2017-2018学年福建省三明市三地三校高二上学期期中数学试题(文科)(解析版)
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1 2017-2018学年福建省三明市三地三校高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题“若f（x）是奇函数，则f（﹣x）是奇函数”的否命题是（ ）
A．若f（x）是偶函数，则f（﹣x）是偶函数
B．若f（x）不是奇函数，则f（﹣x）不是奇函数
C．若f（﹣x）是奇函数，则f（x）是奇函数
D．若f（﹣x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数
2．（5分）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（5分）已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为（ ）
A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n∈N，2n＜1000
4．（5分）椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．+=1 B．+=1
C．+=1 D．+=1
5．（5分）若双曲线x2﹣ky2=1的一个焦点是（3，0），则实数k=（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（ ）
A． B． C．a D．b
2 7．（5分）已知f（x）=xα，若f'（﹣1）=﹣4，则α等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5
8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（ ）
A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0
9．（5分）函数f（x）=的单调递减区间是（ ）
A．[0，1] B．[1，+∞） C．[0，e] D．[e，+∞）
10．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
11．（5分）已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=﹣1相切，则此动圆必过定点（ ）
A．（2，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
12．（5分）已知函数，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（ ）
A． B．
C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D．（﹣1，3）
二、本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）命题“若x=5，则x2﹣8x+15=0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数有 个．
14．（5分）已知点（2，3）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．
15．（5分）函数y=f（x）在定义域（﹣，3）内的图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f'（x），则不等式f'（x）≤0的解集为 ．
3
16．（5分）已知p（x）：x2+2x﹣m＞0，且p（1）是假命题，p（2）是真命题，则实数m的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，第17、18题10分，19-21小题各为12分，22题14分.解答应写出文字说明、证明过程和推演步骤．
17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2．求实数a，b的值．
18．（10分）在一次投篮训练中，小明连续投了2次．设命题p是“第一次投中”，命题q是“第二次投中”．
试用p，q以及逻辑联结词“∧，∨，﹁”表示下列命题：
（1）两次都没投中；
（2）两次都投中了；
（3）恰有一次投中；
（4）至少有一次投中；
（5）至多有一次投中．
19．（12分）抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
20．（12分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．
21．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
4 （2）若⊥，求k的值．
22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
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2017-2018学年福建省三明市三地三校高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题“若f（x）是奇函数，则f（﹣x）是奇函数”的否命题是（ ）
A．若f（x）是偶函数，则f（﹣x）是偶函数
B．若f（x）不是奇函数，则f（﹣x）不是奇函数
C．若f（﹣x）是奇函数，则f（x）是奇函数
D．若f（﹣x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数
【分析】用否命题的定义来判断．
【解答】解：否命题是同时否定命题的条件结论，故由否命题的定义可知B项是正确的．
故选B
【点评】本题主要考查否命题的概念，注意否命题与命题否定的区别．
2．（5分）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案．
【解答】解：当“a=1”时，“|a|=1”成立
即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题
但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立
即“|a|=1”时，“a=1”为假命题
故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件
故选A
6 【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键．
3．（5分）已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为（ ）
A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n∈N，2n＜1000
【分析】利用含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定，写出命题的否定．
【解答】解：∵命题p：∃n∈N，2n＞1000，
则￢p为∀n∈N，2n≤1000
故选A
【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定即可．
4．（5分）椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．+=1 B．+=1
C．+=1 D．+=1
【分析】根据椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，可得椭圆的焦点在x轴上，c=5，a=13，从而可求b，即可求出椭圆的方程．
【解答】解：∵椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c=5，a=13，
∴b==12，
∴椭圆的方程为+=1．
7 故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键．
5．（5分）若双曲线x2﹣ky2=1的一个焦点是（3，0），则实数k=（ ）
A． B． C． D．
【分析】化双曲线方程为标准方程，利用隐含条件求得c，结合焦点坐标为（3，0）列式求得k值．
【解答】解：由双曲线x2﹣ky2=1，得，
∵（3，0）是双曲线的一个焦点，可知双曲线为焦点在x轴上的双曲线，
则，
∴=9，
解得：k=．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．
6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（ ）
A． B． C．a D．b
【分析】由于双曲线的焦点在x轴上，所以其右焦点坐标为（c，0），渐近线方程为y=±x，则满足要求的圆的半径为右焦点到渐近线的距离，因此只需根据点到线的距离公式求之即可．
【解答】解：由题意知，圆的半径是右焦点（c，0）到其中一条渐近线的距离，
8 所以R=．
故选D．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，同时考查点到线的距离公式等．
7．（5分）已知f（x）=xα，若f'（﹣1）=﹣4，则α等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5
【分析】求函数导数，建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：函数的导数f′（x）=αxα﹣1，
∵f′（﹣1）=﹣4，
∴f′（﹣1）=α（﹣1）α﹣1=﹣4，
则α=4，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据导数公式建立方程是解决本题的关键．
8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（ ）
A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x处的导数等于切线的斜率，建立等式，求出x的值，从而求出切点坐标，最后将切线方程写出一般式即可．
【解答】解：∵y=2x2 ∴y'=4x，
∵直线4x﹣y+3=0的斜率为4，
由4x=4得x=1，
当x=1时，代入抛物线方程得y=2，
∴切点坐标为（1，2）
∴与直线4x﹣y+3=0的平行的抛物线y=2x2的切线方程是 y﹣2=4（x﹣1）
即4x﹣y﹣2=0
故选C．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查化归与转
