第三讲 立体几何
——大题备考
【命题规律】
立体几何大题一般为两问：第一问通常是线、面关系的证明；第二问通常跟角有关，一般是求线面角或二面角，有时与距离、几何体的体积有关．
微专题1 线面角
保 分 题
[2022·辽宁沈阳二模]如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝2AB＝4，点M是PA的中点．
(1)求证：BD⊥CM；
(2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．
提 分 题
例1 [2022·全国乙卷]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
听课笔记：
【技法领悟】
利用空间向量求线面角的答题模板
巩固训练1
[2022·山东泰安一模]如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．
(1)若PA＝1，求证：AE⊥平面PCD；
(2)当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E - ABC的体积．
微专题2 二面角
保 分 题
[2022·山东临沂二模]如图，AB是圆柱底面圆O的直径，AA1、CC1为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB＝AA1＝2BC＝2CD，E、F分别为A1D、C1C的中点．
(1)证明：EF∥平面ABCD；
(2)求平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值．
提 分 题
例2 [2022·湖南岳阳三模]如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是菱形，F是PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AFC；
(2)若直线PA⊥平面ABCD，AC＝AP＝2，且PA与平面AFC所成的角正弦值为√217，求锐二面角F - AC - D的余弦值．
听课笔记：
第3讲 立体几何中的计算 课时讲义
1. 高考对立体几何的计算，主要是能利用公式求常见几何体(柱体、锥体、台体和球)的表面积与体积．有时还需能解决距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．
2. 高考中常见的题型为：(1) 常见几何体的表面积与体积的计算；(2) 利用等积变换求距离问题；(3) 通过计算证明平行与垂直等问题；(4) 几何体的内切和外接．
1.
棱长都是2的三棱锥的表面积为________．
答案：43
解析： 因为四个面是全等的正三角形，则S表面积＝4×34×4＝43.
2. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是棱BB1的中点，则四棱锥PAA1C1C的体积为________．
答案：13
解析：四棱锥PAA1C1C的体积为13×22×2×1＝13.
3. (2018·南京学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π cm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.
答案：18π
解析：设正方形的边长为a cm，则πa2·a＝27π，解得a＝3，所以侧面积2π×3×3＝18π.
4. (2018·海安质量测试)已知正三棱锥的体积为363 cm3，高为4 cm，则底面边长为________cm.
答案：63
解析： 设正三棱锥的底面边长为a，则其面积为S＝34a2.由题意13·34a2×4＝363，解得a＝63.
, 一) 表面积与体积 , 1) 如图，在以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC＝3，AB＝2.
(1) 求证：DE∥平面ABC；
(2) 求此六面体的体积．
(1) 证明：作DF⊥AB，交AB于点F，连结CF.
因为平面ABC⊥平面ABD，
且平面ABC∩平面ABD＝AB，
所以DF⊥平面ABC.
因为EC⊥平面ABC，所以DF∥EC.
- 1 - 课时巩固过关练 十二
空间几何体的三视图、表面积及体积
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为 (
)
【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.
【方法技巧】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角与距离等问题相结合,解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征.
2.(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( ) - 2 -
A. B. C. D.1
【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.
3.(2016·广州一模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为 ( )
A.20π B. C.5π D.
【解析】选D.由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r=1,其高h=1,
所以球半径为R===,
所以该球的体积V=πR3=×·π=.
【加固训练】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,
AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为 ( )
A. B.2 C. D.3 - 3 - 【解析】选C.因为直三棱柱中AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
4.(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
掌门1对1教育 高中数学
【数学】2014版《6年高考4年模拟》
立体几何
第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积
第一部分 六年高考荟萃
2013年高考题
1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
（ ）
A．35003cm B．38663cm C．313723cm D．320483cm
答案：A
设正方体上底面所在平面截球得小圆M，
则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，
解出R=5，
所以根据球的体积公式，该球的体积V===．
故选A．
2 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
（ ）
A．168 B．88 C．1616 D．816
答案：A
三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．
所以长方体的体积=4×2×2=16，
半个圆柱的体积=×22×π×4=8π
所以这个几何体的体积是16+8π；
故选A．
3 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V,2V,3V,4V,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ）
A．1243VVVV B．1324VVVV
C．2134VVVV D．2314VVVV
答案：C
本题考查三视图以及空间几何体的体积。从上到下为圆台，圆柱，棱柱，棱台体积依次为37)1212(31221V，,22V8233V，.328)416416(314V所以4312VVVV，故选C.
