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北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习教学案：第3章第5节三角恒等变换含答案

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第五节 三角恒等变换 [考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；

(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α. [常用结论] 1．公式T(α±β)的变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．公式C2α的变形：

(1)sin2α＝12(1－cos 2α)； (2)cos2α＝12(1＋cos 2α)． 3．公式逆用： (1)sinπ4±α＝cosπ4∓α； (2)sinπ3±α＝cosπ6∓α； (3)sinπ6±α＝cosπ3∓α. 4．辅助角公式 asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)， 特别的 sin α±cos α＝2sinα±π4； sin α±3cos α＝2sinα±π3； 3sin α±cos α＝2sinα±π6. [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( ) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小关系不确定． ( )

(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． ( ) (4)函数y＝3sin x＋4cos x的最大值为7． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )

A．－32 B．32 C．－12 D．12 D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D．]

3．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α的值为( ) A．210 B．－210 C．7210 D．－7210 A [由cos α＝－35，α是第三象限角知sin α＝－45， 则cosπ4＋α＝cosπ4cos α－sinπ4sin α＝22×－35－22×－45＝210.故选A．] 4．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________. 725 [由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，则

cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×－352＝725.] 5．(教材改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________. 33 [11－tan 15°－11＋tan 15°＝1＋tan 15°－1－tan 15°1－tan 15°1＋tan 15°

＝2tan 15°1－tan215°＝tan 30°＝33. ]

三角函数式的化简 1．已知sinπ6－α＝cosπ6＋α，则tan α＝( ) A．－1 B．0 C．12 D．1 A [因为sinπ6－α＝cosπ6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α. 所以1－32cos α＝3－12sin α. 所以tan α＝sin αcos α＝－1，故选A．] 2．计算sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°的值为( )

A．－12 B．12 C．32 D．－32 B [sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin 20°cos 310°

＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.] 3．已知θ∈0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos2θ－1cosπ4＋θ＝( ) A．23 B．43 C．34 D．32 D [由sin θ－cos θ＝－144

得sinπ4－θ＝74， 因为θ∈0，π4， 所以0＜π4－θ＜π4， 所以cosπ4－θ＝34. 2cos2θ－1

cosπ4＋θ＝cos 2θsin

π

4－θ

＝sinπ2－2θsinπ4－θ＝sin2

π

4－θ

sin

π

4－θ

＝2cosπ4－θ＝32.]

4．已知0＜θ＜π，则1＋sin θ＋cos θsinθ2－cosθ22＋2cos θ＝________. －cos θ [原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cos

θ

2

4cos2θ2

＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cos θcosθ2. 因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0.所以原式＝－cos θ.] [规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

三角函数式的求值 ►考法1 给值求值 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )

A．89 B．79 C．－79 D．－89 (2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sinα－π6＝13，则cosα－π3等于( ) A．26＋16 B．3－28 C．3＋28 D．23－16 (3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________. (1)B (2)A (3)－73 [(1)cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.故选B． (2)由0＜α＜π2得－π6＜α－π6＜π3

又sinα－π6＝13，

∴cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－132＝223

∴cosα－π3＝cosα－π6－π6＝cosα－π6cosπ6＋sinα－π6sinπ6 ＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A． (3)因为sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12， 即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝34， 因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0， 所以0＜α＜β＜π2.所以－π2＜α－β＜0. 所以sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74. 所以tan(α－β)＝sinα－βcosα－β＝－73.] ►考法2 给角求值 【例2】 (1)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________. (2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.

(1)3 (2)1 [(1)由tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝3得 tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°) ∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝3. (2)sin 50°(1＋3tan 10°)

＝sin 50°

1＋3·

sin 10°

cos 10°

＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°

＝sin 50°×2

12cos 10°＋3

2sin 10°

cos 10°

＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.] ►考法3 给值求角 【例3】 (1)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是( ) A．7π4 B．9π4 C．5π4或7π4 D．5π4或9π4

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三角函数恒等变换含答案及高考题.

三角函数恒等变换含答案及高考题.

三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-=.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=οοοοοο3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=xy 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

2020高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第22讲 简单的三角恒等变换(51张PPT)

2020高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第22讲 简单的三角恒等变换(51张PPT)


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第22讲 简单的三角恒等变换
► 探例究3 (点1)在三平面直三角角坐标函系数xO的y 中求，以角Ox 轴为始边作两
点 面
个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆交于 A，B 两点，
讲
考 向
且 A，B 点的横坐标分别为 102，2 5 5，则 α＋2β 的值为 ________．
(2)已知 0<α<π2，0<β<π2，且 3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝
点 面
(2)当 sinα ＝35，且 α∈（π2，π）时，求 f（α2＋2π4）.方法：
讲
考 向
(1)直接代入求值；(2)运用公式对函数化简，由 sinα ＝35求
出 cosα 的值，分别代入可求得函数值．
解：(1)（f π6）＝cos2π6＋sinπ6cosπ6＝（ 23）2＋12× 23＝3＋4
(2)由 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ， cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ， 两式相减，得
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ，
即 sinα·sin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
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第22讲 简单的三角恒等变换
)
[答案] ×
[解析] 因为 270°<α <360°，所以 tanφ ＝ba.
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第22讲 简单的三角恒等变换
► 例探1究点一 三角函数的化简
点
(1) 若 270°<α<360° ， 则 三 角 函 数 式
面 讲
12＋12 12＋12cos 2α的化简结果是(
)
考 向
简单的三角恒等变换-高考数学复习

简单的三角恒等变换-高考数学复习


cos 2β＝1－2 sin θ cos θ.所以2 cos 2α＝ cos 2β.
所以4 cos 22α－ cos 22β＝（2 cos 2α－ cos 2β）（2 cos 2α＋ cos 2β）
＝0.
目录
高中总复习·数学
三角恒等变换的综合应用
【例5】 已知3 sin α＝2 sin
2 －1.
2−
2× ×
sin2
2sincos
所以 2
＝
＝
3
2
2
2 −si
＋cos2
2×（ ）
5
4
5
（）
2
＝12.
目录
高中总复习·数学
2. 已知函数 f （ x ）＝4 cos x cos
π
（ x ＋ ）－
6
3.
（1）求 f （ x ）的单调递增区间；
解： f （ x ）＝4 cos x cos
13
所以 sin β＝ sin [（β＋α）－α]＝ sin （β＋α） cos α－ cos （β
＋α） sin
12 3
5
4
16
α＝ × － × ＝ .
13 5
13 5
65
目录
高中总复习·数学
（2）求
sin2
2
＋cos2
解：因为 cos
的值.
3
α＝ ，
5
sin
4
α＝ ，
5
4 3
5 5
目录
高中总复习·数学
2. 证明三角恒等式的基本方法
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
高中数学一轮复习重难点 三角恒等变换(十年高考)

高中数学一轮复习重难点 三角恒等变换(十年高考)

5.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.（2023课标II ，7）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin2α=（）．A.358B.158-+ C.354D.154-【答案】D【解析】因为21cos 12sin 24αα=-=，而α为锐角，解得：sin 2α=14==．故选：D ．2.（2023课标I ，8）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A.79B.19C.19-D.79-【答案】B【解析】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12(39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B3.(2021全国乙文,6,5分)cos 2π−cos25π12=()A.12答案D 解析解法一:cos 2π125π12=π12=cos2π12−sin2π12=cos π6=解法二:cos 2π12−cos25πcos2−cos2=cos π4cos π6+sin π4−cos π4cos π6−sin π4×4.(2021全国甲理,9,5分)若α∈0,tan2α=cos2−sin,则tanα=()答案A解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan2α=cos2−sin,且α∈0,∴sin2cos2=cos2−sin,∴2sin2α=cosαcos2α+sinαsin2α,即4sinαcosα=cos(2α-α)=cosα,又cosα≠0,∴4sinα=1,∴sinα=14,∴cosαtanαA.疑难突破将tan2α转化为sin2cos2是本题的突破口.5.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tanθ=-2,则sino1+sin2psinrcos=() A.-65 B.−25 C.25 D.65答案C sino1+sin2psinrcos=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθ·cossinrcos=sinosinrcosp2sinrcos=sinosin2rcos2r2sinbcospθ=sin2rsinbcossin2rcos2=tan2rtan tan2r1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C.6.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosβ,则()A.tan(α-β)=1B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1D.tan(α+β)=-1答案C因为sin(α+β)+cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ,22cosβ=(2cosα-2sinα)sinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,所以sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C.7.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α=13,则cos 2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B 本题考查三角恒等变换.由sin α=13,得cos 2α=1-2sin 2α=1-2=1-29=79.故选B.8.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α=43,则sin 2α=()A.-79B.-29C.29D.79答案A ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=169,∴sin 2α=-79.解后反思涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α进行转换.9.(2017山东文,4,5分)已知cos x=34,则cos 2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D 本题考查二倍角余弦公式.因为cos x=34,所以cos 2x=2cos 2x-1=2-1=18.10.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=()A.6425B.4825C.1D.1625答案A当tan α=34时,原式=cos 2α+4sin αcos α=cos 2α+4sinvos sin 2α+cos 2α=1+4tan tan 2α+1=1+4×34916+1=6425,故选A.解后反思将所求式子的分母1用sin 2α+cos 2α代替,然后分子、分母同除以cos 2α,得到关于tan α的式子,这是解决本题的关键.评析本题主要考查三角恒等变换,用sin 2α+cos 2α代替1是解题关键..11.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=-13,则cos 2θ=()A.-45B.-15C.15D.45答案D 解法一:cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ−sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得sinθ=因而cos2θ=1-2sin2θ=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.12.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案D原式=sin20°cos10°+cos20°@sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.13.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tanπ5,)A.1B.2C.3D.4答案C=sinvosπ5+cosLinπ5sinvosπ5−cosLinπ5=tanrtan π5tanKtanπ5,∵tanα5故选C.14.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.56答案A tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp−tan1+tan(rp·tan=12−131+12×13=17,故选A.15.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2+)A.16B.13C.12D.23答案A cos2=1−sin22,把sin2α=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.16.(2016课标Ⅱ,9,5分)若α=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D∵α=35,∴sin2α−2α2α=2cos−α-1=2-1=-725.故选D.思路分析利用诱导公式化sin2α−2α,再利用二倍角的余弦公式即可得答案.一题多解−αα+sinα)=35⇒cosα+sinα1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D.导师点睛求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来:(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.17.(2022浙江,13,6分)若3sinα-sinβ=10,α+β=π2,则sinα=,cos2β=.答案45解析设a=sinα,b=sinβ=cosα,则3−=10,2+2=1,解得a b∴sinα=acos2β=1-2sin2β=1-2b2=45.18.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2∴A=2,b=1.19.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan=tanKtan5π41+tanMan5π4=tanK11+tan=15,解得tanα=32.20.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin+=35,则tan−=.答案-43解析解法一:∵sin+=22×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=325①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinvos=-425②,由①②得sinθ=-210,cosθ=7210,∴tanθ=-17,∴tan4=tanK11+tan=-43.解法二:∵−θ=π2,∴sinθ=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos4=45,∴θ=45,∴4θ=43,∴tan−θ=-43.评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.21.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=.答案22解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=22.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为.答案3解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp−tan1+tan(rptan=17−(−2)1+17×(−2)=3.23.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°24.(2015四川文,13,5分)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是.答案-1解析由sinα+2cosα=0得tanα=-2.2sin αcos α-cos 2α=2sinvosKcos 2αsin 2α+cos 2α=2tanK1tan 2α+1=2×(−2)−1(−2)2+1=−55=-1.25.(2015广东文,16,12分)已知tan α=2.(1)求tan ;(2)求sin2sin 2α+sinvosKcos2K1的值.解析(1)因为tan α=2,所以tan +=tanrtan π41−tanbtan π4=2+11−2×1=-3.(2)因为tan α=2,所以sin2sin 2α+sinvosKcos2K1=2sinvossin 2α+sinvosK(cos 2α−sin 2α)−(sin 2α+cos 2α)=2sinvos sin 2α+sinvosK2cos 2α=2tan tan 2α+tanK2=2×222+2−2=1.26.(2014江苏,15,14分)已知απ,sin α(1)求α的值;(2)求2α的值.解析(1)因为α2,π,sin α=55,所以cos α=-1−sin 2α=-255.故α=sin π4cos α+cos π4sin α=22×−+22×55=-1010.(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×55×−=-45,cos 2α=1-2sin 2α=1-25=35,所以2α=cos 5π6cos 2α+sin 5π6sin 2α=−×35+12×−评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.。

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