二项式定理内容要求层次重难点二项式定理 B1.理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式；2.会区分项的系数与项的二项式系数；3.掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用；4.熟练掌握二项式定理的基本问题――通项公式及其应用二项展开式的特点与功能B二项式系数的性质B二项式定理的定义二项式定理的证明二项展开式的通项二项式系数的性质二项式定理高考要求知识框架二项式定理一、定义：n nn r r n rn n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C ++++++=+---ΛΛ22211)( )(*N n ∈，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数),,2,1,0(n r C rn Λ= 叫做二项式系数，第1+r 项叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示；r r n rn r b a T C -+=1叫做二项展开式的通项公式． 二、二项展开式的特点与功能1. 二项展开式的特点项数：二项展开式共1+n （二项式的指数+1）项；指数：二项展开式各项的第一字母a 依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b 依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n ；系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b 的幂指数；2. 二项展开式的功能注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a ，b 不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式．因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据．又注意到在b b a )(+的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列．因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据． 三、二项式系数的性质1. 对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．2. 单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C n n2最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数Cn n21-,Cn n21+ 相等，且最大．3. 组合总数公式：n nn n n n C C C C 221=++++Λ 即二项展开式中各项的二项式系数之和等于n 2． 4. “一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ．知识内容1. 二项式定理及其展开式【例1】 求5)1(x x +的展开式．【例2】 0．9915的近似值（精确到0.001）是【例3】 求证：（1）11--n n 能被2)1(-n 整除)3,(≥∈n N n ；2. 二项式系数【例4】 在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）A ． –14B ． 14C ． –28D ． 28【例5】 设1,2,3,4,5,k =则5)2(+x 的展开式中k x 的系数不可能是（ ）A ． 10B ． 40C ． 50D ． 80例题精讲【例6】 在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，3x 的项的系数为（ ）A ． 74B ． 121C ． –74D ． –121【例7】 已知n xx )21(3-)(*∈N n 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：（1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项； （3）系数最大的项．【例8】 设2002002210200)14(x a x a x a a x ++++=-Λ ，求 ①展开式中各二项式系数的和；②展开式中各项系数的和； ③19931a a a +++Λ的值 ④20042a a a +++Λ的值 ⑤20021a a a +++Λ 的值3. 二项式展开式的通项公式【例9】 求9)1(xx -的二项展开式中3x 的系数．【例10】 求7)21(x +的二项展开式中，第4项的系数和第4项的二项式系数．【例11】 求10)1(xx +的二项展开式的第6项．【例12】 二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为______．【例13】 103)1(xx -展开式中的常数项是______．【例14】 （2010江西卷理6）8)2(x -展开式中不含4x 项的系数的和为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．24. 二项式定理在解决整除性问题中的应用【例15】 今天是星期一，再过n 8天后的那一天是星期几？【例16】 9291除以100的余数是（ ）．5. 信息迁移【例17】 若)()21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-Λ，)()()(200402010a a a a a a ++++++Λ= _______．（用数字作答）【例18】 已知函数1212)(+-=x x x f ，求证：对于任意不小于3的自然数n ，都有1)(+>n n n f ．【例19】 求证：*12(1)3(2,)n n n N n <+<≥∈1. 在使用通项公式r r n rn r b a T C -+=1时，要注意：①通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项②展开式中第r +1项的二项式系数C rn 与第r +1项的系数不同③通项公式中含有a ，b ，n ，r ，1+r T 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n2. 证明组合恒等式常用赋值法3. 二项式定理应用通常有以下几类题型：①通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题②系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数③系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和④利用二项式定理求近似值，证明整除性或求余数问题，证明恒等式或不等式⑤在概率等方面的应用课堂总结【习题1】（2010全国Ⅰ卷理5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（ ）A ． -4B ． -2C ． 2D ． 4【习题2】4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（ ）A 6B 12C 24D ． 48【习题3】73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A 14B -14C 42D -42【习题4】（2010陕西卷理4）)(5R x x a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．0．5C ．1D ．2【习题5】若n xxx )1(3+的展开式中的常数项为84，则n =_____________【习题6】已知n x x )1(lg +展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值【习题7】(2010安徽卷理12）6)(xy y x -展开式中，3x 的系数等于________．课后检测。
