25实际问题与一元一次不等式
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实际问题与一元一次不等式
一、知识归纳
列不等式解应用题的方法和列一元一次方程解应用题基本上相同，简单地分为：设、找、列、解、答五个步骤：
（1）设：弄清题意和题目中的数量关系，一般用字母（x、y）表示题目中的未知数；
（2）找：找到能够表示应用题全部含义的一个不等的关系；
（3）列：根据这个不等的数量关系，列出所需的代数式，从而列出不等式（组）；
（4）解：解这个所列出的不等式（组），求出未知数的解集；
（5）答：写出答案．
这五步的关键是“列”，难点是“找”．
列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等量关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要．
注意列不等式解应用题常常以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等字眼来体现问题中的不等关系.建立不等式，要善于从“关键词”中挖掘其内涵.
二、例题讲解
例1、（1）某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价120％的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高于进价80％的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价________，商店老板才能出售（ ）
A．80元 B．100元
C．120元 D．160元
（2）九年级的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（ ）
A．至多6人 B．至少6人 C．至多5人 D．至少5人
（3）现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少安排（ ）
A．4辆 B．5辆
C．6辆 D．7辆
答案：（1）C （2）B （3）C
例2、在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共25道题，每题都给出4个答案，其中只有一个正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或错选倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少应选对多少道题?
提示：
答对题的得分与答错题扣分的差大于或等于60分是本题的基本不等关系．
解：
设他应选对x道题，则
4x－(25－x)×2≥60
∵x为整数，
∴至少应选对19道题．
例3、叶靓家开了一个副食店，她今天帮妈妈到批发市场去批饮料，批发市场的老板问：“你今天要批多少箱饮料呢？”叶靓回答：“我根据上次销售情况，这次进货一半要可乐，四分之一进鲜橙汁，七分之一进水蜜桃汁，剩下不足6箱进葡萄汁．”老板算了一算，很快便按要求发货，你能从叶靓的回答中算出这次总共进货多少箱吗？（批发市场只能整箱批发）
解：
设这次共进饮料x箱，依题意得：
解这个不等式，得0＜x＜56，
又∵x、、、都是正整数，
∴x=28．
答：这次共进饮料28箱．
例4、某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后，共获利6万元，其进价和售价如下表：(注：获利=售价－进价)
A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1380 1200
(1)该商场购进A、B两种商品各多少件?
(2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品，购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？
答案：
（1）设购进A、B两种商品分别为x件、y件，则
解得
∴A商品每件200件，B商品120件．
（2）设B商品的售价为a元，则
120(a－1000) ＋(1380－1200)×2×200≥81600，
a≥1080，
∴B种商品最低售价为每件1080元．
例5、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择．其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
甲 乙
价格（万元/台） 7 5
每台日产量（个） 100 60
(1)按该公司要求可以有几种购买方案?
(2)若该公司购进6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案?
解：
（1）设购买甲种机器x台，购买乙种机器（6－x）台，
7x＋5(6－x)≤34,
x≤2,
因为x为非负整数，所以x=0,1,2.
所以有三种购买方案．
（2）设日生产能力为W个，则
W=100x＋60(6－x)=360＋40x≥380
x≥0.5, 所以x=1或2．
当x=1时，7＋5×5=32万元，
x=2时，7×2＋5×4=34万元．
所以为了节约资金应选择购买1台甲种机器，5台乙种机器．
一、填空题
1、小明用100元去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买_________支钢笔．
2、某人10点10分离家赶11点整的火车，已知他家离车站10千米，他离家后先以3千米/小时的速度走了5分钟，然后改乘公汽，问公汽每小时至少走_________千米才能不误当次火车．
显示答案
二、选择题
3、某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5％，则至多可打（ ）
A．6折 B．7折
C．8折 D．9折
4、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端；体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端．这时，爸爸的那一端仍然着地．请你猜猜小芳的体重应小于（ ）
A．49千克 B．50千克
C．24千克 D．25千克
5、有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排________人种茄子（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
6、七年级(1)班外出郊游合影留念，每人交0.70元，已知一张彩色底片0.68元，扩印一张0.50元，每人分一张，在将收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有（ ）
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
三、综合题
7、一次奥运知识竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错(或不答)一题扣5分．设小明同学在这次竞赛中答对x道题．
(1)根据所给条件，完成下表：
答题情况 答对 答错（或不答）
题数 x 每题分值 10 －5
得分 10x
(2)若小明同学的竞赛成绩超过100分，则他至少答对几道题?
显示答案
8、电脑公司销售一批计算机，第一个月以5500元/台的价格售出60台，第二个月起降价后以5000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售款总量超过55万元，这批计算机最少有多少台?
显示答案
9、小明到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多(设为a人，a>8)，就站到A队后，过了2分钟，他发现A队每分钟有4人买饭离开，B队每分钟有6人买饭离开，且B队后面每分钟增加5人．
(1)此时，若小明继续在A队，则他到达A窗口的时间是多少?(用含a的代数式表示)
(2)此时，若小明迅速从A队转移到B队，且买饭所花时间比在A队少，求a的取值范围．(不考虑其他因素)
显示答案
10、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费用如下表：经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
（1）请你设计该企业有几种购买方案； （2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；
（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）
显示答案
答案：1、13 2、13 3、B 4、D 5、C 6、C 7、（1）略 （2）16
8、解：设这批计算机x台，则
5500×60＋5000(x－60)>550000
x>104
又∵x为整数，
∴x≥105，
故至少为105台．
9、答案：（1） （2）a>20
10、解：（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10－x）台．
12x＋10（10－x）≤105，
解得x≤2.5．
∵x取非负整数，∴x可取0，1，2．
有三种购买方案：购A型0台、B型10台；
A型1台，B型9台；A型2台，B型8台．
（2）240x＋200（10－x）≥2040，
解得x≥1，
所以x为1或2． 当x=1时，购买资金为：12×1＋10×9=102（万元）；
当x=2时，购买资金为12×2＋10×8=104（万元），
所以为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
（3）10年企业自己处理污水的总资金为：
102＋10×10=202（万元），
若将污水排到污水厂处理：
2040×12×10×10=2448000（元）=244.8（万元）．
节约资金：244.8－202=42.8（万元）．
课外拓展
例1、已知三个非负数a、b、c满足3a＋2b＋c=5和2a＋b－3c=1，若m=3a＋b－7c，求m的最小值和最大值.
分析：
解题的关键是通过解方程组，用含一个字母的代数式来表示m，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最小值和最大值.
解：
联立方程组∴m=3c－2
例2、求中的数字x、y、z.
分析：从估算值的大小，建立关于x的不等式组入手.
