二次函数知识点总结及典型题型

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二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般 一般式：)0,,(2acbacbxaxy是常数，

（2）两根 当抛物线cbxaxy2与x轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式))((212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式))((21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3） 顶点式：)0,,()(2akhakhxay是常数，

知识点八、二次函数的最值

如果自变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。

如果自变量的取值围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值围21xxx，若在此围，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此围，则需要考虑函数在21xxx围的增减性，如果在此围，y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此围，y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。

知识点九、二次函数的性质 实用文档

1、二次函数的性质

函数 二次函数

)0,,(2acbacbxaxy是常数，

图像 a>0 a<0

y

0 x

y

0

x

性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；

1 二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结

【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】

审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）；

设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；

列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；

解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；

检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；

答：写出答案.

【题型1 利用二次函数解决几何图形问题】

【例1】（2020春•萧山区月考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（ π取3）

（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．

（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）

【解题思路】（1）根据2AB+7半径+弧长＝6列出代数式即可；

（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．

【解答过程】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，

整理得：AB＝3﹣5x；

根据3﹣5x＞0，

所以x的取值范围是：0＜x＜35；

（2）设面积为S，则S＝2x（3﹣5x）+32x2=−172x2+6x=−172（x−617）2+1817， 2 当x=617时，S最大=1817．

【变式1-1】（2020•安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．

（1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式；

二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分 二次函数基础知识

二次函数各种形式之间的变换

 二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，

其中abackabh4422，.

 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①2axy；

②kaxy2；

③2hxay；

④khxay2；

⑤cbxaxy2.

二次函数解析式的表示方法

 一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；

 顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；

 交点式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

抛物线2yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

 a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作2bxa.

 顶点坐标坐标：），（abacab4422

抛物线cbxaxy2中，cba,,与函数图像的关系

 二次项系数a

二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a,a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴

 常数项c

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

用待定系数法求二次函数的解析式

 一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

 顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

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二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

2 bx c a b c a y ax 是常数，

〔1〕一般 一般式： ( , , 0)

2

〔2〕两根 当抛物线 y ax bx c 与x轴有交点时，即对应二次好方程 2 bx c

ax x1 x2

0

有实根 和 存在时，依照二次三项式的分解因式

2 bx c a x x x x 2

ax y ax bx c

( 1)( 2 )

，二次函数 可转变为两根式

y a( x x1 x x2

)( ) 。若是没有交点，那么不能够这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的张口越小。

2 k a h k a y a x h

是常数，

〔3〕 极点式： ( ) ( , , 0)

知识点八、二次函数的最值

若是自变量的取值范围是全体实数，那么函数在极点处获取最大值〔或最小值〕

2

b 4ac b

x y

，即当 时， 。

最值

2a 4a

b

若是自变量的取值范围是 x1 x x2 ，那么，第一要看 可否在自变量取值范

2a

2

b 4ac b

围 x1 x x2 内，假设在此范围内，那么当 x= 时， ；假设不在此范围

y

最值

2a 4a

内，那么需要考虑函数在 x1 x x2 范围内的增减性，若是在此范围内， y随x的增大而

2 2

增大，那么当 x x2 时， y最大 ax bx c，当 x x1时， y ax bx1 c；如

最小

2 2 1

2

果在此范围内， y随x的增大而减小，那么当 x x1时， y ax bx1 c，当

最大 x x2

1

2

时， y ax bx2 c。

最小

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知识点九、二次函数的性质

1 、二次函数的性质(完满版),初中二次函数知识点及经典题型,文档

二次函数

函

数 2 bx c a b c a

y ax ( , , 是常数， 0)