中考数学创新型与新定义型压轴题解析
近年来，各地中考数学试题不断呈现出新颖、灵活的特征，特别是在压轴题中，更富有挑战性和创新理念。
本节例举两例，分析在解决此类问题过程中的思路与方法。
一、几何综合探究类阅读理解问题
【例题1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB = AD , CB = CD , 问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，AC⊥BD。
试证明：AB2 + CD2 = AD2 + BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE、BG、GE。
已知AC = 4 , AB = 5 , 求GE 的长。
【解析】
（1）四边形ABCD 是垂美四边形。
理由如下：
∵AB = AD ,
∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，
∵CB = CD ,
∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，
∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD 是垂美四边形；（2）如图1，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD = ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 90°，
由勾股定理得：
AB2 + CD2 = AO2 + BO2 + DO2 + CO2 = AD2 + BC2，（3）如图3，连接CG、BE，
∵∠CAG = ∠BAE = 90°，
∴∠CAG + ∠BAC = ∠BAE + ∠BAC，即∠GAB = ∠CAE，在△GAB 和△CAE 中，
AG = AC , ∠GAB = ∠CAE，AB = AE，
∴△GAB ≌△CAE（SAS），
∴∠ABG = ∠AEC，又∠AEC + ∠AME = 90°，
∴∠ABG + ∠AME = 90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB 是垂美四边形，
由（2）得，CG2 + BE2 = CB2 + GE2，
∵AC = 4 , AB = 5 ,
∴BC = 3 , CG = 4√2 , BE = 5√2 ,
∴GE2 = CG2 + BE2 - CB2 = 73 ,
∴GE = √73 .
【归纳总结】
（1）根据线段垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质，勾股定理、结合（2）的结论计算。
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键。
二、抛物线新定义创新型压轴题问题
【例题2】我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．
（1）判断抛物线y＝x2 与y＝﹣x2 是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，说明理由；
（2）抛物线y＝x2﹣2x 与y＝x2﹣2mx﹣3 是“共点抛物线”，且“共点”在x 轴上，求抛物线y＝x2﹣2mx﹣3 的函数关系式；
（3）抛物线L1：y＝﹣x2+2x+1 的图象如图所示，L1 与L2：y＝﹣2x2 + mx 是“共点抛物线”；
①求m 的值；
②点P 是x 轴负半轴上一点，设抛物线L1、L2 的“共点”为Q，作点P 关于点Q 的对称点P′，以PP′为对角线作正方形PMP′N，当点M 或点N 落在抛物线L1 上时，直接写出点P 的坐标．
【解析】解：
（1）是，（0，0），
∵x2＝﹣x2，
∴x＝0；
（2）令y＝x2﹣2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2,
当x＝0 时，﹣3 ≠0 ,
∴（0，0）不是共点,
当x＝2 时，4﹣4m﹣3＝0 ,
解得m＝1/4 ,
∴y＝x2 - 1/2 x - 3 ;
（3）
①若两个抛物线是“共点抛物线”，
则方程﹣x2+2x+1＝﹣2x2+mx 有两个相等的实数根，即x2+（2﹣m）x+1＝0 有两个相等的实数根，
∴△＝（2﹣m）2﹣4＝0，
解得m＝0 或m＝4，
∴m 的值为0 或4．
②P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0），设点P（a，0），
当m＝0 时，Q（﹣1，﹣2），
∴P'（﹣2﹣a，﹣4），
∵PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M，
∴△APM≌△BMP'（AAS），
设M（x，y），N（a，b），
∴可得M（1，﹣3﹣a），N（﹣3，a﹣1），
分别代入L1 解析式可得：a1＝﹣5，a2＝﹣13，当m＝4 时，Q（1，2），
∴P'（2﹣a，4），
∵PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M，
∴△APM≌△BMP'（AAS），
设M（p，q），N（x，y），
∴可得M（﹣2，4﹣a），N（3，1+a），
分别代入L1 解析式可得：a1＝﹣3，a2＝11（舍），∴P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0）.
