第五讲图形的分割与拼接
卷Ⅰ
教学目标
本章内容比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法：
1、理解掌握图形的分割；
2、理解掌握图形的拼合；
3、理解图形的剪拼；
4、利用剪拼图形计算、解决问题.
本章中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本章知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．
有8个相等的直角三角形，你能拼成下图中的空心正八角星吗？
想
挑
战
吗
？
分析：把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成如右图所示的空心正八角星．
专题精讲
把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．
反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．
将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．
我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．
如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．
图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．
如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．
如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．
（一）图形的分割
【例1】（★★★）把如右图这样由五个正方形组成的图形，分成四块大小、形状都相同的图形
→→
分析：从面积考虑，把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份.正方形，则可把每个正方形分成四个面积相等的小正方形，每块图形应有五个这样的小正方形，如右上图所示.
[前铺]如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形？
→→
分析：要求把原来三个正方形分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份，可以考虑把每一个正方形的面积分成四份，再把三个正方形中的每一个小正方形合成要求的图形，如右上图所示.
[巩固]右图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分?
分析：如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法.
【例2】（★★★★）怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.
→
分析：（1）分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如左上图所示的图形.
（2）分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符
合条件的图形.
[前铺]把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．
分析：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如左上图所示的三种分法．又因为4＝l×4＝2×2，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么1×4就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而2×2可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形．根据上面的分析，又可以得到如右上图的另两种分法．
【例3】（★★★★）如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字.
→
图1 图2
分析：图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开（图1），因此，首先要在它们之间划出切分线.因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180°必定与另一块重合.要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线（图2）.这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示.
[拓展] 如右图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子.试问如何切割？
分析：首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90°、180°、270°之后，得一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是36÷4=9，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90°、180°、270°便得到其他三块，如右上图.
【例4】如图，甲、乙是两个大小一样的正方形.要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○.
分析：一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90°、180°、270°就可以得到另外三块.又因为这个正方形面积为36平方单位，所以分成的每一块的面积都是9平方单位.即每一块都由9个小正方格组成.另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑.
①将两个正方形重叠在一起，如右图所示，为便于区别，将其中一组的“○”改写成“×”.按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个“○”和“×”.
②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线.并将这些截线绕中心点旋转90°、180°、270°得到另外三段截线.如右图.利用它们设想出划分线.
③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，并作上记号（斜线阴影），然后将它绕中心旋转180°后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记号（横线阴影），如右图.
对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个“×”.每一块都有9个方格组成，不能断开.下图是分解了的分块过程示意图.
④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“×”.那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分.于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分.空白部分是另外两块.右图就是最后分得的结果.
（二）图形的拼合
【例5】（★★★★）用6个完全一样的等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合．你能拼出几种图形?把它们画出来．
分析：建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图
[前铺]用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形?
分析： 这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动。一共可以拼成如下图的几种形状：
【例6】 （★★★★）用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形
分析：图中所示的三角板，A ∠是直角，B C ∠+∠=90°，因为要拼的有内外两个正方形，所以要将A ∠作为外正方形的角或者拼内正方形的角两种情况，如果三角板可以重合，则还有第三种情况，三种情况如右上图所示.
卷Ⅱ
（三）图形的剪拼
【例7】 （★★★★）把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等.
分析：连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分成4个小等腰直角三角形和4个等腰梯形.（如图（1）所示），出于分成正方形、长方形面积相等的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了（如图（2）、（3）所示）.
【例8】（★★★★）将下图分成两块，然后拼成一个正方形．
分析：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应该是4。因为图形是缺角长方形，长为6，宽为3，应将宽加1，长减去2便可得一个正方形，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移使长为4）。如右上图.
[前铺]试将一个4×9的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．
分析：已知长方形格数9×4=36（个），所以正方形的边长应为6个格，因此可以把长方形上半部分成6个格、3个格，下半部分成3个格、6个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6个格的正方形，如上图.
（四）计算型图形拼割
【例9】（★★★）如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米，正中央开有小长方形孔，长为80厘米，宽为10厘米，要拼成面积为100平方厘米的正方形.问如何切分，能使划分的块数最少.
分析：切分前面积为12×90-80×10=10000（平方厘米）应与拼成后的正方形面积相等.拼成后正方形的边长x=100厘米.因为：100=120-20=90＋1O.假设上页图切成两块如下左图，然后将右块向上平移10厘米，再向左平移20厘米，就拼成了一个正方形，切分线不可能是直线，一定是折线段.切分后的两块类似阶梯形，然后由两个阶梯互相啮合，组成一个正方形，如下右图.
[巩固] 如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．
→
图d 图e
分析：因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此我们把原长方形分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形．因为新长方形的长为16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形．可以沿对角线的方向，把它切成k阶梯状的两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形．
具体操作中可按图d中的粗线把长方形分两成块，一移一错一对，便可得到如图e所示的长为16
厘米，宽为15厘米的新长方形．
【例10】（★★★）正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如右图的图形，求这个图形的面积.
分析：采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：1×2=2（平方米）
[前铺] 正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形（如右图），求六边形的面积.
分析：采用分割法，右上图中所有小三角形的面积都相同，所以面积=13平方米.
【例11】（★★★★）如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形.
分析：实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设十字形面积是5个平方单位，
长方形的长为x长度单位，宽为x
2
长度单位，那么有2
x
.5,10
2
x x
==，即222
31
x=+，由勾股定理可
知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边.它恰是两个对角顶点的连线.剪拼方法如下图右所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形.
【例12】（★★★★）如下图两个正方形的边长分别是a和b（a＞b），将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形.
图（1）图（2）图（3）
分析：拼成大正方形的面积应是a×a+b×b，设边长c，则有等式c×c=a×a+b×b，又因为将边长为a
的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN为大正方形边长，如图（1），一定有MN×MN=a×a+b×b，而MH=a，则：NH=b，所以AN=CM=BH=(a-b),由此可以确定MN，然后将MN绕中心O旋转90°到EF位置，即可把正方形切成符合要求的4块.如图（2）与图（3）.这种分法同时确保图（3）的中间部分就是边长为b的小正方形.这是因为：
（1）中心四边形的角即边长为a的正方形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等.因此中心四边形是正方形.
（2）中心正方形的边长=[a-(a-b)÷2]-(a-b)÷2＝a-（a-b）＝b.
因此，中间部分是边长为b的正方形.
[巩固]把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形.
分析：不管分其中的哪一块，最后拼得正方形的面积与图中两块面积和相等，甲面积=10×5=50（平方厘米）；乙面积=10×7-（7-2）×4=70-20=50（平方厘米）.
所以甲面积+乙面积=50+50=100（平方厘米），也就是最后拼得正方形的边长为10厘米.甲、乙两图形各有一边是10厘米，可视为正方形的一条边，然后把乙剪成三块（如右上图所示）拼成的正方形，即可.
本章内容我们主要学习了一些常见图形的分割、拼合和剪拼，这为我们进一步学习几何有很大的帮助，我们在四年级秋季班中还要继续学习复杂图形的分割与拼接，希望同学们再接再厉！
1.（例2）把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．
分析：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如下图所示的三种分法．
2.（例3）请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?
→→
分析：图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6×4的，所以专题展望
练习五
分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，对称分成如右上图.
3.（例5）将方格纸剪成面积是4的图形，形状只有七种，如下图所示．其中有哪几种自身可以拼成面积是16的正方形?
分析：面积是16的正方形，其边长等于4，用图形(5)和(7)显然能拼成边长是4的正方形(如左上图所示)．用图形(1)、(2)和(6)也能拼成边长为4的正方形(如右上图所示)．
通过观察与试验，无法用所给图中的(3)和(4)拼成题目要求的正方形．因此，用所给图中的七种图形，共可以拼成5种面积是16的正方形．
4.（例8）有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里．请找出一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼?
分析：地毯的面积为(8×3)＝24平方米，新房间的面积为(6×4)＝24平方米，两者虽然长、宽不相等，但面积相等．通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多2米，房间的宽比地毯的宽多1米，因此，我们可以把地毯看做由12个2×1(平方米)的小长方形组成的大长方形，如左上图所示，要达到题目的要求，只要使原地毯的长缩短一小格．即减少2米，使原地毯的宽增加一小格，即增加1米，我们可以沿对角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把它们错位互相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动1米，再向右平行移动2米，即得右上图.
5.（例9）长方形长24厘米，宽15厘米.把它剪成两块，使它们拼成一个长20厘米，宽18厘米的长方形.
分析：长方形面积=24×15=360（平方厘米），拼成的长方形面积=20×18=360（平方厘米），面积相等，只是长、宽不等，但它们都可以分成30个4×3的小长方形，拼成的长方形的一半应有15个4×3的小长方形，即5＋4+3+2＋l=15.所以才有如上图的剪切方法.
数学知识
逛市场
今天是星期天，妈妈要带小勇去逛自由市场，小勇很高兴，紧张地学习了一周也该轻松一下了。自由市场可热闹了，商品齐全，价格灵活，摊主们的经营之道可多了，买主中也不乏精明之人。在鲜果市场的一个西瓜摊前，小勇遇到一件新鲜事：西瓜摊前的广告牌上写道：保熟、保甜大西瓜，价格便宜，8斤以下每斤2角，8斤以上每斤2角5分。一位小伙子挑了一个西瓜，请摊主过秤算钱。摊主一边过秤，一边喝道：“一元八角五分，五分抹掉，一元八角。”买瓜的小伙子稍稍迟疑，立即说：“你的帐算错了。”聪明的摊主自觉理亏，假装又算了一遍，便客气地说道：“对不起。”小勇在一旁看得清楚，听得明白，这小伙子没有看秤，怎么知道卖瓜的人把帐算了呢？爱动脑筋的小勇，一边跟妈妈走，一边琢磨。噢！原来如此。你想起来了吗？
6 A C D E 九图形的计数(A) 年级班姓名得分 一、填空题 1．下图中一共有（）条线段. 6. ______. 7. 25颗铁钉(如下图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个. 8. ,上面有4?4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个. 9. 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.
10. 数一数.要注意那些看不见的. 二、解答题 11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比. 12. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？ 14．将 ABC 的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？ 7 6 5 4 3 2 1 N M F E D C B A O
九图形的计数（B） 年级班姓名得分 一、填空题 1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____. 2. 右上图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个. 3. 下图中共出现了_____个长方形. 4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形. 5. 图形中有_____个三角形. 6．如右上图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个. 7. 下图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体. 8. 右上图中共有_____个正方形. 9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问： 如果M位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法. 10. 如下图,在2×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10×10方格中,画一条直线最多可穿过_____个方格. M 二、解答题 11. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.） 12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形? 13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个? 14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方体?
1、有一个梯形，他的上底是5厘米，下底7厘米，如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5厘米。求原 来梯形的面积。 例1、下图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。 1、如下图。已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。 2、下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点。求AEF的面积。
例2、图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 计算下面图形的面积（单位：厘米） 例3、下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？
如图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。 1、在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（提示：连接 DB）单位：厘米。 例4、图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。
疯狂操练5 1、如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8 平方厘米。求AH长多少厘米？ 2、下图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米。求图中阴影部分的面积。
课后作业： 1、已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 2、求下图长方形ABCD的面积。（单位：厘米） 1、如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边 形ABCD的面积。
不规则图形面积计算 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。 那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。 一、例题与方法指导 例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分 别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。 思路导航： 阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。 例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 思路导航：
∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等， ∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形 ABCD 的13。 在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。 所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。 例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米 和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。 思路导航： 在等腰直角三角形ABC 中 ∵AB=10 ∵EF=BF=AB-AF=10-6=4， ∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。 例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米. 求△ABD 及△ACE 的面积. B C
图形的分割与拼接专题怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。 例1 请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。 分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。 方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。 方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。 方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。 方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。 前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。
例2 将右图分割成五个大小相等的图形。 分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。 例3 右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。 分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。
例4 将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。 分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1， 那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。 例5 有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。 分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何 剪拼。因为现在的宽是原来的长的4 38.46.3 ,现在的长是原来的宽的34，所以可将原来的长分为4份，宽分为3份（见下页左上图），现在的长与宽如下页右上图。
A 3 A 1 O A 2 A 4 A 5 A 7 A 6 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 九 图形的计数(A) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1．下图中一共有（ ）条线段. 2. 如右上图,O 为三角形A 1A 6A 12的边A 1A 12上的一点,分别连结OA 2,OA 3,…OA 11，这样图中共有_____个三角形. 3. 下图中有_____ 4. 右上图中共有 _____个梯形. 5. 数一数 (1)一共有( )个长方形. (2) 6. 在下图中,所有正方形的个数是______.
A C E 7. 在一块画有4?4方格网木板上钉上了25颗铁钉(如下图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个. 8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有4?4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个. 9. 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个. 10. 数一数,下图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的. 二、解答题 11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比. 12. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？
13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？ 14ABC的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四 边形？
第18周组合图形面积（一） 例1 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 1，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 2，已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。3，有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。 例2 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中 间长方形的面积。 1，（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2，如下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。 3，求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。 例3 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？ 1，图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。 2，下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 3，下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？ 例4 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多 少平方厘米？
1，如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。 2，在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米）3，图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。求平行四边形的面积。 例5 图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。 练习五 1，如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。求AH 长多少厘米？
十图形的切拼（A） 年级班姓名得分 一、填空题 1. 用24块面积都是1平方分米的木块,拼成的长方形（不含正方 形）中,最小的周长是______分米. 2. 如图长方形纸片,假如按图中所示剪成四块,这四块纸片可拼 成一个正方形.那么所拼成的正方形的边长是______厘米. 3. 左下图是两个由同样大的小方格组成的图形.我们可以用不同的方法把这两块图形拼成一个轴对称图形.例如右下图就是这样的轴对称图形,沿虚线折叠后,虚线两边的图形就完全重合了.那么符合要求的拼法一共有______种. 4. 在下列图形中,图形 A可以用6个如的图形组成.问:在其余的图形中,哪几个也可以 用6个如的图形组成?答______. 5. 如图“L”形,是由4个1平方厘米的小正方形组成,现用这样的“L”形拼成一个正方形(要求无重叠,无空格地拼),最少要用______个这样的“L”形,这个正方形的边长是______厘米. 如果用这样的“L”形拼成一个长方形,最少要用______个这样的“L”形,这个长方形的长是______厘米,宽是______厘米. 6. 下面5个图形都具有两个特点: 由4个连在一起的同样大小的正方形组成; 每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边.我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”. 如果把某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同(比如上面图中的B与 E),那么这两个俄罗斯方块只算一种.除上面4种外,还有______种俄罗斯方块. 7. 用方格纸剪成面积是4的图形,其形状只能有以下七种: (1)如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形,那么四种图形的编号和最小值是
本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼． 本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力． 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割． 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考． 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多． 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形． 如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的． 如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法． 模块一、图形的分割 【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？ B A O 【巩固】 画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有 条． 知识点拨 例题精讲 4-2-3.图形的分割与拼接
l l l l 【例 3】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块． A O 【例 4】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【例 5】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形． 【例 6】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．
五年级数学奥数专题组 合图形面积 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
组合图形面积（一） 【知识点击】 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 【典型例题1】一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 【对点演练1】1.求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 【典型例题2】正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。 【对点演练2】1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。 2.正图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF 的面积。 【典型例题3】四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？
【对点演练3】1.图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。 2.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）【典型例题4】下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？ 【对点演练4】1.如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。 2.在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米） 【典型例题5】图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，AB=4厘米，BC=6厘米。求ED的长。 【对点演练5】1.如图，平行四边形BCEF中， BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影 部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。 求AH长多少厘米？ 2.图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米，求图中阴影部分的面积。【答记者问】大家还有什么疑问吗？ 【学以致用】 1.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。 2.求下图（上右图）长方形ABCD的面积（单位：厘米）。 3.下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？
组合图形面积（一） 【知识点击】 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 【典型例题1】一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 【对点演练1】1.求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 【典型例题2】正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。
【对点演练2】1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。 2.正图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。 【典型例题3】四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH 的面积是多少平方厘米？ 【对点演练3】1.图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。 2.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【典型例题4】下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？ 【对点演练4】1.如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。 2.在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米） 【典型例题5】图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，AB=4厘米，BC=6厘米。求ED的长。 【对点演练5】1.如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。求AH长多少厘米？
五年级奥数组合图形的面 积 Prepared on 24 November 2020
组合图形的面积 1.基本平面图形特征及面积公式 特征面积公式 正方形①四条边都相等。 ②四个角都是直角。 ③有四条对称轴。 S=a2 长方形①对边相等。 ②四个角都是直角。 ③有二条对称轴。 S=ab 平行四边形①两组对边平行且相等。 ②对角相等，相邻的两个角之和为180° ③平行四边形容易变形。 S=ah 三角形①两边之和大于第三条边。 ②两边之差小于第三条边。 ③三个角的内角和是180°。 ④有三条边和三个角，具有稳定性。 S=ah÷2 梯形①只有一组对边平行。 ②中位线等于上下底和的一半。 S=(a+b)h÷2 2.基本解题方法： 由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。 1.已知右面的两个正方形边长分别为6分米和4分米，求图中阴影部分的面 积。 2.右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面 积。（单位：厘米） 3.如图，这个长方形的长是9厘米，宽是8厘米，A和B 是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 4.在右图中，三角形EDF的面积比三角形ABE的面积大6 平方厘米，已知长方形ABDC的长和宽分别为6厘米、4厘 米，DF的长是多少厘米 5.正方形ABCD的面积是100平方厘米，AE=8厘米，CF=6厘
米，求阴影部分的面积。 6.右图是一块长方形公园绿地，绿地长24米，宽16米，中间有一条宽为2米 的道路，求草地（阴影部分）的面积。 7.如图，三角形ABC的面积是24平方厘米，且DC=2AD，E、F分别是AF、BC的中点，那么阴影部分的面积是多少 8.如下图，是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米，中间有两条 宽2米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部 分）的面积有多大 9.如图，一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加2平方 米。问原来的三角形的面积是多少平方米 1米 组合图形的面积作业 1.在右图中，三角形EDF的面积比三角形ABE的面积大75平方厘米，已知正方 形ABCD的边长为15厘米，DF的长是多少厘米 2.如图，ABCD是一个长12厘米，宽5厘米的长方形， 求阴影部分三角形ACE的面积。 3.已知正方形乙的边长是8厘米，正方形甲的面积是 36平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少 4.如图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部 分占长方形的面积是多少 5.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的 三等分点，且平行四边形的面积为54平方厘米，求S△ 。 BEF 6.计算右边图形的面积。（至少用3种方法）（单位： 米）
课程五立体图形问题 1.长方体、正方体表面积的计算 2.长方体、正方体的切割问题 3.长方体、正方体的体积 4.不规则物体的体积 计算长方体和正方体的表面积应注意的问题 （1 ）找出必备条件（长、宽、高或棱长），如题中没有直接给出，则 先求出必备条件，再求表面积（有盖还是无盖）。 （2）统一计量单位，单位不统一的，一般要通过化、聚，使单位统一 后再计算。 （3）求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值。 （4）用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积 就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面；每切一刀，就增加两个面。 1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式 （1）长方体体积＝长×宽×高 V长方体＝abc （2）正方体体积＝棱长×棱长×棱长 V正方体＝a3 2.求不规则物体的体积 水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。 水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积 容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度 例1 有一个长15厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体，现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少？ （1）（2）（3） 分析与解法 根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况，可能是在面上，如图（1），可能在顶点上，学习目标 重点 总结
如图（2），可能在棱上，如图（3）。在面上时，可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积;在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时，要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。 解：原长方体表面积为: （15×10+15×8+10×8）×2=700（平方厘米） 在角上时，剩下部分的表面积是700（平方厘米）； 在面上时，剩下部分的表面积是： 700+5×5×4=800（平方厘米） 在棱上时，剩下部分的表面积是：700＋5×5×2＝750（平方厘米） 所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米。 说明：本题也是要考虑可能出现的各种情况，要做到不重不漏。 例2 如图棱长是2分米的正方体，沿与AB棱垂直的方向切3刀，沿与BC棱垂直的方向切4刀，沿与BF棱垂直的方向切5刀，共得到大小长方体120个。问这120个长方体的表面积之和是多少平方分米。 分析与解法 在这道题中，120个长方体表面积的总和是由原来正方体的表面积与所有切面的面积两部分组成。每切一刀，就增加2个边长是2分米的正方形，共切12刀，增加了24个边长是2分米的正方形。 解：2×2×6＋2×2×[（3＋4＋5）×2] ＝24＋96 ＝120（平方分米） 答：这120个长方体的表面积是120平方分米。 说明：此题并没有要求是平均切，所以只能考虑在原来基础上增加了多少。 例3 有一根长3.5米的方木，把它截成3段，表面积增加了144平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？ 分析与解法 把方木截成三段要截2次，每截一次要增加2个面，截2次增加4个面，4个面的面积为144平方厘米，144÷4＝36（平方厘米），根据体积公式就能求出方木的体积。 解：144÷4＝36（平方厘米） 36×350＝12600（立方厘米）＝12.6（立方分米） 答：这根方木的体积是12.6立方分米。 说明：切n 刀分出（n+1）段，增加2n个面。 例 4 H
五年级奥数图形的分割教师版 解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得,所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。 解题思想：这其实就是一种化整为零的思想,各位同学不仅要学会几何题中的这种方法,更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。 模块一、简单分割 【例 1】 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图),顶点A 和B 分别与正方形 中心点重合,如果所构成图形的周长是48厘米,那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米 . 【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,中年级组,复试,4题 【解析】 将这3个正方形分割,可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和,故正方 形边长为48÷8=6（厘米）,则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘米）,所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。 【答案】90平方厘米 【例 2】 正方形ABCD 的面积是1平方米,将四条边分别向两端各延长一倍,连结八个端点 得到一个正方形(如图),求大正方形的面积． D C B A 【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 四条边分别向两端各延长一倍,很容易可以观察出,大正方形有9个小正方形组成, 所以,大正方形的面积是：199?=(平方米)． 【答案】9平方米 【例 3】 将边长为a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形,再将第二个正方形各边的 例题精讲 知识点拨 4-2-4.图形的分割
中点连结成第三个正方形,依此规律,继续下去,得到下图那么,边长为a 的正方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍 . 【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第6题,4分 【解析】 阴影部分是大正方形的0.5×0.5×0.5×0.5=1 16 ,所以正方形是阴影的16倍 【答案】16倍 【例 4】 正三角形ABC 的面积是1平方米,将三条边分别向两端各延长一倍,连结六个端 点得到一个六边形(如右图),求六边形的面积． C B A 【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法,过A 、B 、C 分别作平行线,得到右上图,其中所有小三角形的面积都 相同,所以六边形面积等于13平方米． 【答案】13平方米 【例 5】 正六边形ABCDEF 的面积是1平方米,将六条边分别向两端各延长一倍,交于六 个点,组成如下图的图形,求这个图形的面积． F E D C B A F A B C D E 【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法,连接正六边形的对角线,会发现,所有的三角形面积都相同,一共有12 个小三角形,原来正六边形的面积是1平方米,由6个小三角形组成,所以现在的大图形的面积是：122?= (平方米) 【答案】2平方米 【例 6】 长方形ABCD 的面积是40平方厘米,E 、F 、G 、H 分别为AC 、AH 、DH 、BC 的中点。三角形EFG 的面积是 平方厘米。 A 【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯,五年级,初赛,第3题
小学数学《图形的分割与拼接》练习题（含答案） 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割． 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考． 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多． 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形． 如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的． 如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法． （一）图形的分割 【例1】（★★★）下图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整． 分析：因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有3×4=12（个）小格，所以分成的两块每块有12÷2=6（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号.当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如右上图所示. [拓展] 下图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整． 分析：因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有4×4=16（个）小格，所以分成的两块每块有16÷2=8（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进.（建议教师同时呈现六幅空的4×4格图，不同的变化在不同的图上同时呈现）如下图：
4-2-3.图形的分割与拼接 知识点拨 本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼． 本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力． 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割． 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考． 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多． 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．
如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的． 如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法． 模块一、图形的分割 【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？ B A O 【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条． 【例 2】用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有________个。 例题精讲
l l l l 【例 3】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块． A O 【例 4】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法． 【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．
五年级奥数 11组合图形的面积 第十一讲组合图形的面积 教学目标 1、切实掌握有关简单图形的概念、面积公式，牢固建立空间观念; 2、切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题， 教学重难点 在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们要记住下面三点: 1、两个三角形等底、等高，其面积相等; 2、两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系; 3、两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。新课导入 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合成的。组合的形式分为两种:一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。今天我们就一起来学习组合图形的面积的计算方法。新知传授 例题1 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米, 解:由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。我们可以假设有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。显
然，这个正方形的面积是12×12.那么，一个三角形的面积就是12×12?4=36平方厘米。 练习1 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。 解:图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。这两个正方形的边长分别是12?(1，2)=4(厘米)和4 ×2=8(厘米)。中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。即:12×12,(4×4，8×8)=64(平方厘米) 例题2 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米, 解:设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b。 (1)梯形EFAD的面积是(a+b)×b?2.三角形EFC的面积也是(a+b)×b?2。所以，两者的面积相等。 (2)因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积,梯形EFHD的面积，而三角形CDH 的面积=三角形EFC的面积,梯形EFHD的面积，所以，三角形CDH的面积与三角形AFH的面积相等，也是7平方厘米。 练习2 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米,
学习必备 欢迎下载 图形的计数 一、填空题 A 12 1．如下左图中一共有（ ）条线 段. O A 11 A 10 A 9 A 8 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 2. 如上右图,O 为三角形 A 1A 6A 12 的边 A 1A 12 上的一点,分别连结 OA 2,OA 3,…OA 11，这样图中共有_____个三角形. 3. 如下左图中有_____个三角形. A D A 7 A 6 B 4. 如上右图中共有_____个梯形. 5. 数一数 (1)一共有( )个长方形. (2)一共有( )个三角形. C D C A 6. 如下左图中,所有正方形的个数是______. B (1) (2) A P O N M B Q X W L C R Y V K D S T U J E F G H I 7. 在一块画有 4 ? 4 方格网木板上钉上了 25 颗铁钉(如上右图),如果用线绳围正方形,最多可 以围出_____个. 8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有 4 ? 4 个钉(如下左图).以每个钉为顶点,你 能用皮筋套出正方形和长方形共_____个.
9. 如下左图,方格纸上放了 20 枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个. 10. 数一数, 如上右图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的. 二、解答题 11. 如下左图中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比. O 1 2 A B 4 3 C D 5 6 E F 7 M N 12. 如上右图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 13．现在都是由边长为 1 厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为 2 厘米、4 厘米、8 厘 米、9 厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色 的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样 4 个大小不同的正方形，总 共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？ 14．将 ABC 的每一边 4 等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？
图形的分割和拼接提高 知识框架 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割． 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考． （1）如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多． （2）图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形． （3）如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的． （4）如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法． 例题精讲 模块一、图形的分割 【例1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？ 【巩固】图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．
【例2】下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○． 欢迎关注：奥数轻松学 【例3】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样 的四部分．
【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？ 【例4】如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字. 【巩固】如右图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子.试问如何切割？ 欢迎关注：奥数轻松学 余老师薇芯：69039270 模块二、图形的拼接 【例5】用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形
组合图形的面积 十一右图正方形边长为12厘米，四边形EFGH面积是6平方厘米，那么阴影面积是多少平方厘 米？ 分析：S阴影=S AFC+S BDF－2*S EFGH =FC*AB÷2+BF*AB÷2－2*S EFGH =（FC+ BF）*AB÷2－2*S EFGH =BC*AB÷2－2*S EFGH =12*12÷2－2*6=60平方厘米 十二如图，正方形ABCD的边长是12厘米，CE=4厘米。求阴影部分的面积。 分析：△CEF与△AFB相似；CE：AB=4：12=1：3 EF：BF=1：3 S BCE=CE*BC÷2=4*12÷2=24平方厘米，EF：BF=1：3，所以S BCF=3S CFE S CFE=6平方厘米S BCF=18平方厘米；S AFE=18平方厘米 S阴影= S BCF + S AFE =36平方厘米 十三在右图中，三角形EDF的面积比三角形ABE的面积大75平方厘米，已知正方形ABCD 的边长为15厘米，DF的长是多少厘米？ 分析：S ACF=（CD+DF）*AC÷2=（15+DF）*15÷2 S ABCD=AB*AC=15*15=225平方厘米 S ACF－S ABCD=（S ACDE+S EDF）－（S ACDE+S ABE） S ACF－S ABCD= S EDF－S ABE=75 （15+DF）*15÷2－225=75 DF=25厘米 十四如图，ABCD是一个长12厘米，宽5厘米的长方形，求阴影部分三角形ACE的面积。 分析：过E点做S AEC的高，其值等于CD，为55厘米 S AEC=AC*CD÷2=12*5÷2=30平方厘米 十五已知正方形乙的边长是8厘米，正方形甲的面积是36平方厘米，那么图中阴影部分的面积 是多少？