第4 节直线、平面平行的判定及其性质
最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识
和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、
定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简
单命题.
知识梳
理 1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示符号表示
判 一条直线与此平面内的一条直线
定平面外 a⊄α，b⊂α，
a∥b⇒a∥α 定平行，则该直线平行于此平面
理
性 交线 一条直线和一个平面平行，则过 a∥α，a⊂β，
α∩β＝ 质 这条直线的任一平面与此平面的 定 与该直线平行 理 b⇒a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
a⊂α，b⊂α，
a∩b＝P， 判 相交直线 一个平面内的两条
与另一个平面平行，则这
两个平面平行 定
定
理 a∥β，
b∥β⇒α∥β
两个平面平行，则其中一 平行 α∥β， 性个平面内的直线
质于另一个平面 a⊂α⇒a∥β
交线 定如果两个平行平面同时和
理第三个平面相交，那么它 α∥β，α∩γ
＝a，β∩γ＝
[常用结论与微点提醒]
1.平行关系中的两个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，
则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若 α∥β，β∥γ，则
α∥γ.
2.线线、线面、面面平行间的转化
诊断自
测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个
平面平行.( )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有
无数条.( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两
【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第6讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直练习 理
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).若|a|＝3，且a分别与AB→，AC→垂直，则向量a为________.
解析 由条件知AB→＝(－2，－1，3)，AC→＝(1，－3，2)，设a＝(x，y，z)，则有－2x－y＋3z＝0，x－3y＋2z＝0，x2＋y2＋z2＝3，解得a＝±(1，1，1).
答案 (1，1，1)或(－1，－1，－1)
2.若AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是________.
解析 ∵AB→＝λCD→＋μCE→，∴AB→，CD→，CE→共面.则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
答案 平行或在平面内
3.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，给出下列四点：①P(2，3，3)；②P(－2，0，1)；③P(－4，4，0)；④P(3，－3，4).则上述点P中，在平面α内的是________(填序号).
解析 逐一验证法，对于①，MP→＝(1，4，1)，
∴MP→·n＝6－12＋6＝0，∴MP→⊥n，
∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.
答案 ①
4.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________.
解析 ∵a·b＝x－2＋6＝0，∴x＝－4.
答案 －4
5.设点C(2a－1，a＋1，2)在点P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________.
解析 PA→＝(－1，－3，2)，PB→＝(6，－1，4).
根据共面向量定理，设PC→＝xPA→＋yPB→(x，y∈R)，
学必求其心得，业必贵于专精
1 第6讲 空间向量的运算及应用
［基础达标]
1.已知三棱锥O。ABC,点M，N分别为AB,OC的中点，且OA→＝a,错误!＝b，错误!＝c，用a，b,c表示错误!，则错误!等于（ )
A．错误!（b＋c－a)
B．错误!(a＋b＋c）
C．错误!(a－b＋c）
D．错误!(c－a－b)
解析：选D。错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!（c－a－b)．
2．已知a＝（2，－1，3)，b＝(－1，4,－2），c＝（7，5，λ)，若a、b、c三向量共面,则实数λ等于( ）
A．错误! B．9
C．647 D．错误!
解析:选D。由题意知存在实数x，y使得c＝xa＋yb， 学必求其心得，业必贵于专精
2 即（7，5，λ）＝x（2,－1，3)＋y（－1,4，－2），
由此得方程组错误!
解得x＝错误!,y＝错误!，所以λ＝错误!－错误!＝错误!。
3．已知A（1,0，0），B(0，－1，1），O为坐标原点，错误!＋λ错误!与错误!的夹角为120°，则λ的值为( ）
A．±错误! B．错误!
C．－错误! D．±错误!
解析：选C。错误!＋λ错误!＝（1,－λ，λ)，cos 120°＝错误!＝－错误!，得λ＝±错误!.经检验λ＝错误!不合题意,舍去，所以λ＝－错误!。
4．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2,…，8）是上底面上其余的八个点，则错误!·错误!(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选A。由题图知,AB与上底面垂直，因此AB⊥BPi（i＝1，2，…，8)，错误!·错误!＝｜错误!｜|错误!｜cos∠BAPi＝｜错误!|·|错误!|＝学必求其心得，业必贵于专精
3 1(i＝1,2，…，8）．故选A。
5．正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
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1如有帮助欢迎下载支持 第6讲 空间向量及其运算
1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝π2，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积
两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(3)向量的数量积的性质
①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；
②a⊥b⇔a·b＝0；
③|a|2＝a·a＝a2；
④|a·b|≤|a||b|.
(4)向量的数量积满足如下运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a(交换律)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
3．空间向量的坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， 文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
