《二项分布与超几何分布》复习课程

二项分布与超几何分布★ 知 识 梳理 ★1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。

特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

特别提醒：①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ 0 1… k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．6. 两点分布：X 0 1P 1－p p特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n Nk n M N k M ====--Λ其中，N M N n ≤≤,。

二项分布和超几何分布(含答案)超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义2独立重复试验与二项分布的定义(1)独立重复试验．(2)二项分布．本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.【正解】（1）同上；从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。

超几何分布及二项分布二轮复习教学设计及导学案【导学案】课题名称：超几何分布及二项分布学科：数学年级：高一教学时间：2课时教学目标：1.理解超几何分布和二项分布的概念与特点。

2.掌握超几何分布和二项分布的计算方法。

3.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。

教学重点：1.超几何分布和二项分布的概念与特点。

2.超几何分布和二项分布的计算方法。

教学难点：1.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。

教学准备：1.教师准备PPT。

2.学生铅笔、橡皮、作业本。

教学过程：Step 1 导入新课（5分钟）1.让学生回顾前一节课的内容，回答几个问题：什么是离散型随机变量？如何计算离散型随机变量的期望？2.引入本节课的新内容，告诉学生本节课要学习和复习超几何分布和二项分布。

Step 2 课堂教学（55分钟）1.引导学生回忆超几何分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。

提醒学生注意超几何分布中的各个参数的含义和计算方法。

2.引导学生回忆二项分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。

提醒学生注意二项分布中的各个参数的含义和计算方法。

3.给学生讲解超几何分布和二项分布的计算方法，并通过例题进行演示。

帮助学生掌握计算过程和技巧。

4.给学生出几道练习题，让学生独立完成，并在课堂上逐题讲解答案和解题思路。

帮助学生巩固所学知识。

Step 3 课堂小结（5分钟）1.总结本节课的重点内容，强调超几何分布和二项分布的概念和特点。

2.提醒学生进行课后复习，并解答学生的问题。

Step 4 课后作业（2分钟）1.布置适量的课后作业，巩固学生对超几何分布和二项分布的理解和掌握。

2.提醒学生及时批改作业，并预习下节课内容。

备注：以上为教学设计概要，具体教学内容及时间可根据实际情况灵活调整。

超几何分布与二项分布二轮复习教学设计与导学案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高三二轮复习教学设计1 超几何分布与二项分布知识与技能：1、进一步了解并熟悉超几何分布与二项分布产生的实际背景，理解超几何分布的导出过程，理解独立重复试验与二项分布的关系，进一步建构并完善知识体系与结构；2、明确两种分布基本特征，能正确区分两种分布，能准确运用两种概率分布分析解决实际问题；3、训练提升运算能力、数学阅读与理解能力，分析与解决实际问题的能力。

过程与方法：1、通过自主学习，熟化基本知识与思想方法，完成知识体系建构；2、借助实例，通过合作与探究学习，在讨论交流中实现对两种分布本质特征的再认识，完善知识结构，达到深刻理解与准确应用。

情感态度与价值观：以学生考试中的正、误两种解答导入，引发学生对问题与解决方法的关注度，激发学生积极主动参与数学思维活动；通过主动探究、合作学习、相互交流，形成良好地思维习惯和理性思考问题的思维品质；借助高考真题的解析，增强学习的自信心，增强学生敢于超越并勇于超越的自我激励与竞争进取的意志品质。

教学重点：二项分布与超几何分布的辨别与应用教学难点：二项分布与超几何分布的区别与运用教学媒体：多媒体教学方法：讨论探究与讲授相结合课型：复习课教学流程和情境设计流程问题情境设计意图师生活动解题回放提出问题问题1“低碳生活”题中出现的两种解答中，知识依据与过程完全不同，得到的期望值却相同。

纯属巧合吗？哪种解借助学生考试中给出的解答提出问题，既给学生以警示，又引发疑问，诱发思考，有利于吸引学生的注意力并激发学生的学习激情。

展示学生答题过程，学生赏析，判断正误。

答更符合题意呢？辨别正误发现错因问题2造成错解的核心问题为何？怎样有效避免？引导学生快速进入学习主题，弄清区分两种分布是避免错误的关键。

引发学生积极思考，主动探究解决问题的方法。

超几何分布和二项分布的复习课教学建议在人教A版《数学选修2-3》的课本中，第二章《概率》的2.1.2节和2.2.3节分别介绍了两种离散型随机变量的概率分布，超几何分布与二项分布。

通过实例,让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点,从而建立新的模型,并能运用两模型解决一些实际问题。

同时超几何分布与二项分布模型是理科数学选修2—3概率问题的重要内容。

然而在教学过程中,我发现学生对这两模型的定义不能很好的理解,在高三好几次模拟考试中，针对解答题的第二题概率与统计问题中，同学们往往不能准确辨别所要解决的问题是到底是属于超几何分布还是二项分布。

一遇到含“取”或“摸”的题型, 就认为是超几何分布,不加分析,随便滥用公式。

事实上,超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别。

为了让同学们对这两种分布有更加深刻地认识与理解，以免再在实际解决问题中出错，在第二轮复习教学中，我特别设计了一节课来帮助同学们更好地区别超几何分布与二项分布。

以下是我本节课的简要设计过程。

一、问题引入:（学生易混淆）袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求:(1) 有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2) 不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.分析思路:(1) 有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15,3次取球可以看成3次独立重复试验,则X~B13,5⎛⎫⎪⎝⎭。

(2) 不放回抽样时,取到的黑球数Y服从超几何分布。

二、超几何分布与二项分布概念的区别：1、超几何分布：课本上以实例引入，在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k 则，此时我们称随机变量X服从超几何分布。

归纳：一般的，若一个随机变量X 的分布列为，其中，则称X服从超几何分布。

其概率分布表为：特征：超几何分布的模型是不放回抽样。

12 超几何分布必须同时满足两个条件：一是抽取的产品不再放回;二是产品数目为有限个.当这两个条件中任何一个发生改变,则不再是超几何分布。

二项分布与超几何分布一、课堂目标1．理解次独立重复试验的概念．2．熟练求解二项分布的分布列、数学期望和方差．3．熟练求解超几何分布的分布列和数学期望．二、知识讲解1. 次独立重复实验与二项分布知识精讲（一）伯努利试验与重伯努利试验（或次独立重复实验）（1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.（2）重伯努利试验（或次独立重复实验）：我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验（或次独立重复实验）.（3）重伯努利试验具有如下两个特征：①同一个伯努利试验重复做次（“重复”意味着各次试验成功的概率相同）；②各次试验的结果相互独立.（4）独立重复试验中事件发生次的概率①公式：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率.②明确该公式中各量表示的意义：为重复试验的次数；是在一次试验中事件发生的概率；是一次试验中事件不发生的概率；是在次独立重复试验中事件发生的次数.（二）二项分布（1）二项分布的概念一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率，．此时，称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功的概率.（2）二项分布的分布列…………（3）二项分布的特点①对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行次，保证每次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变.（4）二项分布的数学期望与方差①若，则．②若，则．知识点睛独立重复试验与二项分布的判断（1）独立重复试验满足两个条件：①在同样的条件下重复进行；②各次试验之间相互独立.（2）二项分布满足四个条件：①在每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数.经典例题A. B. C.D.1.已知，且，，则等于（）．巩固练习2.已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望．3.已知随机变量服从二项分布，若，，则．经典例题4.盒中有大小相同的个红球，个白球，现从盒中任取球，记住颜色后再放回盒中，连续摸取次．设表示连续摸取次中取得红球的次数，则，的数学期望．A.和 B.和C.和D.和5.在三次独立重复试验中，事件在每次试验中发生的概率相同，若事件至少发生一次的概率为，则事件发生次数的期望和方差分别为（）．巩固练习A.B.C.D.6.同时抛掷枚质地均匀的硬币次，设枚硬币均正面向上的次数为，则的数学方差是（ ）．7.一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记分，没有击中记分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为 ， ．经典例题（1）（2）8.年月日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表：垃圾分类厨余垃圾可回收物有害垃圾其他垃圾垃圾种类辨识率辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．从社区调查的种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率．从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记为其中辨识度高的垃圾种数，求的分布列和数学期望．巩固练习9.每年月日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取名，用“分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于分，则称该人的幸福度为“很幸福”．幸福度（1）（2）求从这人中随机选取人，至少有人是“很幸福”的概率．以这人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选人，记表示抽到“很幸福”的人数，求的分布列及．经典例题（1）（2）10.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟）.将统计数据按，，，,分组，制成频率分布直方图：频率组距乘车等待时间（分钟）甲站频率组距（分钟）乘车等待时间乙站假设乘客乘车等待时间相互独立．在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率．在上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．巩固练习11.某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此，政府调查了户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．（1）（2）频率组距月平均月电量度根据频率分布直方图的数据，求出的值并估计该市每户居民月平均用电量的值．现从该市所有居民中随机抽取户，其中月平均用电量介于的户数为，用频率估计概率，求的分布列及数学期望．2. 超几何分布知识精讲（1）定义一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，若其中恰有件次品，则，即其中，且.如果随机变量的分布列具有上表的形式，那么称随机变量服从超几何分布.（2）超几何分布的判断①若随机变量满足：试验是不放回地抽取次；随机变量表示抽取到的次品件数.则该随机变量服从超几何分布.②一般地，设有件产品，其中次品和正品分别为件，从中任取件产品，用分别表示取出的件产品中次品和正品的件数，则随机变量服从参数为的超几何分布，随机变量服从参数为的超几何分布.（3）超几何分布的数学期望和方差若离散型随机变量服从参数为，，的超几何分布，则；.知识点睛二项分布与超几何分布的区别：①二项分布：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.②超几何分布：不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.经典例题A.B.C.D.12.口袋中有相同的黑色小球个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取个小球．表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）．，，，，巩固练习13.一袋中装有个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则袋中白球的个数为 ；从袋中任意摸出个球，则摸到白球的个数的数学期望为 ．经典例题（1）（2）14.某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学．求的分布列．求去执行任务的同学中有男有女的概率．巩固练习15.安康市某中学在月日举行元旦歌咏比赛，参赛的名选手得分的茎叶图如图所示．（1）（2）写出这名选手得分的众数和中位数．若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放元、元元的奖品，从该名选手中随机选取人，设这人奖品的钱数之和为，求的分布列与数学期望．经典例题（1）（2）16.随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数人数以这人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取个人，求恰好有个人是“平均每月进行训练的天数不少于天”的概率．依据统计表，用分层抽样的方法从这个人中抽取个，再从抽取的个人中随机抽取个，表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于天”的人数，求的分布列及数学期望．巩固练习17.脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在的脐橙是“普通果”，重量在的脐橙是“精品果”，重量在的脐橙是“特级果”，有一果农今年种植脐橙，大获丰收．为了了解脐橙的品质，随机摘取个脐橙进行检测，其重量分别在，，，，，中，经统计得到如图所示频率分布直方图．（1）（2）频率/组距重量千克将频率视为概率，用样本估计总体．现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取个脐橙，求恰有个是“精品果”的概率．现从摘取的个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为，的脐橙中随机抽取个，再从这个抽取个，记随机变量表示重量在内的脐橙个数，求的分布列及数学期望．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测A. B. C. D.18.某班有数学成绩优秀的学生数，则等于（）．（1）（2）19.年月日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估．满分者为“安全食堂”，评分分以下的为“待改革食堂”．评分在分以下考虑为“取缔食堂”，大部分大学食堂的评分在分之间，以下表格记录了它们的评分情况：分数段食堂个数现从所大学食堂中随机抽取个，求至多有个评分不低于分的概率．以这所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选个，记表示抽到评分不低于分的食堂个数，求的分布列及数学期望．（1）（2）20.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组．该年级理科班有男生人，女生人；文科班有男生人，女生人．现按男、女用分层抽样从理科生中抽取人，按男、女用分层抽样从文科生中抽取人，组成环境保护兴趣小组，再从这人的兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛．设事件为“选出的这个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率．用表示抽取的人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望．。