《变化率问题与导数的概念》导学案

变化率问题导学案§1.1.1变化率问题导学案一问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是。

⏹如果将半径r表示为体积V的函数,那么。

分析:，⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了«Skip Record If...»气球的平均膨胀率为。

⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了«Skip Record If...»气球的平均膨胀率为。

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -Array 4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速«SkipRecord If...»度粗略地描述其运动状态?思考计算：«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的平均速度«Skip Record If...»在«Skip Record If...»这段时间里，«Skip RecordIf...»= ；在«Skip Record If...»这段时间里， «Skip RecordIf...»= ；探究：计算运动员在«Skip Record If...»这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，«Skip Record If...»，所以，«Skip Record If...»= ；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢12虽然运动员在«Skip Record If...»这段时间里的平均速度为«Skip Record If...»，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。

....1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1，其中Δx ＝x 2－x 1是相对于x 1的一个“增量”，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)是相对于f (x 1)的一个“增量”．(2)平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx为割线AB 的斜率，如图1­1­1所示．图1­1­1思考：Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示] Δx ，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．平均变化率ΔyΔx 可正、可负、可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限即lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.3．导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，f ′(x 0)或y ′| x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析....(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( )提示：(1)由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关，故正确． (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误． (3)在导数的定义中，Δy 可以为零，故错误． [答案] (1)√ (2)× (3)×2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )【导学号：31062000】A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)D [Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故选D.]3．若一质点按规律s ＝8＋t 2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．－1.1B [v ＝Δs Δt＝s－s 2.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故选B.]4．函数f (x )＝x 2在x ＝1处的瞬时变化率是________． [解析] ∵f (x )＝x 2.∴在x ＝1处的瞬时变化率是 lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0f ＋Δx －fΔx＝lim Δx →0＋Δx 2－12Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.[答案] 25．函数f (x )＝2在x ＝6处的导数等于________． [解析] f ′(6)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx ＝lim Δx →02－2Δx＝0.[答案] 0[合 作 探 究·攻 重 难]已知函数f (x )(1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率.【导学号：31062001】[解] (1)因为f (x )＝3x 2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5) ＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2. 函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0Δx ＋Δx2Δx ＝6x 0＋3Δx .[规律方法] 1.求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； 第二步，求函数值的增量Δy ＝f x 2－f x 1；第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 12.求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f x 0＋Δx －f x 0Δx的形式.[跟踪训练]1．如图1­1­2，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )图1­1­2A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.]2．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx的值为( )【导学号：31062002】A ．4B ．4xC ．4＋2Δx 2D ．4＋2ΔxD [Δy Δx＝＋Δx 2－2×12Δx＝4＋2Δx .故选D.][探究问题]1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，如何计算物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度？ 提示：Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt . 2．当Δt 趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] 计算物体在[1，1＋Δt ]内的平均速度Δs Δt ――→令Δt →0计算lim Δt →0ΔsΔt―→得t ＝1 s 时的瞬时速度[解] ∵Δs Δt ＝s＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－2＋1＋Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3.∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解] 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s ＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1.∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. [解] 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s.又Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9， ∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.[规律方法] 求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s t 0＋Δt －s t 0求平均速度v ＝Δs Δt求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，\f(Δs,Δt )无限趋近于常数v ，即为瞬时速度.(1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →000Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．－1C ．－13D ．13(2)求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．[思路探究] (1)类比f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx求解．(2)先求Δy ―→再求Δy Δx ―→计算lim Δx →0ΔyΔx(1)C [∵lim Δx →0f x 0－3Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0－3Δx －f x 0－3Δx －＝－3f ′(x 0)＝1，∴f ′(x 0)＝－13，故选C.](2)∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11 ＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2.[规律方法] 求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限． [跟踪训练]3．已知f ′(1)＝－2，则lim Δx →0f－2Δx －fΔx＝________.【导学号：31062003】[解析] ∵f ′(1)＝－2， ∴lim Δx →0f－2Δx －fΔx＝lim Δx →0f－2Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2Δx＝－2lim Δx →0f－2Δx －f －2Δx＝－2f ′(1)＝－2×(－2)＝4.[答案] 44．求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2，∴Δy Δx ＝6＋3Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.[当 堂 达 标·固 双 基]1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )A ．0.4B ．2C ．0.3D ．0.2B [v ＝s－s 2.1－2＝4.2－40.1＝2.]2．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝lim Δt →0＝s 1＋Δt －s 1Δt＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )【导学号：31062004】A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率 C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C 正确．] 3．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________． [解析] ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.[答案] 124．设f (x )在x 0处可导，若lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝A ，则f ′(x 0)＝________.[解析] lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝3lim 3Δx →0f x 0＋3Δx －f x 03Δx＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A .[答案] A35．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求：(1)Δy Δx；(2)f ′(1).【导学号：31062005】[解] (1)Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx2＋3－2＋Δx＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.。

《3.1.1:变化率问题》导学案总体把握 明确目标自主阅读：阅读P 71、P 106及查阅相关资料，了解微积分创立的时代背景和历史意义。

全球气候变化问题：我们知道，近百年来全球平均气温呈波动上升趋势，那么我们如何量化平均气温在某时期内变化的快慢程度？本节课我们先来学习微积分的基础知识——变化率问题，在学习中应达到以下学习目标：1. 理解平均变化率的概念和意义，掌握求函数平均变化率的基本步骤；2. 体验从特殊到一般，从具体到抽象和数形结合的思想方法；3. 感受自主、合作和探究学习的快乐，增强学习信心。

情境探究 寻找联系问题情境:现有某地某年3月和4月某天日最高气温记载.活动1: 带着下面问题，先自主思考后小组讨论，然后小组代表展现合作成果，其它成员补充。

问题1：A 到B 和B 到C 这两段时间里哪一段的温度差较大？请计算出来。

问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”为什么？问题3：我们如何用温度差和时间差来描述气温变化的快慢程度？你的依据是什么？意义建构 尝试理解在小组里面思考与讨论下列问题：问题4：若把气温C 看作时间t 的函数，即)(t f C =,则1t 至2t 这段时间内气温的平均变化率如何表示？问题5：若函数关系为)(x f y =,那么当x 从1x 增加到2x 时，其平均变化率如何表示？概念形成 深度理解阅读课本P 73关于平均变化率的概念,让学生发言对平均变化率概念的理解，然后由教师进一步总结变化率概念，并且充分利用黑板，列出变化率概念，以及概念中主要注意的关键词是哪些，这样达到学生深刻理解概念。

最后在理解的基础上总结求函数平均变化率的关键步骤。

交流分享 内化知识例：某位运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 存在函数关系：105.69.4)(2++-=t t t h ，请完成以下任务。

任务1.思考：在物理学中的平均速度跟我们今天学习的平均变化率有什么联系？任务2.计算该运动员在以下时间段里的平均速度：(1)[]2,1 (2)[]21,t t 。

③
④ =_________________________________
特别地，当 时，有
试一试：
求下列函数的导数（完成目标1）
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、
【课堂探究】
题型一：利用公式直接求导
例一：求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）
针对训练：
（1） （2） （3）
题型二：利用导数四则运算求导
预习课本12页至15页：
1、求以下函数的导函数。
（1） (c是常数)；（2） ；
（3） ；（4） ；（5）
由（2）到（5）归纳 的导函数。（完成目标2）
函数
导函数
函数
导函数
(c是常数)
( 为实数)
(a>0,a≠1)
(a>0,a≠1)
2、常见函数的导数公式
3、导函数的四则法则
①
② _________________________________
【课后作业】
1、课本P18练习2、（1）（2）（3）（4）；
习题4、（1）（2）（3）
2、活页《课时作业》
高二数学（理科）
变化率与导数编写人：
课题
1.2导数的计算（第一课时）
教学
目标
1、熟记公式，能熟练运用导数公式及四则运算求简单函数的导数；
2、体会归纳思想在数学研究中的应用，进一步发展学生的思维能力。
重点
难点
重点：利用导数公式及四则运算求简单函数的导数。
难点：对导函数概念的理解；导数公式的记忆和运用
【自主预习】
例二：求下列函数的导数
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
总结：