高考数学百大经典例题——棱锥(新课标)

棱锥知识要点1．理解棱锥的有关概念，掌握棱锥的性质，以及棱锥的平行于底面的截面的性质定理。

会画正棱锥的直观图。

能根据棱锥的侧面展开图，推导并掌握正棱锥的侧面积计算公式。

运用前面所学知识，分析、论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算。

2．关于棱锥的截面，主要掌握平行于底的截面．平行于底面的截面与底面相似，面积比等于所截得的棱锥与原棱锥对应高的平方比．面积比还等于所截得的棱锥与原棱锥对应侧棱的平方比。

3．棱锥的侧面积是侧面各三角形的面积和。

棱锥全面积等于侧面积与底面积的和。

计算时应根据侧面展开图的图形求出。

4．棱锥的体积公式为：V棱锥＝·Sh。

(S为底面积，h为棱锥的高)。

典型题目例1．若正四棱锥的底面边长是a，斜高是h，则它的侧棱长为________，高为_____。

分析：由正棱锥的性质可以知道：它的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；它的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形，本题已知斜高、求侧棱长和高，只要找到它们在底面的射影即可。

解：如图所示，正四棱锥P-ABCD中，正方形ABCD的边长AB=a, 斜高PE=h，作PO⊥面ABCD，则PO与面ABCD的交点O是底面正方形的中心，连结OE，∵AB=a, PE=h, ∴OE=a,∴在RtΔPOE中，PO=，∴PO=。

连结OB，在RtΔPOB中，PO=，OB=a,∴PB=。

故棱锥的侧棱长为，高为。

点评：利用正棱锥中的几个直角三角形各边之间的关系，寻找解题途径，往往事半功倍。

例2．如图所示，平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB=BC=CD，将ΔABC沿AC折起，使二面角B-AC-D为直二面角。

（1）求证：AB⊥平面BCD；（2）求二面角B-AD-C的大小。

分析：作出点B在平面ACD上的射影E并且证E是AC中点。

（1）证明：过B作BE⊥AC，垂足是E。

∵二面角B-AC-D是直二面角。

∴BE⊥平面ACD，AC是AB在平面ACD上的射影，又AC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD。

专题09 棱柱、棱锥与球的组合体问题专题概述球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．典型例题【例1】（2020•吉林模拟）如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且1AD =，2PD =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为( )A ．9πB ．10πC ．12πD ．14π【分析】结合已知构造直三棱柱PAB MNC -，则直三棱柱PAB MNC -的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求． 【解答】解：由题意可知，PD ⊥平面ABC ， 所以平面PAB ⊥平面ABC ， 又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面PAB ，构造直三棱柱PAB MNC -，则直三棱柱PAB MNC -的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，PAB ∆中，由正弦定理可得，2sin4r ==，故R =，故144144S ππ=⨯= 故选：D ．【例2】（2020•2月份模拟）已知直三棱柱111ABC A B C -，的各顶点都在球O 的球面上，且2AB AC ==，BC =，若球O ，则这个直三棱柱的体积等于( )A ．B ．C ．8D ．【分析】设球O 的半径为R ，利用球的体积计算公式可得半径R ．由2AB AC ==，BC =，可得120BAC ∠=︒．ABC S ∆．ABC ∆外接圆的半径2r =，可得r ．设球心到底面的距离为h ，则h =【解答】解：设球O 的半径为R ，球O ，∴343R π，解得R =．2AB AC ==，BC =，260120BAC ∴∠=⨯︒=︒．212sin1202ABC S ∆=⨯⨯︒ABC ∴∆外接圆的半径24r ==，可得2r =．设球心到底面的距离为h ，则4h ==．∴这个直三棱柱的体积2h ==故选：B ．【例3】（2019•邯郸一模）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，F 为棱11B C 上一点，且F 到直线1A B 与1CC 的距离相等，四面体11A BB F 的每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．414πC ．9πD ．334π【分析】设1B F t =，1A B 中点为E ，利用直角三角形1EB F 列方程求得t ，再结合长方体外接球直径为其体对角线长即可得解．【解答】解：设1B F t =，1A B 中点为E ， 则12FC t FE =-=，1B 到直线1A B ，∴1B E =在Rt △1B EF 中可得22211B F B E FE +=， 222(2)t t ∴+=-，解得12t =，∴， ∴33334164S ππ=⨯=球． 故选：D ．【变式训练】（2020•3月份模拟）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，5PA BC ==，PB AC ==PC AB ==O 的表面积为 ．【分析】由题意可得此三棱锥的对棱相等，放在长方体中，可得长方体的长宽高的平方和，再由外接球的直径等于长方体的对角线求出半径，进而求出球的表面积． 【解答】解：如图所示，将三棱锥P ABC -补成长方体． 球O 为长方体的外接球，长、宽、高分别为a ，b ，c ，则2225a b +=，2220b c +=，2215a c +=， 所以22230a b c ++=，所以球O 的半径R ，则球O 的表面积为224430S R πππ===． 故答案为：30π．专题强化1．（2020•3月份模拟）已知在四面体ABCD 中，2AB AD BC CD BD =====，平面ABD ⊥平面BDC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．203πB ．6πC ．223πD ．8π【分析】如图：由题意可知，三角形ABD 与三角形CBD 是全等的等边三角形，取BD 的中点H ，则三角形ACH 是等腰直角三角形，且整个四面体关于该三角形所在平面对称，所以球心必在该三角形的斜边上的中线上，然后设OH x =，分别在三角形AHO ，三角形DHO 中将OA 、OD 表示出来，利用它们相等列方程求出x ，问题即可解决．【解答】解：如图取BD 中点H ，AC 中点M ，连接MH 因为2AB AD BC CD BD =====，平面ABD ⊥平面BDC所以BD CH ⊥，BD AH ⊥，则BD ⊥面ACH ，三角形ACH 是等腰直角三角形．所以MH AC ⊥，所以45AHM ∠=︒，AH ，所以球心必落在直线MH 上，设为点O ，连接OA 、OD ，则OA OD OC OB ===． 设MH x =，在三角形OHD 中，1HD =，所以221MD x =+在三角形AMH 中，22cos 45OA x =+-︒所以221cos 45x x +=+-︒，解得x =，所以2253R MD ==故外接球的表面积22043S R ππ== 故选：A ．2．（2020•全国一模）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ．剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA ，OB 重合，则以A （B ）C ，D ，O 为顶点的四面体的外接球的体积为( )A ．B ．24πC D ．48π【分析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为O ACD -，由此能求出以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积．【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为O ACD -，如图， 取CD 中点E ，连结AE ，作OF ⊥平面ABC ，交AE 于F ，则F 是ACD ∆的重心，由题意知AE ==，23AE AF ==，OF ==， 设G 为四面体的外接球的球心、球半径为R ，则G 在直线OF 上， 且OG AG R ==，∴由222AG AF GF =+，得：222(R R =+，解得R∴以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为343V R π==．故选：A ．3．（2020•绥阳县一模）已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为( ) A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π【分析】根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解． 【解答】解：设D 点到平面ABC 的距离为h ，因为O 是CD 中点， 所以O 到平面ABC 的距离为2h ，三棱锥D ABC -的体积11122sin 602332ABC V S h h ∆==⨯⨯⨯︒=，解得2h =作OO '⊥平面ABC ，垂足O '为ABC ∆的外心，所以CO '=，且2hOO '==所以在Rt △CO O '中，OC =，此为球的半径， 213524433S R πππ∴===． 故选：A ．4．（2020•3月份模拟）在三棱锥PABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，2AB =，1BC =，PB =45PBC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积是( )A ．16πB ．14πC ．20πD ．22π【分析】由题意画出图形，找出多面体外接球的球心，求解三角形可得多面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：如图，取AC 中点E ，则E 为三角形ABC 的外心，在三角形PBC 中，由1BC =，PB =45PBC ∠=︒，由余弦定理可得PC =， 设PBC ∆的外心为F ，分别过E ，F 作底面ABC 与侧面PBC 的垂线，相交于O ， 则O 为三棱锥P ABC -外接球的球心， 112OF DE AB ===，设PBC ∆外接圆的半径为r2r =，即r =∴三棱锥P ABC -外接球的半径满足222257122R OB OF BF ==+=+=， ∴三棱锥P ABC -外接球的表面积是2744142R πππ⨯=⨯=． 故选：B ．5．（2019秋•全国月考）已知三棱锥A BCD -满足AB CD ==10AC BD ==，AD BC ==，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为( ) A ．116πB ．128πC ．132πD ．156π【分析】可将此三棱锥置于一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体中，借助于长方体体对角线与球直径的关系即可求解．【解答】解：三棱锥A BCD -的对棱相等，可将此三棱锥置于一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体中，则2222225280100x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得，222116x y z ++=， 故所求外接球的表面积2224(116x y S ππ+==． 故选：A ．6．（2018秋•全国期末）已知某正三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为，则该三棱柱侧面积的最大值为( ) A ．12B ．18C ．24D ．36【分析】根据题给条件建立等式，结合均值不等式与勾股定理，得出最值．【解答】解：设底面正三角形的棱长为a ，球心O 到底面的距离为h ，则棱柱的高为2h ，设球的半径为R ，则24R π=，解得2R =设底面正三角形外接圆半径为r ，则由正弦定理，得2sin 60ar =︒，解得r 所以，由勾股定理及均值不等式，得222h r R +=，所以22233a h h +=h =时等号成立， 解得3ah ，设侧面积为S ，则23618S a h ah ==． 故选：B ．7．（2019•新课标Ⅰ）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为() A ．B ．C ．D【分析】由题意画出图形，证明三棱锥P ABC -为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O 的体积．【解答】解：如图，由PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，可知三棱锥P ABC -为正三棱锥， 则顶点P 在底面的射影1O 为底面三角形的中心，连接1BO 并延长，交AC 于G ， 则AC BG ⊥，又1PO AC ⊥，11PO BG O =，可得AC ⊥平面PBG ，则PB AC ⊥，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，//EF PB ∴，又90CEF ∠=︒，即EF CE ⊥，PB CE ∴⊥，得PB ⊥平面PAC ， ∴正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D =，则球O 的体积为343π⨯=． 故选：D ．8．（2019•全国四模）在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC ∆为正三角形，AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为( )A ．14B ．7C ．14D ．12【分析】根据球的对称性找到球心O 的位置，计算球的半径，在等腰三角形OBD 中计算O 到BD 的距离． 【解答】解：设等边ABC ∆的中心为M ，N 为AB 的中点，E 为BD 的中点，过M 作平面ABC 的垂线，在垂线上取一点O ，使得12OM DA ==， 则O 为四棱锥外接球的球心，故OE BD ⊥． 2232CN BC BN =-，213BM CM CN ∴===，OB OD ∴=，BD AD ==12DE BD ∴==．12OE∴．故选：D．9．（2020•4月份模拟）已知三棱锥A BCD-中，平面ABD⊥平面BCD，BC CD⊥，2BC CD==，AB AD==A BCD-的外接球的体积为．【分析】根据四棱锥的性质可先求出球心的位置，然后根据勾股定理可求半径R，然后代入球的体积公式可求．【解答】解：AB AD=，取BD中点E，则AE BD⊥平面ABD⊥平面BCD，则AE BD⊥，故AE⊥平面BCD，则球心O在AE上，且BD=，EB=，2AE=，设外接球的半径R，则222OB OE EB=+，222(2)R R∴=+-，解可得，32R=，334439()3322RVππ==⨯=．10．（2020•全国II 卷模拟）已知高为的直三棱柱ABC 一111A B C ，的各个顶点都在同一球面上，若24AB BC ==，60ABC ∠=︒．则球的体积为 ．【分析】结合直三棱柱的性质及球的性质求出球的半径，然后根据体积公式即可求解．【解答】解：因为24AB BC ==，60ABC ∠=︒．所以90ACB ∠=︒，ABC ∆外接圆半径为2，则球的半径3R ==，球的体积34363R V ππ==． 故答案为：36π11．（2020•3月份模拟）已知等边三角形ABC 的三个顶点都在以点O 为球心、2为半径的球面上．若三棱锥O ABC -的高为1，则三棱锥O ABC -的体积为 ．【分析】由题意画出图形，求解三角形可得正三棱锥O ABC -的底面边长，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：设正三角形ABC 的中心为G ，连接OG ，OC ，GC ，则GC 为ABC ∆的外接圆半径，OG ⊥平面ABC ，球O 的半径为2R =， 又球心O 到平面ABC 的距离为1，即1OG =．在Rt OCG ∆中，2OC R ==，GC ；在ABC ∆中，由正弦定理可得2sin AB GC ACB=∠，则3AB =． 11133(sin )332O ABC ABC V S OG AB AC ACB OG -∆∴==∠=，．12．（2020春•柳东新区校级月考）已知三棱锥P ABC -中，PAB ∆是面积为4ACB π∠=，则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ．【分析】首先确定面CAB ⊥面PAB 时，C 到平面PAB 的距离最大，找出CAB ∆，PAB ∆的外心，然后找出球心，求出外接球的半径．【解答】解：面CAB ⊥面PAB 时，C 到平面PAB 的距离最大，设D ，E 分别为PAB ∆，ACB ∆的外心，并过D ，E 做两个三角形所在的平面的垂线，两条垂线交于O ， 则O 为三棱锥的外接球的球心，AO 即为球的半径，；因为PAB ∆是面积为所以4AB =，在ABC ∆，4ACB π∠=，则90AEB ∠=︒ 由正弦定理可得：2sin AB AE ACB=∠，故AE EB EC ===AB 的中点F ， 则1132333OE DF PF AB ====，故OA 所以外接球的表面积211243S R ππ==， 故答案为：1123π．13．（2020•全国模拟）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，AC =，1BC =，cos ACB ACB ∠=∠，2AD =，则球O 的表面积为 ．【分析】由题意画出图形，分别设出三角形ABC 与ADC 的外接圆的圆心，作垂线找到三棱锥外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：如图：由cos ACB ACB ∠∠，可得tan ACB ∠30ACB ∠=︒． 在ABC ∆中，3AC =1BC =，30ACB ∠=︒，1AB ∴==． 则ABC ∆为等腰三角形，设ABC ∆的外心为G ，连接BG 交AC 于E ，由正弦定理求得1BG =，求解三角形可得12BE =，则12EG =． 取CD 中点F ，则F 为三角形ACD 的外心，过F 作平面ACD 的垂线，过G 作平面ABC 的垂线，两垂线相交于O ，则O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，其半径R ===∴球O 的表面积为248ππ⨯=． 故答案为：8π．14．（2019秋•全国月考）在ABC ∆中，6AB AC ==，4BC =，AD 是BC 边上的中线，将ABD ∆沿AD 折起，使二面角C AD B --等于120︒，则四面体ABCD 外接球的体积为 ．【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD 及底面外接圆的半径，再由三棱锥的外接球的球心为过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，求出外接球的半径，进而求出外接球的体积．【解答】解：因为AB AC =，D 为CB 的中点，所以AD BC ⊥，在折起的过程中，AD BD ⊥，AD CD ⊥，BD CD D =，所以AD ⊥面BDC ，因为二面角C AD B --等于120︒，所以120BDC ∠=︒，且122BD CD BC ===，AD =在三角形BDC 中可得1801202cos 2BC BD ︒-︒== 设底面三角形BCD 的外接圆的半径为r ，则2sin120BC r =︒，所以2r =， 三棱锥的外接球的球心为过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，设外接球的半径为R ， 则222()48122AD R r =+=+=，所以R =所以外接球的体积343V R π==，故答案为：．15．（2019秋•全国月考）已知三棱锥P ABC -的外接球表面积为16π，290PAB PAC ABC ACP ∠=∠=∠=∠=︒，则三棱锥P ABC -体积的最大值为 ．【分析】求出外接球的半径2R =，记三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，设PA AC x ==，在Rt OAM ∆中，解得x =PA =【解答】解：依题意，2416R ππ=，解得2R =，记三棱锥P ABC -外接球的球心为O ， AC 的中点为M ，其中O 即为PC 的中点，则12OM PA =，则2OA =． 设PA AC x ==，在Rt OAM ∆中，由勾股定理可得，222OM AM OA +=，即22444x x +=，解得x =PA = 因为AB BC ⊥，故AC 为ABC ∆所在截面圆的直径，故当B 为半圆AC 的中点时，ABC ∆的面积取得最大值122⨯=，则三棱锥P ABC -体积的最大值为123⨯⨯=故答案为：3．。

例1下列命题中，成立的是[ ] A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥；B．四面体一定是三棱锥；C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这棱锥一定是正棱锥；D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥．解：应该选(B)．(A)是错误的，只要将底面全等的两个棱锥，把底面重合在一起所得多面体每个面都是三角形，不是个棱锥．(B)是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必须是个三棱锥．(C)棱锥的侧面是全等等腰三角形，当底面不是三角形时，侧面的全等等腰三角形，腰必须共顶点，方可证得底面是正多边形，而且顶点在底面内射影为正多边形中心．但是三棱锥的侧面是全等等腰三角形但不是正三棱锥，如图．(D)也是错的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，但不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥．评注：1．本题考查正棱锥的概念、棱锥的概念以及四面体与三棱锥的等价性．2．命题的成立要考虑一切情况，应注意特殊情况的例外，就像(C)．3．性质定理的逆命题不一定成立，若成立才能成为判定定理，否则是假命题如(A)．4．(D)中侧棱相等，底面一定有外接圆，且顶点在底面内射影为外接圆的圆心．但是底面有外接圆，若高不过其圆心，侧棱不等．本题中高过底面外接圆圆心，而底面也有内切圆，但是圆心不一定重合，不重合时底面不是正多边形，也不是正棱锥．例2下列命题，真命题的个数是[ ](1)两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥．(2)两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥．(3)侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥．(4)侧面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥．A．3个B．2个C．1个D．0个分析：对照定义，构造反例．解：如图所示，S－ABC是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等．在SB，SC上分别取异于B，C的点B1，C1，连AB1，AC1，则三棱锥S－AB1C1均满足命题(1)、(2)的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题(1)、命题(2)为假命题．命题(3)中，侧棱与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心．外心不一定是中心，所以底面不一定是正多边形，因此命题(3)也是假命题．在命题(4)中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，所以命题(4)也是假命题．因此选择答案D．例3SC=c，求三棱锥的体积．分析：选择△SBC作底面，使底面积和高都易于计算．解：同理AS⊥SC，∴AS⊥平面SBC．评注：1．本题是利用三棱锥为四面体，无论哪个面作为底面都是三棱锥的性质计算其体积．2．遇到三棱锥求体积，应分析条件，选择适当的面作底面，使底面积和高都易于计算，本题选择△SBC为底面，SA就是高，这样可以直接计算了．若三条侧棱两两垂直，其长分别为a、b、c的三棱锥，不论选择哪个侧面作底面都方便，就是不能用原底面，否则高还需作出，底面面积还不易求．例4三棱锥的一条棱长为4，其余各棱长均为3，求它的体积．分析：求高和底面积→求体积．解1：如图，设三棱锥P－ABC中BC=4，其余棱长均为3，作PO⊥底面ABC于O．∵PA=PB=PC=3，∴O为△ABC的外心．延长AO交BC于D，则AD⊥BC解2由解1所设，有BC⊥平面PAD．∴V P-ABC=V B-PAD＋V C-PAD评注：用体积分割法，我们不难证明：若四面体ABCD中，过AB的截面ABE⊥CD例5如图，设正三棱锥S－ABC的每一条棱长均为3，若AD=1，AE=2，求三棱锥A －CDE的体积与三棱锥S－ABC的体积的比．分析：分别求出两个三棱锥的体积，再求体积的比．显然，三棱锥S－ABC的体积很好求，关键是要想方设法求出三棱锥A－CDE的体积，求△CDE的面积，再求A点到平面CDE的距离，但比较困难．于是想到重新选择底面．求△ACD的面积，再求E点到平面ACD的距离．这明显要简单些，因△ACD从这里我们发现，能否不求出体积而直接求出其体积之比呢？选择公共的顶点C解法1：解法2：评注：认识三棱锥时，不要认为三棱锥的底面总是水平放置，高总是竖直放置的．三棱锥的题型之所以比较“活泼”，其主要原因就是它的任何一个面都可以看作是它的底，因而善于从不同角度去观察几何体，选择适当的底面，常常会给我们解决问题带来方便．对于锥体，同底或等底面积的两个锥体的体积之比等于它们高的比，同高或等高的两个锥体的体积的比等于它们面积的比．一般地，在三棱锥P－ABC中，A1，B1，C1是三条侧棱上的点，则有证明设∠APB=α，作CH⊥面PAB，H为垂足．设∠CPH=β，则CH＝PC·sinβ同理例6已知：正n棱锥(n≥3，n∈N)的高是a，底面边长为2a，试求侧面和底面所成的二面角、侧棱及斜高的长．分析：作出关键的图形，解直角三角形．解：如图，设AB是正n棱锥的底面一边，PO是高，PM是斜高，则PM⊥AB，AM=MB∴OM⊥AB，∠PMO为侧面与底面所成二面角的平面角．在Rt△POM中∵PO=OMtan∠PMO评注：正棱锥的高和底面内任意一条直线都垂直，所以高、斜高和斜高在底面上的射影(即底面的边心距)组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角．同样，高、侧棱和侧棱在底面上的射影(即底面外接圆的半径)组成一个直角三角形，这个直角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角．例7如图，四棱锥P－ABCD底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD．(1)求证平面PCD⊥平面PAD．(2)若AB=2，CD=4，侧面PBC是一边长等于10的正三角形，求对角线AC与侧面PCD所成的角的正弦函数值．分析：(1)两个平面垂直的判定定理→两个平面垂直．(2)构造线面角→解直角三角形．(1)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD∴CD⊥平面PAD．∴平面PCD⊥平面PAD(2)解：作AE⊥PD于E，连结CE，∵平面PAD⊥平面PCD∴AE⊥平面PCD．所以∠ACE就是AC与平面PCD所成之角．在直角梯形BADC中．AB=2，BC=10，CD=4，∴AD2=BC2－(CD－AB)2=100－4=96在Rt△CDP中，在Rt△PAB中，AP=AD，在等腰△APD中，例8已知正四棱锥侧棱和底面所成的角等于α，相邻两个侧面所成的角等于β分析：可以引进适当的参数，把cosβ，cosα表示出来，然后再证明结论成立．然而，引进不同的参数就有不同的解法．方法1：以底边长为参数→作出∠α，∠β→解．△OEC，△OEB→以OE为桥梁得到α，β的关系式．方法2：以OB=x，OE=y为参数→用x，y表示，cosα，cosβ→证明结论．证法1：如图．设正四棱锥P－ABCD底面边长为a，PO为高，连结AC，则∠PCO=α，作BE⊥PC于E，连结DE，则△BCE≌△DCE∴∠CED=∠CEB=90°∴DE⊥PC，PC⊥平面BED，∠BED=β(1)(2)证法2：。

临渊行 /dudu/135/135066/
慢性肾盂肾炎患者经系统治疗，尿常规已正常，还应做哪项检查，以判断治疗效果A.尿白细胞计数B.定期复查尿常规C.静脉肾盂造影D.尿细菌培养E.检查肾区有无叩痛 什么是土壤耕作？主要内容有哪些？ 无论国内国外，合作金融都具有基本经济特征。A.自愿性B.竞争性C.互助共济性D.民主管理性E.非赢利性 个人作品以图书、报刊形式出版、发表取得的所得应按税目计征个人所得税。A.工资、薪金所得B.劳务报酬所得C.特许权使用费所得D.稿酬所得 评定分级作业好坏的指标有和分级效率。 结核性脑膜炎治愈的标准，不包括。A.临床症状消失B.脑脊液正常C.疗程结束后2年无复发D.结核菌素试验阴性E.血沉正常 扑灭金属火灾时，应采用金属性干粉或沙土.A.正确B.错误 日本血吸虫病的临床分型不包括A.无症状带虫者B.急性血吸虫病C.慢性血吸虫病D.晚期血吸虫病E.异位损害 主诉剧烈腹痛，根据影像图像，最可能的诊断为A.憩室炎B.肠系膜炎C.胰腺炎D.主动脉瘤破裂E.以上都不是 民主人际关系学说促成理论的产生，促进了教育管理理论的繁荣A.科学管理B.科层管理C.量化管理D.行为科学 下列关于公路工程二级注册建造师执业工程规模标准的叙述有误的是A.大型桥梁工程的单跨≥50mB.中型桥梁工程的桥长≥1000mC.大型隧道工程的长度≥1000mD.中型单项合同额为500万元～3000万元 2010年上海世博会主体内容结构图中，横轴从三个层面对主题进行解读，分别是A、小型城市、中型城市、大型城市B、科技创新、以人为本、和谐社会C、社区、城市、国家D、城市人、城市、城市星球 上例中医辨证属于A.湿热浸淫证B.肺胃热盛证C.肝郁气滞证D.瘀血阻滞证E.肝胆湿热证 支气管镜检查禁忌证不包括()A．严重高血压、心脏病B．活动性肺结核C．近期曾严重咳血