第十六讲中国现代数学的开拓
中国古代数学有过光辉灿烂的传统，但自明代开始落后于西方。20世纪初，伴随着科学与民主日益高涨的呼声，中国学者终于踏上了学习西方先进数学知识、赶超西方数学水平的艰难历程。
§16.1西方数学在中国的早期传播
从17世纪初到19世纪末的大约三百年时间，是中国传统数学停滞发展的时期，数学事业在这一时期的中国显得荒凉无比。该时期与数学有关的事件中，仅有西方数学的两次传入略值一提。
第一次发生于17世纪初到18世纪初。欧几里得《原本》中译本的出现是为代表。1606年，中国学者徐光启与意大利传教士利玛窦合作完成了欧几里得《原本》前六卷的中文翻译，并于翌年正式刊刻出版，定名为《几何原本》，中文数学名词“几何”即是由此而来。17世纪中叶以后，自文艺复兴时代发展起来的西方初等数学知识如三角学、透视学、代数学等也部分传入中国，特别是17世纪50年代，波兰传教士穆尼阁来华时传入了发明不久的对数，1664年薛凤祚汇编《天文会通》，其中有“比例对数表”一卷（1653），首次系统介绍对数并使用了“对数”这一名词。
西方数学第二次向中国传播始于19世纪中叶。除初等数学，该时期传入的数学知识还包括解析几何、微积分、无穷级数论、概率论等近代数学。1859年，李善兰与英国传教士传烈亚历合作出版了《代微积拾级》，是为中国翻译出版的第一部微积分著作。李善兰在翻译过程中创造了大量中文数学名词，其中有许多被普遍接受并沿用至今。李善兰还与他人合作翻译了德摩根的《代数学》等其他西方数学著作。不久，华蘅芳也先后于1874年和1880年翻译出版了《微积溯源》和《决疑数学》，后者是传入中国的第一部概率论著作。
西方数学在中国的早期传播对中国现代数学的形成起了一定的作用，但由于当时整个社会环境与科学基础的限制，总的来说其功效并不显著。清末数学教育的改革仍以初等数学为主，即使在所谓“大学堂”中，数学教学的内容也没有超出初等微积分的范围，并且多半被转化为传统的语言来讲授。中国现代数学的真正开拓，发生在辛亥革命以后，兴办高等数学教育是其重要标志。
§16.2高等数学教育的兴办
自鸦片战争以后，西方列强的军舰与大炮使中国朝野看到了科学与教育的重要，部分有识之士积极主张派遣留学生出国学习西方科学，并开始着手改革国内科学教育。辛亥革命以后，这两条途径得到了较好的结合，从而有力推动了中国现代高等数学教育的建制。
中国早期出国学习数学知识的人员关不多。冯祖荀是迄今所知出国专习数学最早的中国留学生之一。他于1904年赴日，就读于京都帝国大学。1907年，郑之蕃赴美国康奈尔大学学习数学，1911年回国。辛亥革命前后，走出国门到欧、美、日各国学习现代数学的人员逐渐增多。1912年，吴玉章等发起组织“留法俭学会”，以“输世界文明于国内”为宗旨。在首批赴法勤工俭学的学生中，已知有何鲁等三位赴法后攻读数学。何鲁在里昂大学获得科学硕士学位后于1919年回国。
1917年，胡明复以论文《具边界条件的线性积–微分方程论》获美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。此后截止1930年，相继又有多人先后在国外取得数学博士学位。他们中的大部分人为中国现代数学事业均贡献良多。
1912年，中国第一个大学数学系在北京大学成立，时称“数学门”。这是中国现代高等数学教育的开端。当时主持数学系的是冯祖荀。
1920年，姜立夫在天津创办了南开大学数学系。
1927年，清华学校大学部正式成立算学系，郑之蕃任系主任。1928年，清华学校改称清华大学，早年留学法国的熊庆来出任算学系主任。不久，杨武之加入清华，后在抗日战争期间长期主持了西南联合大学数学系。1930年，中国大学的第一个研究生院在清华诞生，并于1931年开始招收第一批数学研究生。
1929年和1931年，留学日本的陈建功和苏步青先后回国，均受聘于浙江大学。二人都是日本东北帝国大学理学博士。陈建功1929年回国后出任浙江大学数学系主任，1933年他举荐苏步青接任。陈建功和苏步青通力合作，于1931年在浙江大学创办了中国第一个数学讨论班。
20世纪20年代，是中国现代数学发展道路上的关键时期。在这一时期，全国各地大学纷纷创办数学系，数学人才培养开始着眼于国内，除了已经提到的北京大学、清华大学、南开大学、浙江大学，在这一时期成立数学系的还有：东南大学（1921，后改称中央大学、南京大学）、北京师范大学（1922）、武汉大学（1922，当时称武昌高等师范学校）、厦门大学（1923）、四川大学（1924，当时称成都高等师范学校）、中山大学（1924）、东北大学（1925）、交通大学（1928）、安徽大学（1930）、山东大学（1930）和河南大学（1930）等。
这是一个艰苦的创业过程。许多人放弃了国外的优裕环境，为发展中华故土的数学教育贡献了毕生精力。与此同时，一批在国内成长的数学家，也作出了无私的奉献。其中如傅种孙，北京高等师范学校（即北京师范大学前身）毕业生，长期扎根国内，成为著名的数学教育家；吴在渊，靠自学成为国内数学知名教授，与留美归国的胡敦复等团结合作，惨淡经营大同大学数学系20余年，在月薪仅能勉强维生的情况下，“日则教书，夜则译著”，并喊出了“中华学术，要求自立”的强音。中国现代数学事业的开拓，充满了开路先锋们包括许多无名英雄可歌可泣的事迹！
从1920年起，中国大学开始邀请外国数学家来华讲学。根据现有记录，最早来华访问讲学的外国数学家是德国的克诺普，他于1920-1927年长期任青岛大学教授。1920年6月至9月，当时任法国总理的著名数学家班勒维访华，在北京大学和上海中国科学社作过报告，并
呼吁在中国建立数学家团体。随行的还有数学家博雷尔。1921年，英国数学家罗素访华，在北京大学作数学基础的演讲。外国著名数学家来华访问讲学在20世纪30年代达到高潮。先后有布拉施开，斯披纳尔、伯克霍夫、奥斯古德、维纳和阿达马等。其中奥斯古德在北京大学开设了复变函数论、实变函数论、理论力学等多门系统课程；维纳在清华大学开设了傅里叶分析的系统课程；阿达马作了偏微分方程理论的系列讲演等等，对国内青年学生与学者的学术成长很有帮助。
§16.3现代数学研究的兴起
伴随着中国现代数学教育的形成，现代数学研究也在中国悄然兴起。中国现代数学的开拓者们，在发展现代数学教育的同时，努力拼搏，追赶世界数学前沿。从20世纪20年代末开始，中国逐渐出现了一些具有国际水平的研究工作。
1928年，陈建功在日本《帝国科学院院报》上发表论文《关于具有绝对收敛傅里叶级数的函数论》，中心结果是证明一条关于三角级数在区间上绝对收敛的充要条件，即它是杨氏连续函数的傅里叶级数。几乎同时，哈代和李特尔伍德在德文杂志“数学时报”上也发表了同样的结果，因而西方文献中常称此结果为“哈代-李特尔伍德定理”，实际应该称为“陈-哈代-李特尔伍德定理”。这标志着中国数学家已能产出国际一流水平的研究成果。陈建功后来在这一领域又做了大量工作，1930年在日本岩波书店出版了专著《三角级数论》，这是现代中国学者在国外出版的第一部数学专著。
差不多同时，苏步青、江泽涵、熊庆来、曾炯之等也在各自领域里做出了令国际同行瞩目的工作。1928-1930年间，苏步青在当时处于国际热门的仿射微分几何方面引进并决定了仿射铸曲面和旋转曲面，他在该领域的另一个美妙发现后被命名为“苏锥面”。苏步青后来在射影曲线、曲面论、高维空间共轭网理论及K展空间和一般度量空间几何等方面取得一系列成就。江泽涵是将拓扑学引进中国的第一人，他人1934年起出任北京大学数学系主任，他本人在拓扑学领域中最有影响的工作是关于不动点理论的研究。
1931年，已经身居清华大学算学系主任的熊庆来，再度赴法国庞加莱研究所，两年后取得法国国家博士学位。其博士论文《关于无穷级整函数与亚纯函数》，引进了后来随其命名的“熊氏无穷级”概念等，将博雷尔有穷级整函数论推广为无穷级情形。
曾炯之积极参与了哥廷根抽象代数学派的活动，并于1933年在诺特指导下完成博士论文，同年发表《函数域上的可除代数》，现代代数文献中常被引用的“曾定理”就包含在这篇论文当中。1934年曾炯之放弃国外提供的资助回国，在浙江大学等院校教书。1936年又发表一篇论文，其中建立了西方文献中称为“曾层次”的ci域概念及其理论。
从20世纪初第一批学习现代数学的中国留学生跨出国门，在短短的30多年时间里，中国数学家就将自己的名字铭刻在了现代数学一些热门领域的前沿课题中。这反映了中国现代数学的先驱们高度的民族自强精神和卓越的科学创造能力。这一点，在随后的10年间有了更强烈的体现。
1937年，当时一些主要的大学都因抗战爆发而往内地迁移。如清华、北大和南开三所大学迁往云南昆明，成立了“西南联合大学”；浙江大学也迁至贵州湄潭。在极端动荡和艰苦的战争环境下，广大师生们表现出抵御外侮、发展民族科学的高昂斗志。他们在空袭与炸弹的威胁下，照常上课，并举行各种讨论班，同时坚持深入的科学研究，可以说创造了中国现代数学发展历程中的奇迹。这一时期产生了一系列先进的数学成果，其中最有代表性的是华罗庚、陈省身、许宝騄的工作。
华罗庚是一位靠自学成才的传奇人物，1936年，经维纳推荐到当时解析数论研究的世界中心剑桥大学作访问学者，在哈代名下从事数论研究，两年内发表论文十余篇，在华林问题、塔利问题、完整三角和等方面取得重要结果，引起国际同行重视。1938年回国后到西南联合大学执教，撰写了专著《堆垒素数论》，该书经维诺格拉多夫介绍在苏联科学院用俄文出版，给华罗庚带来了世界声誉。除了解析数论，华罗庚后又在代数学、多复变函数论、数值分析等领域作出一系列重大贡献，今日这些领域里都有以他的名字命名的定理与方法，如嘉当-布劳尔-华氏定理、华氏算子、华-王方法等等。华罗庚1946年应邀赴美国普林斯顿高等研究院工作。在中国数学实现超越之梦的努力中，华罗庚发挥了无可替代的作用。
陈省身作为中国自己培养的第一名数学研究生，后在德国取得博士学位。1937年回国后任教于西南联合大学。1943年应美国维布伦、外尔之邀请赴普林斯顿高等研究院工作两年，正是在此期间，他完成了将高斯-博内公式推广到高维曲面和紧致黎曼流形上的经典性工作，引起了国际微分几何学界的震惊。之后他又回到中国，中央研究院数学研究所的筹办工作实际由他负责。1949年再度赴美，先后在芝加哥大学和伯克利加州大学任终身教授。陈省身因其从40年代开始的几何学研究，而成为现代微分几何的奠基人。
许宝騄于1929年由燕京大学化学系转到清华大学算学系，1936年赴英国伦敦大学学院高尔顿实验室和统计系学习数理统计，1938年获得博士学位。许宝騄处身于由费希尔领导的英国统计学派的研究中心，受其影响很大。他1938年发表的重要论文《最优无偏二次方差估计》，是国际上关于方差分量和方差数值二次估计的大量文献的起点；许宝騄是多元统计分析的奠基人之一，对极限分布、试验设计等也有重要贡献。一些外国学者称赞许宝騄是“20世纪最深刻、最富有创造性的统计学家之一”。
我们已经看到，到20世纪30年代，中国现代数学教育与数学研究均已初步确立。在这样的形势下，数学家们开始相互联络，酝酿成立数学家团体。
一些中小型数学学术团体在辛亥革命前后已有出现，值得一提的如：1900年周达在扬州成立的“知新算社”；1911年，胡敦复等在北京成立“立达学社”（后南迁上海）；1912年，南通孙敬民、崔朝庆成立“数学杂志社”；1929年北京地区各学校联合建立“中国数理学会”。但这些团体多为地区性的，而且规模不大，存在时间也比较短。
从1934年开始，各地数学会、社的负责人经过联系、商讨，认为成立全国性数学会的条件已经成熟，遂着手进行具体的筹备工作。发起或参与筹备的数学家主要有何鲁、熊庆来、胡敦复、顾澄、范会国、陈建功、苏步青、朱公谨等。1935年7月25日，一个崭新的全国性学术团体，中国数学会宣告成立。特别重要的是，成立大会决定出版中国自己的全国性数学刊物。1936年，《中国数学会学报》即后来的《数学学报》正式出版，同时出版的还有普及性数学刊物《数学杂志》即后来的《数学通报》
中国数学会第一次会议上还组成了数学名词审查委员会，对当时翻译和使用的数学名词进行统一核定。审查结果，确定数学名词3426条，由当时的教育部以部令公布。“数学”这一学科名称本身也是在这一时期最终确定的，而在此之前，中国国内“数学”与“算学”两词长期并用。
到20世纪40年代后期，又有一批优秀的青年数学家成长起来，走向国际数学的前沿并作出先进的成果，其中最有代表性的是吴文俊的工作。吴文俊于1947年赴法国留学，钻研代数拓扑学。期间提出了后来随其命名的“吴示性类”和“吴公式”，有力地推动了示性类理论与代数拓扑学的发展。吴文俊1951年谢绝了法国师友的挽留回到祖国，不久又在示嵌类理论方面作出重要贡献，他发展的一套示嵌类理论，包容了20世纪30年代以来国外诸家的理论。吴文俊后来的重要贡献还涉及代数几何、博奕论及数学机械化等许多领域。
总之，经过老一辈数学家们披荆斩棘的努力，中国现代数学从无到有地发展起来，不仅有了达到一定水平的队伍，而且有了全国性的学术性组织和发表成果的杂志。现代数学研
究可以说初具规模，并呈现上升之势。即使在抗日战争的艰难条件下也仍然坚持下来并得到了继续发展。
1949年中华人民共和国成立之后，中国现代数学的发展进入了一个新的阶段。新中国的数学事业经历了曲折的道路而获得了巨大的进步，这种进步主要表现在：建立并完善了独立自主的现代数学科研与教育体制；形成了一支研究门类齐全、并拥有一批学术带头人的实力雄厚的数学研究队伍；取得了丰富的和先进的学术成果，其中达到国际先进水平的成果比例不断提高。改革开放以来，中国数学更是进入了前所未有的良好的发展时期，特别是涌现了一批优秀的、活跃于国际数学前沿的青年数学家。
1986年，中国数学会已成为国际数学联盟的成员。1998年，中国北京经国际数学联盟成员国代表大会无记名投票被选定为2002年国际数学家大会的举办城市。这一切都是中国数学发展水平与国际地位提高的明显标志。经历了一个世纪几代数学家的拼搏奋斗，中国数学的发展终于迎来了光明而美好的今天，同时也吹响了新世纪中国数学赶超世界先进水平的进军号角！
培养学生思维能力，提高数学质量 发表时间：2015-02-03T11:08:26.400Z 来源：《少年智力开发报》2014-2015学年第5期供稿作者：白渠[导读] 思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。 四川省巴中中学白渠 思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律的认识能力。高中数学的数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。因此，探讨高中学生的数学思维培养对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。 一、高中学生数学思维不佳的表现 由于高中数学思维不佳产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中数学思维不佳的表现各异，具体为： 1.数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。 2.数学思维的差异性：由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。 3.数学思维定势的消极性：由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。 由此可见，学生数学思维不佳的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重培养学生的数学思维就显得尤为重要。 二、高中学生数学思维的培养方法： 1.培养学生学习数学的兴趣。在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能激发数学思维的活动，也就是更大程度地使学生数学思维得到发展和提高。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。 2.重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是培养学生数学思维的一个重要环节。 3.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于培养学生的数学思维会起到重要的作用。使学生暴露观点的方法很多。例如，教师可以与学生谈心的方法，可以用精心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法，要运用延迟评价的原则，即待所有学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解决不彻底。有时也可以设置疑难，展开讨论，疑难问题引人深思，选择学生不易理解的概念，不能正确运用的知识或容易混淆的问题让学生讨论，从错误中引出正确的结论，这样学生的印象特别深刻。而且通过暴露学生的思维过程，能消除消极的思维定势在解题中的影响。当然，为了消除学生在思维活动中只会“按部就班”的倾向，在教学中还应鼓励学生进行求异思维活动，培养学生善于思考、独立思考的方法，不满足于用常规方法取得正确答案，而是多尝试、探索最简单、最好的方法解决问题的习惯，发展思维的创造性也是培养学生思维的一条有效途径。新课改已经向我们传统的高中数学教学提出了更高的要求。但只要我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，则势必会提高高中学生数学质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担。
集合的划分（一）已完成 1 数学的整数集合用什么字母表示？ A、N B、M C、Z D、W 我的答案：C 2 时间长河中的所有日记组成的集合与数学整数集合中的数字是什么对应关系？ A、交叉对应 B、一一对应 C、二一对应 D、一二对应 我的答案：B 3 分析数学中的微积分是谁创立的？ A、柏拉图 B、康托 C、笛卡尔 D、牛顿-莱布尼茨 我的答案：D 4 黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有多少条直线与已知直线平行？ A、没有直线 B、一条 C、至少2条 D、无数条 我的答案：A 5 最先将微积分发表出来的人是 A、牛顿 B、费马 C、笛卡尔 D、莱布尼茨 我的答案：D 6 最先得出微积分结论的人是 A、牛顿 B、费马 C、笛卡尔 D、莱布尼茨 我的答案：A 7
第一个被提出的非欧几何学是 A、欧氏几何 B、罗氏几何 C、黎曼几何 D、解析几何 我的答案：B 8 代数中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。我的答案：× 9 数学思维方式的五个重要环节:观察－抽象－探索－猜测－论证。我的答案：√ 10 在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。 我的答案：√ 集合的划分（二）已完成 1 星期日用数学集合的方法表示是什么？ A、{6R|R∈Z} B、{7R|R∈N} C、{5R|R∈Z} D、{7R|R∈Z} 我的答案：D 2 将日期集合里星期一到星期日的七个集合求并集能到什么集合？ A、自然数集 B、小数集 C、整数集 D、无理数集 我的答案：C 3 在星期集合的例子中，a,b属于同一个子集的充要条件是什么？ A、a与b被6除以后余数相同 B、a与b被7除以后余数相同 C、a与b被7乘以后积相同 D、a与b被整数乘以后积相同 我的答案：B 4 集合的性质不包括 A、确定性 B、互异性 C、无序性
51、6个小朋友分一袋苹果，分来分去多2个，问这袋苹果至少有几个？ 答：6＋2＝8（个） 52、一根60米长的绳子，做跳绳用去12米，修排球网用去30米，这根绳子少了多少米？ 答：12＋30＝42（米） 53、商场运回28台电视机，卖出一些后还剩15台，卖出多少台？ 答：28－15＝13（台） 54、小虎学写毛笔字，第一天写6个，以后每天比前一天多写3个，四天一共写了多少个？ 答：6＋3＝9（个）；9＋3＝12（个）；12＋3＝15（个）6＋9＋12＋15＝42（个） 55、小云今年8岁，奶奶说：“你长到12岁的时候，我62岁。”奶奶今年多少岁？ 答：62－12＋8＝58（岁） 56、最小的三位数减去最小的两位数，再减去最小的一位数，所得的结果是多少？ 答：100－10－1＝89 57、妈妈从家里到工厂要走3千米，一次，她上班走了2千米，又回家取一很重要工具，再到工厂。这次妈妈上班一共走了多少千米？ 答：2＋2＋3＝7（千米） 58、一辆公共汽从东站开到西站，开一趟。如果这辆车从东站出发，开了１１趟之后，这辆车在东站还是西站？ 答：单数为西站，双数为东站。 59、一只猫吃一只老鼠用５分钟吃完，５只猫同时吃５只同样大小的老鼠，需要几分钟才能吃完？ 答：不变，仍是5分钟 60、小明和小亮想买同一本书，小明缺１元７角，小亮缺１元３角。若用他们的钱合买这本书，钱正好。这本书的价钱是多少？他们各带了多少钱？ 答：答：小明又1元3角，小亮有1元7角。1元3角＋1元7角＝3元 61、有35颗糖，按“淘气－－－－笑笑－－－－丁丁－－－－冬冬”的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？ 答：如果每人8颗糖，一共32颗。还剩下35－32＝3（颗）按顺序应该分给丁丁 62、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？ 答：56＋128＝184（元） 63、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？ 答：1只猫吃1只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用5分钟。 64、30名学生报名参加兴趣小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？ 答：26＋17－30＝13（人）
1．是在一个平面当中用2008条直线最多能分成多少个部分。 设面为X 线数为N 则.X=1+(N+1)×N/2 2008条线就是 X=1+(2008+1)×2008/2 X=2017037 2.小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，2人都不知道张老师的生日是下列10组中的一天，张老师把M值告诉了小明，把N值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是那一天吗？ 3月4日3月5日3月8日 6月4日6月7日 9月1日9月5日 12月1日12月2日12月8日 小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道 小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了 小明说：哦，那我也知道了 请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天？ 第1句话说明m不等于6和12 第2句话说明n不等于5 第三句话说明m不等于3 小明说的那句话若M=6或12，那么他不能确定小强拿的N是不是2或7，如果小强拿2或7那么小强可以直接确定生日！所以说小明没拿6或12 排除6和12后小强如果拿了n是5，他也无法确定m是3还是9，而他能确定日期说明他没拿5 那么小强说他啊知道了接着小明就明白了说明小明没拿3，因为小强一确定日期他就可以确定，这说明他没拿三！如果他拿了3，那么他不能确定小强拿的N是4还是8（5前面已经排除），所以说明小强拿的N肯定是1！
微软的经典面试智力题 1 为什么下水道盖子是圆形的？” 2 在不使用天平的情况下，怎样称出一架喷气式飞机的重量？ 3 为什么镜子里的影像左右颠倒而不是上下颠倒？ 4 为什么你在宾馆里一打开热水龙头就有热水流出来？ 5 你在船上，把一只箱子抛起来，水平面会升高还是下降？ 6 世界上有多少钢琴调音师？ 7 美国有多少加油站？ 8 每小时有多少密西西比河水流过新奥尔良？ 9 一个曲棍球场里的冰有多重？ 10 如果你能够搬走美国50个州中的任何一个，你会搬走哪一个？ 11 地球上有多少个这样的点：往南走1公里，往东走1公里，再往北走1公里，你能回到原来的出发点？ 12 一天中钟表的指针重叠多少次？ 13 迈克和托德两人一共有21美元。迈克的钱比托德多20美元，每个人各有多少钱？在你的答案中不能有分数。 14 一般说来，将曼哈顿的电话册翻多少次，才能找到你想要找的人名？ 15 你会怎样设计比尔·盖茨的浴室？ 16 你怎样设计一个由计算机控制的微波炉？ A.逻辑推理 1、你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？ 把金条折成1、2、4，第一天1段，第二天给2要还1，第三天再给1，第四天给4要还1、2，第五天给1，第六天给2还1，第七天给1.
浅谈学生数学思维能力的培养张梦思 发表时间：2017-03-03T15:20:02.943Z 来源：《创新人才教育》2016年第8期作者：张梦思 [导读] 在民主和谐的课堂氛围中，师生平等对话，学生可以安静、深入地思考，情感、动机、信念。 新课标确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标，将素质教育的理念体现在课程标准之中，通过引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从而实现向学习方式的转变，发展学生搜集和处理信息、获取新知、分析解决问题和交流与合作的能力。 数学教学主要是数学思维活动的教学，小学生的数学思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程。学生的良好思维能力是他们获取新知识、进行创造性学习和发展智力的核心。笔者结合个人教学实践，谈谈如何培养学生的思维能力。 一、创设民主氛围，保持思维通畅 在民主和谐的课堂氛围中，师生平等对话，学生可以安静、深入地思考，情感、动机、信念、意志等非智力因素也能得到潜移默化的培养。特别是在学生的思考出现困难或卡壳的时候，我们更应该鼓励学生大胆地再想想。心理学家罗杰斯认为，一个人的创造力只有在“心理安全”和“心理自由”的条件下，才能获得最大限度的表现和发展。在宽容的氛围中学生才会渐渐鼓起勇气，打开思维的闸门，并逐渐养成乐于思考、深入思考的良好习惯。 二、创设情境问题，提供思维空间。 ⑴铺垫型情境。教师可以以符合学生认知水平的、富有启发性的、常规问题或已知的数学事实为素材，创设铺垫型情境。通过由浅入深、由此及彼、由正及反等不同的方式，不同层次的联想，变化发展出不同的新问题，从而为各种层次的学生提供广阔的思维空间，这对培养学生思维的开放性和合理推理能力有重要作用。 ⑵认知冲突型情境。教师可以以富有挑战性、探究性，且处于学生认知结构的最近发展区的非常规问题为素材，创设认知冲突性情境，引起学生的认知冲突，激起学生强烈的探究欲望和学习动机。要让学生从解决面临的情境问题出发，不断地分解、转化问题，提出新的有关问题，并通过新问题的解决，最终使情境问题获得解决。 ⑶思维策略型情境。教师可以以思维策略多样、解题方法典型、解题过程能体现某种完整的数学思想方法的问题作为素材，创设思维策略性情境。当学生的思维受阻后，教师可以从不同角度、不同的层次引导学生进行辩证分析，使学生获得不同程度的启发，从而使他们产生不同的解法。同时，教师还可以引导学生对解法或策略进行适用性研究，拓展其使用范围。这对克服思维定势等原因产生的消极影响，拓展思维的深度和广度，优化思维品质，培养思维的灵活性和创造性具有重要作用。 三：培养学生语言表达能力，促进思维发展 语言是思维的外壳，从思维的开始，经历中间过程，再到结果，都要以语言来定型。在数学课堂教学中，需要有效地向学生传授数学知识、发展逻辑思维能力，就必须重视对学生进行数学语言训练。通过“说”这条主线，促使学生思维活跃起来，是培养学生数学思维能力十分有效的策略之一。 1、提供“说”的机会 教师在教学中必须创设较好的语言环境，改变满堂讲的做法，留出充足的时间让学生用语言表述思维的过程或结果，并鼓励学生敢想、敢说，才能激活思维因素，诱发学生的回忆、想象、分析、判断、综合等一系列思维活动。 在教学概念知识时，根据小学生的思维特点，小学数学教材出现的概念主要依靠直观演示的方法引导学生进行主动探究，并用自己的语言尝试概括和表述，尤其对重点、难点内容要字斟句酌，咀嚼体会数学语言的内涵，探究领悟知识的来龙去脉。在习题练习中，教师可以先进行充分的听说训练，以形成一个良好的读题、审题、分析题意的学习环境，让学生读读题目，说一说题中容易引导我们计算错误的地方，说一说式题的解答步骤等，长此以往，学生会逐渐地克服思维惰性，优化其思维品质，提高思维能力。在解决问题时，最好的办法就是把数学知识融于最为基本的每位学生都能进行的听说活动之中。教师可以利用教材中的插图、实物或线段图等进行说的训练，让学生说出观察到的表象，在学生动手操作中边做边说出操作过程，使外部操作过程与内部的智力活动紧密结合。 2、引导“说”的规范 准确、规范地运用数学语言流畅地表达数学思维过程，合乎逻辑地描述数学规律或数学发现，既是学生思维深刻性、逻辑性和严密性的具体体现，也是新课程所倡导的学习方式的深层需求。首先要注意学生生活语言与数学语言的转化，逐步形成准确的数学语言。生活语言自由、宽松，没有固定的约束。而数学语言不同，受数学学科性质的影响，有严谨、准确、逻辑性强的特点。提炼生活数学的一个任务就是要引导学生由自己的生活语言转化成数学语言，如每件商品的价格在数学中简称单价，买的件数简称数量，总件数的钱简称总价等。其次要注意引导学生在日常学习中，坚持使用准确的数学语言。准确的语言不是一朝一夕能形成的，它需要经过反复的训练，平时的听说活动是形成数学语言准确性的关键，日常生活教学中，学生的语言训练教师要有针对性，对一些语言有困难的学生要多加引导，循循善诱，让他们多经历练习，多经历尝试，反复训练，他们也会说一口标准的数学语言。除此外，教师的教学语言也必须做到表达准确，结构严谨，使用标准的数学语言，为学生作出表率，成为学生学习的榜样。 3、体验“说”的过程 数学学习中的观察、猜想、推理、合作交流及信息技术手段都是开展语言练习，体验听说过程的好途径，教师可以加以揣磨，适当处理，抓住时机，配合展开。 4、鼓励“说”的新颖 在课堂上，教师有时为了使学生能按照自己设计好的程序“顺利”进行，要求学生语言表述只是依照个别学生的正确答案一遍遍地重复，使得思维的发展局限在狭小的空间里。因此，教师要鼓励学生说的新颖，要善于挖掘学生思维的潜能，这样方能通过学生的独特见解窥视到思维的广阔空间，才能有利于培养学生灵活的思维能力。如鼓励学生联想多说，就是诱导学生联想，通过一个条件或特征说出与其有关的其它条件或特征，培养学生思维的发散性。在复习分数应用题和比之间的联系时，往往可以将关键句中的分数既表述成分数形式，也可以表述成比的形式。如：根据“某班男生人数是女生人数的3/5” 这一条件，可启发学生联想说出：女生人数是男生的5/3；男生人数比女生少5-3/5；女生人数比男生多5-3/3；女生人数和男生人数的比是5：3；男生人数是全班的3/3+5；女生人数是全班5/3+5等等。 当然，良好的思维品质不是一朝一夕就能形成的，但只要根据学生实际情况，通过各种手段，坚持不懈，持之以恒，就必定会有所成
1、46页 2、5分 3、21级 4、10分 5、4张 6、25岁 7、23岁 8、55名 9、57名 10、9个 11、1 2个 12、33人 13、3分 14、5天 15、妹妹 16、① 0，1，3，6，10，（15），（21） ② 1、2、4、8、（16 ）、（ 32 ） ③ 1、4、3、6、5、（ 8 ）、（ 7 ） ④ 10、5、9、6、8、7、7、（ 8 ）、（ 6 ）、（9） 17、（1）√、 11111、 ● （2）□□□□□▲○○○○○ 18、7、15 19、小阳走在第一，戴黄帽子、 小菲走在第二，戴红帽子、小南走在第三，戴蓝帽子 20、9个 21、芳芳最大，阳阳最小 22、（ 2 ）＋（ 5）－（ 3 ）=（ 4 ） 或（2）＋（ 5 ）－（ 4 ）=（ 3 ）等答案 23、 2425、1只。 26、1杯奶，1杯半水。 27、20杯茶 28、12个。 29、3支 30、15面。 31、卷笔刀贵，贵（2）元 32、11个。 33、1＋9=10 2＋6=8 3＋4=7 34、○＝（ 3） △＝( 5 ) ○＋△＝( 8 )。 35、△=（2），○＝（ 3），☆＝(9 )。 36、( 1 ) △一7＝５ ○＋△＝17 △＝( 12) ○＝( 5 ) ( 2 ) ☆＋☆＝12 ☆一△＝6 ☆＝( 6 ) △＝ ( 0 )
（3）△一4＝11 ○＋△＝１6 △＝( 15 ) ○＝( 1 ) ( 4 ) ☆＋☆＝24 ☆一△＝6 ☆＝( 12 ) △＝( 6 ) （5）5＋○＝12 △＋○＝10 ○＝( 7 ) △＝( 3 ) ( 6 ) ○一☆＝5 12一☆＝8 ○＝( 9 ) ☆＝( 4 ) ( 7 ) 7＋○＝12 △＋○＝16 ○＝( 5 ) △＝( 11 ) ( 8 ) ○一☆＝5 18一☆＝8 ○＝( 15 ) ☆＝( 10 ) 37、①（4）＋（5）=（9 ）②（13）－（7）=（6 ）等 38、55． 39、3楼。（小明的速度是爸爸的二倍） 40、6个两位数。23、24、32、34、42、43 41、4个两位数。30、34、40、43。 42、15个2、3、4、23、24、32、34、42、43、234、243、324、342、423、432。 43、16颗 44、 45、45、数图形： 11个 （6）个三角形（12 ）个三角形（9）个长方形 46、数方块：
一年级思维训练题01 班级 姓名 1、晾晒1块手帕,要用2只夹子;2块手帕，要用３只夹子;1１块手帕，要用（ ）只夹子。 ２、老师带了一些小朋友去看电影,一共买了１1张票。问和老师一起看电影的有( )个小朋友. 3、８名女同学站成一排,每隔2名女同学插进3名男同学,共插进( ）名男同学. 4、把2、3、４、５分别填入（ )中，每个数只能用一次。 ( )+（ )-( )=( ) 5、小朋友排队。小平的左面有４个人,右面有8个人。这一行有（ ）个人。 6、小朋友排队。从左数过来小平是第４个,从右数过来是第8个。这一行有( ）个人. 7、按规律写数。 8、 15、１0、１3、12、11、( )、（ ） 1、４、3、6、5、（ ）、（ ) 1、2、４、8、( ）、( ) 8、 ( ）个正方形 （ ）个长方形 9、小明、小林和小红一起比体重，结果是小明比小林重,小林比小红重，小明比小红重。他们三人中 （ ）最重，( ）最轻。 10、小明、小红、小林进行１0０米跑步比赛。小明用了13秒,小林用了12秒,小红用了11秒．那么, （ )是第一,( )是第二. 11、强强的体重是2７千克，芳芳的体重是25千克。东东的体重居于第三, 他和强强体重相差５千克，东东的体重是( )千克。? 一年级思维训练题０2 班级 姓名 １、小猫、小狗、小兔、小猴、小熊排成一横排做广播操:兔的左边是狗;猴在熊的左边;猫的右边是狗； 猴在兔的右边。( )排在队伍的最左边. 2、1、2、４、5、７、8、( )、（ ) １5、1、１2、1、9、( )、（ ）、( )、（ ） 7５、( ）、（ ）、60、( ）、50、( )、( )、（ ) １0、5、９、6、８、７、7、( ）、（ )、( ) 3、拔河比赛结束后老师买了些饮料给同学们喝,可乐比雪碧多4瓶，可乐比芬达多6瓶。老师买的是 ( )多，多( ）瓶。
浅谈幼儿数学思维能力的培养 数学是一门创造性和应用性都很强的学科，21世纪需要开拓型、创造型的人才，创造性人才培养的一个重要方面就是对幼儿创造性思维的培养。创造性思维是创造力的核心，是人们完成创造性活动的基础。教育能促进幼儿创造力的发展，数学教育不仅能发展幼儿的逻辑思维，还可以培养其创造思维。通过数学领域中开展各种创造性的活动，发展幼儿思维的灵活性、变通性、独特性、培养幼儿探索发现的积极性，从而开发幼儿的创造潜能力。 为此，我在各种数学教育途径中渗透创造教育的精神与做法，在实践中探索促进创造力发展的教法。在幼儿数学活动中培养幼儿的创造性思维能力。 一、培养孩子的独立学习能力 （一）营造家庭和谐氛围，让孩子在宽松环境中成长 家庭是孩子接受第一教育的基础，构建和谐家庭是一个系统工程，包括家庭的方方面面。家长的生活态度、生活方式以及所受的教育程度等因素控制和主导着家庭成员的情感行为，他们的喜怒哀乐，会在家
庭中表现和宣泄，如果家长没有足够的宽容接纳态度，这种消极情绪就会转嫁给孩子。因此，家长的一种从容不迫的气度，谦抑的态度，便能从内心传导出一种饱和的力量，并将这种力量传递到孩子的心里，也就是人在自然状态中的一种和谐，在这样的状态下，才能触及到孩子学习能力的根部，并加以培养。 （二）潜移默化培养孩子的学习兴趣，让兴趣成为习惯 一个人的兴趣可以是自然发生的，但更多的时候是靠培养获得的，在孩子的日常生活中家长潜移默化给予孩子的积极的影响。培养孩子读书的兴趣并最终养成读书的习惯，让读书成为孩子终生受益，永远都喜欢并乐于做的事。 （三）充分利用社会资源，孩子无意中获取知识 有条件的家庭可以常带孩子去书店或图书馆，并且把它安排在日常生活的例事日程中，只要能坚持下去，孩子就会好学、会学、能学，自主学习的能力就会自然形成。有效利用网络资源可培养孩子自主学习能力。 二、幼儿数学兴趣的培养是创造性思维能力的关键 兴趣是学习的重要动力，兴趣也是创造性思维能
如何培养小学生数学的思维能力 思维是人脑对客观事物的一般特殊性和规律性的一种间接的、概括的反映过程。数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。 学生的良好思维能力是他们获取新知识、进行创造性学习和发展智力的核心。新课标确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标，将素质教育的理念体现在课程标准之中，通过引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从而实现向学习方式的转变，发展学生搜集和处理信息、获取新知、分析解决问题和交流与合作的能力。 一、数学思维与数学思维能力的含义 数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。 数学思维能力主要包括四个方面的内容： 1．会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括； 2．会用归纳、演绎和类比进行推理； 3．会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点； 4．能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。 新课标指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律。数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。新课标确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标，将素质教育的理念体现在课程标准之中。通过引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从而实现向学习方式的转变，发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力。 新课标关注的是数学课程目标，它包括：数学素养、数学知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度，注重学生经验、学科知识和社会发展三方面内容的整合，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
数学的思维方式与创新课程评价下载客户端 返回 ?《数学的思维方式与创新》期末考试（20) 姓名：薛懂班级：默认班级成绩：98.0分 一、单选题（题数:50，共50.0 分） １ 第一个认识到一般的五次方程不可用根式求解的人是 １。0分 ?A、 鲁布尼 ?Ｂ、 阿贝尔 ?C、 拉格朗日 ?D、 伽罗瓦 我的答案：C 2 环R中的运算应该满足几条加法法则和几条乘法法则？
1。0分 ?Ａ、 ３、3 ?Ｂ、 ２、2 ?C、 4、2 ?Ｄ、 2、4 我的答案:C ３ 生成矩阵是可逆矩阵，当Ω其中的2n个矩阵都是非零矩阵，那么存在一对I，ｊ满足什么等式成立? 1.0分 ?A、 Ai=Aｊ ?B、 Ai+Ａｊ=１ ?C、 Ai＋Ａｊ=－1 ?D、 AiAj=1
我的答案：A 4 次数大于０的多项式在哪个数域上一定有根１．0分 ?Ａ、 复数域 ?B、 实数域 ?C、 有理数域 ?D、 不存在 我的答案：A 5 在模5环中可逆元有几个？ 1.0分 ?A、 1.0 ?B、 ２.0 ?C、 3．0
4．0 我的答案：D 6 素数等差数列（５，17,29)的公差是 1．0分 ?A、 6．0 ?B、 8。０ ?C、 1０。0 ?D、 １２.０ 我的答案：D 7 在Zｍ中,等价类ａ与m满足什么条件时可逆? 1。０分 ?Ａ、 互合 ?Ｂ、 相反数
互素 ?D、 不互素 我的答案:C ８ φ（9)= 1。0分 ?A、 1.0 ?B、 ３。０ ?C、 6.０ ?Ｄ、 9．0 我的答案：C 9 如果今天是星期五，过了370天,是星期几1。0分 ?Ａ、 星期二
仅供参考小学教育资料 姓名：__________________ 班级：__________________ 第1 页共9 页
一年级思维训练题（一） 1、晾晒1块手帕，要用2只夹子；2块手帕，要用3只夹子；11块手帕， 要用（12）只夹子。 2、老师带了一些小朋友去看电影，一共买了11张票。问和老师一起看电影 的有（10）个小朋友。 3、8名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（9） 名男同学。 画图法：用○代表女生，用□代表男生。 ○○□□□○○□□□○○□□□○○ 4、把2、3、4、5分别填入（）中，每个数只能用一次。 （3）+（4）-（2）=（5） 5、小朋友排队。小平的左面有4个人，右面有8个人。这一行有（13）个 人。 6、小朋友排队。从左数过来小平是第4个，从右数过来是第8个。这一行 有（11）个人。 7、按规律写数。 15、10、13、12、11、（14）、（9） 1、4、3、6、5、（8）、（7） 第2 页共9 页
第 3 页 共 9 页 1、2、4、8、（16）、（32） 8、小明、小红、小林进行100米跑步比赛。小明用了13秒，小林用了12 秒，小红用了11秒。那么，（小红）是第一，（小林）是第二。 9、拔河比赛结束后老师买了些饮料给同学们喝，可乐比雪碧多4瓶，可乐 比芬达多6瓶。老师买的是（ 可乐 ）多。 一年级思维训练题（二） 1、小猫、小狗、小兔、小猴、小熊排成一横排做广播操：兔的左边是狗； 猴在熊的左边；猫的右边是狗；猴在兔的右边。（ 小猫）排在队伍的最左边。 2、举行跳绳比赛。秋秋跳得比丁丁少，小牛跳得比阿婷多，比秋秋少。 第一名：（丁丁）第二名：（秋秋）第三名：（小牛）第四名：（阿婷） 3、小明今年6岁，小强今年4岁，2年后，小明比小强大几岁？ 6-4=2（岁） 2年后小明比小强大2岁 4、同学们排队做操，小明前面有4个人，后面有4个人，这一队一共有多 少人？ 4+1+4=9 5、有一本书，小华第一天看了2页，以后每一天都比前一天多看2页，第 4天看了多少页？
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/f715197494.html, 浅析如何开拓小学生的数学思维 作者：周继常 来源：《新课程·教研版》2009年第12期 摘要:小学阶段的儿童,思维方式以直观形象为主。作为小学数学教师,如何正确理解新课程理念,开拓学生的数学思维,是小学数学教学过程中需要首先思考与解决的问题。本文结合教学实践,针对数学课堂思维训练,谈几点体会。 关键词:教学方式学习内容数学思维 在数学课堂思维训练过程中,要根据不同的教学内容、不同的认知层次、学生的不同情况 采取开放式的教学方法,留给学生充分利用已知的知识和经验主动探索与解决问题的空间,或先导后放,或先放后导,引导学生从不同方向去发现问题、思考问题,从而主动完成知识的迁移与内化,以达到促进学生主动参与、主动探索、主动发展的目的。 一、在问题情境中开拓思维 问题情境已成为沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间的一座桥梁,它在小 学数学教学中发挥着重要的作用。在课堂教学中,教师应关注一些对学生富有意义的、又与教 学内容有关联的问题事实,结合教学内容精心设计问题来吸引学生的注意力,唤起求知兴趣。例如在教学“圆的认识”时,我提出如下问题:“同学们,你们知道自行车的车轮是什么样的?”学生回答:“是圆形的。”“如果是长方形或三角形行不行?”学生笑着连连摇头。我又问:“如果车轮是椭 圆形的呢?”(随手在黑板上画出椭圆形)。学生急着回答:“不行,没法骑。”我紧接着追问:“为什么圆的就行呢?”学生一听,马上活跃起来,纷纷议论。课堂气氛一下子活跃起来,不知不觉中融入到探索新知中。这样通过更巧妙新颖的形式,引发学生的兴趣,诱发学生进一步的积极思维活动,为新课的学习作好铺垫。 二、在实践操作中开拓思维
小学生数学思维能力的培养策略 思维是人脑对客观事物的一般特殊性和规律性的一种间接的、概括的反映过程。数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。 数学思维能力主要包括四个方面的内容：①会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；②会用归纳、演绎和类比进行推理；③会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；④能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。 学生的良好思维能力是他们获取新知识、进行创造性学习和发展智力的核心。新课标确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标，将素质教育的理念体现在课程标准之中，通过引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从而实现向学习方式的转变，发展学生搜集和处理信息、获取新知、分析解决问题和交流与合作的能力。 一、学生数学思维受阻的原因 根据我们课题组的研究以及参考有关资料，分析学生思维受阻的主要原因有以下几点： 1、教法差异造成衔接不当。 众所周知，小学数学教学活动中要根据学生年龄、心理、知识水平的特点，分阶段、有步骤地进行培养，但在各年级段的教学中教者仍然存在着各自为政、各扫门前雪的现象。主要表现在三个方面：①教材因素导致数学知识点脱节。据调查，38.5%的教师只对本年级段的教材深入钻研，38.5%的教师对上、下年级 段的教材所要教的内容了解，15.4%的教师对小学阶段各个年级段的知识点了解。 ②教学方法的差异。有48.07%的学生认为数学课大部分由老师讲解，小部分由 学生练习，认为重视学生讨论与合作的仅占9.2%。这表明学生讨论与合作的这 一学习方法并没有得到充分的培养，没有有效地发挥学生的主观能动性。③节奏变化。就一节课的知识容量而言，低年级远比不上中、高年级，因而在讲解中就
《数学的思维方式与创新》期末考试（20） 一、单选题（题数：50，共50.0 分） 1Z的模m剩余类具有的性质不包括（1.0分）1.0 分 A、 结合律 B、 分配律 C、 封闭律 D、 有零元 我的答案：C 2在数域F上x^2-3x+2可以分解成几个不可约多项式（1.0分）1.0 分A、 1.0 B、 2.0 C、 3.0 D、 4.0 我的答案：B 3f(x)和0多项式的一个最大公因式是什么?（1.0分）1.0 分 A、 0.0 B、 任意b,b为常数 C、 f(x) D、 不存在 我的答案：C 4在Q[x]中,次数为多少的多项式是不可约多项式?（1.0分）1.0 分A、 任意次 B、 一次 C、 一次和二次 D、 三次以下
我的答案：A 5密钥序列1010101可以用十进制表示成（1.0分）1.0 分 A、 83.0 B、 84.0 C、 85.0 D、 86.0 我的答案：C 6在Z2上周期为7的序列0110100…的旁瓣值有哪些?（1.0分）1.0 分A、 1、-1、0 B、 都是1 C、 都是0 D、 都是-1 我的答案：D 7第一个提出极限定义的人是（1.0分）1.0 分 A、 牛顿 B、 柯西 C、 莱布尼茨 D、 魏尔斯特拉斯 我的答案：B 814用二进制可以表示为（1.0分）1.0 分 A、 1001.0 B、 1010.0 C、 1111.0 D、 1110.0 我的答案：D 9何时牛顿和布莱尼茨独立的创立了微积分（1.0分）1.0 分 A、 1664年
1665年 C、 1666年 D、 1667年 我的答案：C 10设p是素数,对于任一a∈Z ,ap模多少和a同余?（1.0分）1.0 分 A、 a B、 所有合数 C、 P D、 所有素数 我的答案：C 11不属于一元多项式是（1.0分）1.0 分 A、 0.0 B、 1.0 C、 x+1 D、 x+y 我的答案：D 12设A为3元集合,B为4元集合,则A到B的二元关系有几个（1.0分）1.0 分A、 12.0 B、 13.0 C、 14.0 D、 15.0 我的答案：A 13φ(12)=（1.0分）1.0 分 A、 1.0 B、 2.0 C、 3.0
数学练习(二) 一、按规律填数。 （1）1、15、2、14、3、13、（）、（）（2）2、4、6、8、（）、（）、 （3）13、12、10、7、（）、（）（4）8、7、10、9、12、11、14、（）、（） 二、填空。 1、（1） 2、按规律画图。 （2）（）条最长（） （3）（）条最短 3、操场上有一队小朋友做游戏，小芳的前面有3人，后面有5人，一共有（）个小朋友在做游戏。 4、军军参加象棋比赛，他和每位选手都要赛一场，一共赛了15场，参加比赛的共有（）人。 5、小明和小军每人都有10个悠悠球，小明给小军3个后，小军比小明多（）个。 6、一个三角形纸片，剪去一个角后还剩（）个角。 7、1个小朋友吃1杯冰淇淋要用6分钟，9个小朋友用同样的速度同时吃9杯冰淇淋，需要（） 分钟。 8、芳芳要买一枝1元5角的圆珠笔，如果只有面值1元、5角、与1角的钱币，她有（）种付钱方 法。 9、钟敲打3下要用2秒钟，那么钟要敲打12下要用（）秒钟。 10、玲玲从1写到20，她一共写了（）个数字1。 11、一只船上坐着一家人。数一数，有两个爸爸，两个儿子。船上一共有（）人。 12、在1、2、3、4、5、6、之间添上“+”（位置相邻的两个数字可以组成一个数），使它们的和等于 75。 1 2 3 4 5 6 =75 13、下面△和○在每题中各表示什么数。 （1）△+△=10 （２）○－△＝７ ○+3 =△△＋○＝１５ ○= （）△=（） △=（）○= （） １４、在下面的（）中填上相同的数，使算式成立。 １８－（）－（）＝（） １５、１３后面的第３个数是（），前面的第３个数是（）。 １６、把1、2、3、4、5、6、７、８、分别填在（）里，使算式两边相等。 （）＋（）＋（）＋（）＝（）＋（）＋（）＋（） １７、把1、2、3、4、5、6、７、８、９这九个数填在下面的方框里，使每一横行、竖行、斜行三个数1
第四讲数学思维的开拓性 一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。 “数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。 在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在： (1)一题的多种解法
例如 已知复数z 满足1||=z ，求||i z -的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决： ①运用复数的代数形式； ②运用复数的三角形式； ③运用复数的几何意义； ④运用复数模的性质（三角不等式）||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ?=2||； ⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时，r 的最大值。 (2) 一题的多种解释 例如，函数式22 1ax y = 可以有以下几种解释： ①可以看成自由落体公式.2 12gt s = ②可以看成动能公式.2 12mv E = ③可以看成热量公式.212RI Q = 又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：x tg x a b x x x x a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,, log -?+，等等。 1． 思维训练实例 例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax 分析1 用比较法。本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。 证法1 )()11(2 1)(1by ax by ax +-+=+-
浅谈学生数学思维能力的培养 教育家赞可夫指出：“在各科教学中要始终注意发展学生的逻辑思维，培养学生的思维的灵活性和创造性”。在数学教学过程中，教师要特别重视和发展学生的好奇心，让每一个学生养成想问题、问问题、挖问题和延伸问题的习惯。让所有的学生都知道自己有权力和能力提出新见解、发现新问题。这一点对学生的发展很重要，它有利于学生克服迷信和盲从，树立起科学的思想和方法，有利于学生形成良好的学习品质。 一、善于运用启发法和发现法，启发学生思维的积极性 如教学义务教育十一册教材中“圆的认识”一课时，教师首先要学生拿出一张圆形纸片，让他们将圆纸片对折打开，再对折再打开，如此多次，让学生观察在圆纸片上看到了什么？学生精力陡然集中，都想看看圆纸片上有什么？一生发现：圆纸片上有折痕。另一生又发现：圆纸片上有无数条折痕。老师表扬两生观察仔细。其它学生倍受鼓舞，纷纷发言：圆面上所有折痕相交于一点；折痕两旁的图形完全重合。这时，老师让学生打开课本，看一看交点叫什么？折痕叫什么？学生很快找到了答案并熟记。要学习在同一圆中直径和半径的关系了，老师让学生拿出尺子量一量，自己手中的圆纸片和同学手中的圆纸片的直径和半径，启发学生又发现了什么？学生很快得出结论。要画圆了，老师还是不讲画法，让学生先去画，满足他们操作圆规的好奇心，让学生自己去发现画圆的方法和步骤。整节课，学生的思维都处于兴奋状态之中，人人有动手操作、用眼观察、动口说理、动脑思维的机会，学生自己观察发现问题，积极探索得出结论，教学效果好。 二、精心设计教学内容，培养学生的求异思维 对于小学生来说，既要注意培养他们不盲从，喜欢质疑，打破框框，大胆发表自己意见的品质，又要培养他们敢于求“异”，发展他们的求异思维，进而养成独立思考独立解决问题的习惯。 如，一位教师教学“乘法意义”的运用一课时，她出示了这样一道加法题：9＋9＋9＋5＋9＝？让学生用简便方法计算。于是一个学生提出了9×4＋5的方法，而另一个学生则提出了“新方案”，建议用9×5－4的方法解。这个学生的思维有创见，这个方案是他自己发现的。在他的思维活动中，他“看见了”一个实际并不存在的9，他假设在5的位置上是一个9，那么就可以把题目先假设为9×5。接着他的思维又参与了论证：9－4才是原题中的实际存在的5。对于这种在别人看不到的问题中发现问题和提出问题，这种创造性思维的闪现，教师要加倍珍惜和爱护。 三、利用一题多解，培养学生的“立体思维”模式 如，义务教育十二册教材中的这样一道应用题：“一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时。驶出时顺风，每小时行30千米。驶回时逆风，每小时行驶的路程是顺风时的 5 4。这艘轮船最多驶出多远就应往回驶了？”老师要求学生用几种方法解答，并说出解题思路。