(全国卷II)(含答案)高考理科数学

1 普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）

数学(理)试题

一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)

（1）复数231ii( )

（A）34i （B）34i （C）34i （D）34i

（2）函数1ln(1)(1)2xyx的反函数是( )

（A）211(0)xyex （B）211(0)xyex

（C）211(R)xyex （D）211(R)xyex

（3）若变量,xy满足约束条件1,,325xyxxy≥≥≤，则2zxy的最大值为( )

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（4）如果等差数列na中, 34512aaa, 那么127...aaa( )

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35

（5）不等式2601xxx＞的解集为( )

（A）2,3xxx＜或＞ （B）213xxx＜，或＜＜

（C）213xxx＜＜，或＞ （D）2113xxx＜＜，或＜＜

（6）将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张, 其中标号为1, 2的卡片放入同一信封, 则不同的方法共有( )

（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

（7）为了得到函数sin(2)3yx的图像, 只需把函数sin(2)6yx的图像( )

（A）向左平移4个长度单位 （B）向右平移4个长度单位 2 （C）向左平移2个长度单位 （D）向右平移2个长度单位

（8）△ABC中, 点D在边AB上,

CD平分∠ACB, 若＝a,

＝b, |a|＝1,

|b|＝2, 则 等于( )

（A）1233ab （B）2133ab （C）3455ab （D）4355ab

（9）已知正四棱锥SABCD中,

23SA, 那么当该棱锥的体积最大时,

它的高为( )

（A）1

（B）3 （C）2 （D）3

（10）若曲线12yx在点12,aa处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,

则a( )

（A）64 （B）32 （C）16 （D）8

（11）与正方体1111ABCDABCD的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点( )

（A）有且只有1个

（B）有且只有2个

（C）有且只有3个

（D）有无数个

（12）已知椭圆2222:1(0)xyCabab＞＞的离心率为32, 过右焦点F且斜率为(0)kk＞的直线与C相交于AB、两点．若3AFFBuuuruuur, 则k( )

（A）1 （B）2 （C）3

（D）2

二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．

（13）已知a是第二象限的角, 4tan(2)3a, 则tana

．

（14）若9()axx的展开式中3x的系数是84, 则a ．

（15）已知抛物线2:2(0)Cypxp＞的准线为l, 过(1,0)M且斜率为3的直线与l相交于点A, 与C的一个交点为B．若AMMBuuuuruuur, 则p ． 3 （16）已知球O的半径为4, 圆M与圆N为该球的两个小圆, AB为圆M与圆N的公共弦, 4AB．若3OMON, 则两圆圆心的距离MN

．

三．解答题：本大题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）ABC中, D为边BC上的一点, 33BD,

5sin13B, 3cos5ADC, 求AD．

（18）（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝(n2＋n)·3n.

（Ⅰ）求limnnnaS；

（Ⅱ）证明：12222312nnaaan…＞．

（19）（本小题满分12分）如图, 直三棱柱ABCA1B1C1中, AC＝BC, AA1＝AB, D为BB1的中点, E为AB1上的一点, AE＝3EB1.

（Ⅰ）证明：DE为异面直线1AB与CD的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线1AB与CD的夹角为45°, 求二面角111AACB的大小．

4

（20）（本小题满分12分） 如图, 由M到N的电路中有4个元件, 分别标为T1, T2, T3, T4, 电流能通过T1, T2, T3的概率都是p,

电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1, T2,

T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）表示T1, T2, T3, T4中能通过电流的元件个数, 求的期望．

（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：2222100xyabab＞，＞相交于B、D两点, 且BD的中点为1,3M．

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A, 右焦点为F, 17DFBFg, 证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

（22）（本小题满分12分）设函数1xfxe． 5 （Ⅰ）证明：当x＞-1时, 1xfxx；

（Ⅱ）设当0x时, 1xfxax, 求a的取值范围．

普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）

数学(理)试题

答案解析:

一、选择题

（1）A

解析：231ii22(3)(1)(12)342iiii.

（2）D

解析：由y＝, 得ln(x－1)＝2y－1, 解得 x＝e2y－1＋1,

故反函数为y＝e2x－1＋1(x∈R)．故选D。

（3）C

解析：约束条件所对应的可行域如图． 由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.

由图可知, 当直线y＝－2x＋z经过点A时, z最大．由, 得, 则A(1,1)．

∴zmax＝2×1＋1＝3.. 6 （4）C

解析：∵{an}为等差数列, a3＋a4＋a5＝12,

∴a4＝4.

∴a1＋a2＋…＋a7＝＝7a4＝28.

（5）C

解析：0)1)(2)(3(0)1()2)(3(0162xxxxxxxxx, 利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3, 故选C

（6）B

解析：标号1,2的卡片放入同一封信有13C种方法；其他四封信放入两个信封,

每个信封两个有222224AAC种方法, 共有1822222413AACC种, 故选B.

（7）B

解析：sin(2)6yx=sin2()12x, sin(2)3yx=sin2()6x,

所以将sin(2)6yx的图像向右平移4个长度单位得到sin(2)3yx的图像, 故选B.

（8）B

解析：因为CD平分ACB, 由角平分线定理得ADCA2=DBCB1, 所以D为AB的三等分点, 且22ADAB(CBCA)33uuuruuuruuuruuur, 所以

2121CDCA+ADCBCAab3333uuuruuuruuuruuuruuurrr, 故选B.

（9）C

解析：本试题主要考察椎体的体积, 考察告辞函数的最值问题.

设底面边长为a, 则高212)22(222aaSAh,

所以体积64221123131aahaV, 7 设：642112aay, 则53348aay, 当y取最值时,

034853aay, 解得a=0或a=4时, 体积最大,

此时22122ah, 故选C.

（10）A

解析：332211',22yxka, 切线方程是13221()2yaaxa,

令0x, 1232ya, 令0y, 3xa,

∴三角形的面积是121331822saa, 解得64a.故选A.

（11）D

解析：直线B1D上取一点, 分别作PO1, PO2, PO3垂直于B1D1,

B1C, B1A于O1, O2, O3则PO1⊥平面A1C1, PO2⊥平面B1C,

PO2⊥平面A1B, O1, O2, O3分别作O1N⊥A1D1, O2M⊥CC1,

O3Q⊥AB, 垂足分别为M, N, Q, 连PM, PN, PQ,

由三垂线定理可得, PN⊥A1D1；PM⊥CC1；PQ⊥AB, 由于正方体中各个表面、对等角全等, 所以PO1=PO2=PO3, O1N=O2M=O3Q, ∴PM=PN=PQ, 即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件, 故选D.

（12）B

解析：设直线l为椭圆的有准线, e为离心率, 过A, B分别作AA1,

BB1垂直于l, A1, B为垂足, 过B作BE垂直于AA1与E, 由第二定义得, 8 .,2,2tan,36sin,3321||4||2||cos,||3||,3,||||,||||111BkBAEBAEeBFeBFABAEBAEeBFAAFBAFeBFBBeAFAA故选即得由

二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．

（13）12

解析：由4tan(2)3a得4tan23a, 又22tan4tan21tan3a,