课标解读2相像三角形的性质1.掌握相像三角形的性质．2.能利用相像三角形的性质解决有关问题.相像三角形的性质(1)相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角均分线的比都等于相像比．(2)相像三角形周长的比等于相像比．(3)相像三角形面积的比等于相像比的平方．(4)相像三角形外接圆的直径比、周长比等于相像比．(5)相像三角形外接圆的面积比等于相像比的平方．1．如何理解“对应线段的比等于相像比”？【提示】相像三角形中的“对应线段”不只是指对应边、对应中线、角均分线和高，应包含全部“对应点”连结的线段；同时也可推演到内切圆、外接圆的半径之比也等于相像比．2．相像三角形与全等三角形的性质比较有何异同？【提示】全等三角形相像三角形对应高相等对应高的比等于相像比周长相等周长比等于相像比面积相等面积比等于相像比的平方外接 (内切 )圆的直径相等外接 (内切 )圆的直径比等于相像比外接 (内切 )圆的周长相等外接 (内切 )圆的周长比等于相像比外接 (内切 )圆的面积相等外接 (内切 )圆的面积比等于相像比的平方利用相像三角形性质计算如图 1－3－ 21 所示，已知 D 是△ ABC 中 AB 边上一点， DE ∥BC 且交AC 于 E，EF∥ AB 且交 BC 于 F ，且 S△ADE＝ 1，S△EFC＝ 4，则四边形 BFED 的面积等于多少？图 1－3－21BFED的面积．【思路研究】利用 S 四边形BFED＝ S△ABC－ S△ADE－ S△EFC获得四边形【自主解答】∵ AB∥ EF， DE∥ BC，∴△ ADE∽△ ABC ，△ EFC ∽△ ABC，∴△ ADE∽△EFC.又 S△ADE∶ S△EFC＝ 1∶4，∴AE∶ EC＝ 1∶2.∴ AE∶ AC＝ 1∶ 3.∴S△ADE∶ S△ABC＝ 1∶ 9.∵S△ADE＝ 1，∴ S△ABC＝ 9.∴ S 四边形BFED＝ S△ABC－ S△ADE－ S△EFC＝ 9－1－ 4＝ 4.1． 此题由题意明显△ ADE ∽△ EFC ，由面积比能得出相像比，再由相像比转变为面积比，求出整个△ ABC 的面积．2．利用相像三角形的性质定理进行有关的计算是近几年高考的热门之一，在求解过程中常常要注意对应边的比，进行有关运算时， 要擅长联想，变换比率式，结构三角形的边或面积间的关系．图 1－3－22如图 1－ 3－ 22，在 ?ABCD 中， AE ∶ EB ＝ 2∶ 3.(1)求△ AEF 与△ CDF 周长的比；(2)若 S △ AEF ＝ 8，求 S △CDF .【解】(1) ∵四边形 ABCD 是平行四边形∴ AB ∥ CD 且 AB ＝CD ，∵AEEB ＝ 23，∴AEAB ＝CD AE ＝ 25，又由 AB ∥ CD 知△ AEF ∽△ CDF ，∴△ AEF 的周长∶△ CDF 的周长＝ 2∶5.(2)由 (1)S △AEF ∶ S △CDF ＝4∶ 25，又 S △ AEF ＝8，∴ S △ CDF ＝ 50.利用相像三角形性质进行证明如图 1－ 3－ 23 所示，在△ ABC 中， DE ∥ BC ，在 AB 边上取一点 F ，使 S △ BFC ＝ S △ ADE ，求证： AD 2＝ AB ·BF.图 1－3－23【思路研究】此题条件是三角形面积之间的关系，可考虑使用相像三角形的面积比等于相像比的平方及把等底边的三角形面积比转变为边长之比．【自主解答】∵ DE∥ BC，∴△ ADE∽△ ABC ，S AD∴S△ABC＝ (AB) 2，△ADES△BFC BF又∵S△ABC＝AB且 S△BFC＝ S△ADE，2∴ADAB2 ＝BFAB.∴AD2＝ AB·BF .1．解答此题的重点是把△BFC 与△ ABC 的面积比转变为边长之比．2．要证明线段相等、角相等、比率式建立等结论，有时需化归到相像三角形中加以证明，若不存在相像三角形，可增添协助线，结构相像三角形，最后获得结论．如图 1－ 3－24，在矩形ABCD 中， E 是 DC 的中点， BE⊥ AC 交 AC 于 F，过 F 作 FG ∥AB 交 AE于 G.图 1－3－24求证： AG2＝AF ·FC.【证明】∵ E 为矩形 ABCD 的边 DC 的中点，∴AE＝ BE.又∵ GF∥ AB，∴ EG＝ EF，∴ AG＝BF .∵BE⊥ AC 于 F，∴Rt△ABF ∽ Rt△ BCF ，∴BFCF＝AFBF，∴ BF 2＝ AF·FC，∴AG2＝ AF·FC .相像三角形判断和性质定理的综合应用图 1－3－25如图 1－ 3－25，一天清晨，小张正向着教课楼AB 走去，他发现教课楼后边有一水塔DC，可过了一会仰头一看：“怎么看不到水塔了？”内心非常疑惑．经过了解，教课楼、水塔的高分别是20 米和 30 米，它们之间的距离为30 米，小张身高为 1.6 米，小张要想看到水塔，他与教课楼之间的距离起码应有多少米？【思路研究】解答此题的重点是增添适合的协助线，结构相像三角形，利用相像三角形的知识解题．【自主解答】如图，设小张与教课楼的距离起码应有x 米，才能看到水塔．连结 FD ，由题意知，点 A 在 FD 上，过 F 作 FG⊥ CD 于 G，交 AB 于 H，则四边形 FEBH ，四边形 BCGH 都是矩形．∵AB∥ CD ，∴△ AFH ∽△ DFG .∴AH∶ DG＝ FH ∶ FG.即 (20－ 1.6)∶(30－ 1.6)＝ x∶ (x＋30)．解得 x＝55.2.经查验 x＝ 55.2 是所列方程的根．故小张与教课楼的距离起码应有55.2 米，才能看到水塔．1．解答此题的重点是画出图形，增添协助线结构相像三角形．2．此类问题是利用数学模型解实质问题，重点在于仔细剖析题意转变成数学识题，构造相像三角形求解．3．解决相像三角形的综合问题应注意以下两点(1)联合相像三角形的判断定理和性质定理，追求三角形中的数目关系．(2)注意“协助线”的增添和定理公式的选择．如图 1－ 3－ 26，△ ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝ 200 mm ，高 AD ＝ 300 mm ，要把它加工成长是宽的2 倍的矩形部件，使矩形较短的边在BC 上，其他两个极点分别在AB 、 AC 上，求这个矩形部件的边长．【解】设矩形 EFGH 为加工成的矩形部件，边 FG 在 BC 上，则点 E 、H 分别在 AB 、AC 上，△ ABC 的高 AD 与边 EH 订交于点P ，设矩形的边 EH 的长为 x mm.∵ EH ∥ BC ，∴△ AEH ∽△ ABC ，∴AP ＝ EH ，∴ 300－ 2x ＝ x ，AD BC 300200解得： x ＝600(mm)，712002x ＝ 7 (mm) ．答： 加工成的矩形部件的边长分别为600 12007 mm 和 7 mm.(教材第 20 页习题 1.3 第 10 题 )如图 1－ 3－ 27，平行四边形 ABCD中，AE ∶ EB ＝ 1∶2，求△ AEF 与△ CDF 的周长比． 假如△ AEF 的面积等于 6cm 2，求△ CDF 的面积．图 1－3－27(2013 陕·西高考 )如图 1－ 3－ 28，AB 与 CD 订交于点 E，过 E 作BC 的平行线与 AD 的延伸线交于点 P，已知∠ A＝∠ C， PD ＝2DA＝ 2，则 PE＝ ________.图 1－3－28【命题企图】此题主要考察相像三角形的判断与性质．【分析】由于 PE∥ BC，因此∠ C＝∠ PED .又由于∠ C＝∠ A，因此∠ A＝∠ PED.又∠PD＝PE，即 PE 2＝ PD ·PA＝ 2×3＝ 6，故 PE＝ 6.P＝∠ P，因此△ PDE ∽△ PEA，则PE PA 【答案】61．已知△ ABC∽△ A′B′C′，且S△ABC＝1， BC＝ 2，则 B′C′等于 ()△′′′4S A B CA ． 2B． 4C． 8D． 16【分析】∵S△ABC＝( BC )2＝1，△′′′B′C′4S ABC∴BC ＝1，B′C′ 2又∵ BC＝ 2，∴ B′C′＝ 2BC＝4.【答案】BAB＝2，△ ABC 外接圆的直径为 4，则△ A′B′C′外接圆的直2．已知△ ABC∽△ A′B′C′，A′B′3径等于()A ． 2B． 3C． 6D． 9【分析】设△ A′B′C′和△ ABC外接圆的直径分别是r′， r ，则r ′ A′B′ r ′ 3，∴ r′＝，∴ ＝r AB 4 2＝6.【答案】C3．两个相像三角形对应边分别长 6 cm 和 18 cm，若大三角形的面积是36 cm2，则较小三角形的面积是 2()cm .A ． 6B ． 4C ．18D ．不确立【分析】 相像比等于6 ＝ 1，则 S 小＝ (1 )2＝ 1，18 3S 大3 9 1 1 2∴ S 小＝ 9S 大 ＝ 9×36＝ 4(cm )．【答案】 B4．在比率尺为 1∶ 500 的地图上，测得一块三角形土地的周长是12 cm ，则这块地的实际周长是 ________m.【分析】 这块地的实质形状与在地图上的形状是两个相像三角形，其相像比为1，500 则实质周长为： 12×500＝ 6000 cm ＝60 m.【答案】60一、选择题图 1－3－2811．如图 1－ 3－ 28，D 、E 、F 是△ ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为 4，△ ABC 的周长为 9，则△ DEF 的周长与△ ABC 的面积分别是 ()9A.2，1B ．9,4C.9， 8 D.9， 162 4【分析】∵ D 、 E 、 F 分别为△ ABC 三边的中点，1 1 ∴ EF 綊 BC ，DE 綊 AC ，2 21DF 綊 2AB.EF1∴△ DFE ∽△ ABC ，且＝ .l △ DEF EF1∴l△ABC ＝BC ＝2.9又∵ l△ABC＝ 9，∴ l △DEF＝2.2S△DEF EF11又∵S△ABC＝BC2＝4， S△DEF＝4，∴S△ABC＝ 1，应选 A.【答案】A图 1－3－292．如图 1－ 3－29，在 ?ABCD 中， AB＝ 10，AD＝ 6， E 是 AD 的中点，在AB 上取一点F，使△ CBF ∽△ CDE，则BF 的长是()A．5 B．8.2C．6.4D． 1.8【分析】由△ CBF ∽△ CDE，得 BFDE＝CDCB ，又点 E 是AD的中点，AB＝ CD＝10， AD＝ BC＝ 6，∴ DE＝ 3，即 BF3＝ 106，∴ BF＝ 1.8.【答案】D3．某同学自制了一个简略的幻灯机，其工作状况如图行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1－3－ 30 所示，幻灯片与屏幕平1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是()图 1－ 3－30A ． 50 cm B． 500 cmC．60 cm D． 600 cm【分析】设屏幕上小树的高度为x cm，则10＝30，解得 x＝ 60(cm) ．x30＋ 150【答案】C图 1－3－314．如图 1－ 3－ 31，△ ABC 中， DE ∥BC ，DE 分别交 AB ，AC 于 D ，E ，S △ADE ＝ 2S △ DCE ，则S △ADE ＝ ()S △ABC1 1A. 4B. 2 2 4C.3D. 9【分析】∵ DE ∥BC ，∴△ ADE ∽△ ABC ，由 S △ADE ＝ 2S △ DCE 得，AD＝ 2，AB 3S △ ADE 4∴S△ABC ＝9.【答案】 D二、填空题5．如图 1－ 3－ 32，在△ ABC 中， D 为 AC 边上的中点， AE ∥BC ，ED 交 AB 于 G ，交 BC 延伸线于 F ，若 BG ∶GA ＝ 3∶ 1，BC ＝ 10，则 AE 的长为 ________．图 1－3－32∵ AE ∥ BC ，∴△ BGF ∽△ AGE ，∴ BF＝BG＝ 3，AEGA1∵ D 为 AC 中点，∴ AE CF ＝ ADDC ＝ 1，∴ AE ＝CF ， ∴ BC ∶ AE ＝ 2∶1，∵ BC ＝ 10，∴ AE ＝ 5.【答案】56．一条河的两岸是平行的， 在河的这一岸每隔5 m有一棵树， 在河的对岸每隔50 m 有一根电线杆，在这岸走开岸边25 m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰巧被这岸的两棵树遮住，而且在这两棵树之间还有两棵树，则河的宽度为__________m.【分析】如下图， A， B 是相邻两电线杆的底部，F， G 中间还有两棵树，则AB＝ 50 m， FG＝ 3×5＝ 15 m ，EC＝ 25 m，CD⊥ AB， AB∥ FG ，则EC＝FG，设河的宽度为 x m，CD AB则25 ＝15，解得x＝ 175 25＋ x50 3 .175【答案】3三、解答题图 1－3－337．如图 1－ 3－33 所示，在△ ABC 中， BC>AC，点 D 在 BC 上，且 DC ＝AC，∠ ACB 的均分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF .(1)求证： EF ∥ BC；(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ ABD 的面积．【解】(1) 证明：∵ CF 均分∠ ACB， DC＝ AC，∴CF 是△ ACD 的边 AD 上的中线．∴点 F 是 AD 的中点，又∵点 E 是 AB 的中点，∴EF∥ BD ，即 EF ∥BC.(2)∵ EF∥ BD，∴△ AEF∽△ ABD.∴S△AEF＝(AE)2.S△ABD AB1又∵ AE＝2AB， S△AEF＝S△ABD－ S 四边形BDFE＝ S△ABD－6，S△ABD－ 612∴＝( ) ，∴ S△ABD＝8.S△ABD2图 1－3－348．如图 1－ 3－ 34，已知在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点，且 AD ＝ AC ， DE ⊥ BC ， DE 与 AB 订交于点 E ， EC 与 AD 订交于点 F .(1)求证：△ ABC ∽△ FCD ；(2)若 S △ FCD ＝ 5， BC ＝ 10，求 DE 的长．【解】 (1) 证明：∵ DE ⊥ BC ， D 是 BC 的中点，∴ EB ＝ EC ，∴∠ B ＝∠ 1，又∵ AD ＝ AC ，∴∠ 2＝∠ ACB.∴△ ABC ∽△ FCD .(2)过点 A 作 AM ⊥ BC ，垂足为点 M .∵△ ABC ∽△ FCD ， BC ＝ 2CD ，∴S △ABC ＝ (BC )2＝ 4.S △FCD CD又∵ S △ FCD ＝5，∴ S △ ABC ＝ 20.1∵S△ABC＝2BC ·AM ，BC ＝10，1∴ 20＝ 2×10×AM ，∴ AM ＝ 4.又∵ DE ∥ AM ，∴DE ＝ BD. AM BM1 1 5 ，∵DM ＝ DC ＝ BC ＝242BM ＝BD ＋DM ，1DE ＝ 5BD ＝ 2BC ＝ 5，∴45.5＋2∴ DE ＝83.9．某生活小区的居民筹集资本1 600 元，计划在一块上、下两底分别为10 cm 、 20 cm的梯形空地上栽栽花木．(1)他们在△ AMD 和△ BMC 地带上栽种太阳花，单价为8 元/m2，当△ AMD 地带种满花后( 图 1－ 3－ 35 暗影部分 )共花了 160 元，请计算种满△BMC 地带所需的花费；图 1－3－ 35(2)若其他地带要种的有玫瑰和茉莉花两栽花木可供选择，单价分别为12 元 /m2和 10 元2/m ，应选择种哪一栽花木能够恰巧用完所筹集的资本？∴AD∥ BC.∴△ AMD ∽△ CMB .∴S△AMD＝ (AD)2＝1.S△CMB BC4∵栽种△ AMD 地带花销160 元，∴160＝ 20 (m2)．∴ S△CMB＝80 (m 2)． 8∴△ BMC 地带的花销为80×8＝ 640(元 )．(2)设△ AMD 、△ BMC 的高分别为h1、h2，梯形 ABCD 的高为 h，1∵ S△AMD＝2×10h1＝ 20，∴ h1＝ 4(m) ．h11又∵＝，∴ h2＝ 8(m)．∴h＝ h1＋ h2＝12(m) ．11∴S 梯形ABCD＝2(AD ＋BC)h＝2×30×12＝180 (m2)，∴S△AMB＋ S△DMC＝180－ 20－80＝ 80 (m 2)．∴160＋ 640＋ 80×12＝ 1 760(元 )，160＋ 640＋ 80×10＝ 1 600(元) ．∴应栽种茉莉花恰巧用完所筹资本．10．在△ ABC 中，如下图， BC ＝ m ， DE ∥ BC ， DE 分别交 AB ， AC 于 E ， D 两点，且 S △ ADE ＝ S 四边形 BCDE ，则 DE ＝ ________.【分析】 ∵ DE ∥BC ∴△ ADE ∽△ ACB又∵ S △ ADE ＋ S 四边形 BCDE ＝ S △ ABC ； S △ ADE ＝ S 四边形 BCDE ，1 ∴ S △ADE ＝ S △ABC ，2∴ (DE)2＝ 1，∴ (DE ) 2＝1BC 2 m 22∴ DE ＝ 2 m.【答案】2 2m。
