第十二讲函数列与函数项级数

目　录第12章　数项级数12.1　复习笔记12.2　课后习题详解12.3　名校考研真题详解第13章　函数列与函数项级数13.1　复习笔记13.2　课后习题详解13.3　名校考研真题详解第14章　幂级数14.1　复习笔记14.2　课后习题详解14.3　名校考研真题详解第15章　傅里叶级数15.1　复习笔记15.2　课后习题详解15.3　名校考研真题详解第16章　多元函数的极限与连续16.1　复习笔记16.2　课后习题详解16.3　名校考研真题详解第17章　多元函数微分学17.1　复习笔记17.2　课后习题详解17.3　名校考研真题详解第18章　隐函数定理及其应用18.1　复习笔记18.2　课后习题详解18.3　名校考研真题详解第19章　含参量积分19.1　复习笔记19.2　课后习题详解19.3　名校考研真题详解第20章　曲线积分20.1　复习笔记20.2　课后习题详解20.3　名校考研真题详解第21章　重积分21.1　复习笔记21.2　课后习题详解21.3　名校考研真题详解第22章　曲面积分22.1　复习笔记22.2　课后习题详解22.3　名校考研真题详解第23章　向量函数微分学23.1　复习笔记23.2　课后习题详解23.3　名校考研真题详解第12章　数项级数12.1　复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。

Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ）§ 1 一致收敛性（ 6 时 ）一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念：收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义.例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =nx , 用“N -ε”定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且∞→n lim )(x f n = ∞→n lim nx =⎩⎨⎧=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =nnxsin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0.例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n .⑴ )(x f n =xx xx nn n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =121+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x .⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令)(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [.⑷ )(x f n =2222x n xen -. )(x f n →0, R ∈x .156⑸ )(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n n n n n有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意⎰≡11)(dx x f n .）二. 函数列的一致收敛性:问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但∞→n lim()⎰⎰∞→≠110)(lim )(dx x f dx x f n n n .用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞→n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义 ( 一致收敛 )一致收敛的几何意义.Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,⇔N , 0∃>∀ε, , , N n m >∀⇒ ε<-n m f f .( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .)证 )⇒ ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)157)⇐ 易见逐点收敛. 设∞→n lim )(x f n =)(x f ,……,有 2|)()(|ε<-x f x f n m .令∞→m , ⇒ εε<≤-2|)()(|x f x f n 对∈∀x D 成立, 即)(x f n −→−−→−)(x f ,) (∞→n ，∈x D .系1 在D 上nf −→−−→−f , ) (∞→n ，⇔ 0|)()(|sup lim =-∞→x f x f n Dn .系2 设在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 若存在数列}{n x ⊂D , 使0 |)()(|→/-n n n x f x f , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛 .应用系2 判断函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛时, 常选 n x 为函数=)(x F n )(x f n ―)(x f 在数集D 上的最值点.验证函数一致收敛性: 例4 )(x f n nnxsin =. 证明函数列)}({x f n 在R 内一致收敛. 例5 )(x f n 2222x n xe n -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.证 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x f n 不一致收敛. 例6 221)(xn xx S n +=. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→−0, ) (∞→n .证 易见 ∞→n lim .0)()(==x S x S n 而nnx x n n x n x x S x S n 21)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=- 在) , (∞+∞-内成立.由系1 , ⇒ ……例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列158⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n证明: ∞→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛. [1]P 38—39 E3, 参图.证 10≤<x 时, 只要1->x n , 就有)(x f n =0. 因此, 在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f , ⇒ )0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x , ) (∞→n ,因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛. 例8 )(x f n =12sin2+n x . 考查函数列)}({x f n 在下列区间上的一致收敛性:⑴ )0( , ] , [>-l l l ; ⑵ ) , 0 [∞+.Ex [1]P 44—46 1⑴—⑸，2，9⑴； P 53—54 1⑴，2，3⑴.三. 函数项级数及其一致收敛性:1． 函数项级数及其和函数：，∑)(x un, 前n 项部分和函数列)}({x S n ，收敛点，收敛域, 和函数, 余项.例9 定义在) , (∞+∞-内的函数项级数( 称为几何级数 )+++++=∑∞=n n nx x x x201159的部分和函数列为 ) 1 ( 11)(≠--=x xx x S nn , 收敛域为) 1 , 1 (-.2. 一致收敛性: 定义一致收敛性.Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛, ⇔ N ,0∃>∀ε,, , N ∈∀>∀p N n ⇒ ε |)()()(|21<++++++x u x u x u p n n n 对∈∀x D 成立.系 级数∑)(x u n在区间D 上一致收敛, ⇒ n u )(x −→−−→−0, ) (∞→n .Th3 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛, ⇔∞→n lim =∈|)(|sup x R n x D∞→n lim 0|)()(|sup =-∈x S x S n x D.例10 证明级数∑∞=-+-121) 1(n n nx在R 内一致收敛 .证 令n u )(x =nx n +--21) 1(, 则 ∞→n 时≤++-+-++=+++++++ |) 1(11||)()()(|21221pn x n x x u x u x u p p n n n011112→+≤++≤n n x 对∈∀x R 成立. ……例11 几何级数∑∞=0n nx在区间] , [a a -)10(<<a 上一致收敛；但在) 1 , 1(-内非一致收敛.证 在区间] , [a a -上 , 有011sup |)()(|sup ],[],[→-=--=---a a ax x S x S nn a a n a a , ) (∞→n . ⇒ ∑一致收敛 ;而在区间) 1 , 1(-内 , 取∈+=1n nx n ) 1 , 1(-, 有160∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-=----1)1,1()1,1(1111 1sup |)()(|sup n nn n n n n nn n n x x x S x S , ) (∞→n . ⇒∑非一致收敛.( 亦可由通项nn x x u =)(在区间) 1 , 1(-内非一致收敛于零,⇒∑非一致收敛.)几何级数∑∞=0n nx虽然在区间) 1 , 1(-内非一致收敛 , 但在包含于) 1 , 1(-内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数∑∞=0n nx在区间) 1 , 1(-内闭一致收敛 .Ex [1]P 44—45 1 ⑹⑺， 4，6.四. 函数项级数一致收敛判别法:1.M - 判别法:Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数∑)(x un定义在区间D 上, ∑n M 是收敛的正项级数.若当n 充分大时, 对∈∀x D 有||)(x u n n M ≤, 则∑在D 上一致收敛 .证 , |)(| )(1111∑∑∑∑==+=++=+=≤≤p i pi i n p i i n i n pi in M M x u x u然后用Cauchy 准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数∑nM是级数∑)(x un的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数∑)(x u n 在区间D 上存在优级数 , 则级数∑)(x un在区间D 上一致收敛 . 应用时, 常可试取|})({|sup x u M n Dx n ∈=.但应注意, 级数∑)(x un在区间D 上不存在优级数 , ⇒/ 级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛. 参阅[1]P 45 8.161注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例12 判断函数项级数 ∑∞=i n n nx 2sin 和 ∑∞=in n nx2cos 在R 内的一致收敛性 . 例13 设) , 2 , 1 ( )( =n x u n 是区间] , [b a 上的单调函数. 试证明 : 若级数∑)(a un与∑)(b u n 都绝对收敛, 则级数∑)(x u n 在区间] , [b a 上绝对并一致收敛 .简证 , 留为作业. |)(||)(| |)(|b u a u x u n n n +≤.……2. Abel 判别法:Th 5 设 ⅰ> 级数∑)(x un在区间I 上收敛; ⅱ> 对每个∈x I , 数列)}({x v n单调 ; ⅲ> 函数列)}({x v n 在I 上一致有界, 即0 >∃M , 使对I ∈∀x 和n ∀, 有M x v n |)(|≤. 则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛 . ( [1]P 43 )2. Dirichlet 判别法: Th 6 设ⅰ> 级数∑)(x un的部分和函数列∑==nk k n x u x U 1)()(在区间I 上一致有界;ⅱ> 对于每一个∈x I , 数列)}({x v n 单调; ⅲ> 在区间I 上函数列)}({x v n 一致收敛于零. 则级数∑)()(x v x un n在区间I 上一致收敛 .例14 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn n n x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性.解 记nn n n n x x v n x u ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛;ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；ⅲ> e n x x v nn ≤⎪⎭⎫⎝⎛+=1|)(| 对 ∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立. 由Abel 判别法,∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.162例15 设数列}{n a 单调收敛于零 . 试证明 : 级数∑nx ancos 在区间] 2 , [απα- )0(πα<<上一致收敛.证 由本教案Ch12§3例4 ，在] 2 , [απα-上有212sin21 21|2sin |21 212sin 2) 21sin(|cos |1+≤+≤-+=∑=αx x xn kx nk . 可见级数∑nx cos 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界 . 取nx x u n cos )(= , n n a x v =)( . 就有级数∑)(x un的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界, 而函数列)}({x v n 对每一个∈x ] 2 , [απα-单调且一致收敛于零.由Dirichlet 判别法,级数∑nx ancos 在区间] 2 , [απα-上一致收敛.其实 , 在数列}{n a 单调收敛于零的条件下, 级数∑nx ancos 在不包含) , 2 , 1 , 0 ( 2 ±±=k k π的任何区间上都一致收敛.Ex [1]P 45—46 3，5，7，8，9*⑹⑺.习 题 课 ( 2 时 )例1 设)(x f n →)(x f ,) (∞→n , ∈x D . 0>n a 且0→n a ,) (∞→n . 若对每个自然数 n 有|)(x f n ―)(x f |≤n a 对∈∀x D 成立, 则函数列{)(x f n }在D 上一致收敛于函数)(x f .例2 证明函数列}{nx 在区间] 1 , 0 [上非一致收敛. 例3 )(x f n =221xn nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性. 解 ∞→n lim )(x f n = 0, ∈x ] 1 , 0 [. |)(x f n ― 0|=)(x f n . 可求得16310max ≤≤x )(x f n =,0 21) 1 (→/=n f n ) (∞→n . ⇒ 函数列{)(x f n }在区间] 1 , 0 [上非一致收敛.例4 设函数)(1x f 在区间] , [b a 上连续 . 定义 ⎰=+xann dt t fx f )()(1. 试证明函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上一致收敛于零.证法一 由)( , ],[)(11x f b a C x f ∈有界 . 设在区间] , [b a 上|)(1x f |M ≤ . |)(2x f |⎰⎰-≤-≤≤=xaxaa b M a x M f f )()(||||11;|)(3x f |⎰⎰-≤-≤≤=xaxaa b M a x M f f 2222)(21)(2||||; ……………………… |)(1x f n +|⎰⎰-≤-≤≤=xan n n xan a b M n a x n M f f )(!1)(!||||. 注意到对∑→-⇒+∞<∀0!)( , !|| , n a b M n c c nn , ) (∞→n . ⇒ nf −→−−→−0, ) (∞→n , ∈x ] , [b a .证法二 , 0 )()( , )()(11=='='++a f a f x f x f n n n n, 0)()( , )()(1111==''=''-+-+a f a f x f x f n n n n)()( ,1)(1x f x f n n =+ .],,[)(1b a C x f ∈ )(1x f 有界. 设在区间] , [b a 上|)(1x f |M ≤. 把函数)(1x f n +在点a 展开成具Lagrange 型余项的1-n 阶Taylor 公式 , 注意到0)()()()1(111===''='-+++a f a f a f n n n n ,就有 n n n n a x n f x f )(!)(|)(|)(11-=++ξ b a ≤≤ξ,1640!)( )(!|)(|1→-≤-=n a b M a x n f n nξ, ) (∞→n , ∈x ] , [b a . 所以 , nf −→−−→−0, ) (∞→n , ∈x ] , [b a .例5 设),(],[ :b a b a f →. 0>n ε且0→n ε, ) (∞→n . 令)()(1x f x f = , ()() , )()()(12x f f x f f x f == ,()()层复合n n n x f f f x f f x f )(()()(1==-. …….试证明: 若对n ∀ 和 ∈∀y x ,] , [b a , 有 || )()(y x y f x f n n n -≤-ε , 则函数列 {)(x f n }在区间] , [b a 上一致收敛 .证 对 , 0>∀ε取 N , 使N n >时, 有ab n -<εε. 于是对任何自然数p 和∈∀x ] , [b a , 有()|)(| |)()(| |)()(|≤-≤-=-+x f x x f f x f x f x f p n p n n p n n εεε<-)(a b n . 由Cauchy 收敛准则 , 函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上一致收敛 .例6 设在数集D 上函数列{)(x f n }一致收敛于函数)(x f . 若每个)(x f n 在 数集D 上有界 , 则函数列{)(x f n }在数集D 上一致有界 .证 ( 先证函数)(x f 在数集D 上有界 ) 设在D 上有|)(x f n |≤n M .对1=ε,由函数列{)(x f n }在数集D 上一致收敛,N ∃,当N N >0时 , 对∈∀x D ,有 |)(x f ||)(|0x f N -≤ |)(x f 1 |)(0<-x f N ,⇒ |)(x f |< +1G M x f DefN N ===+≤001 |)(|. 即函数)(x f 在数集D 上有界.( 次证函数列{)(x f n }在数集D 上一致有界 ) N n >时, 对∈∀x D ,有165|)(x f n |―|)(x f |≤ |)(x f n ―)(x f |< 1, ⇒ |)(x f n |≤ 1+G .取 }, 1 , , , , m ax {21+=G M M M M n 易见对∈∀x D 和n ∀有|)(x f n |≤M . 即 函数列{)(x f n }在数集D 上一致有界 .例7 设{)(x f n }为定义在区间] , [b a 上的函数列, 且对每个n , 函数)(x f n 在点a 右连续 , 但数列{)(a f n } 发散. 试证明: 对a b -<>∀δδ ( 0), 函数列{)(x f n }在区间) , (δ+a a 内都不一致收敛.证 反设0>∃δ, 使{)(x f n }在区间) , (δ+a a 内一致收敛. 则对N ∈∀>∀∃>∀p N n N , , , 0ε, 有2|)()(|1ε<-++x f x f p n n 对∈∀x ) , (δ+a a 成立.⇒ +→++=-ax p n n a f a f lim |)()(|1εε<≤-++2|)()(|1x f x f p n n .⇒{)(a f n }为Cauchy列,即{)(a f n }收敛. 与已知条件矛盾.§ 2一致收敛函数列和函数项级数的性质（ 4 时 ）一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:1.连续性:166Th 1 设在D 上nf −→−−→−)(x f ,且对∀n ,函数)(x f n 在D 上连续 , ⇒ )(x f 在D 上连续.证 ( 要证 : 对∈∀0x D , )(x f 在点0x 连续 . 即证: 对0>∀ε, 0>∃δ, 当 |δ<-|0x x 时, ⇒ ε<-|)()(|0x f x f . )|)()(||)()(||)()(| |)()(|0000x f x f x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-≤-. 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数)(x f n 在点0x 连续, 第二项|)()(|0x f x f n n -也可以任意小 . ……系 设在D 上)(x f n →)(x f . 若)(x f 在D 上间断 ，则函数列{)(x f n }在D 上 一致收敛和所有)(x f n 在D 上连续不能同时成立.註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{)(x f n }, 有 )(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →∞→∞→→=.即极限次序可换 . 2. 可积性:Th 2 若在区间] , [b a 上函数列{)(x f n }一致收敛 , 且每个)(x f n 在] , [b a 上连续. 则有()⎰⎰∞→∞→=b a ban n nn dx x f dx x f )(lim )(lim .证 设在] , [b a 上nf −→−−→−)(x f , 由Th1, 函数)(x f 在区间] , [b a 上连续,因此可积. 我们要证 ⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f )()(lim. 注意到167⎰⎰⎰-≤-ban b aban f f f f ||, 可见只要ab x f x f n -<-ε|)()(|在] , [b a 上成立.Th2的条件可减弱为: 用条件“)(x f n 在] , [b a 上( R )可积”代替条件“)(x f n 在] , [b a 上连续”. 证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P 350.关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是:Th 设{)(x f n }是定义在区间] , [b a 上的函数列. 若{)(x f n }在] , [b a 上收敛且一致可积 , 则其极限函数)(x f 在] , [b a 上( R )可积 , 且有 ⎰⎰=∞→baban n f f lim.参阅: 马振民 , ( R )可积函数列逐项积分条件的减弱 , 西北师范大学学报（自然 科学版）1988.№4. 3. 可微性:Th 3 设函数列{)(x f n }定义在区间] , [b a 上, 在某个点∈0x ] , [b a 收敛. 对n ∀,)(x f n 在] , [b a 上连续可导, 且由导函数构成的函数列{)(x f n '}在] , [b a 上一致收敛,则函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上收敛, 且有())(lim )(lim x f dx d x f dx d n n n n ∞→∞→=.证 设)(0x f n →A ，) (∞→n . )(x f n '−→−−→−)(x g , ) (∞→n .对∈∀x ] , [b a , 注意到函数)(x g 连续和 )(x f n =)(0x f n +⎰'xx n dt t f 0)(, 就有∞→n lim )(x f n =∞→n lim )(0x f n + ∞→n lim⎰'xx n dt t f 0)(= （ 对第二项交换极限与积分次序）168= A +()d t t f xx n n ⎰'∞→0)(lim = A +⎰==xx dt t g 0)(令)(x f .(估计 |)(0x f n +⎰'x x n dt t f 0)( ― A ― ⎰≤xx dt t g 0|)(≤|)(0x f n ―A | + |()⎰-'xx ndt t g t f 0|)()(, 可证得)(x fn−→−−→−)(x f .))(x f '=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰x x dt t g A 0)()(x g =∞→n lim =')(x f n ∞→n lim )(x f dxd n .即()=∞→)(lim x f dx d n n ∞→n lim )(x f dxdn . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 例1 [1]P 49 E1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )例2 [1]P 50 E2 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )Ex [1] P 52 1，2.二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质:把上述Th1—3表为函数项级数的语言，即得关系于和函数解析性质的相应结果. 参阅[1]P 51 Th13.11—13.13.例3 [1]P 51 E3例4 证明函数)(x f =∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内连续.169证 ( 先证∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛.)对+∞<<<∀b a 0，有nanxnene--≤≤0，∈x ] , [b a ；又∑+∞<-nane，⇒∑∞=-1n nx ne 在] , [b a 一致收敛.( 次证对∈∀0x ) , 0 (∞+, )(x f 在点0x 连续 ) 对∈∀0x ) , 0 (∞+, 由上段讨论 ,∑∞=-1n nx ne 在区间] 2 , 2[00x x 上一致收敛; 又函数nx ne -连续, ⇒ )(x f 在区间] 2 , 2[00x x 上连续, ⇒ )(x f 在点0x 连续. 由点0x 的任意性, )(x f 在区间) , 0 (∞+内连续.例5 =)(x S ∑∞=-11n n nnx , ∈x ] 1 , 1 [-. 计算积分⎰xdt t S 0)(.Ex [1]P 52—53 3—8，9⑴，10 .。

函数项级数和函数列的区别函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。

虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。

我们来看函数项级数。

函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。

具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + ...的形式。

在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。

函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。

函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。

与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。

给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。

函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。

逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。

从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。

它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。

然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。

函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。

此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。

在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。

函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。

函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。

函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。

它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。

函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。

函数项级数和函数列一致收敛函数项级数和函数列是数学中非常重要的概念。

在许多数学领域，我们经常会遇到这两个概念，并且它们在解决许多问题时发挥着重要的作用。

本文将介绍函数项级数和函数列的概念，并探讨它们之间的联系和应用。

首先，我们来看看函数项级数的概念。

一个函数项级数是指一系列函数的无穷和。

具体而言，给定一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，其中$f_n(x)$是一个函数序列。

我们可以将级数记为$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$。

函数项级数的收敛性是指$S(x)$是否存在有限的极限。

当级数对于所有的$x$都收敛时，我们说该函数项级数是一致收敛的。

与之相对应的是函数列。

函数列是一系列函数的序列。

对于给定的$x$，函数列的极限是指当$n$趋向于无穷大时，函数序列中的每个函数在$x$处的极限都存在，并且这些极限构成了一个函数。

具体而言，给定一个函数列$(f_n(x))$，其极限为$f(x)$，可以表示为$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$。

函数项级数和函数列之间存在着紧密的联系。

实际上，函数项级数可以看作是函数列的一种特殊情况。

考虑一个函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，我们可以构造一个函数列$(S_n(x))$，其中$S_n(x)$表示级数的部分和，即$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$。

函数列$(S_n(x))$就是函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$的部分和函数列。

一个重要的问题是函数项级数和函数列的收敛性之间的关系。

当级数对于所有的$x$都收敛时，我们说该函数项级数是一致收敛的。

类似地，当函数列对于所有的$x$都收敛时，我们也说该函数列是一致收敛的。

可以证明，函数项级数的一致收敛性等价于其部分和函数列的一致收敛性。

也就是说，如果函数项级数收敛于函数$S(x)$，那么它的部分和函数列也收敛于$S(x)$。

第十二讲函数列与函数项级数第十二讲函数列与函数项级数12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列（一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x fn∈,，若对I x ∈∀，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f nn ∈=∞→,lim ，称()x f 为(){}x f n的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n∈∞→→,2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈∀ ，及 0>∀ε，()0,>=∃εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n3 ．一致收敛 若函数列(){}x fn与函数()x f 都定义在区间I 上，对,0>∃>∀N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n，则称函数列(){}x f n在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x fn∈∞→⇒, . 4 ．非一致收敛0>∃ε，对Nn N >∃>∀0,0，及Ix∈∃0，使得()()0ε≥-x f x f n例 12 . 1 证明()nnx x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛．证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞→∞→nx nn x x f，当1=x 时，()11lim =∞→n n f ，即极限函数为()[)⎩⎨⎧=∈=1,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取0310>=ε。

对0>∀N ，取NN n >+=10，取()1,021010∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x ·此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x fn5 ．一致收敛的柯西准则函数列(){}x f n在 I 上一致收敛⇔对 0,0>∃>∀N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，恒有()()ε<-xmnf x f6 ．非一致收敛的柯西准则 函数列(){}x fn在 I 上非一致收敛0>∃⇔ε，对Nn m N >∃>∀00,,0，及Ix∈∃0，使得()()0ε≥-x f x f m n例12 . 2 用柯西准则证明：()()()1...2,1sin ==n nxx fn在[]l l ,-上一致收敛；( 2 )在()+∞∞-,上非一致收敛．证明： ( 1 ）对0>∀ε，取02>=εlN ，当 Nn m >>时 ·对一切[]l l x ,-∈ 有ε<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤-≤-mlm n x m x n x m x n x 211sin sin即()nxx fnsin =在[]l l x ,-∈上一致收敛 ·( 2 ）取041>=ε，对>∀N ，取0002,1n m N N n=>+=，取()+∞∞-∈=,200πn x ，则有()()000000000412114sin2sinsin sin εππ=>-=-=-=-m x n x x f x f m n即()nxx fnsin =在()+∞∞-∈,x 上非一致收敛 ·7 ．充要条件 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛于()()()0sup lim =-⇔∈∞→x f x f x f n Ix n ·注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷． 例 12.3 讨论函数列()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++≤≤++-=111,0110,11x n n x x n x f n 的一致收敛性’解： ① 求极限函数．当(]1,0∈x 时，()()0lim ==∞→x f x f nn ，当0=x 时．()()10lim 0==∞→nn ff ，即极限函数为()(]⎩⎨⎧∈==1,0,00,1x x x f②[]()()()()()∞→≠=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-∈n n f n f x f x f n nx 021211121121sup 1,0即()()()∞→≠>n x f x f n（二）极限函数的性质 1 ．连续性 若满足：( 1 ）对每一个n ，()x f n在区间 I 上都连续； ( 2 ) ()()()Ix n x f x f n ∈∞→⇒,; 则()x f 在 I上连续，即()()()()000lim lim lim lim lim x f x f x f x f nx x n n n x x x x ===→∞→∞→→→注：其逆否命题：若nf 都连续，但极限函数f 不连续，则必不一致收敛．可用此命题再对例12.1及例 12 . 3 进行判断． 2 ．可积性 若满足：（ 1 ）对每一个 n ,()x f n 在区间[]b a ,上都连续；( 2 ）()()()[]b a x n x f x f n,,∈∞→⇒；则()x f 在[]b a ,上可积，且()()()⎰⎰⎰∞→∞→==b aba ban n n n dx x f dx x fdx x f lim lim 3 ．可微性 若满足：( 1 ）对每一个 n ，()x f n在区间[]b a ,上都连续；( 2 ）[]b a x ,0∈∃使()()()∞→→n x f x fn;( 3 ）()()()[]b a x n x g x f n,,'∈∞→⇒.则()x f 在[]b a ,上可导，且()()x g x f ='，即()()()()x f x f dxd x f nn nn ''lim lim ∞→∞→== 注：以上三个定理的条件仅为充分条件． 4 ．狄尼定理 若函数列(){}x fn对每一个 n ,(){}x f n 都在[]b a x ,∈上连续，对每一点[]b a x ,∈，(){}x f n为单调的，且()()[]b a x x f x f nn ,,lim ∈=∞→，则()x f 在[]b a ,连续的充要条件是()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→⇒．证明：充分性显然，下证必要性． （反证法）假设()()()[]b a x n x f x fn,,∈∞→≠>．由定义，0>∃ε，对0>∀N ， Nn >∃0及[]b a x ,0∈，使得()()0000ε≥-x f x f n ．特别地，当取,...,...,2,1k N =k 时，分别存在kn k>，及[]b a x k,∈使得()()0ε≥-k k nk x f x f（ * ) 并且不妨设... (21)<<<<k n n n由已知，(){}x fn对固定的x 是单调的，不妨设为单调递增．且()()[]b a x x f x f nn ,,lim ∈=∞→，即()()()()x f x f x f x f n≤≤≤≤≤......21．于是式（ * )可写为()()0ε≥-k n k x f x f k（ ** )由于{}[]b a x k,⊂为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为{}kx ，即[]b a x x kn ,lim '∈=∞→.因 ()()''lim x f x f nn =∞→，对上述的0,00>∃>N ε，当N n > 时．恒有()()0''ε<-x f x f n.特别地，有()()0'1'ε<-+x f x f N（*** ) 当NN nk>+≥1时，由单调性及式（ ** )有()()()()01ε≥-≥-+kn kkN kx f x f x f x f k注意到()x f 及()x fN 1+的连续性，令∞→k 取极限得()()'1'ε≥-+x f x f N ．此与（*** )式矛盾，即nf 必一致收敛于f. 二、函数项级数（一）函数项级数的逐点收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛(){}x u n 为定义在区间I 上的函数列，称()∑∞=∈1,n n I x x u 为函数项级数．若对I x ∈∀，级数()∑∞=1n nx u都收敛．则称函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上逐点收敛，称()()∑∈=Ix x u x f n ,为和函数．称()()∑==nk k n x u x S 1为部分和函数，()()∑∞==1n k nx u x R 为第n 项余项函数 ·()∑∞=1n n x u 逐点收敛于 ()()()I x x f x S x f nn ∈=⇔∞→,lim2 ．一致收敛若()()()I x n x f x S n∈∞→⇒,，则称函数项级数()∑∞=1n nx u在区间I 上一致收敛于和函 数()x f ．()∑∞=1n n x u 一致收敛于()()()I x n x R x f n∈∞→⇒⇔,03 ．一致收敛柯西准则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上一致收敛⇔对,0>∃>∀N ε，当N n >时，对任意的自然数p ，及对一切I x ∈，恒有()()()ε<++++++x u x u x up n n n (21)注：由此可得到函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上一致收敛的必要条件：一般项(){}x u n一致收敛于零．逆否命题：若一般项(){}x u n不致收敛于零．则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上必不一函数项级数收敛。

§3.2 函数列与函数项级数一、主要知识点和方法1、基本概念函数列 收敛域 极限函数设{()}n f x 是定义在数集E 上的函数列，若存在x E '∈，使得数列{()}f x '收敛，则称函数列{()}n f x 在点x '收敛。

所有收敛点的集合称为收敛域，记为D 。

{()}n f x 在D 上每点的极限（是D 上的函数），称为极限函数，记为()f x 。

于是对任意x D ∈有lim ()()n n f x f x →∞=，或记为()()Dn f x f x −−→，称{()}n f x 在D 上收敛于()f x 。

函数列一致收敛性若0ε∀>，N ∃，当n N >时，对任意x D ∈都有()()n f x f x ε-<，则称{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x ，记为()()Dn f x f x −−−→一致。

函数列一致有界性若存在常数0M >，使得对任意的自然数n 以及任意的x D ∈有()n f x M ≤，则称{()}n f x 在D 上一致有界。

函数项级数 和函数设{()}n u x 是E 上的函数列，称1()n n u x ∞=∑为E 上的函数项级数。

若其部分和函数列{()}n S x 在D 上收敛于收敛于极限函数()S x ，则称1()n n u x ∞=∑在D 上收敛于和函数()S x ，记为1()()n n u x S x ∞==∑。

函数项级数级数一致收敛性 设{()}n S x 是1()nn u x ∞=∑的部分和函数列，若()()DnS x S x −−−→一致，则称级数在D 上一致收敛（于()S x ）。

柯西一致收敛准则{()}n f x 在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，对任意x D ∈都有()()n m f x f x ε-<。

1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当m n N ≥>时，对任意x D ∈都有()mk k nu x ε=<∑。

13 2一致收敛函数列与函数项级数的性质13&period;2一致收敛函数列与函数项级数的性质§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质教学目标：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性．教学内容：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别；可积性的判别，可微性的判别．(1) 基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．(2) 较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．教学建议：(1) 要求学生必须掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论．(2) 对较好学生可布置有关函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性证明的习题．教学过程：主要讨论连续性、可积性、可微性。

定理13.2.1 设函数列{f n (x ) }在(a , x 0) ⋃(x 0, b ) 上一致收敛于 f (x ) ，且对∀n ，x →x 0li m f n (x ) =a n ，则lim a n 、lim f (x ) 均存在，且相等，即 n→∞x →x 0lim lim f n (x ) =lim lim f n (x ) 。

（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）n →∞x →x 0x →x 0n →∞定理13.9（连续性）若函数列{f n (x ) }在区间I 上一致收敛于f (x ) ，且对∀n ，f n (x ) 在I 上连续，则f (x ) 在I 上也连续。

说明：若各项为连续函数的函数列{f n (x ) }在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列{f n (x ) }在区间I 上不一致收敛。

如：x n 在(-1, 1]上。

定理13.10（可积性）若函数列{f n (x ) }在[a , b ]上一致收敛，且每一项都连续，则⎰lim f n (x ) dx =lim ⎰f n (x ) dx 。

a n →∞n →∞a b b {}注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序；注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。