概率论与数理统计许承德习题四答案

习 题 四

1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,XY分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)XY的分布列.

解 (,)XY的分布列为

123111061211126661130126

其中 (1,1)(1)(1|1)0PXYPXPYX

(1,2)(1)(2|1)PXYPXPYX

121436

余者类推。

2．将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)XY的分布列及边缘分布列。

解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2XB

331()(),0,1,2,32kPXkCk，于是(,)XY的分布列和边缘分布为 X Y 012333610088811230088813318888jipp

其中 (0,1)(0)(1|0)0PXYPXPYX，

13313(1,1)(1)(1|1)()128PXYPXPYXC，

余者类推。

3．设(,)XY的概率密度为

1(6),02,24,(,)80,.xyxyfxy其它

又（1）{(,)|1,3}Dxyxy；（2）{(,)|3}Dxyxy。求{(,)}PXYD

解 （1）13021{(,)}(6)8PxyDxydxdxy

1194368228；

（2）13021{(,)}(6)8xPXYDxydxdy

11200113(1)[(3)4]82xxdxxdx

524.

4．设(,)XY的概率密度为

22222(),,(,)0,.CRxyxyRfxy其他

求（1）系数C；（2）(,)XY落在圆222()xyrrR内的概率.

解 （1）22222232001()RxyRCRxydxdyCRCrdrd Y X

x

x+y=3 4

2

2 y 333233RRCRC，

 33CR.

（2）设222{(,)|}Dxyxyr，所求概率为

2222233{(,)}()xyrPXYDRxydxdyR

322323232133rrrRrRRR.

5．已知随机变量X和Y的联合概率密度为

4,01,01(,)0,.xyxyfxy其它

求X和Y的联合分布函数.

解1 设(,)XY的分布函数为(,)Fxy，则

(,)(,)xyFxyfuvdudv001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1,1.xyxyxyuvdudvxyuydudyxyxvdxdvxyxy或

22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1,1.xyxyxyxxyyxyxy或

解2 由联合密度可见，,XY独立，边缘密度分别为

2,01,()0,;Xxxfx其他 2,01,()0,.Yyyfy其它 边缘分布函数分别为(),()XYFxFy，则

20,0,()(),01,1,1.xXXxFxfuduxxx

20,0,()(),01,1,1.yYXyFyfvdvyyy

设(,)XY的分布函数为(,)Fxy，则

22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1,1.XYxyxyxyFxyFxFyxxyyxyxy或

6．设二维随机变量(,)XY在区域:01Dx，||yx内服从均匀分布，求边缘概率密度。

解 (,)XY的概率密度为

1,(,),(,)0,.xyDfxy其他

关于X和Y的密度为

0,01()(,),01,xXxxxfxfxydydyx或 2,01,0,.xx其他

110,1,,10,()(,),01,0,1.yYyydxyfyfxydxdxyy1,10,1,01,0,.yyyy其他 y

x 1 0 D 1||,||1,0,.yy其他

7．设(,)XY的概率密度为

,0,(,)0,.yexyfxy其他

求边缘密度和概率(1)PXY

解

0,0,0,0,()(,),0.,0;Xxyxxxfxfxydyexedyx

00,0,0,0,()(,),0.,0;yYyyyyfyfxydxyeyedxy

111122001(1)(,)()xyxxxxyPXYfxydxdyedydxeeedx

11212ee.

8．一电子仪器由两个部件组成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,XY的联合分布函数为：

0.50.50.5()1,0,0(,)0,.xyxyeeexyFxy其他

（1）问,XY是否独立为什么

（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率.

解 （1）先求边缘分布函数：

0.51,0,()lim(,)0,0.xXyexFxFxyx

0.51,0,()lim(,)0,0.yYxeyFyFxyy

因为(,)()()XYFxyFxFy，所以,XY独立.

（2）(0.1,0.1)(0.1)(0.1)[1(0.1)][1(0.1)]PXYPXPYPXPY

0.050.050.1eee. x+y=1y

x 0 x=y 9．设(,)XY的概率密度为

(),0,0,(,)0,.xyexYfxy其他

间,XY是否独立

解 边缘密度为

00,0,0,0,()(,),0.,0;Xxxyxxfxfxydyexeedyx

0,0,(),0.Yyyfyey

因为 (,)()()XYfxyfxfy，所以,XY独立.

10．设(,)XY的概率密度为

8,01,(,)0,.xyxyfxy其他

问,XY是否独立.

解 边缘密度

210,01,4(1),01,()(,)0,8,01.Xxxxxxxfxfxydyxydyx或其他;

304,01,8,01,()(,)0,0,yYyyxydxyfyfxydx其他;其他;

因为(,)()()XYfxyfxfy，所以,XY不独立。

11．设(,)XY的概率密度为

1,||1,||1,(,)40,.xyxYfxy其他 y=x

1 y

x 0

y

x 0 试证明X与Y不独立，但2X与2Y是相互独立的。

证 先求,XY的联合分布函数(,)Fxy

111111110,11,1,||1,||1,41(,),||1,1,41,1,||1,41,1,1;xyxyxyuvdudvxyuvFxydudvxyuvdudvxyxy或

220,1111(1)(1)(1)(1),||1,4161(1),1,||121(1),||1,1,21,1,1.xyxyxyxyxyxxyxy或

关于X的边缘分布函数为

0,1,1()lim(,)(1),11,21,1.XyxFxFxyxxx

关于Y的边缘分布函数为

0,1,1()(1),11,21,1.YyFyyyy

因为(,)()()XYFXYFxFy，所以,XY不独立. 再证2X与2Y独立：设22,XY的联合分布函数为1(,)Fzt，则

0,0221(,)(,){,}ztFztPXzYtPzxztYt

(,)(,)(,)(,)FztFztFztFzt

0,00,,01,01,,1,01,,01,1,1,1,1.zttzzttztzztzt或

关于22()XY的边缘分布函数分别为

210,0,()lim(,),01,1,1.XtzFzFztzzz

20,0,(),01,1,1.YtFtttt

因为221(,)()()XYFztFzFt，所以2X与2Y独立.

证2 利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83页）

设 22,ZXTY.