新题库--第九章 第15节：立体几何的综合应用(1)

1 立 体 几 何（1）

1. 如图，ADB和CBD都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，ADa

90.ADBCBD

（I）求异面直线AD、BC所成的角。

（II）设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时？PCD与BCD所在平面成45角；

解：（I）ADBADBDADBCBDADBCBDBDADCBDBCCBD90面面，面面面面ADBC异面直线AD、BC所成角为90。

（II）过点P作PEBD于E，过点E作EFCD于F，连结PF。

面面面面面是在面内射影是二面角的平面角ADBCBDADBCBDBDPEBDPECBDCDEFEFPFCBDCDPFEFCDPFEPCDB45PFE。

设PBx，则在RtPEB中，PEBEx22，DEax22。在RtDFE中，

EFDEax222212，在RtPEF中，axxxaPEEF)22(222122，，。即P、B两点间距离为()22a时，PCD与BCD所在平面成45角。

2. 已知直三棱柱ABCABC111中，ABC90，AB=BC=a，AAAB12，M为CC1上的点。

（1）当M在CC1上的什么位置时，BM1与平面AACC11所成的角为30；

（2）在（1）的条件下求B到平面AMB1的距离。

解：（1）取ACNBNNM111111的中点，连结，，

面面面面面ACCAABCACCAABCACBCABBNACBNACCA111111111111111111111111，则为与面所成的角BMNBMACCA11111。

设，，CMxBNaBMNBNBMaxa1111111122222212sin， 2 解得，则xaCMCC1112，的中点为1CCM。

（2）取BBKMKMKABBA111的中点，连结，则面。过作，连，过作KKSABMSKKHMS1

KHKAMB的长为到面1的距离，由BBBK112，则B到面AMB1的距离为K到面AMB1的距离的2倍。

在中，，，··RtMKSMKaKSaKHKSMKMSaaaa556566

aAMBBaMABK36,6611的距离为到面的距离为到面。

方法二：利用体积相等，VVBAMBaBAMBMABB11163可求得：到面的距离为。

3．如图已知四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°且AB//CD，AB=21CD.

（I）点F在线段PC上运动，且设问当,||||FCPF为何值时，BF//平面PAD？并证明你的结论；

（Ⅱ）二面角F—CD—B为45°，求二面角B—PC—D的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离.

解：（1）当.//,1PADBF平面时取PD中点E，则EF//CD，

且,21//,21CDABCDABCDEF且又∴四边形ABFE为平行四边形.∴BF//AE. 又AE平面PAD

∴BF//平面PAD。

（2）PA平面ABCD，PDAPDCDADCD,,即是二面角的平面角。∵45PDA

PAD为等腰直角三角形，,,,CDAEADCDPDAEAE平面PCD。 又BF//AE，BF平面PCD. BF平面PBC，∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B—PC—D的大小为90°。

（3）在平面PCD内作EH⊥PC于点H，由平面PCD⊥平面PBC，且平面PCD平面PBC=PC知： 3 EH⊥平面PBC.

在17,22CDPDPCPCDRt中；

在23,217,2,,EFPFPEEFPEPFEHPEFRt将中代入得：.17343EH即点E到平面PBC的距离为.17343 又,//,//PBCAEBFAE平面点A到平面PBC的距离为.17343

4．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01.)AEAFACAD

（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

解：（1）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，

∴CD⊥平面ABC.

又)10(ADAFACAE，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.

（2）由（1）知，BE⊥EF，平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴,660tan2,2ABBD ,722BCABAC

由 ,76,76,2ACAEAEACAEAB 故当76时，平面BEF⊥平面ACD.

5． 如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于1B、1C．将11CAB沿11CB折起到111CBA的位置，使点1A在平面CCBB11上的射影恰是线段BC的中点M．求：

（1）二面角MCBA111的大小；

（2）异面直线11BA与1CC所成角的大小（用反三角函数表示）．

解：（Ⅰ）连接AM，A1G，∵G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，∴A，G，M三点共线，AM⊥BC．∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥AM于G，即GM⊥B1C1，GA1⊥B1C1，∴∠A1GM是二面角A1—B1C1—M的平面角．∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M，∴A1M⊥MG，∠A1MG=90°

在Rt△A1GM中，由A1G=AG=2GM得∠A1GM=90°，即二面角A1—B1C1—M的大小是60°。

（Ⅱ）过B1作C1C的平行线交BC于P，则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角．

由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP，PM=BM—BP=,21A1B1=AB1=2．∵A1M⊥面BB1C1C 4 于M，∴A1M⊥BC，∠A1MP=90°，在Rt△A1GM中，A1M=A1G·.2323360sin在Rt△A1MP中，

.25)21()23(2222121PMMAPA在△A1B1P中，由余弦定理得：

8512225122cos22111212121111PBBAPAPBBAPBA，∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小

为arccos.85

6．如图，正三棱锥S—ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：

（Ⅰ）SMAM的值； （Ⅱ）二面角S—BC—A的大小；

（Ⅲ）正三棱锥S—ABC的体积.

解：（Ⅰ）∵SB=SC，AB=AC，M为BC中点，∴SM⊥BC，AM⊥BC.

由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，

即：.23,212213SMAMAMBCSMBC得

（Ⅱ）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，.31AMGM∵SM⊥BC，AM⊥BC，∴∠SMA是二面角S—BC—A的平面角.

在Rt△SGM中，,2333232GMGMAMSM

∴∠SMA=∠SMG=60°，即二面角S—BC—A的大小为60°。

（Ⅲ）∵△ABC的边长是3，

,2332360,23,233GMtgSGGMAM.839234393131SGSVABCABCS

7． 已知正三棱锥ABCP的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为60.

（1）证明：BCPA； （2）求底面中心O到侧面的距离.

解：（1）取BC边的中点D，连接AD、PD，则BCAD，

BCPD，故BC平面APD. ∴ BCPA

（2）如图，由（1）可知平面PBC平面APD，则PDA是侧面与底面所成二面角的平面角. 过点O作EPDOE,为垂足，则OE就是点O到侧面的距离.

设OE为h，由题意可知点O在AD上，∴ 60PDO，hOP2.hBChOD4,32,

∴2234)4(43hhSABC，∵3233823431372hhh，∴ 3h.即底面中心O到侧面的距离为3.

8．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=DCADAA,3,321，AC⊥BD，垂足为E.

（Ⅰ）求证BD⊥A1C； （Ⅱ）求二面角A1—BD—C1的大小； PBCAO 5 （Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小.

解：（Ⅰ）在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，∵A1A⊥底面ABCD，∴AC是A1C在平面ABCD上的射影，∵BD⊥AC， ∴BD⊥A1C.

（Ⅱ）连结A1E，C1E，A1C1.与（Ⅰ）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1二面角A1—BD—C1的平面角.

∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，又A1D1=AD=2，D1C1=DC=23， AA1=3，且AC⊥BD，∴A1C1=4，AE=1，EC=3，∴A1E=2，C1E=23。

在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2， ∴∠A1EC1=90°，即二面角A1—BD—C1的大小为90°.

（Ⅲ）过B作BF//AD交AC于F，连结FC1，则∠C1BF就是AD与BC1所成的角.

∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，∴FC1=15,71BC.

在△BFC1中，,51515227415cos1BFC∴.515arccos1BFC异面直线AD与BC1所成角的大小为515arccos.

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 连结A1E，C1F，A1C1.与（Ⅰ）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1为二面角A1—BD—C1的平面角.11113313333(2,0,3),(0,23,3),(,,0),(,,3),(,,3),222222ACEEAEC由得

111111113930,,.90.44EAECEAECEAECABDC即二面角的大小为

（Ⅲ）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，32，3，），B（3，3，0）

),3,3,3(),0,0,2(1BCAD得

.5151526||||),cos(,15||,2||,611111BCADBCADBCADBCADBCAD∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos515.