高考数学大二轮复习 第二编 专题整合突破 专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理、不等式

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命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五
对点训练 1(1)已知点 A(0,1),B(3,2),向量������������=(-4,-3),则向量
������������=( A )
A.(-7,-4)
B.(7,4)
C.(-1,4)
D.(1,4)
(2)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=
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平面向量数量积的运算
【思考】 求平面向量数量积有哪些方法?
例2(1)(2018天津,文8)
在如图的平面图形中,已知 OM=1,ON=2,∠MON=120°,
������������=2������������, ������������=2������������,则 ������������ ·���������如)(图20,1���8������全���=国-������Ⅰ������,=文-127)(在���������△��� +AB������C������中) ,AD为BC边上的中线,E为AD
的中A==点.123434,������则���������������������������������−−���−���=���1414 (14���������������������������.���=���
)1
2
������B������.14−������14���(������−���������
− ������������)
3 4
������������
C(2.34)如���������图��� +,由14三���������角��� 形D法.14则������可���2��� 知+ :34 ������������

专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理、不等式及线性规划 第一讲 集合与常用逻辑用语适考素能特训 理一、选择题1．[2016·郑州质检]设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}答案 A解析 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A.2．[2016·沈阳质检]设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1}答案 D解析 集合A ＝{x |x >0}，从而A 、C 错，∁R A ＝{x |x ≤0}，则(∁R A )∩B ＝{－1}，故选D. 3．[2015·福建高考]若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅答案 C解析 因为A ＝{i ，－1，－i,1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{1，－1}，故选C.4．[2015·辽宁五校联考]设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M∪N ＝( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}答案 A解析 因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A.5．[2016·合肥质检]“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题主要考查函数的性质与充分必要条件．由题意得，x ＋1x≥2⇔x >0，∴“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的充分不必要条件，故选A.6．[2016·西安质检]已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 答案 B解析 本题主要考查命题的真假判断、命题的否定． ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故应选B. 7．[2016·广州模拟]下列说法中正确的是( ) A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件 B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”答案 D解析 本题主要考查命题的相关知识及充要条件．f (0)＝0，函数f (x )不一定是奇函数，如f (x )＝x 2，所以A 错误；若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0，所以B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，则p ∧q 为假命题，所以C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．8．下列5个命题中正确命题的个数是( )①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4； ⑤曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x.A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 ①错，应当是綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y 2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4；⑤正确，由定积分的几何意义可知．9．给定下列四个命题：命题p ：当x >0时，不等式ln x ≤x －1与ln x ≥1－1x等价；命题q ：不等式e x≥x ＋1与ln (x ＋1)≤x 等价；命题r ：“b 2－4ac ≥0”是“函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ＋d (a ≠0)有极值点”的充要条件；命题s ：若对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式a <sin x x 恒成立，则a ≤2π.其中为假命题的是( ) A ．(綈s )∧p B ．(綈q )∧s C ．(綈r )∧p D ．綈(q ∧p )答案 A解析 由1x >0，ln x ≤x －1，得ln 1x ≤1x －1，即ln x ≥1－1x，故命题p 为真命题；由于x 的取值范围不同，故命题q 是假命题；当b 2－4ac ＝0时，函数f (x )无极值点，故命题r 是假命题；设h (x )＝sin x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2，由于函数h (x )＝sin x x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，故sin x x >2π，a ≤2π，即命题s 是真命题．根据复合命题的真值表可知选A.10．[2016·武昌调研]“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 本题主要考查函数的单调性与充要条件．当a ＝0时，f (x )＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )＝(－ax ＋1)x ＝－a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a x ，结合二次函数的图象可知f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )＝|(ax －1)x |的图象大致如图：函数f (x )在区间(0，＋∞)上有增有减，从而a ≤0是函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.二、填空题11．[2015·山东高考]若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m的最小值为1.12．[2016·贵阳监测]已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)答案 {a 2，a 3}解析 若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．13．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38解析 由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0. 由x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <32， 即命题q ：1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38.14．[2016·山东临沂高三模拟]已知命题p ：|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，命题q ：y ＝(2a －1)x为减函数，若“p 且q ”为真命题，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23 解析 由绝对值不等式得|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2，当且仅当－1≤x ≤1时等号成立，即|x －1|＋|x ＋1|的最小值为 2.若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，则3a ≤2，即a ≤23.若函数y ＝(2a －1)x为减函数，则0<2a －1<1，即12<a <1，由“p 且q ”为真命题知命题p ，q 均为真命题，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23，12<a <1，即12<a ≤23，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23.。

1.3 平面向量【课时作业】1．向量m ＝(t ＋1,1)，n ＝(t ＋2,2)，假设(m ＋n )⊥(m －n )，那么t ＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．－1解析： 法一：由(m ＋n )⊥(m －n )可得(m ＋n )·(m －n )＝0，即m 2＝n 2，故(t ＋1)2＋1＝(t ＋2)2＋4，解得t ＝－3.法二：m ＋n ＝(2t ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴－(2t ＋3)－3＝0，解得t ＝－3.答案： B2．在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .假设AB →＝a ，AC →＝b ，那么PQ →＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析： PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，应选A.答案： A3．向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)那么向量a ，b 的夹角的余弦值为( ) A.31010 B ．－31010 C.22D ．－22解析： 因为向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，所以b ＝(2,0)，那么向量a ，b 的夹角的余弦值为1×2＋1×02×2＝22.答案： C4．在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量AB →＝(－4，－3)，BC →＝(－7，－4)，那么点C 的坐标为( )A ．(11,8)B ．(3,2)C ．(－11，－6)D ．(－3,0)解析： 设C (x ，y )，∵在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量AB →＝(－4，－3)，BC →＝(－7，－4)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(－11，－7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝－11，y －1＝－7，解得x ＝－11，y ＝－6，故C (－11，－6)．应选C.答案： C5．(2021·广东广雅中学等四校2月联考)两个单位向量a ，b 的夹角为120°，k ∈R ，那么|a －k b |的最小值为( )A.34 B ．32C ．1D ．32解析： ∵两个单位向量a ，b 的夹角为120°，∴|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，∴|a －k b |＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2＝1＋k ＋k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＋34.∵k ∈R ，∴当k ＝－12时，|a －k b |取得最小值32，应选B. 答案： B6．在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，假设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，那么λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析： 设OP 3→＝(x ，y )，那么由OP 3→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )．假设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，那么有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，应选D.答案： D7．(2021·河北衡水中学2月调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，假设AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，那么52μ－λ＝( )A ．－12B ．1 C.32D ．－3解析： AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因为E 、M 、F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12，应选A.答案： A8．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为线段BC 上的点，那么AE →·DE →的最小值为( ) A ．2 B ．154C.174D ．4解析： 如图，以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，BA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么A (0,2)，D (1,2)．设E (x,0)(0≤x ≤1)，那么AE →＝(x ，－2)，DE →＝(x －1，－2)．∴AE →·DE →＝(x ，－2)·(x －1，－2)＝x 2－x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋154.∵0≤x ≤1，∴当x ＝12，即E 为BC 的中点时，AE →·DE→取得最小值，最小值为154.应选B.答案： B9．a ，b 为平面向量，假设a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，那么|a ||b |＝( )A.33 B ．63C.53D ．2解析： 在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AC →＝a ＋b ，∠BAC ＝π3，∠DAC＝π4.在△ABC 中，由正弦定理，得|a ||b |＝sin ∠ACB sin ∠BAC ＝sin ∠DACsin ∠BAC ＝sinπ4sinπ3＝2232＝63.应选B. 答案： B10．向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，OC →＝mOA →－nOB →(m >0，n >0)，假设m ＋n ＝1，那么|OC →|的最小值为( )A.52B ．102C. 5 D ．10解析： 由OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m >0，n >0)，所以n ＝1－m 且0<m <1，所以OC →＝(1＋2m,4m －3)，那么|OC →|＝1＋2m2＋4m －32＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0<m <1)，所以当m ＝12时，|OC →|min ＝ 5.答案： C11．(2021·惠州市第二次调研)等边三角形ABC 的边长为2，其重心为G ，那么BG →·CG →＝( )A ．2B ．－14C ．－23D ．3解析： 法一：如图，建立平面直角坐标系，那么A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，得重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，那么BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，CG →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，33，所以BG →·CG →＝－1×1＋33×33＝－23，应选C. 法二：因为AC →·AB →＝|AC →|·|AB →|cos 60°＝2×2×12＝2，BG →＝13AC →－23AB →，CG →＝13AB →－23AC →，所以BG →·CG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →－23AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－23AC →＝19AC →·AB →－29AC →2－29AB →2＋49AC →·AB →＝59AC →·AB →－29×4－29×4＝59×2－169＝－69＝－23，应选C. 答案： C12．向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，那么|b |的取值范围为( ) A ．[1,2]B ．[2,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析： 由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，因为(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a·b －2b 2＝0，又|a |＝1，所以1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以|b |cos θ＝1－2|b |2，因为－1≤cosθ≤1，所以－|b |≤1－2|b |2≤|b |，所以12≤|b |≤1，所以|b |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案： D13．(2021·全国卷Ⅲ)向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．假设c ∥(2a ＋b )，那么λ＝________.解析： 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.答案： 1214．等边△ABC 的边长为2，假设BC →＝3BE →，AD →＝DC →，那么BD →·AE →＝________.解析： 如下图，BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AC →－13AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC→－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝ 16AC →2－23AB →2＝16×4－23×4＝－2. 答案： －215．(2021·益阳市，湘潭市调研试卷)向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，那么tan θ＝________.解析： 法一：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cos θ＝a·b |a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 法二：∵a ＋b ＝(1，3)，∴|a ＋b |＝1＋3＝2，记OA →＝a ，AB →＝b ，那么OB →＝a ＋b ，由题意知|AB →|＝|OB →|＝2，|OA →|＝1，θ＝π－∠OAB ，∴在等腰三角形OBA 中，tan ∠OAB ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫12212＝15，∴tan θ＝－tan ∠OAB ＝－15. 答案： －1516．(2021·福州市质量检测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC .假设BD →＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，那么x －y 的值为________．解析： 如图，延长DC ，AB 交于点E ，因为∠DCA ＝2∠BAC ，所以∠BAC ＝∠CEA . 又∠ABC ＝90°，所以BA →＝－BE →.因为BD →＝xBA →＋yBC →，所以BD →＝－xBE →＋yBC →.因为C ，D ，E 三点共线，所以－x ＋y ＝1，即x －y ＝－1.答案： －1。

所以 cos∠ABC= 23,即∠ABC=30°.故选 A. (2)因为 a=(-1,2),b=(m,1),
所以 a+b=(m-1,3).
关闭
(1)A因为(2)7a+b 与 a 垂直,所以(a+b)·a=0,即-(m-1)+2×3=0,解得 m=7.
解析 答案
高频考点
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(λ���+���������μ−=(������������) )
2 3
������������ .
B.1
C.-1
D.-23 关闭
(1)A 故(2μ)=B13,λ=23,λ+μ=13 + 23=1.
解析 答案
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题后反思向量线性运算有两条基本的解题策略:一是共起点的向 量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的 和用三角形法则;二是找出图形中的相等向量、共线向量,将所求 向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
(2������)���在��� =△A���������B��� C+ 中������������,若= ���D���������是+ 3A���B���������边上一点,且������������=2������������, ������������=
μ������������+A==λ.���13���23���������������������������+,���则+23
高频考点
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