二次函数一、二次函数的几何变换
二、二次函数的图象和性质
(Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质
(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质
(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响
三、待定系数法求二次函数的解析式
1、一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。
2、顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。
4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2
。
5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2
+c 。 6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2
h x a y -=。
7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。
四、抛物线的对称性
1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x=
2x x 2
1+。 2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2
n
m +。
3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(a
b
-, c)。
五、二次函数与一元二次方程的关系
对于抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0），令y=0，即为一元二次方程02=++c bx ax ，一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。要分三种情况：
1、 判别式△=b 2
-4ac ＞0⇔抛物线与x 轴有两个不同的交点（a
b 24ac
b -2+，0）
（a b 24ac b --2，0）。有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2=
a
c 。
2、 判别式△=b 2
-4ac=0⇔抛物线与x 轴有一个交点（a
b 2-，0）。 3、 判别式△=b 2
-4ac=0⇔抛物线与x 轴无交点。
六、二次函数与一元二次不等式的关系
1、a ＞0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。
（2）02
＜c bx ax
++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。
2、a ＜0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。
（2）02
＜c bx ax
++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。
七、二次函数的应用 1、面积最值问题。
2、长度、高度最值问题。
3、利润最大化问题。
4、利用二次函数求近似解。
例1、抛物线c
bx
ax
y+
+
=2与直线c
ax
y+
=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）
例2已知二次函数y=-x2+bx-8的最大值为8,则b的值为（）
A、 8
B、 -8
C、 16
D、 8或-8
例3、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2,0）B（1,0）且经过点C（2,8）（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标
例4、已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（2，y1），B（2，y2），C（5
-，
y
3），则y
1
、y
2
、y
3
的大小关系为。
例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是y= x2-3x+5,则a+b+c=。
例6、一次函数Y=kx+b的图像与x轴和y轴分别交于A（-8,0）和点B（0,4），线段AB垂直平分线CD交x轴与点C交于AB于点D，求：
1、确定直线AB的解析式
2、求过A、B、C三点的抛物线解析式
3、抛物线对应的二次函数有最大值还是最小值当X等于几时，相应的最大值或最
小值是多少
例7、已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．抛物线顶点为D，直线CD交x轴于点E，过点B做x轴的垂线交直线CD于点F。
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）求直线CD的解析式
（3）在线段BF上是否存在点P，使得P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离。如果存在，求出点P坐标。
例8（2013•永州）如图，已知二次函数y=（x ﹣m ）2﹣4m 2（m ＞0）的图象与x 轴交于
A 、
B 两点。
（1）写出A 、B 两点的坐标（坐标用m 表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P 在以AB 为直径的圆上，求二次函数的解析式； （3）设以AB 为直径的⊙M 与y 轴交于C 、D 两点，求CD 的长．
例9、（2010 常德）如图，已知抛物线y=2
1x 2+bx+c 与x 轴交于点A （-4，0）和B （1，
0）两点，与y 轴交于C 点． （1）求此抛物线的解析式；
（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标；
（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．
