b a ,,,规定一种运算：c a bc ad d b -=，如21=-20()21-⨯ 220-=⨯-，那么)3(2x -2554=-时，=x （ ）.（A ）413-（B ）427（C ）423-（D ）43- 答案：(D)练习：①【2006北京中考（课标卷）】用“☆”定义新运算： 对于任意实数a 、b ， 都有a ☆b =b 2＋1。

2022北京初三二模数学汇编新定义（28题）1．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于ABC 和直线l 给出如下定义：若ABC 的一条边关于直线l 的对称线段PQ 是O 的弦，则称ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，直线l 是“关联轴”．（1）如图1，若ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，请画出ABC 与O 的“关联轴”（至少画两条）； （2）若ABC 中，点A 坐标为(2,3)，点B 坐标为(4,1)，点C 在直线3y x =-+的图像上，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，求点C 横坐标的取值范围；（3）已知A ，将点A 向上平移2个单位得到点M ，以M 为圆心MA 为半径画圆，B ，C 为M 上的两点，且2AB =（点B 在点A 右侧），若ABC 与O 的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC 最大时AC 的长．2．（2022·北京燕山·二模）在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，如果PQ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形,M N 的“近距离”，记为,()d M N ．特别地，当图形M 与图形N 有公共点时，(,)=0d M N ．已知A （－4，0），B （0，4），C （4，0），D （0，－4），（1）d （点A ，点C ）＝________，d （点A ，线段BD ）＝________；（2）⊙O 半径为r ，① 当r ＝ 1时，求 ⊙O 与正方形ABCD 的“近距离”d （⊙O ，正方形ABCD ）；② 若d （⊙O ，正方形ABCD ）＝1，则r ＝___________．（3）M 为x 轴上一点，⊙M 的半径为1，⊙M 与正方形ABCD 的“近距离”d （⊙M ，正方形ABCD ）＜1，请直接写出圆心M 的横坐标 m 的取值范围．3．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点()2,3P 与图形T ，给出如下定义：在点P 与图形T 上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T 关于点P 的“宽距”．（1）如图，⊙O 的半径为2，且与x 轴分别交于A ，B 两点．①线段AB 关于点P 的“宽距”为______；⊙O 关于点P 的“宽距”为______．②点(),0M m 为x 轴正半轴上的一点，当线段AM 关于点P 的“宽距”为2时，求m 的取值范围．（2）已知一次函数1y x =+的图象分别与x 轴、y 轴交于D 、E 两点，⊙C 的圆心在x 轴上，且⊙C 的半径为1．若线段DE 上的任意一点K 都能使得⊙C 关于点K 的“宽距”为2，直接写出圆心C 的横坐标C x 的取值范围．4．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和直线1y =，给出如下定义：若点P 在直线1y =上，且以点P 为顶点的角是45°，则称点P 为直线1y =的“关联点”．（1）若在直线1x =上存在直线1y =的“关联点”P ．则点P 的坐标为_____；（2）过点()2,1P 作两条射线，一条射线垂直于x 轴，垂足为A ；另一条射线、交x 轴于点B ，若点P 为直线1y =的“关联点”．求点B 的坐标；（3）以点O 为圆心，1为半径作圆，若在O 上存在点N ，使得OPN ∠的顶点P 为直线1y =的“关联点”．则点P 的横坐标a 的取值范围是________．5．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H 在直线MN 上，点P 和点P '均在直线MN 的上方，如果HP HP '=，PHM P HN '∠=∠，点P '就是点P 关于直线MN 的“反射点”，其中点H 为“V 点”，射线HP 与射线HP '组成的图形为“V 形”．在平面直角坐标系xOy 中，（1）如果点(0,3)P ，(1.5,0)H ，那么点P 关于x 轴的反射点P '的坐标为 ；（2）已知点(0,)A a ，过点A 作平行于x 轴的直线l ．①如果点(5,3)B 关于直线l 的反射点B '和“V 点”都在直线4y x =-+上，求点B '的坐标和a 的值；②W 是以(3,2)为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l 的反射点和“V 点”都在直线4y x =-+上，且形成的“V 形”恰好与W 有且只有两个交点，求a 的取值范围．6．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点R 和线段PQ ，给出如下定义：M 为线段PQ 上任意一点，如果R ，M 两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ 的长，则称点R 为线段PQ 的“等距点”． （1）已知点()5,0A ．①在点()13,4B -，()21,5B ，()34,3B -，()43,6B 中，线段OA 的“等距点”是______；②若点C 在直线25y x =+上，并且点C 是线段OA 的“等距点”，求点C 的坐标；（2）已知点()1,0D ，点()0,1E -，图形W 是以点(),0T t 为圆心，1为半径的T 位于x 轴及x 轴上方的部分．若图形W 上存在线段DE 的“等距点”，直接写出t 的取值范围．7．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy 中的图形1W 和图形2W ．给出如下定义：在图形1W 上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形2W 上存在两点M ，N ，（点M 、N 可以重合）使得2AM BN =，则称图形1W 和图形2W 满足限距关系（1）如图1，点(0,1),(0,1)C D E -，点P 在线段CE 上运动（点P 可以与点C ，E 重合），连接,OP DP ． ①线段OP 的最小值为__________，最大值为__________；线段DP 的取值范围是__________；②在点O ，点D 中，点__________与线段EC 满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，O 的半径为1，线段FG 与x 轴、y 轴正半轴分别交于点F ，G ，且FG EC ∥，若线段FG 与O 满足限距关系，求点F 横坐标的取值范围；（3）O 的半径为()0r r >，点H ，K 是O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，2为半径作圆得到H 和K ，若对于任意点H ，K ，H 和K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．8．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 与直线:l y kx b =+，给出如下定义：若线段AB 关于直线l 的对称线段为A B ''（A '，B '分别为点A ，B 的对应点），则称线段A B ''为线段AB 的“[],k b 关联线段”．已知点()1,1A ，()1,1B -．（1）线段A B ''为线段AB 的“[]1,b 关联线段”，点A '的坐标为()2,0，则A B ''的长为______，b 的值为______； （2）线段A B ''为线段AB 的“[],0k 关联线段”，直线1l 经过点()0,2C ，若点A '，B '都在直线1l 上，连接OA '，求COA '∠的度数；（3）点()3,0P -，()3,3Q -，线段A B ''为线段AB 的“[],k b 关联线段”，且当b 取某个值时，一定存在k 使得线段A B ''与线段PQ 有公共点，直接写出b 的取值范围．9．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于线段MN ，直线l 和图形W 给出如下定义：线段MN 关于直线l 的对称线段为M'N'（M'，N'分别是M ，N 的对应点）．若MN 与M'N'均在图形W 内部（包括边界），则称图形W 为线段MN 关于直线l 的“对称封闭图形”．（1）如图，点P （-1，0）．① 已知图形W 1：半径为1的⊙O ，W 2：以线段PO 为边的等边三角形，W 3：以O 为中心且边长为2的正方形，在W 1，W 2，W 3中，线段PO 关于y 轴的“对称封闭图形”是 ；② 以O 为中心的正方形ABCD 的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD 是线段PO 关于直线 y = x + b 的“对称封闭图形”，求b 的取值范围；（2）线段MN 在由第四象限、原点、x 轴正半轴以及y 轴负半轴组成的区域内，且MN 的长度为2．若存在点Q（a a -+，使得对于任意过点Q 的直线l ，有线段MN ，满足半径为r 的⊙O 是该线段关于l 的“对称封闭图形”，直接写出r 的取值范围．10．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A 为任意一点，B 为⊙O 上任意一点，给出如下定义：记A ，B 两点间的距离的最小值为p （规定：点A 在⊙O 上时，0p =），最大值为q ，那么把2p q +的值称为点A 与⊙O 的“关联距离”，记作d （A ，⊙O ） （1）如图，点D ，E ，F 的横、纵坐标都是整数①d （D ，⊙O ）＝__________；②若点M 在线段EF 上，求d （M ，⊙O ）的取值范围；（2）若点N 在直线y =+d （N ，⊙O ）的取值范围；（3）正方形的边长为m ，若点P 在该正方形的边上运动时，满足d （P ，⊙O ）的最小值为1直接写出m 的最小值和最大值．2022北京初三二模数学汇编新定义（28题）参考答案1．（1）见解析（2）04C x ≤≤（3）2，【解析】【分析】（1）根据A （1，2），B （2，1），C （4，1），计算AB确定圆O（2）根据A （2，3），B （4，1），计算AB 2=，故AB 不能落在圆的内部；过点A 作AN ⊥y 轴，垂足为N ，则AN =2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时0C x =；作点B 关于x 轴的对称点P ，此时BP =2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时4C x =，综上所述，点C 横坐标的范围是04C x ≤≤．（3）如图，连接OM ，交圆M 于点C ，此时OC 最小，根据勾股定理，得OM 22(3)23，圆M 的半径为2，计算OC 的最小值；OC 22(32)(3)27，此时AC =4．（1）如图1，作BM ⊥x 轴，垂足为M ，根据题意AB =AE =EF =BF ，且∠EFO =∠BFM =45°， ∴∠EFB =90°，∴四边形ABFE 是正方形，∴边AE ，BF 的中点所在直线就是ABC 与O 的一条“关联轴”；∵O 的半径为1，∴EH =GH =FG =EF EFG =90°，∴四边形EFGH 是正方形，∵∠EFG +∠EFB =180°，∴B 、F 、G 三点共线，∴直线EF 是ABC 与O 的一条“关联轴”．（2）如图2，根据A （2，3），B （4，1），C （4，1），计算AB 2=，故AB 不能落在圆的内部；过点A 作AN ⊥y 轴，垂足为N ，则AN =2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时0C x =；作点B 关于x 轴的对称点P ，此时BP =2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时4C x =，综上所述，点C 横坐标的范围是04C x ≤≤．（3）如图，连接OM ，交圆M 于点C ，此时OC 最小，根据勾股定理，得OM 22(3)23，圆M 的半径为2，故OC的最小值为2；当点C是直径AC的一个端点时,OC最大,根据勾股定理，得OC 22(32)(3)27，此时AC=4.【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，圆的基本性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，正确理解新定义是解题的关键．2．（1）8；4；（2）①；②或5；（3）64-<<．mm-<<或46【解析】【分析】（1）图形M，N的“近距离”的定义可求解；（2）①根据题意作图，根据“近距离”的定义即可求解；②根据题意分圆在正方形ABCD内部和外部分别作图求解；（3）由题意可求∠OCB＝45°，分点M在x轴正半轴且⊙M在正方形ABCD的外面与内部，及点M在x轴负半轴且⊙M在正方形ABCD的外面与内部，由题意列出不等式，即可求解．【详解】（1）∵A（－4，0），C（4，0），d（点A，点C）＝8；∵B（0，4），D（0，－4），∴线段BD在y轴上∴d （点A ，线段BD ）为A 点到y 轴的距离，即4 故答案为：8；4；（2）①如图，当r ＝ 1时，过点O 作OE ⊥AB 于E 点，OE 与⊙O 交于H 点，则OE=12AB=12=∴⊙O 与正方形ABCD 的“近距离”d （⊙O ，正方形ABCD ）；②如图，当⊙O 在正方形ABCD 内部时，d （⊙O ，正方形ABCD ）＝1 即EH=OE-OH=1则当⊙O 在正方形ABCD 外部时，d （⊙O ，正方形ABCD ）＝1 即BG=1则OG=OB+BG=5故答案为：或5；（3）如图，∵OB=OC，∴∠OCB＝45°，当点M在x轴正半轴且⊙M在正方形ABCD的外面时，⊙M的半径为1 ∵d（⊙M，正方形ABCD）＜1由图可得OM2-OC-1＜1即OM2-4-1＜1∴OM2＜6即m＜6；当点M在x轴正半轴且⊙M在正方形ABCD的内部时，⊙M的半径为1，过点M1作M1G⊥BC，∵d（⊙M，正方形ABCD）＜1∴M1G-r＜1∵M1G=CM1·sin45°)-4m)--1＜14m解得m＞4-∴46-<m当点M在x轴负半轴且⊙M在正方形ABCD的外面与内部时，同理可得64-<<m综上，m的取值范围为64-<．m-<<或46m【点睛】本题属于圆的综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，三角函数的运用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．3．（1）①2；4②2≤m≤6（2）xC≤-2或xC【解析】【分析】（1）①连接PA，PB，求出PA=5，PB=4，证PB⊥x轴，则PA是最大值，PB是最小值，即可由“宽距”定义求解第一空；作直线OP交⊙O于G、H，线段PH长度最大，PG长度最小，即可由“宽距”定义求解第二空；②当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意，当m≥2时，则点P 到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，所当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，则求得m=6，即可得出答案；（2）分两种情况：当点C（xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，当点C（xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，分别求解即可．（1）解：①如图1，连接PA，PB，由图可知：A（-2，0），B（2，0），∴AB=4，∵P（2，3），∴PB⊥x轴，∴PB=3，PA，∴线段AB关于点P的“宽距”为5-3=2；作直线OP交⊙O于G、H，则点这与⊙O上各点连接的所有线段中，线段PH长度最大，PG长度最小，∴⊙O关于点P的“宽距”为PH-PG=GH=4；故答案为：2，4；M m为x轴正半轴上的一点，②∵点(),0∴m>0，当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意，当m≥2时，∵P（2，3），∴点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，又∵线段AM关于点P的“宽距”为2，∴当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，∴PM最大，解得m=6或m=-2，∴2≤m≤6．（2）解：如图2，在直线y=x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=-1，∴D（-1，0），E（0，1），∴OD=OE=1，∴∠ODE=45°，当点C（xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，∵⊙C半径为1，∴xC=-2，由（1）①第二空可知，当xC≤-2时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；当点C（xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，则CN⊥DE，∴CN=1，∵∠ODE=45°，∴∠DCN =90°-∠ODE =45°，∴DN =CN =1，∴CD=∴OC =CD -OD -1，由（1）①第二空可知，当xC -1时，线段DE 上任意一点K 都能使得⊙C 关于K 的“宽距”为2；综上，圆心C 的横坐标C x 的取值范围为xC ≤-2或xC ．【点睛】本题考查新定义，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，属圆的综合题目，新定义的理解和正确运用是解题的关键．4．（1）1,1.P（2）()1,0B 或3,0.B（3）1 1.a -≤≤【解析】【分析】（1）在直线1x =上存在直线1y =的“关联点”P ，可得点P 为两直线的交点，从而可得答案；（2）根据题意画出图形，结合等腰直角三角形的性质可得答案；（3）如图，过1,0,1,0作圆的两条切线，当1,1,0,1P N 时，45,OPN 根据三角形的外角的性质可得：45,OQN OPN 再根据对称性，可得答案．（1） 解：在直线1x =上存在直线1y =的“关联点”P ．则点P 为两直线的交点，P1,1.（2）y=的“关联点”．如图，点P为直线1APB45,y⊥轴，1,PA xPAB AP1,()B∴或3,0.1,0B（3）如图，过1,0,1,0作圆的两条切线，当1,1,0,1P N 时，45,OPN根据三角形的外角的性质可得：45,OQN OPN 所以此时点P 的横坐标a 的范围：1,a ≥-同理：当P 在第一象限时，满足1,a ≤综上：点P 的横坐标a 的范围：1 1.a -≤≤【点睛】本题考查的是新定义情境下的坐标与图形，三角形的外角的性质，圆的基本性质，切线的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．5．（1）(3,3)（2）①(1,3)B '，1a =；②1a <<a <． 【解析】【分析】（1）由题知，P 与P '关于直线 1.5x =对称，由此求出P '的坐标；（2）①由题可知，点B '与点B 的纵坐标相同，又点B '在直线4y x =-+上，由此可求出B '的坐标，从而确定直线l 的位置，计算a 的值；②分析题意，可知“V 点”是直线4y x =-+与直线l 的交点H ，分析H 在什么位置时，“V 形”与O 恰有2个交点，求出此时a 的取值范围即可．（1）解：由题可知，点P 与点P '关于直线 1.5x =对称，且(0,3)P ，∴(3,3)P '．故答案是：（3，3）；（2）解：①由//l x 轴可知，点B '与点B 的纵坐标相同，又(5,3)B ，将3y =代入4y x =-+，得34x =-+，解得1x =，∴(1,3)B '．设点B 关于直线l 的“V 点”为(,)b a ，则点B '与点B 关于直线x b =对称， ∴1532b +==， 点(,)b a 在直线4y x =-+上，∴4341a b =-+=-+=．②由题可知，“V 点”是直线4y x =-+与直线l 的交点H ，点P '在直线4y x =-+上，设(4,)H a a -，则直线PH 与直线P H '关于直线4x a =-对称，如图．PH 与P H '关于直线4x a =-对称，∴设PH 的表达式为y x n =+，当直线PH 与W 相切时，设切点为00(,)x x n +，1=，整理得22002(210)4120x n x n n +-+-+=，此时直线PH 与W 相切，∴关于0x 的方程22002(210)4120x n x n n +-+-+=有唯一解，∴令22(210)42(412)0n n n ∆=--⨯⨯-+=，解得1n =-±∴当直线PH 与W 相切时，直线PH的表达式为1y x =-1y x =-联立41y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴C ；联立41y x y x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩32x y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴A ． 点(3,1)到圆心(3,2)W 的距离等于半径1，且点(3,1)在直线4y x =-+上，∴点(3,1)是W 与直线4y x =-+的一个交点，且为两个交点中靠下方的交点，即(3,1)B ．“V 形”与W 有且仅有两个交点，分析图象可知，当且仅当B A y a y <<或C a y <时符合题意．∴1a <<a < 【点睛】本题考查了对称的性质，圆的性质，两点之间距离公式，一元二次方程的判别式，二元一次方程组与一次函数，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．6．（1）①12,B B ；②()4,3C --或()0,5C ；（2）22t t -<<<【解析】【分析】（1）根据定义求解即可求解；（2）求得DE =W 上存在线段DE 的“等距点”，则T 与线段MN ，NP 有交点，进而即可求解． （1）①如图， ()5,0A ，5OA ∴=，点()13,4B -，()21,5B ，()34,3B -，()43,6B ，∴215,5B B O y ==，∴12,B B 是线段OA 的“等距点”；②如图，根据定义可知，点C 在直线25y x =+上，并且点C 是线段OA 的“等距点”，5CO ∴=，且C 在25y x =+上，(),25C m m +，()222255m m ++=， 解得12,4,0m m =-=，()4,3C ∴--或()0,5C ；（2）点()1,0D ，点()0,1E -DE ∴M N，则MN ED∴MN，NP上的点到DE∴图形W上存在线段DE的“等距点”，则T与线段MN，NP有交点根据题意可知，1,======MN ED OM OD DP DE当半T与MN只有一个交点时，在x负半轴时，112t=--=-，当T在x正半轴时，11=-=，t MT当T与D内切时，111=--=t OP当T 与D 外切时，112t ==综上所述，22t t -<<<【点睛】本题考查了新定义，勾股定理求两点距离，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键．7．（1）2DP ≤；②O （2）263F x ≤≤ （3）6r ≤0＜【解析】【分析】（1）先根据C 、(0,1)D -、(0,1)E ，得到OC OD =1，OE =1，DE =2，再在Rt △COE 中，利用勾股定理求出EC ，解该直角三角形即可求出∠OCE =30°，∠OEC =60°，利用垂线段最短和已经求出的角度即可求出OP 、DP 的最大值和最小值；根据上述的值结合限距关系的定义即可判断；（2）根据FG EC ∥，再结合（1）中的结果有可求得∠GFO =∠ECO =30°，∠OGF =∠OEC =60°，设F 点坐标为（a,0），分线段FG 在⊙O 内部、线段FG 与⊙O 有交点和线段FG 在⊙O 外部三种情况讨论，利用线段到圆上的最长距离不小于线段到圆上的最短距离的2倍来分别构建不等式即可求解；（3）如图，在不影响结论的情况下，设⊙K 、⊙H 的圆心在x 轴上，且关于y 轴对称，根据⊙K 、⊙H 满足限距关系，构建不等式即可求解．（1）如图，连接OP 、DP ，∵C 、(0,1)D -、(0,1)E ，∴OCOD =1，OE =1，∴DE =OE +OD =2，∴在Rt △COE 中，2EC ==，∴1sin 2OE OCE EC ∠==，sin OC OEC EC ∠==， ∴∠OCE =30°，∠OEC =60°，①当OP ⊥EC 时，OP 最小，在Rt △OPE 中，sin OP OEC OE ∠==，即OP 当P 点与C 点重合时，OP 最大，且OP =OC同理可求出的DP2，即DP 2DP ≤，②∵OP 的最小值刚好等于最大值的一半，而DP 的最小值大于其最大值的一半，∴根据限距关系的定义可知，线段EC 上存在两点M 、N ，满足OM =2ON ，故点O 与线段EC 满足限距关系，2DP ≤；②O ； （2）∵FG EC ∥，∴结合（1）中的结果有∠GFO =∠ECO =30°，∠OGF =∠OEC =60°，设F 点的坐标为（a,0），根据题意有a ＞0，则有OF =a ，分三种情况讨论：第一种情况FG 在⊙O 内部，即01a ＜＜时， 如图，∵根据（1）的方法可得O 点到线段FG 的最小值为：OF ×sin ∠GFO =12a ， 则⊙O 到线段FG 的最小值为：1-12a ，最大值为1+12a ，∵线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴12)21112(a a +≥⨯-，解得23a ≥， 此时a 的取值范围为：213a ≤＜，第二种情况，FG 与⊙O 有交点，如图，根据限距关系的定义可知：此时线段FG 与⊙O 必满足限距关系，随着FG 向右平移的过程中，当F 点与表示1的点重合时，FG 开始与⊙O 有交点，此时OF 与⊙O 的半径相等，即OF =1，则a =1；当FG 与⊙O 相切时，此时圆心O 到FG 的距离为圆的半径1，此时OF =1sin GFO∠=2， 即OF =2，则a =2；当相切之后，若FG 再往右继续平移，此时FG 就在圆外，∴此时a 的取值分为为：12a ≤≤，第三种情况，当FG 在⊙O 外部，即2a ＞时，如图，∵根据（1）的方法可得O 点到线段FG 的最小值为：OF ×sin ∠GFO =12a ， 则⊙O 到线段FG 的最小值为：12a -1，最大值为12a +1，∵线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴12(11)122a a +≥⨯-，解得6a ≤，此时a 的取值范围为：26a ≤＜，综上所述：F 横坐标的取值范围为：263a ≤≤， ∴263F x ≤≤；（3）不影响结论的情况下，设⊙K 、⊙H 的圆心在x 轴上，且关于y 轴对称，如图，由图可知⊙K 、⊙H 上的点相距的最近距离为22224r r -⨯=-，最远的距离为22224r r +⨯=+，∵⊙K 、⊙H 满足限距关系，∴242(24)r r +≥⨯-，解得6r ≤，∴r 的取值范围为：6r ≤0＜．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了解直角三角形、垂线段最短、直线与圆的位置关系、限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题．8．（1）2；-1（2）15°（3）72 2b-≤≤【解析】【分析】（1）由对称性质AB、A′B′关于直线l对称，所以A′B′=AB=2，由题意，得y=x+b，把AA′的中点（32，12）代入y=x+b，求出b即可；（2）作C关于l的对称点C′，连接O C′，OA，OC′，因为AB的对称点在l1上，所以点C的对称点C′在直线AB上，则可求出点C′的坐标为（1，继而可求得∠C′OK=60°，再求出∠AOK=45°，所以∠C′OA=∠C′OK -∠AOK =60°-45°=15°，然后利用对称的性质得出∠COA′=∠C′OA，即可求解；（3）当B′与点Q重合时，求出b=2，再当A′与点P重合时，求出b=72-，再由线段A B''与线段PQ有公共点，即可得出b的取值范围．（1）解：∵A（1，1），B（1，-1），∴AB=2，∵AB、A′B′关于直线l对称，∴A′B′=AB=2,由题意，得k=1，∴y=x+b，∵A、A′关于直线l对称，∴直线l经过AA′的中点，∵A（1，1），A′（2，0），∴AA′的中点为（122+,102+），即（32，12），把（32，12）代入y=x+b，得12=32+b，解得：b =-1，故答案为：2,-1；（2）解：如图，作C 关于l 的对称点C ′，连接O C ′，OA ，OC ′，由题意，得直线l 解析式为：y =kx ，设C 关于l 的对称点为C ′，∴OC ′=OC =2，∵AB 关于l 对称点A ′B ′在l 1上，又l 1经过点C ，∴点C ′在直线AB 上，∵A （1，1），B （1，-1），∴直线AB 即是直线x =1，∴C ′横坐标为1，∴C ′=,∴C ′（1，∴tan ∠C ′OK =C K OK '=∴∠C ′OK =60°，∵A（1，1），∴OA=AK，∴△AOK是等腰直角三角形，∴∠AOK=45°，∴∠C′OA=∠C′OK -∠AOK =60°-45°=15°，∵A、B、C′关于直线l的对称点是A′、B′、C，∴∠COA′=∠C′OA=15°；（3）解：当B′与点Q重合时，如图，则B′（-3，3），设BB′中点为K，则直线l经过点K，∵B（1，-1），B′（-3，3），∴K（-1，1），直线BB′解析式为：y=-x，∵BB′⊥l，∴直线l解析式为y=x+b，把K（-1，1）代入，得b=2，当A′与点P重合时，如图，则A′（-3，0），设AA′中点为K，则直线l经过点K，∵A（1，1），A′（-3，0），∴K（-1，12），直线AA′解析式为：y=14x+34，∵AA′⊥l，∴直线l解析式为y=-4x+b，把K（-1，12）代入，得b=72-，∵线段A B''与线段PQ有公共点，∴722b-≤≤，【点睛】本题考查轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，本题属一次函数综合题目，熟练掌握一次函数的图象性质、轴对称性质是解题的关键．9．（1）①1W，3W；②b的取值范围是12b-≤≤（2）r【解析】【分析】（1）①根据“对称封闭图形”的定义判断即可；②记点P ，O 关于直线y x b =+的对称点分别为P '，O '，先求出直线PP '、直线OO '的的解析式，再根据图象找到当直线y x b =+随着b 的变化上下平移时的临界情况，解答即可；（2）根据题意，确定出当三角形MON 为等腰直角三角形且∠MON =90°时r 最小，作MN 关于直线y x =+的对称图形''M N ，用勾股定理求出'ON 的长度即可．（1）解：①线段PO 关于y 轴对称图形为线段OP '，即线段PP '在图形W 内（包括边界），其中，P （-1，0），P '（0，1），故图形W 1及W 3，符合题意，故答案为：1W ，3W ．②记点P ，O 关于直线y x b =+的对称点分别为P '，O '，则直线y x b =+垂直平分线段PP '和OO '，因此直线PP '的解析式为1y x =--，直线OO '的解析式为y x =-，由于线段PO 在x 轴上，故关于直线y x b =+的对称后，P O ''⊥x 轴．如图，当直线y x b =+随着b 的变化上下平移时，临界情况是：当点P 对称后得到P '在2y =-上，即P '（1，2-）时，PP '中点为（1-，0），此时1b =-；当点O 对称后恰好为（2，2）时，OO '中点为（1，1），此时2b =.依题意，b 的取值范围是12b -≤≤．（2）解：由题意知，当三角形MON 为等腰直角三角形且∠MON =90°时r 最小，由Q 点坐标知，Q 点在直线y x =+作线段MN 关于直线y x =+''M N ，则r ≥'ON ，取MN 中点E ，''M N 中点为G ，连接EG 交直线y x =+F ，连接'ON ，如图所示，∵MN =2，∴OE =1，设直线y x =+P 、S ，则PS =8，∴OF =4，由对称知，EF =GF =5，'1GN =，由勾股定理得：'ON == 故答案为：r【点睛】本题考查了新定义的问题，需要借助轴对称图形的性质、一次函数性质、勾股定理等知识点解题．解题关键是正确理解题意，作出符合题意的图形．10．（1）①2，②2≤d （M ，⊙O ）≤3（2）d （N ，⊙O ）（3）m 的最小值为122 【解析】【分析】（1）①因为D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，根据关联距离的定义可求；②先求d（E，⊙O）和d（F，⊙O），则d（M，⊙O）在其之间即可；（2）当过O的直线ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，根据三角形的面积公式可求ON的值，而ON无最大值，即可求出d（N，⊙O）的取值范围；（3）当正方形是⊙O的外切正方形时，m的最小值是1，当如图3时，m110，可求m的值，从而求得m的最小值和最大值．（1）解：①∵D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，∴d（D，⊙O）=1322+=，故答案为2；②当M在点E处，d（E，⊙O）=2，当M在点F处，d（F，⊙O）=2432+=，∴2≤d（M，⊙O）≤3．（2）解：设ON=d，∴p=d-r=d-1，q=d+r=d+1，∴d（N，⊙O）=1122p q d dd，∵N在直线y=+设直线交x轴于B，交y轴于A，如图，则x=0时，y=y=0时，x=-2，∴A(0,，B(2,0)-，∴OA=，OB=2，∴AB4，当ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，∵1122AOBS OA OB AB ON，∴ON，∵ON无最大值，∴d（N，⊙O）．（3）解：如图2，当正方形是⊙O的外切正方形时，m的最小值是1，如图3，d（P，⊙O），110，∴252 m∴m的最小值为122．【点睛】本题是新定义题，考查了对新定义的理解，点到直线的距离，勾股定理，解题的关键是准确理解关联距离这个新定义．。