【全国百强校首发】四川省双流中学2019届高三2月月考试数学(理)试题(图片版)

四川省双流中学高2019届高考模拟考试（一）数学（文史类）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.设为虚数单位，如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数等于（）.A. B. -1 C. D. 1【答案】B【解析】先对复数进行化简，然后根据条件列出等式，即可得到a值.【详解】（1-ai）=复数的实部和虚部互为相反数，则，解得a=-1．故选：B．【点睛】本题考查复数的乘法运算以及复数的实部及虚部的概念，属于简单题.3.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A. 6500元B. 7000元C. 7500元D. 8000元【答案】D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x＝8000．故选：D．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．4.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】直线与圆有两不同交点，即是直线与圆相交，根据圆心到直线的距离小于半径，即可求出结果.【详解】圆的圆心为，半径为；因为直线与圆有两个不同交点，所以直线与圆相交，因此，圆心到直线的距离，所以，解得；求其充分条件即是求其子集，根据选项易得，只有A符合；故选A【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，几何法是常用的一种作法，属于基础题型.5.已知直线：，直线：，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据直线的垂直，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出．详解：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα=故选：D．点睛：本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式，本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.6.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．详解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1﹣=1﹣π，故选：A．点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积.7.已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则（）.A. -7B. -9C. -11D. -13【答案】C【解析】【分析】由x＞0时，函数f（x）的图象与函数y＝log2x的图象关于y＝x对称可得出，x＞0时，f（x）＝2x，从而得出x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，再根据g （x ）是奇函数即可求出g （﹣1）+g （﹣2）的值．【详解】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称；∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11．故选：C ．【点睛】考查奇函数的定义，以及互为反函数的两函数图象关于直线y ＝x 对称，指数函数和对数函数互为反函数的应用，属于中档题．8.函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】B 【解析】【分析】根据图象求出的值，再由“左加右减”法则，判断出函数图象平移的方向和单位长度，即可得到答案．【详解】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故，又函数的图象的第二个点是，，所以，所以，故所以只需将函数的图形要向右平移个单位，即可得到的图象，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角函数的函数图象，其中解答中根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题．9.已知，则的大小关系是（ ）.A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可知，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，其中解答中合理利用指数函数与对数函数的性质是解答关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可知该几何体是一个四棱锥且该四棱锥的外接球是所对应长方体的外接球，由求得球的半径，从而得到球的表面积.【详解】根据几何体的三视图，可知该几何体是一个四棱锥如图：该四棱锥的外接球是所对应长方体的外接球且长方体的长宽高分别为2，2,2故几何体的外接球半径R满足：4R2=4+4+12=20，解得：，故：S=，故选：A．【点睛】本题考查棱锥外接球表面积的求法，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用（a,b,c为三棱的长）；②若面ABC（SA=a），则（r为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球.11.已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得直线恒过定点且为圆的圆心，由可得圆的圆心为、两点中点，设而不求，用点差法计算结果【详解】直线：，即直线恒过定点直线过圆的圆心，的圆心为、两点中点设，上下相减可得：化简可得故选【点睛】本题较为综合，考查了直线与圆锥曲线的交点问题，覆盖的知识点较多：直线恒过定点，向量的几何意义，设而不求，点差法计算，椭圆离心率的求解，有一定难度，需要理解题意，灵活运用解题方法12.若函数在区间上，对，为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以在单调递减，单调递增，，，则只需，函数就是“三角形函数”，所以，解得，故选D。

四川省双流中学2016届高三2月月考数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合{| lg(1)0}A x x =-≤，={|13}B x x -≤≤，则A B ⋂=（ ） A ．[1,3]- B ．[1,2]- C ．1,3]（ D ．1,2]（2．复数z 满足1+)||i z i =-（，则=z （ ）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1+i -3．设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=（ ）A B C ． D ．104．一个几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为（ ）A +π8）B 2)π+C +2π8）D +π6）5．阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．116.已知,,l m n 为三条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,则下列判断正确的是（ ） A.若//,//m n αα,则//m n B.若,//,m n αβαβ⊥⊥,则m n ⊥ C.若,//,//l m m αβαβ=,则//m l D.若,,,m n l m l n αβαγ==⊥⊥,则l α⊥7.已知点P(,)x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 是圆22C :2y 0x y +-=的一条切线，A 为切点， 若PA 长度的最小值为2，则k 的值为（ ）D.28．设k 是一个正整数，1+)k x k （的展开式中第四项的系数为116，记函数y =14y kx =的图象所围成的阴影部分为S ，任取[0,4]x ∈， [0,4]y ∈，则点)x y （，恰好落在阴影区域S 内的概率是（ ）A ．4πB ．12C ．14π-D ．142π-9．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足 ||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） ABC1 D110.已知函数3||,03()cos(),393log x x f x x x π<<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩.若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，当1234x x x x <<<时，满足 1234()()()()f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围是（ ）A ．2974（，）B ．135214（，）C ．[27，30）D ．135274（，）第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11．已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为 .12．已知不等式组002x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的区域为D ，(,)M x y 是区域D 内的点，点(12)A -，，则z OA OM =的最大值为 . 13.若实数(0,0)a b >>，且12=1a b +，则当28a b +的最小值为m ，函数()||1mx f x e lnx -=-的零点个数 为 .14.在“心连心”活动中，5名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访，每个村子至少安排1名党 员参加，且,A B 两名党员必须在同一个村子的不同分配方法的总数为 . 15．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：()()()1x y f x f y f xy --=-，当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，且1()12f -=．设 2111()()()2,*5111m f f f n n n n =+++∈+-N ≥，则实数m 与－1的大小关系是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（本小题满分12分）在数列{}n a 中,*1111,,.22n n n a a a n N n ++==∈ （1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和.17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知函数()sin(2)6f x x π=-满足：对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立．（1）求角A 的大小；（2）若a =BC 边上的中线AM 长的取值范围．18．（本小题满分12分）某品牌汽车的4S 店对最近60位采用分期付款的购车者人数进行统计，统计结果如下表所示：已知分4期付款的频率为6，并且4S 店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款其利润为1万元，分2期 或3期付款其利润为2万元，分4期付款其利润为3万元，以频率作为概率. （1）求事件A “购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率； （2）用X 表示销售一两该品牌汽车的利润，求X 的分布列及数学期望()E X .19．（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中,12AB BC CA AA ====,侧棱1AA ⊥平面ABC ，且D ,E 分别是棱11A B ,1AA 的中点,点F 在棱AB 上,且14AF AB =. （1）求证：||EF 平面1BDC ； （2）求二面角1E BC D --的余弦值.20．（本小题满分13分）已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（1）求椭圆方程,并求当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长； （2）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.21．(本小题满分14分)(第19题图)已知函数2()(sin 2)x f x e x ax a e =-+-，其中a R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当112a ≤≤时，求证：对任意的[0,)x ∈+∞，()0f x <.：。

2018年秋四川省棠湖中学高三期末考试数学（理）试题第I卷（选择题）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合，Z为整数集，则中元素的个数是A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】试题分析：由题意，，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.2.设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A. －15x4B. 15x4C. －20i x4D. 20i x4【答案】A【解析】试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选D.【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象．4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.312【答案】A【解析】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．考点：次独立重复试验．5.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )A. 144个B. 120个C. 96D. 72个【答案】B【解析】【分析】由题意利用加法原理求解满足题意的偶数的个数即可.【详解】由题意可知：4开头的满足题意的偶数的个数为：，5开头的满足题意的偶数的个数为：，结合加法原理可得，比40000大的偶数共有.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查排列组合公式的应用，加法原理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则( )A. 20B. 15C. 9D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意首先表示出向量，，然后求解向量的数量积即可.【详解】由题意易知点M是靠近C点的一个四等分点，点N是靠近C点的一个三等分点，则，，则.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数量积的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合诱导公式和二倍角公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：，结合二倍角公式有：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查诱导公式的应用，二倍角公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用待定系数法求解双曲线方程即可.【详解】不妨设点A位于第一象限，易知，，渐近线方程为，结合题意有：，解得：，则双曲线的方程为.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，待定系数法求解双曲线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10.已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．考点：函数的周期性和奇偶性．11.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.12.已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为( )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先设出切点坐标，然后结合题意得到关于a的等式即可确定的解析式的一个可能值.【详解】由可得，由可得，设公切线在上的切点坐标为，在上的切点坐标为，利用导函数研究函数切线的性质可得：，整理可得：，①结合斜率公式有：，②将①代入②中整理可得：，则的解析式可能为.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程，切线的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第II卷（非选择题）二．填空题.13.=______.【答案】【解析】 【分析】由题意逆用二倍角公式求解三角函数式的值即可. 【详解】由题意可得原式.【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若,满足约束条件则的最大值 ．【答案】 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法 15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．16.在底面是正方形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则四棱锥的外接球的表面积为____．【答案】【解析】如图：,建立以AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴的空间直角坐标系，则，因为E.F.K.C四点共面，所以,故四棱锥K-ABCD的外接球球心在过正方形ABCD的中心且垂直ABCD与KA成都相等的线段的中点处，故外接球半径为：故四棱锥的外接球的表面积为点睛：本题关键是要找到K的位置，可根据四点共面的向量结论来求得K的位置从而可以确定四棱锥的外接球球心的位置，进而得出半径求出表面积三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值【答案】（Ⅰ）B=（Ⅱ）b，【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理首先求得tanB的值，然后确定∠B的大小即可；(Ⅱ)由题意结合余弦定理和两角和差正余弦公式求解b和的值即可.【详解】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）解在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先确定X可能的值，然后求解其分布列和数学期望即可；(Ⅱ)由题意，利用独立事件概率公式求得满足题意的概率值即可.【详解】（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望．（Ⅱ）设Y表示第1辆车遇到红灯的个数，Z表示第2辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为．所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【点睛】本题主要考查随机变量及其分布列的计算，独立事件概率公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边，，，，是中点，点在线段上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）试确定点的位置，使直线与平面所成角和直线与平面所成角相等.【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】试题分析：(1)利用题意证得平面，然后利用线面垂直的定义得(2)建立空间直角坐标系，,利用题意得到关于的方程，求解方程即可求得.试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，连接，因为，，，由余弦定理得，得，所以，即，又，所以，又，，所以，，所以平面，所以．（Ⅱ）侧面底面，，所以底面，所以直线两两互相垂直，以为原点，直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，，，设，则，，所以，易得平面的法向量．设平面的法向量为，由，，得，令，得．因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，即，解得，所以．点睛：利用已知的面面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．20.已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．【答案】（1）抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－；（2）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明.试题解析：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.所以抛物线C的方程为.抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.由，得.则，.因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线段BM的中点.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.21.已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由题设有，因为有两个极值点且，所以有两个不同解为，故，结合题设有，从而得到.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，又，从而，其中，利用导数可以求出该函数的值域.详解：（Ⅰ），由题意知即为方程的两个根.由韦达定理：，所以且.令，则由可得，解得.（Ⅱ），∵，∴，由（Ⅰ）知，代入得，令，于是可得，故∴在上单调递减，∴.点睛：（1）因为函数在上导数是存在的，所以函数的极值点即为导数的零点，也是对应的一元二次方程的根，利用根分布就可以求出参数的取值范围.（2）复杂的多元函数的最值问题可以先消元处理，再利用导数分析函数的单调性从而求出函数的值域.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，M为不等式的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b时，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．试题解析：（I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而，因此【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．。

2019届下学期四川省双流中学高三4月月考理科数学试卷（附答案）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在．．．．．．答题卷上．．．．） 1．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(3)x i i y i +=-，则x yi -=（ ） A ．4 B ．3 CD2．已知集合2{|40}A x N x x =∈-≤，集合2{|20}B x x x a =++=，若{0,1,2,3,4,3}A B =-，则A B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1}C ．{3}-D ．∅ 3．函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移3π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π4．若tan 24πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A ．3-B ．3C ．34-D ．345．已知132a -=，21log 3b =，131log 4c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >> 6．()()62221x x --的展开式中4x 的系数是（ ）A ．48B ．48-C ．432-D ．432 7．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π8．已知直线:l y m =+与圆22:(3)6C x y +-=相交于A ，B 两点，若120ACB ∠=︒， 则实数m 的值为（ ）A ．3或3-B ．3+或3-C ．9或3-D ．8或2-9．已知函数()sin()sin()62f x x x ππωω=+++（0ω>），且()03f π=，当ω取最小值时，以下命题中假命题是（ ） A ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称B ．6x π=-是函数()f x 的一个零点C ．函数()f x 的图象可由()2g x x =的图象向左平移3π个单位得到D ．函数()f x 在[0,]12π上是增函数10．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =，E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ）ABCD11．已知函数533()25sin 5f x x x x =++，若[2,2]x ∃∈-，使得2()()0f x x f x k ++-=成立， 则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1,3]-B ．[0,3]C ．(,3]-∞D ．[0,)+∞12．如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令1AF BF λ=，2BC BF λ=，则当3πα=时，12λλ+的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．已知实数x ，y 满足条件2300x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则23x y -的最大值为 ．14．已知{}n a 是等比数列,若)2,(2a a =，)3,(3a b =,且a ∥b ,则2435+a a a a =+ ．15．已知3sin()35πα-=，(,)42ππα∈，则tan α= ．16．已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点， 点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F ∆的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F ∆的面积为8时，a 的最小值为 ．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．）17．(12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且222a c b +=，32a b =． （1）求sin C 的值；（2）若6b =，求ABC ∆的面积．18．(12分)随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为y bx a =+，其中()()()121n iiinii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．19．(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，60DAB ∠=，90ADP ∠=，面ADP ⊥面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（1）在棱AB 上是否存在一点E ，使得//AF 面PCE ，并说明理由； （2）当二面角D FC B --的余弦值为14时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．20．(12分)已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左右顶点分别为1A ，2A ，左右焦点为分别为1F ，2F ，焦距为2，离心率为21． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若P 为椭圆上一动点，直线1l 过点1A 且与x 轴垂直，M 为直线P A 2与1l 的交点，N 为直线P A 1与直线2MF 的交点，求证：点N 在一个定圆上．21．(12分)已知函数()x f x e =，2()2ag x x x =--，（其中a R ∈，e 为自然对数的底数，2.71828e =……）．（1）令'()()()h x f x g x =+，若()0h x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，设m 为整数，且对于任意正整数n ，1()nn i im n=<∑，求m 的最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．(10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数）ααα(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x ．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为3sin =θρ． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设1C 和2C 交点的交点为A ，B ，求AOB ∆的面积．23．(10分)【选修4-5：不等式选讲】 已知函数2()2f x x =-，()g x x a =-． （1）若1a =，解不等式()()3f x g x +≥；（2）若不等式()()f x g x >至少有一个负数解，求实数a 的取值范围．理 科 数 学 答 案一、选择题．1-5：DBADD 6-10：BCACC 11-12：AB二、填空题．13．6 14．3215．1132548+- 16．4三、简答题．17．解：（1）由，得出，由及正弦定理可得出：，所以，再由知，所以为锐角，，所以．（2）由及可得出，所以．18．解：（1）由题意： 3.5x =，16y =，()()6135i i i x x y y =--=∑，()62117.5i i x x =-=∑，35217.5b ==，162 3.59a y b x =-⋅=-⨯=，∴29y x =+， 7x =时，27923y =⨯+=．即预测M 公司2017年4月份(即7x =时)的市场占有率为23%．（2）由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.2、0.35、0.35、0.1，∴每辆A 款车的利润数学期望为()()()()50010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)， 每辆B 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴每辆B 款车的利润数学利润为()()()()50012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元) ∵175150>，∴应该采购A 款车．19．解：（1）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =，所以四边形AEQF 为平行四边形，所以//AF EQ ， 又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以//AF 平面PCE ．（2）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥， 又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且面ADP ⊥面ABCD ，面ADP 面ABCD AD =，所以PD ⊥面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间坐标系，设FD a =，则由题意知(0,0,0)D ，(0,0,)F a ，(0,2,0)C，B ， (0,2,)FC a =-，(3,1,0)CB =-，设平面FBC 的法向量为(,,)m x y z =，则由00m FC m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得200y az y -=⎧⎪-=， 令1x=，则y =z =，所以取1,3,m ⎛= ⎝， 显然可取平面DFC 的法向量(1,0,0)n =， 由题意：1cos ,4m n =<>=，所以1a =．由于PD ⊥面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 易知在Rt PBD ∆中tan 1PDPBD BD∠==，从而45PBD ∠=，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为45．20．解:（1） 21,22==e c ，3,2==∴b a ，C ∴的方程13422=+∴y x ．（2）设点),(y x N ，()11,y x P ()221<<-x ,则1342121=+y x ,即3442121-=-x y ，,2:1-=x l 直线P A 2的方程:()2211--=x x y y ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴24-,211x y M ,又2111+=x y k P A , ∴直线P A 1的方程为)1()2(211 ++=x x y y ∴)2(34112-=x y k MF ，∴直线2MF 的方程为)2()1()2(3411 --=x x y y 由(1),(2)得：)1)(2()4(3421212-+-=x x x y y ∴)1)(2(2-+-=x x y ，即0222=-++x y x ， 所以，点N 在定圆上．21．解：（1）因为，所以，由对任意的恒成立，即，由，①当时，，的单调递增区间为，所以时，，所以不满足题意．②当时，由，得，时，，时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最小值为．设，所以，①因为，令得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，②由①②得，则．（2）由（1）知，即，令（，）则，所以，所以，所以，又，所以的最小值为．22．解：（1）曲线1C 的参数方程为为参数）ααα(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x ， 消去参数的1C 的直角坐标方程为0422=+-y x x ，所以1C 的极坐标方程为θρcos 4=．（2）解方程组⎩⎨⎧==3sin cos 4θρθρ，有3cos sin 4=θθ，得232sin =θ， ∴)(62Z k k ∈+=ππθ或)(32Z k k ∈+=ππθ， 当)(62Z k k ∈+=ππθ时，32=ρ， 当)(32Z k k ∈+=ππθ时，2=ρ，∴1C 和2C 交点的极坐标))(322()6232(Z k k B k A ∈++ππππ，、，， ∴36sin 23221sin 21=⋅⋅=∠=∆πAOB BO AO S AOB ， 故AOB ∆的面积3．23．解：。