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导数、解析几何大题及答案

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导数、解析几何大题及答案

2 20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．

解：（1）由题意可知P（4，0），Q（4，），丨QF丨=+，

由，则+=×，解得：p=2，

∴抛物线x2=4y；

（2）设l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，

则x1x2=﹣4，

由y=x2，求导y′=，

直线MA：y﹣=（x﹣x1），即y=x﹣， 同理求得MD：y=x﹣，

，解得：，则M（2k，﹣1），

∴M到l的距离d==2，

∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM•S△CDM=丨AB丨丨CD丨•d2，

=（丨AF丨﹣1）（丨DF丨﹣1）•d2，

=y1y2d2=•×d2，

3 =1+k2≥1，

当且仅当k=0时取等号， 当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值1

21．已知函数f（x）=lnx﹣x．

（1）证明：对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）|＞；

（2）设m＞n＞0，比较与的大小，并说明理由

（1）证明：

因为f′（x）=，故f（x）在（0，1）上是增加的，在（1，+∞）上是减少的，

f（x）max=f（1）=ln1﹣1=﹣1，|f（x）|min=1，

设G（x）=，则G′（x）=，

故G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+∞）上是减少的，故G（x）max=G（e）=＜1，

G（x）max＜|f（x）|min，

所以|f（x1）|＞对任意的x1，x2∈（0，+∞）恒成立；

（2）解： ==•，

且=×，

∵m＞n＞0，∴﹣1＞0，

故只需比较ln与的大小，

令t=（t＞1），设G（t）=lnt﹣=lnt﹣，

则G′（t）=﹣=，

4 因为t＞1，所以G′（t）＞0，所以函数G（t）在（1，+∞）上是增加的，

故G（t）＞G（1）=0，所以G（t）＞0对任意t＞1恒成立，

即ln＞，

从而有＞．

19．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1和F2，离心率e=，点F2到右准线l的距离为．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）设M、N是右准线l上两动点，满足=0．当|MN|取最小值时，求证：M，N两点关于x轴对称．

解：（1）因为，F2到l的距离，

所以由题设得，

解得，．

由．

（Ⅱ）证明：由，a=2得．

5 则l的方程为．

故可设．

=（2+，y1），=（2﹣，y2），

由=0知，3×+y1y2=0，

得y1y2=﹣6，所以y1y2≠0，

，||=|y1﹣y2|=|y1+|=|y1|+，

当且仅当时，上式取等号，此时y1=﹣y2．

即M，N两点关于x轴对称．

20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值．

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若方程f（x）=﹣恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；

6 （Ⅲ）对于（2）中的函数f（x），若对于任意实数α和β恒有不等式|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值．

解：（Ⅰ）f（0）=0⇒c=0，f'（x）=3x2+2ax+b，f'（1）=0⇒b=﹣2a﹣3，…2分

∴f'（x）=3x2+2ax﹣（2a+3）=（x﹣1）（3x+2a+3），

由f'（x）=0⇒x=1或

因为当x=1时取得极大值，所以，

所以a的取值范围是：（﹣∞，﹣3）；…4分

（Ⅱ）由下表：

x x＜1 x=1

f'（x） + 0 ﹣ 0 ﹣

f（x） 递增 极大值﹣a﹣2 递减 极小值 递增

…7分

画出f（x）的简图：

依题意得：，

解得：a=﹣9，

所以函数f（x）的解析式是：f（x）=x3﹣9x2+15x；…9分

7 （Ⅲ）对任意的实数α，β都有﹣2≤2sinα≤2，﹣2≤2sinβ≤2，

依题意有：函数f（x）在区间上的最大值与最小值的差不大于m，…10分

在区间上有：f（﹣2）=﹣8﹣36﹣30=﹣74f（1）=7，

f（2）=8﹣36+30=2f（x）的最大值是f（1）=7，

f（x）的最小值是f（﹣2）=﹣8﹣36﹣30=﹣74，…13分

所以m≥81即m的最小值是81．…14分．

20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆C'： =1的一个焦点重合，点A（x0，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．

（1）求抛物线C的方程以及|AF|的值；

（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若，|BM|2+|BN|2=40，求实数λ的值．

解：（1）依题意，椭圆中，a2=6，b2=5，故c2=a2﹣b2=1，故，则2p=4，

可得抛物线C的方程为y2=4x．

将A（x0，2）代入y2=4x，解得x0=1，故．

（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），

联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0．

所以，①且，

又，则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，

8 代入①得，消去y2得，

易得B（﹣1，0），则，

则

==

=（m2+1）（16m2+8）+4m•4m+8=16m4+40m2+16，

当16m4+40m2+16=40，解得，故．

21．已知函数f（x）=axex﹣（a﹣1）（x+1）2（a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7181281…）．

（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围．

解：（1）由题知，f（x）=﹣xex+2（x+1）2，

f'（x）=﹣ex﹣xex+4（x+1）=（x+1）（4﹣ex），

由f'（x）=0得到x=﹣1或x=ln4，

而当x＜ln4时，（4﹣ex）＞0，x＞ln4时，（4﹣ex）＜0，列表得：

9 x （﹣∞，﹣1） ﹣1 （﹣1，ln4） ln4 （ln4，+∞）

f'（x） ﹣ 0 + 0 ﹣

f（x） ↘ 极大值 ↗ 极小值 ↘

所以，此时f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），（ln4，+∞），增区间为（﹣1，ln4）；

（2）f'（x）=aex+axex﹣2（a﹣1）（x+1）=（x+1）（aex﹣2a+2），

由f'（x）=0得到x=﹣1或aex﹣2a+2=0（*）

由于f（x）仅有一个极值点，

关于x的方程（*）必无解，

①当a=0时，（*）无解，符合题意，

②当a≠0时，由（*）得ex=，故由≤0得0＜a≤1，

由于这两种情况都有，当x＜﹣1时，f'（x）＜0，于是f（x）为减函数，

当x＞﹣1时，f'（x）＞0，于是f（x）为增函数，

∴仅x=﹣1为f（x）的极值点，

综上可得a的取值范围是[0，1]．

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高中数学第六章导数及其应用6.1.导数及其几何意义学案含解析B版选择性第三册 (1)

高中数学第六章导数及其应用6.1.导数及其几何意义学案含解析B版选择性第三册 (1)

必修第三册 (1)

6。1.2 导数及其几何意义

必备知识·素养奠基

1。(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时，若平均变化率=无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x）在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x）在x=x0处的导数,记作f′(x0）=k.

“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”还可以怎样表示?

提示:还可以表示为,当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f′(x0）=。

（2）瞬时变化率f′(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量Δx很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′（x0)Δx。

（1)函数y=f在x=x0处的导数一定存在吗?

提示：当Δx→0时，平均变化率的极限存在，则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数。

(2）函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗? 必修第三册 (1)

提示:还可以表示为f′==等。

2.导数的几何意义

（1)割线：一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.

(2）切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f′（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0,f(x0）)处(也称在x=x0处）的切线的斜率.切线方程为y-f（x0）=f′（x0)（x-x0）。

（1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？

提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个。

（2）曲线的切线与导数有什么关系？

提示：①函数f(x)在x=x0处有导数，则函数f（x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率.

②函数f(x）表示的曲线在点(x0，f（x0）)处有切线，但函数f(x）在该点处不一定可导,例如f（x)=在x=0处有切线，但不可导.

2-3-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题

2-3-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题

高考专题训练二十三

函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题

班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：72分 总得分________

1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC的三内角A、B、C所对应的边长分别为a、b、c，平面向量m＝(cosA，cosC)，n＝(c，a)，p＝(2b,0)，且m·(n－p)＝0.

(1)求角A的大小；

(2)当|x|≤A时，求函数f(x)＝sinxcosx＋sinx

sinx－π6的值域．

解：(1)m·(n－p)＝(cosA，cosC)·(c－2b，a)

＝(c－2b)cosA＋acosC＝0

⇒(sinC－2sinB)cosA＋sinAcosC＝0⇒－2sinBcosA＋sinB＝0.

∵sinB≠0，∴cosA＝12⇒A＝π3.

(2)f(x)＝sinxcosx＋sinxsinx－π6＝12sinxcosx

＋32sin2x＝14sin2x＋32·1－cos2x2＝34＋14sin2x－

34cos2x＝34＋12sin2x－π3.

∵|x|≤A，A＝π3，∴－π3≤x≤π3⇒－π≤2x－π3≤π3.

∴－1≤sin2x－π3≤32⇒3－24≤34＋12sin2x－π3≤32.

∴函数f(x)的值域为[3－24，32]．

2．(12分)(2011·正定)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．

(1)求证：FH∥平面EDB；

(2)求证：AC⊥平面EDB；

(3)求四面体B—DEF的体积．

分析：本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力．

解：

(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG、GH，由于H为BC的中点，

导数与解析几何完美的交汇——2012年浙江省数学高考文、理科解析几何题评析

导数与解析几何完美的交汇——2012年浙江省数学高考文、理科解析几何题评析

・２６・　中学教研（数学）　

导数与解析几何完美的交汇　

——＿２Ｏ１２年浙江省数学高考文、理科解析几何题评析　

●黄高涌　（温州市第十五中学浙江温州５２３０１１）　

１教学要求与考查要求　

解析几何是高中数学的主干内容，其核心是用　

代数的方法研究解决几何问题，体现数形结合的思　想方法，此类试题主要考查运算求解能力和推理思　

维能力．２０１２年浙江省数学高考文、理科试卷的解　

析几何题都是３个，其中理科共计２４分，文科共计　

２３分．　

２命题特点和知识类型　

２０１２年浙江省数学高考解析几何题有３个明　

显的特点：　

（１）选择题以考查基本知识和基本技能为主，　

覆盖椭圆、双曲线、抛物线等基本内容．文科第８题　

是椭圆与双曲线有共同焦点的问题，理科第８题是　直线与双曲线渐近线交点问题，要求学生掌握圆锥　

曲线的基本几何性质．　

（２）填空题考查点、直线与圆锥曲线位置关系　

的应用，文科第１７题、理科第１６题都是直线与抛　

物线的最小距离问题，体现了要求学生掌握直线与　

圆锥曲线的基本位置关系的一些简单应用．　

（３）解答题文科第２２题、理科第２１题是直线　

与圆锥曲线位置关系中的面积最值问题，题目清晰　

简洁，学生容易理解题意，解题方法常规．然而设置　

求最值的目标函数却很复杂，不能用一般方法求，　

必须转化为高次函数，利用导数求出最值．要求学　

生掌握利用导数解决最值问题的一般方法，体现了　

导数在解决最值问题中的重要性．　

３解析几何题的主要内容　

例１如图１所示，椭　２　，２　圆ｃ：　＋鲁＝１（口＞ｂ＞０）　Ｕ　Ｕ　１　的离心率为÷，其左焦点到　二　点Ｐ（２，１）的距离为　１Ｏ，　

不过原点０的直线ｌ与椭　

圆Ｃ交于点Ａ，Ｂ，且线段　

ＡＢ被直线ＯＰ平分．　

（１）求椭圆Ｃ的方程；　Ｐ　

、　

图ｔ　（２）求ＡＡＢＰ面积取得最大时直线２的方程．　

（２０１２年浙江省数学高考理科试题）　

解（１）椭圆方程ｃ：等＋予＝１．　

（２）第１阶段ｌ　

设直线ｌ：ｙ＝　＋ｍ，代入椭圆方程Ｃ得　

高考数学(理)三年真题专题演练—导数及其应用(解答题)

高考数学(理)三年真题专题演练—导数及其应用(解答题)

高考数学三年真题专题演练—导数及其应用（解答题）

1．【2021·天津高考真题】已知0a，函数()xfxaxxe．

（I）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程：

（II）证明()fx存在唯一的极值点

（III）若存在a，使得()fxab对任意xR成立，求实数b的取值范围．

【答案】（I）(1),(0)yaxa；（II）证明见解析；（III）,e

【分析】

（I）求出fx在0x处的导数，即切线斜率，求出0f，即可求出切线方程；

（II）令0fx，可得(1)xaxe，则可化为证明ya与ygx仅有一个交点，利用导数求出gx的变化情况，数形结合即可求解；

（III）令2()1,(1)xhxxxex，题目等价于存在(1,)x，使得()hxb，即min()bhx，利用导数即可求出hx的最小值.

【详解】

（I）()(1)xfxaxe，则(0)1fa，

又(0)0f，则切线方程为(1),(0)yaxa；

（II）令()(1)0xfxaxe，则(1)xaxe，

令()(1)xgxxe，则()(2)xgxxe，

当(,2)x时，()0gx，gx单调递减；当(2,)x时，()0gx，gx单调递增，

当x时，0gx，10g，当x时，0gx，画出gx大致图像如下：

所以当0a时，ya与ygx仅有一个交点，令gma，则1m，且()()0fmagm，

当(,)xm时，()agx，则()0fx，fx单调递增，

当,xm时，()agx，则()0fx，fx单调递减，

xm为fx的极大值点，故()fx存在唯一的极值点；

（III）由（II）知max()()fxfm，此时)1(1,mamem，