高考数学二轮复习 第二编 考前冲刺攻略 1.1集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 文

第1讲 集合与常用逻辑用语1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题．2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．热点一 集合的关系及运算 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解． (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解． (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．例1 (1)(2017届湖南师大附中月考)已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{y |y ＝2x，x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A ．∅B ．{x |1<x <2}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |1<x ≤2} 答案 C解析 由已知可得A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥1}⇒A ∩B ＝{x |1≤x <2}，故选C.(2)(2017届潍坊临朐县月考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”．给出下列4个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x ；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x }；③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}；④M ＝{(x ，y )|y ＝lg x }．其中所有“理想集合”的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 答案 B解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又由x 1x 2＋y 1y 2＝0可知，OA →⊥OB →.①项，y ＝1x是以x ，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，所以当点A ，B 在同一支上时，∠AOB <90°，当点A ，B 不在同一支上时，∠AOB >90°，不存在OA →⊥OB →，故不正确；②项，通过对其图象的分析发现，对于任意的点A 都能找到对应的点B ，使得OA →⊥OB →成立，故正确；③项，由图象可得直角始终存在，故正确；④项，由图象可知，点(1,0)在曲线上，不存在另外一个点使得OA →⊥OB →成立，故错误．综合②③正确，故选B.思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1 (1)(2017届云南曲靖一中月考)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－5x ＋4≤0}，B ＝{x |x 2－4＝0}，下列结论成立的是( ) A ．B ⊆A B ．A ∪B ＝A C ．A ∩B ＝A D ．A ∩B ＝{2}(2)用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B )，若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C (S )等于( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案 (1)D (2)B解析 (1)A ＝{x ∈N |1≤x ≤4}，B ＝{x |x ＝±2}⇒A ∩B ＝{2}，故选D.(2)由A ＝{1,2}，得C (A )＝2， 由A *B ＝1，得C (B )＝1或C (B )＝3. 由(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0， 得x 2＋ax ＝0或x 2＋ax ＋2＝0.当C (B )＝1时，方程(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0只有实根x ＝0，这时a ＝0；当C (B )＝3时，必有a ≠0，这时x 2＋ax ＝0有两个不相等的实根x 1＝0，x 2＝－a ，方程x2＋ax ＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x 1＝0，x 2＝－a .由Δ＝a 2－8＝0，得a ＝±22，可验证均满足题意，故S ＝{－22，0,22}，故C (S )＝3. 热点二 四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．例2 (1)(2017届抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．在下列四个命题中，为p的逆否命题的是( )A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分答案 C解析根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则A，B，C 都没有及格，p的逆否命题是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选C.(2)(2017届四川雅安中学月考)“m≤ʃ21(4－3x2)d x”是“函数f(x)＝2x＋12x+m的值不小于4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析m≤ʃ21(4－3x2)d x＝(4x－x3)|21＝－3，f(x)≥22x·12x+m＝22－m，若f(x)的值不小于4，则22－m≥4，解得m≤－2，故选A.思维升华充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p ⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．跟踪演练2 (1)有关命题的说法正确的是( )A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”B．命题“∃x0∈R，使得2x20－1<0”的否定是：“∀x∈R,2x2－1<0”C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题(2)(2017届湖南长沙一中月考)在△ABC 中，“A <B <C ”是“cos 2A >cos 2B >cos 2C ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 (1)C (2)C解析 (1) 对于A 选项，命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0”，否命题是条件和结论的双重否定，故A 错误；对于B 选项，命题“∃x 0∈R ，使2x 20－1<0”的否定是“∀x ∈R,2x 2－1≥0”，故B 错误；选项C 的逆命题为真命题，故C 正确；选项D 的原命题是假命题，则逆否命题与之对应，也是假命题，故D 错误，故选C. (2)由正弦定理，可得在△ABC 中，若A <B <C ， 则sin A <sin B <sin C ，则sin 2A <sin 2B <sin 2C ， 由倍角公式可得1－cos 2A 2<1－cos 2B 2<1－cos 2C 2，可得cos 2A >cos 2B >cos 2C ，反之也成立．所以在△ABC 中，“A <B <C ”是“cos 2A >cos 2B >cos 2C ”的充要条件，故选C. 热点三 逻辑联结词、量词1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：若m ＝14，则f (f (－1))＝0；命题q ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解． 那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )(2)(2017届安徽百校论坛联考)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－22x >0，则下列叙述正确的是( )A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－22x ≤0B ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－22x <0C ．綈p ：∃x 0∈(－∞，1]，log 3(x ＋2)－22x ≤0D ．綈p 是假命题 答案 (1)C (2)D解析 (1) 若m ＝14，则f (f (－1))＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故命题p 为真命题．当x <0时，f (x )＝2x >0；当x ≥0时，若m <0，f (x )＝m －x 2<0.故∀m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0无解，从而命题q 为假命题，所以p ∧(綈q )为真命题，故选C.(2)綈p ：∃x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－22x ≤0，又函数f (x )＝log 3(x ＋2)－22x 在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (1)＝0，故p 是真命题，即綈p 是假命题．故选D.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立．(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．跟踪演练3 (1)(2017届黑吉两省八校期中)已知：命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0；命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中，为真命题的是( ) A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④(2)(2017届徐州丰县民族中学调研)若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为_________． 答案 (1)D (2)[－1,3]解析 (1) 因为f (－x )＝f (x )，所以1＋|a ＋1|＝1＋|a －1|，解得a ＝0，故命题p 为真命题；又因为当Δ＝4－4m ≥0，即m ≤1时，方程有解，所以q 为假命题． 所以p ∨q 与(綈p )∨(綈q )为真命题，故选D. (2)由题设可得(1－a )2－4≤0，解得－1≤a ≤3.真题体验1．(2017·北京改编)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝_________. 答案 {x |－2<x <－1}解析 ∵A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}， ∴A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．(2017·天津改编)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要 解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12， ∴－π12<θ－π12<π12，即0＜θ＜π6.显然当0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但当sin θ＜12时，由周期函数的性质知，0＜θ＜π6不一定成立．故0＜θ＜π6是sin θ＜12的充分不必要条件，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分不必要条件． 3．(2017·山东改编)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是______．(填序号)①p ∧q ； ②p ∧(綈q )； ③(綈p )∧q ； ④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∵一元二次方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1＜0，∴x 2－x ＋1＞0恒成立， ∴p 为真命题，綈p 为假命题．∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2＜(－2)2，但－1＞－2， ∴q 为假命题，綈q 为真命题．根据真值表可知，p ∧(綈q )为真命题，p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题． 4．(2016·浙江改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是____________． 答案 ∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题(存在性命题)，条件中改量词，并否定结论． 押题预测1．若集合A ＝{x |1≤2x≤8}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于( )A ．(2,3]B ．[2,3]C ．(－∞，0)∪(0,2]D ．(－∞，－1)∪[0,3]押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇． 答案 A解析 A ＝[0,3]．又log 2(x 2－x )>log 22，即x 2－x >2， 解得x <－1或x >2，所以B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 所以A ∩B ＝(2,3]．2．已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念． 答案 A 解析 由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0， 所以x <－1或x >2. 因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 3．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )①函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8；②a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ＝{x |a 1x ＋b 1>0}，B ＝{x |a 2x ＋b 2>0}，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“A ＝B ”的必要不充分条件；③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题． 答案 C解析 ①y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因此函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8；②充分性不成立，如a 1＝1，b 1＝1，a 2＝－1，b 2＝－1，满足a 1a 2＝b 1b 2，但A ＝{x |x ＋1>0}＝(－1，＋∞)，B ＝{x |－x －1>0}＝(－∞，－1)，A ≠B ； 必要性成立：A ＝B ⇒a 1a 2>0⇒－b 1a 1＝－b 2a 2⇒a 1a 2＝b 1b 2；③当p ∨q 为真命题时，p ，q 不一定全真，因此p ∧q 不一定为真命题； ④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定应为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”． 所以①②为真，故选C.4．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的一个拓扑的集合τ是______．(填序号)押题依据以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口．答案②④解析①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，所以③错．A组专题通关1．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于( ) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.2．设集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，B＝{x|y＝lg(－x)}，则A∩B等于( )A．(0,1] B．[－1,0)C．[－1,0] D．(－∞，1]答案 B解析因为A＝[－1,1]，B＝(－∞，0)，所以A∩B＝[－1,0)．故选B.3．(2017届河南息县第一高级中学检测)已知集合A＝{x|x2－4<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A ∩(∁R B)等于( )A．(－2,0) B．(－2，－1)C．(－2，－1] D．(－2,2)答案 C解析 A ＝{x |x 2－4<0}＝{x |－2<x <2}， 因为B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}， 所以A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，故选C.4．(2017·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析 集合A 表示以原点O 为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合， 集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合． 结合图形可知，直线与圆有两个交点， 所以A ∩B 中元素的个数为2. 故选B.5．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 故选B.6．(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ， 则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ， 所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B. 7．(2017届安徽淮北一中模拟)“a 2＝1”是“函数f (x )＝ln(1＋ax )－ln(1＋x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案 B解析 当a ＝1时，f (x )＝0(x >－1)为非奇非偶函数， 当a ＝－1时，f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )为奇函数， 故为必要不充分条件． 8．下列四种说法中：①命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x <0”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ③已知幂函数f (x )＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值等于12； ④已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则向量a 在向量b 方向上的投影是25.其中说法错误的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①项，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”，故①项错误；②项，充分性：“p 且q 为真”，则p 真，q 真，故p 或q 为真，充分性成立；必要性：“p 或q 为真”，则p 与q 其中一个命题可以为假命题，故命题“p 且q 为真”不一定成立，故必要性不成立，故“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件，故②项错误；③项，幂函数f (x )＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (2)＝2a ＝22⇒a ＝－12，则f (4)＝12，故③项正确；④项，向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a·b |b |＝25＝255，故④项错误．故选C.9．(2017届汕头期末)下列判断错误的是( )A ．命题“∃x 0>1，x 20－1>0”的否定是“∀x >1，x 2－1≤0”B ．“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件C ．若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否命题为“若a ·b ≠0，则a ≠0且b ≠0” 答案 C解析 A 中，由特称命题(存在性命题)的否定为全称命题知A 正确；B 中，由x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1，所以“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，故B 正确；C 中，“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中可能一真一假，也可能p ，q 均为假命题，故C 错；D 中，由否命题的概念知，D 正确，故选C.10．设全集U ＝R ，函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋a －1)(a <1)的定义域为A ，集合B ＝{x |cos πx ＝1}，若(∁U A )∩B 恰好有两个元素，则a 的取值的集合为__________．答案 {a |－2<a ≤0}解析 由|x ＋1|＋a －1>0，可得x >－a 或x <a －2，故∁U A ＝[a －2，－a ]．而B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，注意到[a －2，－a ]关于x ＝－1对称，所以由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥0，－a <2，即－2<a ≤0.11．已知m ∈R ，命题p ：对任意实数x ，不等式x 2－2x －1≥m 2－3m 恒成立，若綈p 为真命题，则m 的取值范围是__________．答案 {m |m <1或m >2}解析 对任意x ∈R ，不等式x 2－2x －1≥m 2－3m 恒成立，所以[(x －1)2－2]min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因为綈p 为真命题，所以m <1或m >2.12．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0≤a ≤12解析 p ：|4x －3|≤1，∴12≤x ≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，∴a ≤x ≤a ＋1. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. B 组 能力提高13．(2017届重庆市巴蜀中学期中)已知集合A ＝{x |x >2}，集合B ＝{x |x >3}，以下命题正确的个数是( )①∃x 0∈A ，x 0∉B ；②∃x 0∈B ，x 0∉A ；③∀x ∈A 都有x ∈B ；④∀x ∈B 都有x ∈A .A ．4B ．3C ．2D ．1答案 C解析 因为A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >3}，所以B ⊆A ，即B 是A 的子集，①④正确，②③错误，故选C.14．(2017届湖南师大附中月考)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3.27]＝3，[0.6]＝0，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由[x ]的定义，当[x ]＝[y ]时，则|x －y |<1，若|x －y |<1时，比如x ＝3.5，y ＝2.9，此时[x ]＝3，[y ]＝2，[x ]≠[y ]，所以“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的充分不必要条件．15．(2017届河南百校联盟质监)命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是_________．答案 (－3，3)解析 由题命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x <2为真命题， 则a 2＋1<2，∴－3<a <3，即实数a 的取值范围是(－3，3)．16．(2017届福建连城县二中期中)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是________．答案 ①④解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知①正确；当a ＝1，b ＝2，12∉Z 不满足条件，故可知②不正确；对③，当M 中多一个元素i 则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知③不正确；根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．。

第一讲集合、常用逻辑用语年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷集合的补集运算·T2本部分作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在第1、2题的位置进行考查，难度较低．命题的热点依然会集中在集合的运算上．对常用逻辑用语考查的频率不高，且命题点分散，多为几个知识点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的判断近几年全国卷虽未考查，但为防高考“爆冷〞考查，在二轮复习时不可偏颇．该考点多结合函数、向量、三角、不等式、数列等内容命题. Ⅱ卷集合中元素个数问题·T2Ⅲ卷集合交集运算·T12017Ⅰ卷集合的交、并运算与指数不等式解法·T1Ⅱ卷集合交集求参数值·T2Ⅲ卷点集求交点个数·T12016Ⅰ卷集合的交集运算·T1Ⅱ卷集合的并集运算、一元二次不等式的解法·T2Ⅲ卷集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1集合的概念及运算授课提示：对应学生用书第3页[悟通——方法结论] 1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)假设的集合是不等式的解集，用数轴求解．(2)假设的集合是点集，用数形结合法求解．(3)假设的集合是抽象集合，用Venn 图求解．(1)(2018·某某模拟)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，那么以下关系中正确的是( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪∁R N ＝MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M解析：∵M ＝{x |x <4}，N ＝{x |0<x <2}，∴M ∪N ＝{x |x <4}＝M ，应选项A 正确；M ∪∁R N ＝R ≠M ，应选项B 错误；N ∪∁R M ＝{x |0<x <2}∪{x |x ≥4}≠R ，应选项C 错误；M ∩N ＝{x |0<x <2}＝N ，应选项D 错误．应选A.答案：A(2)(2018·某某模拟)两个集合A ＝{x ∈R |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＋11－x≥0}，那么A ∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{－1,1}D ．∅解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x <1}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}． 答案：B破解集合运算需掌握2招第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用Venn 图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算．[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，那么A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．应选A.答案：A2．(2018·某某模拟)设全集U＝R，集合A＝{x∈Z|y＝4x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>1}，那么A∩(∁U B)＝( )A．{2} B．{1,2}C．{－1,0,1,2} D．{0,1,2}解析：由题意知，A＝{x∈Z|4x－x2≥0}＝{x∈Z|0≤x≤4}＝{0,1,2,3,4}，B＝{y|y>2}，那么∁U B＝{y|y≤2}，那么A∩(∁U B)＝{0,1,2}，应选D.答案：D3．(2018·枣庄模拟)集合A＝{|m|,0}，B＝{－2,0,2}，假设A⊆B，那么∁B A＝( ) A．{－2,0,2} B．{－2,0}C．{－2} D．{－2,2}解析：由A⊆B得|m|＝2，所以A＝{0,2}．故∁B A＝{－2}．答案：C命题及真假判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]1．全称命题和特称命题的否定归纳∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．2．“或〞“且〞联结词的否定形式“p或q〞的否定形式是“非p且非q〞，“p且q〞的否定形式是“非p或非q〞．3．命题的“否定〞与“否命题〞是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题〞是对“假设p，那么q〞形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．[全练——快速解答]1．(2018·某某质检)命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，那么( )A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0解析：∵3x >0，∴3x ＋1>1，那么log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.答案：B2．给出以下3个命题：p 1：函数y ＝a x＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a 0，b 0∈R ，a 20－a 0b 0＋b 20<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k∈Z )．那么以下命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∨(綈p 3) C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3解析：对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3为真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，应选D.答案：D3．命题“假设xy ＝1，那么x ，y 互为倒数〞的否命题为________；命题的否定为________．答案：假设xy ≠1，那么x ，y 不互为倒数 假设xy ＝1，那么x ，y 不互为倒数判断含有逻辑联结词命题真假的方法方法一(直接法)：(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假．方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．充分、必要条件的判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]充分、必要条件的判断：考查形式多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．(1)“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行〞的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；假设l1∥l2，那么－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2〞是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行〞的充分不必要条件．答案：A(2)(2018·某某模拟)m，n为两个非零向量，那么“m与n共线〞是“m·n＝|m·n|〞的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．假设m·n＝|m·n|，那么m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos 〈m，n〉|，那么cos〈m，n〉＝|cos 〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线〞是“m·n＝|m·n|〞的既不充分也不必要条件，应选D.答案：D快审题看到充分与必要条件的判断，想到定条件，找推式(即判定命题“条件⇒结论〞和“结论⇒条件〞的真假)，下结论(假设“条件⇒结论〞为真，且“结论⇒条件〞为假，那么为充分不必要条件)．用妙法根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1〞是“x ≠1〞或y ≠1的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1〞的某种条件．避误区“A 的充分不必要条件是B 〞是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A是B 的充分不必要条件〞那么是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[练通——即学即用]1．(2018·胶州模拟)设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2 D ．xy >1解析：当⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1时，有x ＋y ≤2，但反之不成立，例如当x ＝3，y ＝－10时，满足x＋y ≤2，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件．所以“x ＋y >2”是“x ，y 中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．答案：B2．(2018·某某模拟)祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异〞，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等〞是“A ，B 的体积相等〞的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“假设綈q, 那么綈p 〞为真，逆命题为假，故逆否命题“假设p ，那么q 〞为真，否命题“假设q ，那么p 〞为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A授课提示：对应学生用书第115页一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，那么∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：∵x 2－x －2＞0，∴(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1，即A ＝{x |x ＞2或x ＜－1}．在数轴上表示出集合A ，如下图．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 应选B. 答案：B2．(2017·高考某某卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数 y ＝ln(1－x )的定义域为B ，那么A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 答案：DA ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，那么图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3 解析：A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32. 答案：B4．(2017·高考全国卷Ⅲ)集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，那么A ∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y ＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.答案：B5．(2018·某某模拟)命题q：∀x∈R，x2>0，那么( )A．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为假命题B．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为真命题C．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为假命题D．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为真命题解析：全称命题的否定是将“∀〞改为“∃〞，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题．答案：D6．(2018·某某四校联考)命题“假设a>b，那么a＋c>b＋c〞的否命题是( )A．假设a≤b，那么a＋c≤b＋cB．假设a＋c≤b＋c，那么a≤bC．假设a＋c>b＋c，那么a>bD．假设a>b，那么a＋c≤b＋c解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“假设a≤b，那么a＋c≤b＋c〞，应选A.答案：A7．(2018·某某模拟)“x>1”是“x2＋2x>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1〞是“x2＋2x>0”的充分不必要条件．答案：A8．集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．假设A∪B＝A，那么m的取值X围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.答案：D9．(2018·某某模拟)a，b∈R，以下四个条件中，使“a>b〞成立的必要不充分条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b解析：由a>b－1不一定能推出a>b，反之由a>b可以推出a>b－1，所以“a>b－1”是“a>b〞的必要不充分条件．应选A.答案：A10．命题p：“x＝0”是“x2＝0”的充要条件，命题q：“x＝1”是“x2＝1”的充要条件，那么以下命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∨qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧q解析：易知命题p为真命题，q为假命题，根据复合命题的真值表可知p∧(綈q)为真命题．答案：C11．(2018·某某模拟)命题p：“x<0”是“x＋1<0”的充分不必要条件，命题q：假设随机变量X～N(1，σ2)(σ>0)，且P(0<X<1)＝0.4，那么P(0<X<2)＝0.8，那么以下命题是真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∧qC．p∨q D．(綈p)∧(綈q)解析：因为“x<0〞是“x＋1<0”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为P(0<X<1)＝P(1<X<2)＝0.4，所以P(0<X<2)＝0.8，q为真命题，所以p∨q为真命题．答案：C12．以下命题是假命题的是( )A．命题“假设x2＋x－6＝0，那么x＝2”的逆否命题为“假设x≠2，那么x2＋x－6≠0”B．假设命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，那么綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．假设p∨q为真命题，那么p、q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件解析：由复合命题的真假性知，p 、q 中至少有一个为真命题，那么p ∨q 为真，应选项C 错误．答案：C 二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，那么綈p ：________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点 14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x＋1}，那么∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}，那么∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |1<x <a }，假设A ⊆B ，那么实数a 的取值X 围是________． 解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)16．假设关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，那么实数m 的取值X 围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值X 围是(1,4)．答案：(1,4)。

1．(2015·东北三校联考)函数 y＝ln cos x－π2<x<π2 的图象是
(A)
解析：因为 cos(－x)＝cos x，所以 y＝ln cos x－π2<x<π2是偶函
数，可排除 B、D；由 0<cos x≤1 得 ln cos x≤0，排除 C，故选 A.
2．本例(2)条件不变，若f(2x＋1)＜0，则x的取值范围是
B．a>1，0<c<1 D．0<a<1，0<c<1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递 减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是_(_－__1_，__3_)．
[思路点拨] (1)依据对数函数的图象和性质确定 a、c 的范围． (2)利用数形结合，通过图象解不等式． [解析] (1)由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知 0<a<1，0<c<1. (2)因为 f(x)是偶函数，所以图象关于 y 轴对称．又 f(2)＝0，且 f(x) 在[0，＋∞)单调递减，则 f(x)的大致图象如图所示，由 f(x－1)>0， 得－2<x－1<2，即－1<x<3.
1．(2015·沈阳市摸底考试)若函数 y＝f(x)的定义域是[0，2]，则
函数 g(x)＝f（ln2xx）的定义域是( D )
A．[0，1]
B．[0，1)
C．[0，1)∪(1，4]
D．(0，1)
解析：由题意0≤2x≤2， 所以 x＞0且x≠1，
0＜x＜1.
2．(2015·兰州统考)设 f(x)＝22－ x＋x－12，，xx≤>－－11，，则使 f(a)>2 的实数 a 的取值范围为( A ) A．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B．(－2，－1) C．(－2，0) D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 解析：由已知可得a2≤ －a－－1>12，或a2>a＋－21>，2，解得 a<－2 或 a>0.

(3)设集合 S＝{A0，A1，A2，A3}，在 S 上定义运算⊕： Ai⊕Aj＝Ak，k 为 i＋j 除以 4x(x∈S)的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析 因为 x∈S＝{A0，A1，A2，A3}，故 x 的取值有四 种情况．若 x＝A0，根据定义 Ai⊕Aj＝Ak，其中 k 为 i＋j 除 以 4 的余数(i，j＝0,1,2,3)，则(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2，不 符合题意，同理可以验证 x＝A1，x＝A2，x＝A3 三种情况， 其中 x＝A1，x＝A3 符合题意，故选 C.
A＝{x||x|<2}，B
＝{xx2－1 2x
<0，则∁
AB＝
() A．(－2,2] B．(－2,0)
C．(－2,0] D．(－2,2)
解析 集合 A＝(－2,2)，由x2－1 2x<0，解得 0<x<2，即 集合 B＝(0,2)，则∁AB＝(－2,0]，故选 C.
4．已知集合 A＝{0,1}，B＝{a2,2a}，其中 a∈R，记 A ⊙B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若集合 A⊙B 中的最大
(4)(2018·金 版 创 新 ) 已 知 集 合 A ＝ {x|x2 － 2019x ＋ 2018<0}，B＝{x|log2x<m}，若 A⊆B，则整数 m 的最小值是 ___1_1____．
解析 由 x2－2019x＋2018<0 得 1<x<2018，由 log2x<m 得 0<x<2m，由 A⊆B 得 2m≥2018，所以整数 m 的最小值为 11.
元素是 2a＋1，则 a 的取值范围为__(_0_,_2_) __．
解析 由题意可知 a2,2a，a2＋1,2a＋1 中 2a＋1 最大， 所以 2a＋1>a2＋1，解得 0<a<2.