第四章图形认识的初步——知识总结+考点分析+典型例题(含答案)

1 第四章 图形认识初步

【知识要点】

4．1多姿多彩的图形

1.平面图形球体椎体（棱锥、圆锥）柱体（棱柱、圆柱）立体图形几何图形

2.研究立体图形的方法

（1）平面展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

（2）从不同的方向看（“三视图”）

3.几何图形的形成：点动成线，线动成面，面动成体。

4.几何图形的结构：点、线、面、体组成几何图形。点是构成图形的基本元素。

4．2直线、射线、线段

1.点：表示一个物体的位置，通常用一个大写字母表示，如点A、点B。

2.直线

（1）直线的表示方法：①可以用这条直线上任意两点的字母（大写）来表示；②用一个小写字母来表示。

（2）直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为，两点确定一条直线。

（3）直线的特征：

①直线没有端点，不可量度，向两方无限延伸；

②直线没有粗细；

③两点确定一条直线；

④两条直线相交有唯一一个交点。

（4）点与直线的位置关系：

①点在直线上（也可以说这条直线经过这个点）；

②点在直线外（也可以说直线不经过这个点）。

（5）两条直线的位置关系有两种——相交、平行

3.射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。

(1)射线的表示方法：

①用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面，在两个字母前加上“射线”；

②用一个小写字母表示。

(2)射线的性质：

①射线是直线的一部分；

②射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量、不能比较长短；

③射线上有无穷多个点；

④两条射线的公共点可能没有，可能只有一个，可能有无穷多个。

4.线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段。

（1）线段的特点：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短。

（2）线段的表示方法：

①用两个端点的大写字母表示；

②用一个小写字母表示。

（3）线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短。简称，两点之间线段最短。

（4）两点的距离：连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离。

（5）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 ． ． ． Ａ Ｍ Ｂ 2 如图，点M将线段AB分成AM=BM两段，M即为线段AB的中点。

判定：∵ AM＝BM（或AM＝BM=21AB，AB=2AM=2BM),M在AB上，∴ M是线段AB的中点。

性质：∵M是线段AB的中点，∴AM＝BM(或AM=BM=21AB，AB=2AM=2BM)。

（6）线段大小的比较方法：

（1）叠合法；

（2）度量法；

（3）估测法。比较线段的大小与比较数的大小一样，也可以用“＞”、“＜”或“＝”来表示，字母前面的“线段”省略不写。线段的和差与其数量的和差是一致的。

4．3角

1.角：

（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

（2）角也可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部。

注意：

①角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度大小有关；

②角的大小可以度量，可以比较，也可以参与运算。

2.角的表示方法：

①用角的符号和数字表示一个角；

②用角的符号和小写的希腊字母表示一个角；

③用角的符号和一个大写的英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）；

④用角的符号和三个大写的英文字母表示任意一个角，表示顶点的字母要写在中间。

3.角的分类：按角的大小可分为锐角、直角、钝角、平角、周角等。

4.角的度量单位及换算：

1°=60′，1′=60″，1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°，

1周角=2平角=4直角=360°， 1平角=2直角=180°。

5.角的大小的比较方法：

（1）叠合法：比较两个角的大小时，把角叠合起来使两个角的顶点及一边重合，另一边落在同一条边的同旁，则可比较大小；

（2）度量法：量出角的度数，就可以按照角的度数的大小来比较角的大小。

6.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

如图，射线OC将∠AOB分成两个相等的角，即∠1=∠2，则OC是∠AOB的平分线。

判定：∵∠1=∠2（或∠1=∠2=21∠AOB,∠AOB=2∠1=2∠2 ∴OC平分∠AOB。

性质：∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠2（或∠1=∠2=21∠AOB,∠AOB=2∠1=2∠2）。

7.余角与补角

（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角。

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。

（3）互余、互补的性质：同角（或等角）的余角（或补角）相等。

（4）方位角：表示方向的角，它是指正北（或正南）方向线与目标方向线之间所夹的锐角。习惯上把南或北写在前面，东或西写在后面，用两个方向表示。

【考点解析】 A

O B C

1 2 3 考点1 从不同方向看立体图形

例1（河北省）图1中几何体的主视图是如图7所示中的（ C ）

变式练习： 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示,其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数,那么该从左面看该物体的平面图形是( B )

考点2 立体图形的侧面展开图（掌握正方体的11种展开图）

例2（嘉兴市）如图8所示的图形中，不能．．经过折叠围成正方体的是（ B ）

补充：正方体的11种展开图

变式练习：

1．一个正方体的平面展开图的如图所示，则正方形4的对面是正方形 1 。

（第1题） （第2题）

2．如图所示是一个正方体纸盒的展开图，请把8，－3，－15分别填入余下的四个正方形中，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数。 1 2

A. B. C. D. 2 3

1

A B C D

图8 正面

图6 C. A. D. Ｂ.

图7

1234563-8 15 4

提示：相对的正方形没有邻边。

考点3 线段、角度的计算

例3（2009·云南中考）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6 ，则CD＝________2_______．

例4（大连市）如图10，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ.则∠SQT等于（ A ）

A.42° B.64° C.48° D.24°

例6（内江市）一个角的余角比它的补角的12少20°.则这个角为（ B ）

A.30° B.40° C.60° D.75°

考点4 平面图形的操作问题

例5（旅顺口区）如图11，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是如图12所示的（ C ）

例6（临安市）如图13，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ B ）

A.2 B.4 C.8 D.10

考点5 有关线段、角的计算与证明

例7、一只小虫从点A出发向北偏西30°方向，爬行了3cm到点B，再从点B出发向北偏东60°爬了3cm到点C。

（1）试画图确定A、B、C的位置；

（2）从图上量出点C到点A的距离（精确到0．1cm）；(23)

（3）指出点C在点A的什么方位?(南偏西15°)

变式练习：

小明从点A向北偏东75°方向走到点B，又从点B向南偏西30°方向走到点C，则∠ABC的度数为 45 度．

例8、如图，点C在线段AB上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点。 DCBA图12 图11 P

Q T S

R

图10

图13 5 ⑴求线段MN的长；

⑵若C为线段AB上任一点，满足AC + CB = a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由。

⑶若C在线段AB的延长线上，且满足ACBC = b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由。

⑷你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？

（1）7cm（2）2a（3）2b

ABCMN

考点6

规律探索问题

例9（江西省）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成如图16一列图案：

（1）第4个图案中有白色纸片 13 张；

（2）第n个图案中有白色纸片 （3n+1） 张.

变式练习：

1.直线上有任意两点时有一条线段；三点时有3条线段，四点时有6条线段……求直线上有n点时线段的条数。

2.已知有如下数列：......16,8,4,2,5432xxxxx求第n个代数式（用含n的式子表示）。（nnx12）

3. 已知有如下数列：......16,8,4,2,5432xxxxx求第n个代数式（用含n的式子表示）。（nnnx112)1(）

4. 已知有如下数列：......16,8,4,2,5432xxxxx求第n个代数式（用含n的式子表示）。（nnnx12)1(）

练习题：

1．（十堰市）观察如图17甲，从左侧正对长方体看到的结果是图乙中的（ B ）

2．（衡阳市）如图18所示的图形中，不是正方体平面展开图的是（ D ）

图17 （图甲） A B C D

（图乙）

图18 第3个第2个第1个图16