高考数学二项式定理专题复习专题训练)(最新整理)

可编辑修改精选全文完整版二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.跟踪训练1.在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A.63x B.4xC.4x6x D.4x或4x6x(2)若nxx⎪⎭⎫⎝⎛-12的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则a1＋a2＋…＋a n的值为________.(3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( ) A.1 B.243 C.121 D.1222.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.3.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三 二项展开式的应用例、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11 D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

二项式定理专项训练一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．160B ．192C ．184D ．1862．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第3项是常数项，则n ＝( ) A ．6B ．5C ．4D ．33．(1＋3x )2＋(1＋2x )3＋(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝( )A ．49B ．56C ．59D ．644．(x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．805．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2n 的展开式中所有项的系数和等于1256，则展开式中项的系数的最大值是( )A ．72B ．358C ．7D ．70 6．多项式(x 2＋1)(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)展开式中x 3的系数为( )A ．6B ．8C ．12D ．137．(1＋x ＋x 2＋x 3)4的展开式中，奇次项系数的和是( )A ．64B ．120C ．128D ．256二、选择题：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －ax 2n (a <2)的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1 024，则下列说法正确的是( )A ．a ＝1B ．展开式中偶数项的二项式系数和为512C ．展开式中第6项的系数最大D ．展开式中的常数项为459．关于多项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －24的展开式，下列结论中正确的有( ) A ．各项系数之和为0B ．各项系数的绝对值之和为256C ．存在常数项D ．含x 项的系数为－4010．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：C m n ＝C n －m nB ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C k n ＋1＝C k －1n ＋C k n C ．由“n 行所有数之和为2n ”猜想：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2nD ．由“111＝11,112＝121,113＝1 331”猜想115＝15 101 051三、填空题：11.已知(x ＋1)n 的二项式系数和为128，则C 0n －C 1n 2＋C 2n 4＋…＋C n n (－2)n ＝________．12．若(1＋2x )2 022＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 022x 2 022(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 02222 022的值为________．13．已知(33＋2x )n (n ∈N ＋，1≤n ≤12)的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n 的值________．四、解答题：14．在(1＋x )5＋(1－2x )6的展开式中，（1）所有项的系数和（2）含x 4的项的系数15．已知(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －15的展开式中的常数项为13 （1）则实数a 的值（2）展开式中的各项系数之和。

专题能力训练19 排列、组合与二项式定理一、能力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种2.已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为()A.5B.40C.20D.103.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.294.若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.3B.4C.5D.65.展开式中的常数项为()A.-8B.-12C.-20D.206.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为()A.1 860B.1 320C.1 140D.1 0207.若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则的最小值为()A.2B.C.D.8.在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.1 200B.2 400C.3 000D.3 6009.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.21010.已知二项式的展开式中含x3的系数为-,则的值为()A. B.C. D.11.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)12.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .13.(2018全国Ⅰ,理15)从2名女生,4名男生中选3人参加科技比赛,且至少有1名女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)14.在的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于.15.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴全运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有种.(用数字作答)16.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .17.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)18.某高三毕业班有40名同学,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)二、思维提升训练19.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种20.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.821.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有()A.36种B.30种C.24种D.6种22.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于()A.27B.28C.7D.823.用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)24.1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.8725.某人根据自己爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选2个不同字母,从{0,2,6,8}中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有()A.198个B.180个C.216个D.234个26.若A,B,C,D四人站成一排照相,A,B相邻的排法总数为k,则二项式的展开式中含x2项的系数为.27.设二项式的展开式中x2的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a= .28.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.专题能力训练19排列、组合与二项式定理一、能力突破训练1.B解析完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有=120种不同的排法;第二类,第一个节目排乙,最后一个节目有4种排法,其余位置有=24种不同的排法.所以共有+4=216种不同的排法.2.D解析令x=1,得2n=32,所以n=5,则(x2)5-r x10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为=10.3.D解析由条件知,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.4.C解析展开式的通项为T r+1=(x6)n-r,因为展开式中含常数项,所以6n-r=0成立,即n=r.当r=4时,n有最小值5.故选C.5.C解析因为,所以T r+1=x6-r=(-1)r x6-2r,所以当r=3时为常数项,常数项为-=-20.6.C解析依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为=180.因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1 140.故选C.7.B解析令x=1,a=2n,令x=-1,b=4n,=2n+,令t=2n,t≥2,则=2n+=t+2+故选B.8.B解析若4人中,有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是=1 200,若4人中,有甲电视台记者2人,乙电视台记者2人,则不同的提问方式总数是=1 200,若4人中,有甲电视台记者3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为1 200+1 200=2 400.9.C解析∵(1+x)6展开式的通项为T r+1=x r,(1+y)4展开式的通项为T h+1=y h,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h,∴f(m,n)=∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)==20+60+36+4=120.故选C.10.C解析二项式的展开式的通项公式为T r+1=x9-r x9-2r,令9-2r=3,r=3,将r=3代入得=-,解得a=-1,d x=故选C.11.-20解析 (x+y)8的通项为T r+1=x8-r y r(r=0,1,…,8).当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.12.4解析二项展开式的通项T r+1=(3x)r=3r x r,令r=2,得32=54,解得n=4.13.16解析方法一:①当3人中恰有1名女生时,有=12种选法.②当3人中有2名女生时,有=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有种选法,当3人全是男生时有种选法,所以至少有1名女生入选时有=16种选法.14.112解析由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为2n,由题意,得2n=256,所以n=8.二项式展开式的通项为T r+1=)8-r=(-2)r,求常数项则令r=0,所以r=2,所以T3=112.15.1 080解析先将6位志愿者分组,共有种方法;再把各组分到不同场馆,共有种方法.由乘法原理知,不同的分配方案共有=1 080.16.164解析由二项式展开式可得通项公式为x3-r x2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.17.660解析由题意可得,总的选择方法为种方法,其中不满足题意的选法有种方法,则满足题意的选法有:=660种.18.1 560解析该问题是一个排列问题,故共有=40×39=1 560条毕业留言.二、思维提升训练19.A解析将4名学生均分为2个小组共有=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.20.B解析:由题意可知,a=,b=,∵13a=7b,∴13=7,即解得m=6.故选B.21.B解析首先从四个人中选择2个人作为一组,其余2个人各自一组分派到三个竞赛区,共有种方法,再将甲、乙参加同一学科的种数排除,继而所求的安排方法有=30种,故答案为B.22.C解析令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28, ①令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0, ②由①-②,得2(a1+a3+…+a11)=28,∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=7.23.A解析本题可分三步:第一步,可取0,1,2,3,4,5个红球,有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.24.B解析 1-90+902+…+(-1)k90k+…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.25.A解析不选2时,有=72种;选2,不选Z时,有=72种;选2,选Z时,2在数字的中间,有=36种,当2在数字的第三位时,有=18种,根据分类计数原理,共有72+72+36+18=198,故选A.26解析由题设k=2=12,所以T r+1=x r,则由题设可知r=2,所以含x2项的系数为=66,应填答案27.-3解析T r+1=x6-r=(-a)r x6-2r,令6-2r=2,得r=2,A=a2=15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3=-20a3,代入B=4A得a=-3.28.解 (1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=191.。

课题：二项式定理一、知识要点1.二项式定理一般地,对于任意整数n ,都有n n n n n n n n b C b a C a C b a ++=+-110)(,这个公式叫做二项式定理.【注意】⑴等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式;⑵),2,1,0(n r C r n =叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数r n C 一定为正,而项的系数与b a , 的系数有关,正负不能确定.⑶公式右边共有1+n 项,比二项式的次数n 大1.⑷各项的次数都等于二项式的幂指数n ;字母a 按降幂排列,次数由n 递减到0,字母b 按升幂排列,次数由0递增到n .⑸二项式定理表示一个恒等式,对于任意的b a ,,该等式都成立.通过对b a ,取不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便.令x b a ==,1,则得到一个比较常用的公式: n n n n nn x C x C x C x ++++=+ 2211)1(； 若令1,1==b a,则得到一个组合数恒等式: n n n n n n C C C C ++++= 2102； 2.二项展开式的通项二项展开式的第1+r 项),2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+叫做二项展开式的通项.【注意】⑴它表示二项式展开的第1+r 项,该项的二项式系数是r n C ,而不是1+r n C ;⑵字母b 的次数和组合数的上标相同;⑶a 与b 的次数之和为n ;⑷n 是常量,n r ,,2,1,0 =是变量;⑸公式中第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒;⑹整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;⑺它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用.3.二项式系数的性质一般地, n b a )(+展开式的二项式系数nn n n n C C C C 210,,有以下性质⑴r n n r n C C -=;⑵r n r n r n C C C 11+-=+; ⑶当21-<n r 时, 1+<r n r n C C ;当21->n r ,r n r n C C <+1,即当n 为偶数时,二项式系数中, 2n n C 最大;当n 为奇数时, 二项式系数中, 21-n n C 和21+n n C （两者相等）最大.⑷n n n n n n C C C C 2210=++++ ；⑸131202-=++=++n n n n n C C C C ,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和,二、金典题型题型一:通项公式的应用求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.【☞例1】已知在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式中,第6项为常数项. ⑴求n ;⑵求含2x 的项的系数;⑶求展开式中所有的有理项.点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件（n ,r 均为非负整数,r n ≥））;第二,根据所求的指数,再求所求解的项.【☞例2】若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.10 B.20 C.30 D.120题型二:系数最大值问题在求展开式中系数最大项时,可设第1+r 项的系数为1+r t 最大,则利用⎩⎨⎧≥≥+++211r r r r t t t t ,解不等式组即可得出. 【☞例3】已知()nx x 2323+展开式各项系数和比它的二项式系数和大992. ⑴求展开式中二项式系数最大项; ⑵求展开式中系数最大项.点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋值法,求项的系数时,用1+r T 来求,而二项式系数能直接写出.【变式训练】1. ()nx 21+的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.题型三:赋值法的应用对形如()n b ax +、()m c bx ax ++2),,(R c b a ∈的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法, 只需令1=x 即可;对()n by ax +),(R b a ∈的式子求其展开式各项系数之和,只需令1==y x 即可.【☞例4】已知()772210721x a x a x a a x ++++=- .⑴求721a a a +++ ;⑵7531a a a a +++;⑶6420a a a a +++;⑷||||||||7210a a a a ++++ .【变式训练】2.对于12212⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式,求⑴求各项系数之和;⑵奇数项系数之和;⑶偶数项系数之和.三、基础落实1.二项式521⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中,x 的系数为（ ）A.5 B.10 C.20 D.402.如果nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-2323的展开式中含有非零常数项,则正整数n 可能是（ ）A.6 B.8 C.9 D.103.已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（ ）A.15 B.-15 C.20 D.-204.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-13展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.-540 B.-162 C.162 D.540 5.在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-312的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（ ）A.-7 B.7 C.-28 D.28 6.在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于（ ） A.3 B.6 C.9 D12 7. 61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x mx 的展开式中3x 的系数为15.则m 的值为 .8.若)(*6271327N n C C n n ∈=++,则n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32的展开式中的常数项是 .（用数字作答） 9.已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中,3x 的系数为94,则常数a 的值为 . 10.6)21(x -展开式中,所有项的系数之和为 ;63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为 . 四、课堂小结与作业1.“各项的二项式系数”是指),,2,1,0(n i C i n =,而“某项的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为1时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等的.2.二项式系数之和为n n n n n n C C C C ++++= 2102;各项系数之和是每项的所有系数之和.3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一.4.注意r r n r n r b a C T -+=1表示的是二项式展开式中的第1+r 项,而非第r 项,此式为二次展开式的通项.【作业】见复印件。

§10.2二项式定理课标要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N +)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：①当k <n ＋12时，C k n 随k 的增加而增大；由对称性知，当k >n ＋12时，C k n 随k 的增加而减小．②当n 是偶数时，中间的一项2C nn 取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C n n -与12Cn n+相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．(×)(2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(3)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 中的a 和b 不能互换．(√)(4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项．(×)2的展开式中x 2的系数等于()A ．45B ．20C ．－30D ．－90答案A解析因为展开式的通项为T k ＋1＝210(1)C k kk x -·x －(10－k )＝310210(1)C kk x-+-，令－10＋32k ＝2，得k ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8×C 810＝45.3．C 02023＋C 12023＋C 22023＋…＋C 20232023C 02024＋C 22024＋C 42024＋…＋C 20242024的值为()A ．1B ．2C ．2023D ．2023×2024答案A解析原式＝2202322024－1＝2202322023＝1.4．在二项式2的展开式中二项式系数之和是32，则展开式中各项系数的和为________．答案－1解析因为二项式系数之和为2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，可得各项系数的和为(1－2)5＝－1.题型一通项公式的应用命题点1形如(a ＋b )n (n ∈N +)的展开式例1(1)(x －2y )8的展开式中x 6y 2的系数为________(用数字作答)．答案112解析因为(x －2y )8的展开式中含x 6y 2的项为C 28x 6(－2y )2＝112x 6y 2，所以(x －2y )8的展开式中x 6y 2的系数为112.(2)已知的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝______.答案±1解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x5－＝3525()C k k k a x --.由5－32k ＝5，得k ＝0，由5－32＝2，得k ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.命题点2形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N +)的展开式例2(1)(2022·新高考全国Ⅰx ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x ＋y )8展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k y k ，k ＝0,1，…，7,8.令k ＝6，得T 6＋1＝C 68x 2y 6；令k＝5，得T5＋1＝C58x3y5x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C68－C58＝－28.(2)若(x2＋a的展开式中x8的系数为9，则a的值为________．答案1解析因为(x2＋a＝x＋a，＝C k8x8－＝C k8x8－2k，且展开式的通项为T k＋1当8－2k＝6时，k＝1，此时x6的系数为C18.当8－2k＝8时，k＝0，此时x8的系数为C08.所以展开式中x8的系数为C18＋a C08＝8＋a＝9，解得a＝1.破解三项展开式问题求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：(1)两项看成一项，利用二项式定理展开．(2)因式分解，转化为两个二项式再求解．(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答．典例(1)(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为________．答案210解析因为(3x2＋2x＋1)10＝[3x2＋(2x＋1)]10＝C010(3x2)10＋C110(3x2)9(2x＋1)＋C210(3x2)8(2x＋1)2＋…＋C910(3x2)1(2x＋1)9＋C1010(2x＋1)10，所以含有x2的项为C9103x2·C9919＋C1010C810(2x)218＝210x2.所以(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为210.(2)(1＋2x－3x2)5的展开式中含x5的项的系数为________．答案92解析将(1＋2x－3x2)5看作5个因式1＋2x－3x2的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成x5的来源有：①5个因式各出一个2x，这样的方式有C55种，对应的项为C55(2x)5；②有3个因式各出一个2x，有1个因式出一个－3x2，剩余1个因式出一个1，这样的方式有C35C12种，对应的项为C35(2x)3C12(－3x2)；③有1个因式出一个2x,2个因式各出一个－3x2，剩余2个因式各出一个1，这样的方式有C15C24种，对应的项为C15×2x×C24×(－3x2)2；所以含x5的项的系数为C55×25＋C35×23×C12×(－3)＋C15×2×C24×(－3)2＝92.思维升华(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(多选)已知2的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是()A ．n ＝10B ．展开式中的常数项为45C ．含x 5的项的系数为210D ．展开式中的有理项有5项答案ABC解析二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n x2n －2k2(1)k kx--＝522(1)C k n kknx--，由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，则C 2nC 4n ＝314，故n (n －1)1×2n (n －1)(n －2)(n －3)1×2×3×4＝314，得n 2－5n －50＝0，解得n ＝10(负值舍去)，故A 正确；则T k ＋1＝520210(1)C k kk x--，令20－5k2＝0，解得k ＝8，则展开式中的常数项为(－1)8C 810＝45，故B 正确；令20－5k2＝5，解得k ＝6，则含x 5的项的系数为(－1)6C 610＝210，故C 正确；令20－5k2∈Z ，则k 为偶数，此时k ＝0,2,4,6,8,10，故有6项有理项，故D 错误．(2)(2024·攀枝花模拟)(1－ax 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为12，则a ＝________.答案－2解析由(1＋x )4的展开式通项为T k ＋1＝C k 4x k，所以含x 3的项为C 34x 3＋(－ax 2)C 14x ＝(C 34－a C 14)x 3，故C 34－a C 14＝4－4a ＝12，可得a ＝－2.题型二二项式系数与项的系数的问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)(多选)已知2n ＋1的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则()A ．n ＝4B ．展开式中所有项的系数和为1C ．展开式中二项式系数和为24D ．展开式中不含常数项答案AD解析由题意得|C 12n ＋1×(－2)C 22n ＋1×(－2)2|＝18，则2(2n ＋1)4×(2n ＋1)×2n 2！＝18，解得n ＝4，故A 正确；所以2n ＋12，令x ＝1，则所有项的系数之和为－1，故B 错误；所以2的二项式系数和为29，故C 错误；2的通项公式为T k ＋1＝C －k(－2x )k ＝C k 9(－2)k x2k －9，若T k ＋1为常数项，则有2k －9＝0，解得k ＝92∉N ，所以不存在常数项，故D 正确．(2)(多选)(2023·重庆模拟)已知(1－2x )2024＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023＋a 2024x 2024，则()A ．展开式中二项式系数最大项为第1012项B ．展开式中所有项的系数和为1C ．a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＋a 202422024＝－1D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2023a 2023＋2024a 2024＝4048答案BCD解析由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为C 10122024，易知应为第1013项，故A 错误；令x ＝1，可得(1－2)2024＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＋a 2024＝1，即展开式中所有项的系数和为1，故B 正确；令x ＝0，可得a 0＝1，令x ＝12，可得－2024＝a0＋a 12＋a 222＋…＋a 202322023＋a 202422024＝0，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＋a 202422024＝－1，故C 正确；将等式(1－2x )2024＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023＋a 2024x 2024两边同时求导可得，2024×(－2)(1－2x )2023＝a 1＋2a 2x 1＋…＋2023a 2023x 2022＋2024a 2024x 2023，再令x ＝1，可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2023a 2023＋2024a 2024＝4048，故D 正确．命题点2系数与二项式系数的最值例4已知x 的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是()A ．二项展开式中各项系数之和为37B ．二项展开式中二项式系数最大的项为3290x C ．二项展开式中无常数项D ．二项展开式中系数最大的项为240x 3答案D解析因为x 的二项展开式中二项式系数之和为64，所以2n ＝64，则n ＝6，所以二项式为x ，则二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(2x )6－＝36626C 2kk kx --，令x ＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A 错误；第4项的二项式系数最大，此时k ＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T 4＝36336326C 2x-⨯-＝32160x ，故B 错误；令6－32k ＝0，则k ＝4，所以二项展开式中的常数项为36446426C 2x-⨯-＝60，故C 错误；令第k ＋1k 626－k ≥C k －1626－k ＋1，k 626－k ≥C k ＋1626－k －1，解得43≤k ≤73，因为k ∈N ，所以k ＝2.所以二项展开式中系数最大的项为T 3＝C 2624x 3＝240x 3，故D 正确．思维升华(1)赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．(2)二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k k ≥A k －1，k ≥A k ＋1，从而解得k .跟踪训练2(1)已知(mx ＋1)n (n ∈N +，m ∈R )的展开式只有第5项的二项式系数最大，设(mx ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＝8，则a 2＋a 3＋…＋a n 等于()A ．63B ．64C ．247D ．255答案C解析因为展开式只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以n ＝8，因为a 1＝C 78·m ＝8，所以m ＝1，所以(x ＋1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝28＝256，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 2＋a 3＋…＋a n ＝256－8－1＝247.(2)(多选)若(3x －2)2025＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2025x 2025(x ∈R )，则()A ．a 0＝22025B ．a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2024＝1－520252C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2025＝－52025－12D.a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 202532025＝22025－1答案BD解析对于A ，当x ＝0时，a 0＝(－2)2025＝－22025，A 错误；对于B ，C ，当x ＝1时，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2025＝12025＝1，当x ＝－1时，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2024－a 2025＝－52025，所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2024＝1－520252，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2025＝52025＋12，所以B 正确，C 错误；对于D ，当x ＝13时，×13－025＝a 0＋a 13＋a 232＋…＋a 202532025，所以a13＋a232＋a333＋…＋a202532025＝(－1)2025－a0＝22025－1，D正确．题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512025＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．12答案B解析因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512025＋a＝(52－1)2025＋a＝C02025·522025－C12025·522024＋C22025·522023－…＋C20242025·52－C20252025＋a，因为512025＋a能被13整除，所以－C20252025＋a＝－1＋a能被13整除，又0≤a≤13，所以a＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)利用二项式定理计算0.996，则其结果精确到0.001的近似值是()A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.课时精练一、单项选择题1．已知二项式的展开式中1x的系数是10，则实数a等于()A．－1B．1C．－2D．2答案B解析二项式的展开式为C k5·x5－k·(ax－1)k＝a k·C k5·x5－2k，令5－2k＝－1，解得k＝3，所以a3·C35＝10a3＝10，a＝1.2．若(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4等于()A．49B．56C．59D．64答案C解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59.3．(x＋2y)5(x－3y)的展开式中x3y3的系数为()A．－120B．－40C．80D．200答案B解析(x＋2y)5的展开式通项为T k＝C k5·x5－k·(2y)k＝C k5·2k·x5－k y k，＋1因为(x＋2y)5(x－3y)＝x(x＋2y)5－3y(x＋2y)5，＝C k5·2k·x6－k y k中，令6－k＝3可得k＝3，在xT k＋1＝C k5·2k·x5－k y k＋1中，令5－k＝3可得k＝2，在yT k＋1因此，展开式中x3y3的系数为C35·23－3C25·22＝－40.4．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于()A．1B．243C．121D．122答案B解析令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.5．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是()A．120B．－120C．60D．30答案A解析方法一由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展开式的第k＋1项为C k5(x＋y)5－k(－2z)k，令k＝2，可得第3项为(－2)2C25(x＋y)3z2，(x＋y)3的展开式的第m＋1项为C m3x3－m y m，令m＝2，可得第3项为C23xy2，所以(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(－2)2C25C23＝120.方法二(x＋y－2z)5相当于5个(x＋y－2z)相乘，含xy2z2的项则是其中1个(x＋y－2z)中取x，2个(x＋y－2z)中取y,2个(x＋y－2z)中取z，故系数为C15C24C22(－2)2＝120.6．多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)的展开式中x3的系数为()A．6B．8C．12D．13答案C解析原式＝x2(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)，所以展开式中含x3的项包含(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x项为1·2·x＋2·3·x＋1·3·x＝11x，和(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x3的项为x3，这两项的系数和为11＋1＝12.二、多项选择题7．(2023·长春模拟)已知的展开式中的第三项的系数为45，则() A．n＝9B．展开式中所有项的系数和为1024C．二项式系数最大的项为中间项D．含x3的项是第7项答案BCD解析的展开式的第三项为T 3＝C －2(3x 2)2＝42234C n nxx -＝223212C n nx-，所以第三项的系数为C 2n ＝45，所以n ＝10，故A 错误；所以二项式为，令x ＝1得展开式中所有项的系数和为210＝1024，故B 正确；展开式中共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C 正确；通项公式为T k ＋1＝C k －k(3x 2)k＝2103410C k k kxx -＝11301210C k k x-，令11k －3012＝3，解得k ＝6，所以含x 3的项是第7项，故D 正确．8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13，….以下关于杨辉三角的猜想中正确的是()A ．由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想C m n ＝C n －mnB ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想C r n ＋1＝C r －1n ＋C r nC ．第9条斜线上各数之和为55D ．在第n (n ≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小答案ABD解析根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得C m n ＝C n －m n ，C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn 成立，故A ，B 正确；第1条斜线上的数为C 00，第2条斜线上的数为C 01，第3条斜线上的数为C 02，C 11，第4条斜线上的数为C 03，C 12，第5条斜线上的数为C 04，C 13，C 22，第6条斜线上的数为C 05，C 14，C 23，第7条斜线上的数为C 06，C 15，C 24，C 33，…，由此，归纳得到，第2n (n ∈N +)条斜线上的数依次为C 02n －1，C 12n －2，C 22n －3，…，C n －1n ，第(2n ＋1)(n ∈N )条斜线上的数依次为C 02n ，C 12n －1，C 22n －2，…，C nn .所以第9条斜线上各数为C 08，C 17，C 26，C 35，C 44，其和为C 08＋C 17＋C 26＋C 35＋C 44＝1＋7＋15＋10＋1＝34，故C 错误；在第n (n ≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小，故D 正确．三、填空题9．若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为________．答案7解析由题意得n ＝8，所以展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k 8(3x )8－＝84381C 2k k kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭，令8－4k3＝0，得k ＝2，故常数项为C 28＝7.10．若(1＋x )6x 2的系数为30，则m ＝________.答案1解析(1＋x )6展开式通项为T k ＋1＝C k 6x k ，则C k 6x m C k 6x k ＋m C k 6xk －2，∴m C 26＋m C 46＝30，解得m ＝1.11．设(x ＋1)(2x 2－1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11，则a 0＋22a 2＋24a 4＋…＋210a 10＝________.答案75解析令x ＝2，得3×75＝a 0＋2a 1＋22a 2＋…＋211a 11，①令x ＝－2，得－75＝a 0－2a 1＋22a 2－…－211a 11，②由①＋②2，得a 0＋22a 2＋24a 4＋…＋210a 10＝3×75－752＝75.12．写出一个可以使得992025＋a 被100整除的正整数a ＝________.答案1(答案不唯一)解析由题意可知992025＋a ＝(100－1)2025＋a ，将(100－1)2025利用二项式定理展开得(100－1)2025＝C 020*********×(－1)0＋C 120251002024×(－1)1＋…＋C 202420251001×(－1)2024＋C 202520251000×(－1)2025，显然C 020*********×(－1)0＋C 120251002024×(－1)1＋…＋C 202420251001×(－1)2024能被100整除，所以只需C 202520251000(－1)2025＋a ＝－1＋a 是100的整数倍即可，所以－1＋a ＝100n (n ∈Z )，得a ＝100n ＋1(n ∈Z )，不妨取n ＝0，得a ＝1.四、解答题13．已知(23x＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解(1)令x＝1，得展开式中的各项系数和为(1＋3)n＝22n，又展开式中二项式系数和为2n.所以22n2n＝32，解得n＝5.因为n＝5，所以展开式共有6项，所以二项式系数最大的项为第三、四两项，即T3＝C25(23x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(23x)2(3x2)3＝223270x.(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，T k＋1＝C k5(23x)5－k(3x2)k＝104353C kk k x+，k C k5≥3k－1C k－15，k C k5≥3k＋1C k＋15，解得72≤k≤92，因为k∈N，所以k＝4，即展开式中系数最大的项为T5＝104444353C x+⨯＝263405x.14．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n(n∈N+)，________.(1)求a12＋a222＋…＋a n2n的值；(2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋na n的值．解(1)若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，得n＝8.若选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以C3n＝C5n⇒n＝8.若选③：因为奇数项的二项式系数的和为128，所以2n －1＝128，解得n ＝8.所以(2x －1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，令x ＝12，则有×12－＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 828，即有a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 828＝0，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 828＝－a 0＝－1.综上所述，a 12＋a 222＋…＋a 828＝－1.(2)由(1)可知，n ＝8，(2x －1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，两边求导得16(2x －1)7＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7，令x ＝1，则有16＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8，所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＝16.15．(多选)下列结论正确的是()A ．错误!k C k n ＝3n(n ∈N +)B ．多项式＋2x－展开式中x 3的系数为52C ．若(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，x ∈R ，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝310D ．2C 02n ＋C 12n ＋2C 22n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＋2C 2n 2n ＝3·22n －1(n ∈N +)答案ACD解析对于A ，错误!k C k n ＝20C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝C 0n ×1n ×20＋C 1n ×1n －1×21＋C 2n ×1n－2×22＋…＋C n n×10×2n ＝(1＋2)n ＝3n ，故A 正确；对于B ＋2x －的展开式的通项为T k ＋1＝C ，要求x 3的系数，则k ≥3，当k ＝3时，有C ，其中x 3的系数为C 36C 3320×(－1)3＝－20；当k ＝4时，有C ，不存在x 3；当k ＝5时，有C ，其中x 3的系数为C 56C 4521×(－1)4＝60；当k ＝6时，有C ，不存在x 3.故多项式＋2x－展开式中x 3的系数为－20＋60＝40，故B 不正确；对于C ，(2x －1)10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10(2x )10－k ·(－1)k ＝(－1)k C k 10·210－k ·x 10－k ，可知a 1<0，a 3<0，a 5<0，a 7<0，a 9<0，a 0>0，a 2>0，a 4>0，a 6>0，a 8>0，a 10>0，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 10，所以令x ＝－1，有(－2－1)10＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝310，因此|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝310，故C 正确；对于D,2C 02n ＋C 12n ＋2C 22n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＋2C 2n 2n＝(C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n )＋(C 02n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n )＝22n ＋22n －1＝3·22n －1，故D 正确．16．课本中，在形如(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n 的展开式中，我们把C k n (k＝0,1,2，…，n )叫作二项式系数，类似地在(1＋x ＋x 2)n ＝D 0n ＋D 1n x ＋D 2n x 2＋…＋D 2n －1n x 2n －1＋D 2n n x2n 的展开式中，我们把D k n (k ＝0,1,2，…，2n )叫作三项式系数，则D 02024C 02024－D 12024C 12024＋D 22024C 22024－…＋(－1)k D k 2024C k 2024＋…－D 20242024C 20242024的值为________．答案0解析因为(1＋x ＋x 2)2024·(x －1)2024＝(D 02024＋D 12024x ＋D 22024x 2＋…＋D k 2024x k ＋…＋D 4048－12024x4048－1＋D 40482024x 4048)·(C 02024x 2024－C 12024x 2023＋C 22024x 2022－C 32024x 2021＋…＋C 20232024x －C 20242024)，其中x 2024的系数为D 02024C 02024－D 12024C 12024＋D 22024C 22024－…＋(－1)k D k 2024C k 2024＋…－D 20242024C 20242024，因为(1＋x ＋x 2)2024·(x －1)2024＝(x 3－1)2024，而二项式(x 3－1)2024的通项公式T k ＋1＝(－1)k C k 2024·(x 3)2024－k ，因为2024不是3的倍数，所以(x 3－1)2024的展开式中没有x 2024项，由代数式恒成立可得D 02024C 02024－D 12024C 12024＋D 22024C 22024－…＋(－1)k D k 2024C k 2024＋…－D 20242024C 20242024＝0.。