浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量补上一课立体几何中的截面问题及球的切接问题含解析

立体几何中的截面问题及球的切接问题

知识拓展

1.立体几何中的截面问题

(1)平面截球：圆(圆面).

(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形.

(3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形.

2.球的切接问题

(1)长方体的外接球

①球心：体对角线的交点；

②半径：r＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高).

(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球

①外接球：球心是正方体中心；半径r＝32a(a为正方体的棱长)；

②内切球：球心是正方体中心；半径r＝a2(a为正方体的棱长)；

③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝22a(a为正方体的棱长).

(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)

①外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝64a(a为正四面体的棱长)；

②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a(a为正四面体的棱长).

题型突破

题型一 立体几何中的截面问题

【例1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )

A.334 B.233

C.324 D.32

(2)(2020·浙江新高考仿真卷三)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为( ) A.7π B.9π

C.11π D.13π

解析 (1)记该正方体为ABCD－A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等.如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′－AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等.分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，即截面EFGHIJ为平面α截正方体所得最大截面.又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝22，所以该正六边形的面积为6×34×222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A.

(2)设球的球心为O，由圆M的面积为4π得圆M的半径为2，则|OM|＝42－22＝23，又因为圆N所在的平面β与圆M所在的平面α所成的角为60°，则∠OMN＝30°，且ON⊥MN，则sin∠OMN＝|ON||OM|，即sin 30°＝|ON|23，解得|ON|＝3，则圆N的半径r＝42－（3）2＝13，圆N的面积为πr2＝13π，故选D.

答案 (1)A (2)D

规律方法 此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征，解题时可寻找特殊情况使问题得到简化.

【训练1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )

A.122π B.12π

C.82π D.10π

(2)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE＝λ，B1F＝μ.若平面BEF与正方体的截面是五边形，则λ＋μ的取值范围是________.

解析 (1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.

(2)通过特殊位置来分析，当AE＝λ→1时(此时E与D接近重合)，若B1F＝μ→0(此时B1与F接近重合)，此时截面是四边形，随着B1F＝μ的变大，平面BEF与正方体的截面是五边形，由此知λ＋μ＞1；随着B1F＝μ→1，平面BEF与正方体的截面仍是五边形，当两者均为1时，截面是三角形，由此知λ＋μ＜2，故1＜λ＋μ＜2.

答案 (1)B (2)(1，2)

题型二 外接球问题

【例2】 (1)(2017·新课标全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.

(2)已知底面边长为1，侧棱长2的正四棱柱的各个顶点均在同一个球的球面上，则该球的体积为( )

A.32π3 B.4π

C.2π D.4π3

(3)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )

A.3172

B.210

C.132 D.310

(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

A.81π4 B.16π

C.9π D.27π4

(5)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，SA⊥AC，SB⊥BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球的表面积为________.

解析 (1)长方体体对角线长为32＋22＋12＝14，所以长方体外接球半径R＝142，所以长方体外接球的表面积为S＝4πR2＝14π. (2)如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面为边长为1，侧棱长为2，设H、I分别为下、上底面中心，HI的中点为O，所以O为外接球的球心，所以外接球半径R＝AO＝AH2＋OH2＝1，所以外接球体积V＝4π3R3＝4π3.

(3)如图，由题意可得棱柱上、下底面为直角三角形，所以上、下底面外接圆的圆心分别为B1C1、BC的中点，分别设其分别为I、H，设HI的中点为O，则点O为三棱柱外接球的球心，在Rt△BHO中，BO＝BH2＋OH2＝132，所以外接球的半径R＝132.

(4)如图，设O1为底面正方形ABCD的中心，外接球球心为O，

所以PO1⊥平面ABCD，O在PO1上，

设外接球O的半径为R，则R＝AO＝PO，

在Rt△AOO1中，

R＝AO＝AO21＋OO21＝（2）2＋（4－R）2

解得R＝94，

所以外接球的表面积为S＝4πR2＝814π.

(5)如图，∵SA⊥AC，SB⊥BC，设O为SC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得点O到A，B，C，S的距离相等，故点O为三棱锥外接球的球心，

∵平面SCA⊥平面SCB，SB＝BC，∴OB⊥平面SAC.

设球O的半径为R，则

VS－ABC＝VB－ASC＝13·12·2R·R·R＝13R3＝9，

∴R3＝27，R＝3.所以外接球表面积为S＝4πR2＝36π.

答案 (1)14π (2)D (3)C (4)A (5)36π

规律方法 1.常用结论

(1)正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点.

(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点.

(3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点.

(4)正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到. (5)若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

2.构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心

(1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体.

(2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体.

【训练2】 (1)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(

)

A.3π

B.4π

C.33π

D.6π

(2)已知正三棱锥P－ABC，点P、A、B、C都在半径为3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离是________.

(3)三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，则此三棱锥外接球的体积为________.

解析 (1)构造正方体，则正方体棱长为1，因此，该四面体外接球也就棱长为1的正方体外接球，所以外接球半径R＝32，所以外接球表面积为S＝4πR2＝3π.

(2)如图，构造正方体，则球心为正方体的中心O，易求得正方体棱长为2，设点O到平面ABC的距离为d，作CH垂直MN交MN于H，

由VO－ABC＝VC－ABO，得13S△ABC·d＝13S△ABO·CH，

所以d＝33.

(3)∵PA⊥AB，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，

构造直三棱柱PQT－ABC，设O1为△ABC外心，O为三棱锥外接球球心，所以OO1⊥平面ABC，

易得OO1＝12PA，

在△ABC由余弦定理可求得BC＝23，再由正弦定理可求得△ABC外接圆半径r＝2，在Rt△AOO1中，AO＝AO21＋OO21＝5，

所以三棱锥P－ABC外接球半径R＝5，外接球体积V＝205π3.

答案 (1)A (2)33 (3)205π3

题型三 内切球问题 【例3】 (一题多解)已知棱长为a的正四面体ABCD，证明：其内切球的半径为612a.

证明

法一

如图，设AH⊥平面BCD，则H为△BCD外心，

可得外接球球心在AH上，设外接球球心为O，

外接球半径为R，则AO＝BO＝R，

在△BCD中，可得BH＝33a，

在Rt△ABH中，

AH＝AB2－BH2＝63a，

在Rt△BHO中，BO2＝BH2＋OH2，

∴BO2＝BH2＋(AH－OA)2，

∴R2＝33a2＋63a－R2，∴R＝64a，

因内切球球心与外接球球心重合，所以内切球半径r＝OH＝AH－AO＝63a－64a＝612a.

法二 如图，设AH⊥平面BCD，设外接球球心为O，则点O也是内切球球心，

由于内切球球心到各个面的距离相等，都为内切球半径，设为r，

∵VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ACD＋VO－ABD＋VO－BCD.

∴13S△BCD·AH＝13S△BCD·r·4，∴r＝14AH＝612a.

规律方法 求内切球的半径常用等积法

(1)正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离.

(2)正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合.

【训练3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )

A.4π B.9π2

C.6π D.32π3

(2)(2020·金华一中月考)已知某锥体的三视图如图所示(各正方形的边长为2)，则该锥体的体积是________；该锥体的内切球的表面积是________.