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7.周期性与对称性

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1
7.函数的周期性和对称性
题型1:函数周期性与对称性
例1:函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则



5ff
_____________

例2:设函数()yfx对任意实数t都有()(2)ftft,若当1x时,24yx,则当1x
时,___________.y

例3: 设函数()fx定义在实数集上，它的图像关于直线1x对称，且当1x≥时，
()31xfx
，则132,,323fff 的大小关系是____________

例4: 已知函数)(xf和)(xg的图象关于原点对称，且xxxf2)(2
⑴求函数)(xg的解析式；

⑵设()0()()0fxxhxgxx,作出()hx的图象,并写出它的的单调区间.

周期性 定义 设y= f(x),xI,若存在非零常数T,使得对任意xI,都有f(x+T)=f(x), 则称f(x)是周期函数,T是其一个周期.
性质 10定义性质可转化求值; 20图象性质:呈周期性变化; 30 nT (n∈N*)也是f(x)的
周期.
判定 10定义法(叠代求周期); 20图象法:图象是否呈周期性变化.
对称性 类型
直线对称(函数满足()()faxfax,则其图像关于直线xa对称)

点对称(函数满足()()2fmxfmxn,则其图像关于点(,)mn对称)
特殊
奇(偶)函数图象关于原点(y轴对称);
2

〖练习〗
1.函数fx对于任意实数x满足条件1)(2xfxf，若15,f则

5f
__________

2.在R上定义的函数xf是奇函数，且xfxf2，若xf在区间2,1是减函数，
则函数xf在区间2,3上是_____(增/减)函数，区间4,3上是________(增/减)函数.

3.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数xxf2log3)(的图象与)(xg的图象关于____对称，则函数)(xg=______
（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）

题型2:函数性质的综合应用
例1:若()fx在定义域1,1内是减函数,又当,1,1ab且0ab时都有

()()0fafb
.

(1)判断()fx的奇偶性;
(2)求不等式2(1)(1)0fmfm的解集.

例2:已知定义在2,2上的偶函数()fx在区间0,2上单调递增，则满足(21)fx＜
()fx
的x取值范围是_________.
3

例3:已知函数xf是R上的偶函数，且在区间,0上是增函数.令sin3af，
22
cos,tan33bfcf




则,,abc的大小关系是_____________

〖练习〗
1.已知偶函数()fx在区间0,)单调递增，则满足(21)fx＜1()3f的x取值范围是____

2.已知定义在R上的偶函数()fx在区间0,是增函数,若(1)(lg)ffx,则x的取值范
围是_______________.

例4:定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且当
]2,0[x时，xxfsin)(，则)35(f
的值为____________

例5:已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当
[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2008)(2009)ff
的值为__________
4

例6:设)(xf是定义在R上的奇函数，且)(xfy的图象关于直线21x对称，则
)5()4()3()2()1(fffff

例7:定义在R上的奇函数()fx有最小正周期4，且0,2x时，3()91xxfx。求
()fx
在2,2上的解析式

〖练习〗
1.若()fx是R上周期为5的奇函数,且满足(1)1,(2)2,ff则(3)(4)ff=_________.

2.已知定义在R上的偶函数()fx满足(2)()1fxfx对于xR恒成立，且()0fx，
则(119)f ________

3.函数1()(1)2fxx与()gx的图象关于直线1x对称,则()gx= _____________
5

作业 姓名:______________
1.函数xylg是____(奇/偶)函数，在区间0,上单调递____(增/减)函数.

2.若偶函数()fx在,1上是增函数，则3(),(1),(2)2fff的大小关系是________
3.已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数，若0)12()1(mfmf，则实数m的
取值范围是_____________
4.已知函数)(xfy是以2为周期的偶函数，且当)1,0(x时，,1)(2xxf则)27(f的
值_______.
5.已知定义在R上的偶函数()fx满足(1)()fxfx,则(5.5)f=___________.

6.设)(xf是),(上的奇函数，0)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，
则)5.7(f为
7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为____________
8.设()fx是定义在R上以3为周期的奇函数,若(1)1f,23(2)1afa,则a的范围是____

9.设函数()yfx对任意实数t都有()(2)ftft,若当1x时,2yxx,则当1x
时,___________.y
10.若函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称则实数m的值是________
11.函数y＝f(x)与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为___________.

12.定义在(－∞,＋∞)上的偶函数f(x)满足f(x＋1)=－f(x), 且f(x)在[－1,0]上是增函数, 下面五

个关于命题中: ① f(x)是周期函数 ② f(x) 的图象关于x=1对称 ③ f(x)在[0,1]上是增函数,
④f(x)在[1,2]上为减函数 ⑤ f(2)=f(0)
正确命题的个数是________．

13.若12()2xxbfxa是R上的奇函数.(,ab是常数)
(1)求()fx的解析式;
(2)若对任意tR,22(2)(2)0fttftk恒成立,求k的范围.

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函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义〔略〕，请用图形来理解。

3、 对称性：我们知道：偶函数关于y 〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：〔1〕函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

假设写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称〔2〕函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

高中数学中的对称性与周期性

高中数学中的对称性与周期性

高中数学中的对称性与周期性
高中数学中的对称性与周期性是数学中重要的两个概念。

它们分别是在数学表达式、函数图像和几何图形等领域中出现，因此很容易与数学知识联系起来。

对称性指的是某一体系存在的对称特性。

在数学表达式中，可以看到例如y=x^2，具有左右对称特性，当x变化时，y也会变化，但变化的方式总是满足对称性。

再加上多元函数，如y=x^2 + y^2 ，可以看出当x变换的时候，它的对称性仍然可以在其函数图像中表现出来。

周期性是指函数值或图形沿某个方向上的重复出现。

如果将一个周期函数的曲线图画出来，底部总是在一条水平线上重复出现，这就是函数具有周期性的表现。

如sin函数，就是在x轴上周期性重复出现的函数，它可以将x轴划分成若干份，每份的范围就是它的一个有限的周期。

同样，圆、椭圆等图形也具有周期性，同态图形中存在着多种周期性特性。

在解决实际问题时，对称性及其周期性的掌握有助于快速进行求解。

如在求解多项式函数的最大值时，可以考虑多项式的对称性，以及有限范围给出的周期性，从而找出最大值点，可以节约大量的计算时间，使求解过程变得简单快速。

函数的对称性、周期性以及之间的关系

函数的对称性、周期性以及之间的关系

函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。

函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。

自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。

命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。

抽象函数的周期性与对称性(精)

抽象函数的周期性与对称性(精)

抽象函数的周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号T=2|a-b| ；(2)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| ；(3)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| ；(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2ab x -=对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2(ab-对称。

（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）例：①已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = – f (x)，则f (6)的值为（）A. –1 B. 0 C. 1 D. 2解：②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于对称。

练习1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 对称。

2、函数)(x f y =满足)(1)3(x f x f -=+，且1)3(=f ，则=)2010(f 。

3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11()()22f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=解析：法一：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，T=2,可借助图象解答，得结果。

小结：此方法为数形结合法；法二：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，类比()sin f x x =联想函数()sin f x x π= ； 小结：此方法为抽象函数具体化法。

4.设f(x)是R 的奇函数,f(x+2)= — f(x),当0≤x ≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)= - 0.55.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)=6、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A.4B.5C.6D.77、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.。