目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
函数项级数和函数列的区别函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。
我们来看函数项级数。
函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。
具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + ...的形式。
在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。
函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。
函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。
与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。
函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。
逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。
从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。
它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。
函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。
此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。
在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。
函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。
函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。
函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。
它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。
函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。
第十三章 函数项级数习题课一概念叙述1．{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε⇔∀>∃∀>∀∈有ε<-)()(x f x f n ． 2．{}n f 在D 上不一致收敛于0000,,,f N n N x D ε⇔∃>∀∃>∃∈使得0000()()n f x f x ε-≥．3．{}n f 在数集D 上一致收敛⇔柯西准则0,,,,N m n N x D ε∀>∃∀>∀∈，有()()n m f x f x ε-<．⇔柯西准则0,,,,0N n N x D p ε∀>∃∀>∀∈∀>，有()()n p n f x f x ε+-<．4．{}n f 在数集D 上不一致收敛⇔柯西准则00000,,,,N m n N x D ε∃>∀∃>∃∈使得0000()()n m f x f x ε-≥．⇔柯西准则00000,,,,0N n N x D p ε∃>∀∃>∃∈∃>使得0000()()n p n f x f x ε+-≥．5．1()nn u x ∞=∑在D 上一致收敛于函数()S x ⇔部分和函数列{}()nS x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ．二 疑难解析与注意事项1．为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性？答：函数列理论中重要问题是(){}n f x 的性质〔连续性，可积性，可导性〕在极限过程中是否依旧保持？比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是所要讨论的一致收敛性问题．由于函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛性可以转化为相应部分和函数列{}()n S x 的问题来讨论，因此研究函数项级数逐项求极限，逐项求导，逐项求积分时，要讨论函数项级数的一致收敛性．2．判断函数列{}n f 在D 上一致收敛有哪些方法？答：1〕定义：{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε⇔∀>∃∀>∀∈有ε<-)()(x f x f n ；2〕柯西准则：0,,,,N m n N x D ε∀>∃∀>∀∈，有()()n m f x f x ε-<，用于抽象的函数列的一致收敛性的判断；3〕确界〔最大值方法〕：0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ；4〕估计方法〔放大法〕：|()()|0n n f x f x a -≤→；5〕1()nn fx ∞=∑在D 上一致收敛()n f x ⇒在D 上一致收敛于0．6〕Dini-定理：条件1〕闭区间[,]a b ；2〕连续性；3〕关于n 的单调性．设函数列{()}n f x 和函数()f x 都定义于闭区间[,]a b 上，{()}n f x 在[,]a b 上点态收敛于()f x ，如果〔1〕{()}n f x 在[,]a b 连续； 〔2〕()f x 在[,]a b 连续；〔3〕{()}n f x 关于n 单调，即对任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 是单调数列，则{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ．注除柯西准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点态收敛性计算出极限函数．注定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断．注Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的〞，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n N >时〞条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n N >时，对所有任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立．3．判断函数列{}n f 在D 上不一致收敛有哪些方法？答：1〕定义：0000,,,N n N x D ε∃>∀∃>∃∈，使得0000()()n f x f x ε-≥；2〕柯西准则：00000,,,,N m n N x D ε∃>∀∃>∃∈使得0000()()n m f x f x ε-≥；3〕limsup ()()0;n n x Df x f x →∞∈-≠4〕{}n f 在D 上连续，但极限函数()f x 在D 上不连续则{}n f 在D 上不一致收敛． 4．判断1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛于函数()S x 有哪些方法？答：1〕定义：部分和函数列{}()n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ；2〕柯西准则：0>∀ε，N ∃，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有ε<-+)()(x S x S n p n ，即ε<++++++)()()(21x u x u x u p n n n ；3〕0)()(sup lim )(sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n ；4〕放大法：()()()0n n n R x S x S x a =-<→； 5〕M 判别法； 6〕阿贝耳判别法； 7〕狄利克雷判别法． 5．判断1()n n u x ∞=∑在D 上不一致收敛于函数()S x 有哪些方法？答：1〕定义：部分和函数列{}()n S x 在数集D 上不一致收敛于函数()S x ；2〕柯西准则：00000,,,,0N n N x D p ε∃>∀∃>∃∈∃>，使得0102000()()()n n n p u x u x u x ε++++++≥；3〕limsup ()limsup ()()0n n n n x Dx DR x S x S x →∞→∞∈∈=-≠；4〕()n u x 在D 上连续，但()S x 在D 上不连续； 5〕1()nn u x ∞=∑在(),D a b =的端点处发散，则1()nn u x ∞=∑在D 上不一致收敛．即：设)(x un∑在(),a b 内收敛，每个()n u x 在x b =做左连续，若()n u b ∑发散，则)(x un∑在(),a b 内非一致收敛；应用：1x n ∑在()1,+∞内不一致收敛，n nx ∑当1x >时不一致收敛．6〕()n u x 在D 上不一致收敛于0，则1()n n u x ∞=∑在D 上不一致收敛．三 典型例题1．讨论下列函数序列在所示区域内的一致收敛性． 〔1〕 ()22,011n x f x x n x =≤≤+； 〔2〕()22,011nnxf x x n x =≤≤+； 〔3〕()1,01nn n f x x xx +=-≤≤； 〔4〕()(1)n n f x nx x =-，01x ≤≤．解：〔1〕当0x =，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当(]0,1x ∈，22()lim ()lim01n n n xf x f x n x →∞→∞===+，因此极限函数为()0f x =．因而()2222211|()|01122n x nx f x f x n x n x n n-==⋅≤→++，n →∞． 所以()n f x 在01x ≤≤上一致收敛．〔2〕当0x =，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当(]0,1x ∈，22()lim ()lim01n n n nxf x f x n x →∞→∞===+，因此极限函数为()0f x =．因而()22|()|1n nxf x f x n x -=+，由基本不等式知221nx n x +在1nx =，即1x n=取到最大值，因此有 [][]220,10,11lim sup ()()lim sup012n n n x x nx f x f x n x →∞→∞∈∈-==≠+，所以()n f x 在01x ≤≤上不一致收敛．〔3〕当0x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当1x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当01x <<时，()1()lim ()lim 0n n n n n f x f x x x+→∞→∞==-=，因此极限函数为()0f x =．因而，()1|()|nn n f x f x x x+-=-，令()1nn x x xϕ+=-，则()1()1n n x nx n x ϕ-'=-+，令()0x ϕ'=，得1n x n =+，故()n f x 在1nx n =+处取得最大值，故有 ()11|()|||()[1]0111n n n n n n f x f x x x n n n +-=-≤-<→+++，n →∞．所以()n f x 在01x ≤≤上一致收敛．〔4〕当0x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当1x =时，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞==；当01x <<时，()lim ()lim (1)0nn n n f x f x nx x →∞→∞==-=．则有|()()|(1)n n f x f x nx x -=-，令()(1)nx nx x ϕ=-，则1()(1)[1(1)]n x n x n x ϕ-'=--+，令()0x ϕ'=，得11x n =+，则()x ϕ在11x n =+处达到最大值，因而 [][]0,10,111lim sup ()()lim sup (1)lim(1)011n n n n n n x x n f x f x nx x n n e→∞→∞→∞∈∈-=-=-=≠++，故{()}n f x 在[0,1]不一致收敛．2．讨论 () 1nn nx f x x=+在下列区间上： 1〕[]0,a ()01a <<，2〕[]0,1， 3〕()1,+∞，4〕(),a +∞()1a >是否一致收敛．解：1〕当[]0,x a ∈时，()lim ()lim01nn n n n x f x f x x →∞→∞===+，n →∞．因而 ()()01nn n n nx f x f x x a x -=≤≤→+， 因此 () 1nn nx f x x=+在[]0,a 上一致收敛． 2〕当[)0,1x ∈，()lim ()lim01nn nn n x f x f x x →∞→∞===+， 当1x =，1 () 2n f x =，1()lim ()2n n f x f x →∞==．因此，极限函数为()0011,1x f x x ≤<⎧=⎨=⎩，，由 () 1nn nx f x x =+在[]0,1连续，但极限函数()f x 不连续，因此 () 1nn nx f x x =+在[]0,1上不一致收敛． 3〕当()1,x ∈+∞，1()lim ()lim lim1111nn nn n n n x f x f x x x →∞→∞→∞====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因而1()()111n n n nx f x f x x x-=-=++，于是()()1,1,11lim sup ()()lim sup012n n n n x x f x f x x →∞→∞∈+∞∈+∞-==≠+，因此 () 1nn nx f x x=+在()1,+∞上不一致收敛． 4〕当(),x a ∈+∞，1()lim ()lim lim1111nn nn n n n x f x f x x x →∞→∞→∞====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因而11()()10111n n n n nx f x f x x x a -=-=≤→+++，n →∞．因此 () 1nn nx f x x =+在(),a +∞上一致收敛． 3． 讨论下列级数的一致收敛性． 〔1〕()()12211n nx x --+∑，(),x ∈-∞+∞；〔2〕()121n x n--+∑(),x ∈-∞+∞，〔3〕()2121n x x -+∑，(),x ∈-∞+∞．解〔1〕 法1：看成交错级数，利用交错级数的余项估计式当0x ≠时，()222121()1(1)1n n x x R x n x n x +≤≤=+++，〔利用不等式()11x x x α+≥+α≥α〕 当0x =时，221()0(1)n n x R x x +≤=+ 因此1limsup ()lim01n n n x DR x n →∞→∞∈≤=+，因此()()12211n nx x --+∑在(),-∞+∞上一致收敛.法2：看成等比级数利用等比级数的余项〔等比级数的和是首项/〔1-公比〕〕()()()122221111n nnx x x x --⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭+∑∑为等比级数， ()1222222222111111()01222111n nn n x x x x x R x n x x x x +⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭===≤→ ⎪+++⎝⎭++ 因此limsup ()0n n x DR x →∞∈=，因此()()12211n nx x --+∑在(),-∞+∞上一致收敛.〔2〕因为211limsup ()limsuplim 011n n n n x Dx DR x n x n →∞→∞→∞∈∈≤==+++，因此()121n x n--+∑在(),-∞+∞上一致收敛.〔3〕21222111()1111nn n x x R x x x -⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭-+ 因此limsup ()10n n x DR x →∞∈=→/，因此()()12211n nx x --+∑在(),-∞+∞上不一致收敛.注：交错级数的莱布尼兹判别法:若01>≥+n n a a ，1,2,n =，0lim =∞→n n a ，则交错级数()∑∞--1n 11＝n n a 收敛，且和1a S ≤，余项()1111+∞+=-≤-=∑n n k k k n a a r .4． 讨论下列级数的一致收敛性． 〔1〕10(),01nn n xxx ∞+=-≤≤∑； 〔2〕20(1) , [0,1]n n x x x ∞=-∈∑；〔3〕1(1)(),01nnn n xxx ∞+=--≤≤∑； 〔4〕20, (0,)nx n x e x ∞-=∈+∞∑．解：〔1〕由于110()()1n kk n n k S x xx x -+==-=-∑，因此1,01()lim ()0,1n n x S x S x x →∞≤<⎧==⎨=⎩， 而()S x 在]1,0[上不连续． 于是10()nn n xx ∞+=-∑在]1,0[上不一致收敛．〔2〕法1：因为120()(1)=(1) (1) n kn n k S x xx x x -==---∑，故()lim ()1 n n S x S x x →+∞==-，[0,1]x ∈．因而|()()|(1) n n S x S x x x -=-．令()(1)n g x x x =-，则11()(1)n n g x nxx n -+'=-，令()0g x '=，则1nx n =+，于是()(1)n g x x x =-在1nx n =+处取最大值，因而 [][]0,10,11lim sup ()()=lim sup (1)=lim()=0 11n nn n n n x x n S x S x x x n n →∞→∞→∞∈∈--++．故20(1) nn xx ∞=-∑在[0,1]x ∈一致收敛．法2：记2()(1)n n u x x x =-，则121()(1)2(1)(1)[(2)]n n n n u x nx x x x x x n n x --'=---=--+故()n u x 在2n nx n =+处达到最大值，因而 220()()()()222n n n n n u x u n n n ≤≤=+++2224()2n n≤≤+ 由M -判别法可得，20(1) nn xx ∞=-∑在[0,1]x ∈一致收敛．〔3〕法1：由于121()||02n n n R x x xn ++≤-<→+，n →∞．因此10(1)()n n n n x x ∞+=--∑ 在[0,1]上一致收敛．法2：令1()nn n u x x x+=-由于1|(1)|1n kk -=-≤∑有界，而()21()[(1)]0n n n u x u x x x +-=--<，故()n u x 对任意固定的x 单调下降，且()110()1nn n u x x xn n +=-<→→∞+，即()n u x 在01x ≤≤上一致收敛到零，故由狄利克雷判别法知()n u x 在01x ≤≤上一致收敛．〔4〕法1：记2()nx n u x x e -=，则()[2]nxn u x xe nx -'=-，故()n u x 在2n x n=处达到最大值，因而22222240()()()n n u x u e e n n n--≤≤==，故20nxn x e∞-=∑在 (0,)x ∈+∞一致收敛．法2：利用用Taylor 展开得，221(), 02nxn n x e nx R x x =++++>，因而，222222222201()22nxnx n x x x x en x n x ennx R x -≤==≤=++++，0x > 故20nxn x e∞-=∑在(0,)x ∈+∞一致收敛．5．在[]0,1上定义函数列2214, 0211()44, 210, 1n n x x n f x n x n x n n x n ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩，计算其极限函数并讨论其一致收敛性．解显然，(0)0n f =，且对任意固定的(0,1]x ∈，则当1n x>时，总有()0n f x =，因此lim ()0n n f x →+∞=，故极限函数为()0f x =．因而|()()|()n n f x f x f x -=，由()n f x 在10,2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦增，在11,2n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦减，因此 [][]0,10,11lim sup |()()|lim sup ()lim ()lim 22n n n n n n n x x f x f x f x f n n →∞→∞→∞→∞∈∈-====+∞因此，{()}n f x 在[0,1]上不一致收敛．6．设()f x 定义于(,)a b ，令[()]()n nf x f x n=(1,2,)n =⋅⋅⋅， 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x ．证：因为()()()1nf x nf x nf x -<≤⎡⎤⎣⎦，因此()()()1nf x f x f x n n⎡⎤⎣⎦-<≤，因此()[()]lim ()limn n n nf x f x f x n→∞→∞==，故 ()(),1lim sup ()lim0n n n x a b f x f x n→∞→∞∈-==， 故{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x ．7．设每一项()n x ϕ都是[,]a b 上的单调函数，如果()nx ϕ∑在[,]a b 的端点为绝对收敛，那么()nx ϕ∑在[,]a b 上一致收敛．证明：不妨设()n x ϕ单调递增，因此有()()()n n n x a b ϕϕϕ≤+，而()(),nna b ϕϕ∑∑绝对收敛，即()(),nna b ϕϕ∑∑收敛，于是()()()nna b ϕϕ+∑收敛，由M -判别法知()nx ϕ∑在[,]a b 一致收敛．8.设级数1nn a∞=∑收敛，证明011lim n n x x n n a a n +∞∞→== = ∑∑． 分析：本题实质上是证明极限和∑求和可以交换，即证00111lim lim n n n x x x x n n n a a a n n ++∞∞∞→→=== = =∑∑∑， 而极限和∑求和可以交换的条件是1nx n a n ∞=∑一致收敛． 证因为1n n a ∞=∑收敛，且与x 无关，则1nn a ∞=∑在()0,δ上一致收敛，对每个()0,x δ∈，1x n 单调，11x n ≤，()0,,x n δ∀∈∀，即1x n 在()0,δ上一致有界，因此由阿贝尔定理知1nxn a n∞=∑一致收敛．因此00111lim lim n n n x x x x n n n a a a n n ++∞∞∞→→=== = =∑∑∑．..9.证明1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内连续．分析：1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内不一致收敛，因为1nxn ne∞-=∑在0x =处为1n n ∞=∑发散．因此不好直接用一致连续的性质，要证1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内连续，只要证1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内每一点连续，()00,x ∀∈+∞，即证1nxn ne∞-=∑在0x 连续，限定[)()0,0,,0x a a ∈+∞⊂+∞>，若能证1nxn ne∞-=∑在[),a +∞连续，就能保证1nxn ne∞-=∑在0x 连续．证 ()00,x ∀∈+∞，限定[)()0,0,,0x a a ∈+∞⊂+∞>，因为nx na ne ne --≤，而11nana n n n nee ∞∞-===∑∑收敛，因为11a n e =<，由M -判别法，1nx n ne ∞-=∑在[),a +∞一致收敛，又nxne-在[),a +∞连续，因此1nxn ne∞-=∑在[),a +∞连续，因此1nxn ne∞-=∑在0x 连续，由0x 任意性，1nxn ne∞-=∑在(0,)+∞内连续．注类似可证明11x n n ∞=∑在(1,)+∞内连续． 10．求证31sin ()n nxf x n ∞==∑在(,)-∞+∞内连续，并有连续导函数． 证：由33sin 1nx n n ≤，且311n n∞=∑收敛，由M -判别法知31sin n nxn ∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛，由3sin nxn 在(,)-∞+∞内连续，因此31sin ()n nx f x n ∞==∑在(,)-∞+∞内连续． 因为32sin cos nx nxn n '⎛⎫= ⎪⎝⎭，而22cos 1nx n n ≤，且211n n∞=∑收敛，由M -判别法知21cos n nx n ∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛，又2cos nxn 在(,)-∞+∞内连续，因此31sin n nx n ∞=∑在(,)-∞+∞内有连续导函数．。
