高考解析几何压轴题精选(含答案)

高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。

1、 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A 、若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_____________。

(3分)2 、已知m ＞1,直线2:02m l x my --=,椭圆222:1x C y m +=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点、 (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F V ,12BF F V 的重心分别为,G H 、若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围、(6分) 3已知以原点O 为中心,)5,0F为右焦点的双曲线C 的离心率5e =（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;（II ）如题(20)图,已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y (其中2x x ≠)的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点,求OGH ∆的面积。

(8分)4、如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞2,以该椭圆上的点与椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)、一等轴双曲线的顶点就是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 与2PF 与椭圆的交点分别为B A 、与C D 、、(Ⅰ)求椭圆与双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ,证明12·1k k =;(Ⅲ)就是否存在常数λ,使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由、(7分)5、在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B,右焦点为F 。

设过点T(m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。

1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。

（3分）2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)F 为右焦点的双曲线C 的离心率2e =。

（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。

（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·A B C D A B C Dλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB（O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ．54 B ．45C ．254 D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ）A.)3,2(-、13B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y xD.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222>>=+b a b y a x ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =u u u u r ,且0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r则||PM u u u u r 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 16．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞3过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r，则k =（ ）（A ）1 （B 2 （C 3（D ）2 18．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23- 22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP uu r uu r⋅的取值范围为（ ）A ．()21,1- B ．()21,2- C ．()1,2 D ．()2,+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( )A.B.C.=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r =。

压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。

高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。

2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。

I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。

Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。

4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。

5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。

6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。

第13讲 解析几何解答压轴题1．（内蒙古赤峰市·高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其左，右集点为12,F F ，过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点､2MNF 的周长为．（1）求椭圆E 的标准方程：（2）过E 右焦点的直线12,l l 互相垂直，且分别交椭圆E 于,A B 和,C D 四点，求AB CD +的最小值2．（河南新乡市·高三二模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，E 为C 上不同于A ，B 的动点，直线AE ，BE 的斜率AE k ，BE k 满足12AE BE k k ⋅=-，AE BE ⋅的最小值为-4．（1）求C 的方程；（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线1l ，2l 满足1//l AE ，2//l BE ，且1l ，2l 分别交C 于M ，N 和P ，Q ．试判断四边形MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．3．（天津滨海新区·高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，且121PF PF ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于A 、B 两点，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）． （i ）当PAB △面积最大时，求2l 的方程； （ii ）求证：||||||||PA MB PB MA ⋅=⋅．4．（山东泰安市·高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）． （i ）当PAB △面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,l l ，,PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列．5．（浙江绍兴市·高三一模）已知抛物线21:4C x y =和椭圆222:143x y C +=如图，经过抛物线1C 焦点F的直线l 分别交抛物线1C 和椭圆2C 于A ，B ，C ，D 四点，抛物线1C 在点A ，B 处的切线交于点P ．（1）求点P 的纵坐标；（2）设M 为线段AB 的中点，PM 交1C 于点Q ，BQ 交AP 于点T ．记TCD QBP ，的面积分别为12S S ，．（i ）求证：Q 为线段PM 的中点；（ii ）若1287S S =，求直线l 的方程．6．（江苏盐城市·高三二模）已知直线:l y x m +＝交抛物线2:4C y x =于,A B 两点．（1）设直线l 与x 轴的交点为T ．若=2AT TB ，求实数m 的值；（2）若点,M N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：,,,A B M N 四点共圆．7．（内蒙古赤峰市·高三月考（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，且过点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 右焦点的直线12l l 、相互垂直，且分别交椭圆E 于A B 、和C D 、四点，求AB CD +的最小值．8．（全国大联考（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于,A B 两点，AOB (点O 为坐标原点)的面积为2． （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()()0,0E a a >的两直线1l ，2l 的倾斜角互补，直线1l 与抛物线C 交于,M N 两点，直线2l 与抛物线C 交于,P Q 两点，FMN 与FPQ △的面积相等，求实数a 的取值范围．9．（江西八校4月联考（理））已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>．左焦点()1,0F -，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF 的周长最大值为4． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点．如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．10．（天津南开区·高三一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为点A ，点E 的坐标为0,4b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，延长线段1F E 交椭圆于点M ，2MF x ⊥轴．（1）求椭圆的离心率；（2）设抛物线2245y bx =的焦点为F ，B 为抛物线上一点，365BF b =，直线BF 交椭圆于P ，Q 两点，若22425AP AQ +=，求椭圆的标准方程．11．（四川成都市·高三二模（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点A ⎛ ⎝⎭，其长半轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求BEG 与BDG 的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值．12．（浙江温州市·高三二模）如图，过点(1,0)F 和点(4,0)E 的两条平行线1l 和2l 分别交抛物线24y x =于,A B 和,C D （其中,A C 在x 轴的上方），AD 交x 轴于点G ．（1）求证：点C 、点D 的纵坐标乘积为定值；（2）分别记ABG 和CDG 的面积为1S 和2S ，当1214S S =时，求直线AD 的方程．13．（四川成都市·高三二模（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2A ⎛ ⎝⎭，其长半轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求△DEG 的面积S 的取值范围．14．（四省名校联考（文））已知F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点，焦距为4，且C 过点)P．（1）求C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，若1l 与C 交于,A B 两点，2l 与C 交于,D E 两点，记AB 的中点为,M DE 的中点为N ，试判断直线MN 是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．15．（辽宁铁岭市·高三一模）已知椭圆方程22143x y +=，直线:4l x =与x 轴相交于点P ，过右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点．（1）若过点F 的直线MF 与AB 垂直，且与直线l 交于点M ，线段AB 中点为D ，求证：OD OM k k =． （2）设Q 点的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线BQ 与直线l 交于点E ，试问EA 是否垂直EP ，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．16．（广东汕头市·高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，P 为坐标原点，)M，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程；（2过)M作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ； ①证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形ACBD 面积的最小值．17．（聊城市·山东聊城一中高三一模）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>过点(2,1)-，离心率为216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ． （1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．18．（浙江宁波市·高三月考）如图，过椭圆2212x y +=的左右焦点12,F F 分别做直线,AB CD ，交椭圆于,,,A B C D 四点，设直线AB 的斜率为(0)k k ≠（1）求||AB （用k 表示）； （2）若直线,AB CD 的斜率之积为12-，求四边形ACBD 面积的取值范围．19．（湖北八市三月联考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，离心率为12，过椭圆C 的左焦点1F 作不与x 轴重合的直线MN 与椭圆C 相交于,M N 两点，过点M 作直线:2m x a =-的垂线ME ，E 为垂足．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）①已知直线EN 过定点P ，求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．20．（河南新乡市·高三一模（理））已知动点P 到点(的距离与到直线x =的距离之比为（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）过点(4,0)A -的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点(2,1)B --，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F ．试问在x 轴上是否存在一点G ，使得0BE GF GE BF ⋅+⋅=？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（山西晋中市·高三二模（理））设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，O 为原点，点(4,0)A 是x 轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于||OA （1）求椭圆的方程；（2）直线:l y kx t =+与椭圆C 交于两个不同点M ，N ，已知M 关于y 轴的对称点为M '，N 关于原点O 的对称点为N '，若,M N ''满足(1)OA OM ON λμλμ''=++=，求证：直线l 经过定点．22．（辽宁高三一模（理））过点()0,2P 作直线l 交抛物线2:4G x y =于,A B 两点，O 为坐标原点，分别过,A B 点作抛物线G 的切线，设两切线交于Q 点． （1）求证：点Q 在一定直线m 上；（2）设直线,AO BO 分别交直线m 于点,C D ． （i ）求证：AOB COD S S =△△；（ii ）设AOD △的面积为1S ，BOC 的面积为2S ，记12P S S =+，求P 的最小值．23．（内蒙古包头市·高三期末（文））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2213x y +=的左顶点为A ，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点．（1）当P 、O 、Q 三点共线时，直线PA 、QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求AM AN ⋅的值； （2）设直线AP 、AQ 的斜率分别为1k ，2k ，当121k k =-时，证明：直线PQ 恒过一个定点R ．24．（江西上饶模拟（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且直线OP 的斜率与直线OA 的斜率之和等于直线的PA 斜率． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过A 作斜率为2的直线与轨迹C 相交于点B ，点()()0,0T t t >，直线AT 与BT 分别交轨迹C 于点E 、F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由．25．（贵州新高考联盟质检（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,,F F 焦距为椭圆C 的右顶点到点2F 的距离与它到直线:l x =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，,A B 为椭圆C 上不同的两点，点A 关于x 轴的对称点为点.D 若直线BD 的斜率为1，求证：OAB 的面积为定值．26．（浙江丽水市·高三月考）已知抛物线2:E x y =，过抛物线上第一象限的点A 作抛物线的切线，与x轴交于点M ．过M 作OA 的垂线，交抛物线于B ，C 两点，交OA 于点D ．（1）求证：直线BC 过定点；（2）若1OB OM ⋅≤-，求||||AD AO 的最小值．27．（江苏南通市·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M 为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMB AMNS S △△为定值．28．（山西运城市·高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-．（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．29．（河南驻马店市·高三期末（文））已知A 为抛物线21:2(0)C y px p =>上异于原点O 的任意一点，当直线OA 的斜率为1时，||OA =．直线:20-+=l my x 交抛物线1C 于P ，Q 两点，射线OP ，OQ 分别交椭圆222:12y C x +=于E ，F 两点． （1）求抛物线1C 的方程；（2）记OEF 和OPQ △的面积分别为1S 和2S ，当218S S =时，求直线l 的斜率．30．（安徽名校期末联考（理））已知D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 延长至点P ，使得||2PA =，点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C的方程；M N两点，Q为曲线C上一动点(点,O Q分别位于直线MN两侧)，求四（2）作圆O的切线交曲线C于,边形OMQN的面积的最大值．。

高中数学解析几何压轴题一．选择题1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（）A．∠PFR＞∠QFR B ∠PFR=∠QFR C．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR的大小不确定3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ1+λ2=（）A．B．C．D．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．B．e2﹣1C．D．e2+15．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5 B．7 C．13 D．156．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）A．y2=4xB．y2=4x（x≠0）C．y2=﹣4xD．y2=﹣4x（x≠0）9．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A．+=1（y≠0）B．+=1（y≠0）C．﹣=1（y≠0）D．﹣=1（y≠0）10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A．22B．20C．18D．1611．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．D．13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）A．B．8D．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m 的值为（）A．4B．﹣4C．0或4D．0或﹣41．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）钝角B．直角C．锐角D．都有可能A．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：根据题设条件推导出以AB为直径的圆与右准线相离．由此可知∠APB为锐角．解答：解：如图，设M为AB的中点，过点M作MM1垂直于准线于点M1，分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点．则∴以AB为直径的圆与右准线相离．∴∠APB为锐角．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时作出图形，数形结合，往往能收到事半功倍之效果．2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（）A．∠PFR＞∠QFR B．∠PFR=∠QFRC．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR的大小不确定考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：设Q、P到l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为M，N，则PN∥MQ，=，又由双曲线第二定义可知，由此能够推导出RF是∠PFQ的角平分线，所以∠PFR=∠QFR．解答：解：设Q、P到l 的距离分别为d1，d2，垂足分别为M，N，则PN∥MQ，∴=，又由双曲线第二定义可知，∴，，∴，∴RF是∠PFQ的角平分线，∴∠PFR=∠QFR故选B．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解．3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ1+λ2=（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0．然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得λ1+λ2的值．解答：解：设M，N，P点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，y0），又不妨设F点的坐标为（c，0）．显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0．∴，．又∵，将各点坐标代入得，=．故选C．点评：本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．B．e2﹣1 C．D．e2+1考点：圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，即可求得结论．解答：解：∵M在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，∴M的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得∴∴故选A．点评：本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5B．7C．13 D．15考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案．解答：解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，所以根据椭圆的定义可得：（|PM|+|PN|）min=2×5﹣1﹣2=7，故选B．点评：本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．6．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题．分析：由=（+），知E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，能推导出在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2，由此能求出离心率．解答：解：∵若=（+），∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF∴PF′⊥PF∵PF﹣PF′=2a∴PF=PF′+2a=3a在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2即9a2+a2=4c2∴离心率e==．故选：A．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题．分析：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，由此可知=，从而能够得到结果．解答：解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，则==．故选A．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点．8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）A．y2=4x B．y2=4x（x≠0）C．y2=﹣4x D．y2=﹣4x（x≠0）考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：计算题；压轴题．分析：设P（x，y），欲动点P的轨迹方程，即寻找x，y之间的关系式，利用向量间的关系求出向量、的坐标后垂直条件即得动点P的轨迹方程．解答：解：设P（x，y），E（﹣1，y1），F（﹣1，y2）（y1，y2均不为零）由∥⇒y1=y，即E（﹣1，y）．由∥⇒．由y2=4x（x≠0）．故选B．点评：本题主要考查了轨迹方程的问题．本题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程．9．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A．+=1（y≠0）B．+=1（y≠0）C．﹣=1（y≠0）D．﹣=1（y≠0）考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题．分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得x和y的关系式．解答：解：设切线ax+by﹣1=0，则圆心到切线距离等于半径∴=2∴，∴a2+b2=设抛物线焦点为（x，y），根据抛物线定义可得平方相加得：x2+1+y2=4（a2+1）①平方相减得：x=4a，∴②把②代入①可得：x2+1+y2=4（+1）即：∵焦点不能与A，B共线∴y≠0∴∴抛物线的焦点轨迹方程为故选B．点评：本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键．10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A．22 B．20 C．18 D．16考点：圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义．专题：计算题；压轴题．分析：先以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+y2=100，根据条件得出M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的定义即可求得答案．解答：解：以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+y2=100又，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上；以AT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系，则有抛物线方程为y2=8x（y≥0），联立半圆方程和抛物线方程，消去y得：x2﹣16x+44=0∴x1+x2=16，|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20．故选B．点评：本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．11．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线、椭圆的定义，建立方程，求出|PF1|=，|PF2|=，再利用余弦定理，即可求得结论．解答：解：不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②由①②可得|PF1|=，|PF2|=∵|F1F2|=4∴cos∠F1PF2==故选A．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义，建立方程是关键．12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）C．D．A．B．（，+∞）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析：如图，求出BC的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线BE的斜率k′，由题意可知，k′＜k≤K BC，从而得到实数k的取值范围．解答：解：曲线即x2+（y﹣1）2=4，（y≥1），表示以A（0，1）为圆心，以2为半径的圆位于直线y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点C和D），是一个半圆，如图：直线y=k（x﹣2）+4过定点B（2，4），设半圆的切线BE的切点为E，则BC的斜率为K BC==．设切线BE的斜率为k′，k′＞0，则切线BE的方程为y﹣4=k′（x﹣2），根据圆心A到线BE距离等于半径得2=，k′=，由题意可得k′＜k≤K BC，∴＜k≤，故选A．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，判断k′＜k≤K BC，是解题的关键．13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）A．B．C．8D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B的坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+|BF|．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵P（1，0）∴=（1﹣x2，﹣y2），=（x1﹣1，y1）∵，∴2（1﹣x2，﹣y2）=（x1﹣1，y1）∴将A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线y2=12x，可得，又∵﹣2y2=y1∴4x2=x1又∵x1+2x2=3解得∵|AF|+|BF|=故选D．点评：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B的横坐标．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；压轴题．分析：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22）A，B的中点坐标是（，）因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，由此能求得m．解答：解：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22），A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，，x12+x22═+m，x2+x1=﹣，因为，所以xx12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=，代入得，求得m=．故选B．点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A．4B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；压轴题．分析：根据双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，求出MN中点P（﹣，m），利用MN的中点在抛物线y2=9x上，即可求得实数m的值．解答：解：∵MN关于y=x+m对称∴MN垂直直线y=x+m，MN的斜率﹣1，MN中点P（x0，x0+m）在y=x+m上，且在MN上设直线MN：y=﹣x+b，∵P在MN上，∴x0+m=﹣x0+b，∴b=2x0+m由消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3=0∴M x+N x=﹣b，∴x0=﹣，∴b=∴MN中点P（﹣，m）∵MN的中点在抛物线y2=9x上，∴∴m=0或4故选D．点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中点P 的坐标．二．解答题（共15小题）16．已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．考点：椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的离心率为，且经过点（3，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则可得kk'==，利用，即可求直线A2Q斜率的取值范围；（3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求cos∠F1QF2的最小值．解答：解：（1）∵椭圆的离心率为，且经过点（3，1），建立方程，求出几何量，即可∴，∴椭圆C的标准方程为…（3分）（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则，…（5分）∴kk'=及…（6分）则kk'==又…（7分）∴，故A2Q斜率的取值范围为（）…（8分）（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a，b，c，则有，由椭圆定义，有…（9分）∴cos∠F1QF2=…（10分）=…（11分）≥…（12分）==…（13分）∴cos∠F1QF2的最小值为．（当且仅当|QF1|=|QF2|时，即Q取椭圆上下顶点时，cos∠F1QF2取得最小值）…（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性强．17．已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2﹣=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S﹣S的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论；（Ⅱ）利用•≤15，结合点P是双曲线在第一象限内的一点，可得1＜x1≤2，利用三角形的面积公式求面积，从而可得S﹣S的不等式，利用换元法，再利用导数法，即可求S﹣S的取值范围．解答：（Ⅰ）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0，解得x=﹣1或x=，故x2=．同理可得x1=．所以x1•x2=1．（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（x i＞0，y i＞0，i=1，2），则=（﹣1﹣x1，y1），=（1﹣x1，y1）．因为•≤15，所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+y12≤15，即x12+y12≤16．因为点P在双曲线上，所以，所以x12+4x12﹣4≤16，即x12≤4．因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2．因为S1=|y2|，S2=，所以S﹣S==由（Ⅰ）知，x1•x2=1，即．设t=，则1＜t≤4，S﹣S=5﹣t﹣．设f（t）=5﹣t﹣，则f′（t）=﹣1+=，当1＜t＜2时，f'（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，所以当t=4，即x1=2时，S﹣S的最小值为f（4）=0，当t=2，即x1=时，S﹣S的最大值为f（2）=1．所以S﹣S的取值范围为[0，1]．点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．18．设椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用，可得F1为BF2的中点，根据AB⊥AF2，可得a，c的关系，利用过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：相切，求出a，即可求出椭圆的方程与圆的方程；（Ⅱ）设直线MN方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）．因为AB⊥AF2，所以在Rt△ABF2中，，又因为，所以F1为BF2的中点，所以又a2=b2+c2，所以a=2c．所以F2（，0），B（﹣，0），Rt△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣，0），半径r=a，因为过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：相切，所以=a，解得a=2，所以c=1，b=．所以椭圆的标准方程为：，圆的方程为（x+1）2+y2=1；（Ⅱ）设直线MN方程为y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），则直线方程代入椭圆方程，消去y可得（4k2+3）x2﹣24k2x+36k2﹣12=0，∴△=（24k2）﹣4（4k2+3）（36k2﹣12）＞0，∴k2＜，x1+x2=，x1x2=，∵，∴x1+x2=tx，y1+y2=ty，∴tx=，ty=，∴x=，y=，代入椭圆方程可得3×[]2+4×[]2=12，整理得=∵k2＜，∴0＜t2＜4，∴实数t取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）．点评：本题考查椭圆方程与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，难度大19．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为1，最小值为﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设M（x'，y'），化简•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），从而求最值，进而求椭圆方程；（2）设直线MN的方程为x=ky﹣6并与椭圆联立，利用韦达定理求•的值，从而说明是直角．解答：解：（1）设M（x'，y'），则y'2=b2﹣x'2，•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），则当x'=0时，•取得最小值2b2﹣a2=﹣2，当x'=±a时，•取得最大值b2=1，∴a2=4，故椭圆的方程为．（2）设直线MN的方程为x=ky﹣，联立方程组可得，化简得：（k2+4）y2﹣2.4ky﹣=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，又A（﹣2，0），•=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（k2+1）y1y2+k（y1+y2）+==﹣（k2+1）+k+=0，所以∠MAN为直角．点评：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应用，属于难题．20．如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），设b＞c．直线PB：y﹣b=，化简，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，由圆心（1，0）到直线PB的距离是1，知，由此导出（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，所以（b﹣c）2=，从而得到S△PBC=，由此能求出△PBC面积的最小值．解答：解：设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），设b＞c．直线PB的方程：y﹣b=，化简，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，∵圆心（1，0）到直线PB的距离是1，∴，∴（y0﹣b）2+x02=（y0﹣b）2+2x0b（y0﹣b）+x02b2，∵x0＞2，上式化简后，得（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，∴b+c=，bc=，∴（b﹣c）2=，∵P（x0，y0）是抛物线上的一点，∴，∴（b﹣c）2=，b﹣c=，∴S△PBC===（x0﹣2）++4≥2+4=8．当且仅当时，取等号．此时x0=4，y0=．∴△PBC面积的最小值为8．点评：本昰考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用．21．已知直L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为8，16．（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y2=﹣2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设M（x，y），M到L1，L2的距离分别为d1，d2，则d12+42=d22+82．所以，由此能求出圆心M的轨迹方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0．AB的中点为，AB的中垂线为，由，得．由此能求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），M到L1，L2的距离分别为d1，d2，则d12+42=d22+82．…（2分）∴，∴x2﹣y2=80，即圆心M的轨迹方程M：x2﹣y2=80．…（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0．①∴AB的中点为，…（6分）∴AB的中垂线为，即，…（7分）由，得②…（8分）∵存在N使得|NA|=|NB|成立的条件是：①有相异二解，并且②有解．…（9分）∵①有相异二解的条件为，∴⇒且k≠±1．③…（10分）②有解的条件是，∴，④…（11分）根据导数知识易得时，k3﹣k+40＞0，因此，由③④可得N点存在的条件是：﹣1或1＜k＜．…（12分）点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．已知直线l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（1）联立直线l1和l2的方程，消去参数即可得到交点的轨迹方程，根据a的取值a＞0，﹣1＜a＜0，a=﹣1，a＜﹣1说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标和离心率．（2）通过a＞0，y≥1时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的表达式，通过配方讨论b与的大小，求出|PA|的最小值．解答：解：（1）由消去k，得y2﹣ax2=1①当a＞0时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率；②当﹣1＜a＜0时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率；③当a=﹣1时，轨迹是圆，圆心为（0，0），半径为1；④当a＜﹣1时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率（2）当a＞0时，y≥1时，轨迹是双曲线y2﹣ax2=1的上半支．∵|PA|2=x2+（y﹣b）2==①当b＞时，|PA|的最小值为；②当b≤时，|PA|的最小值为|1﹣b|点评：本题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的距离公式等等，涉及分类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主．23．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面积的最小值．考点：圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程；（2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰A1B1的方程，分别令y=0和y=1求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形A1B1C1D1面积，利用基本不等式求出其最小值．解答：解：（1）如图，设M（x，y），B′（x0，2），又E（0，b）显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b，则而BB′的中点在直线l上，故，①由于⇒代入①即得，又0≤x0≤2点M的轨迹方程（0≤x≤2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）易知曲线S的方程为（﹣2≤x≤2）设梯形A1B1C1D1的面积为s，点P的坐标为．由题意得，点Q的坐标为（0，1），直线B1C1的方程为y=1．对于有∴∴直线A1B1的方程为，即：令y=0得，，∴．令y=1得，，∴所以当且仅当，即时，取“=”且，时，s有最小值为．梯形A1B1C1D1的面积的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）点评：本题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算的几何意义；曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；利用基本不等式求函数的最值．属于一道难题．24．（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．考点：圆锥曲线的轨迹问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半径为2，由圆周公式2πR可算出底面周长．（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，﹣acos60°）．设B（x，y，0），则=（0，﹣acos60°，﹣asin60°）．=（x，y，﹣asin60°）．所以．又由|•cos45°，知﹣acos60°•y+a2sin60°=a，平方整理得，由此知点B的轨迹．②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（x，y，0），则（6分）=（0，﹣acosφ，﹣asinφ）．=（x，y，﹣asinφ）．所以φ．由|•cosθ=a••cosθ．知cos2θ•x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0．故当φ=时，点B的轨迹为圆；当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆；当θ=φ＜时，点B的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线．解答：解：（1）∵圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，即高和底面半径长度一样，则由勾股定理可知底面半径为2，则由圆周公式2πR可算出底面周长4π；（2分）（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，﹣acos60°）．设B（x，y，0），则=（0，﹣acos60°，﹣asin60°）．=（x，y，﹣asin60°）．∴．又∵|•cos45°=a•．∴﹣acos60°•y+a2sin60°=a．（11分）平方整理得cos245°•x2+（cos245°﹣cos260°）y2+a2ysin60°sin120°+a2sin260°（cos245°﹣sin260°）=0．即，∴点B的轨迹椭圆；（4分）②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（x，y，0），则（6分）=（0，﹣acosφ，﹣asinφ）．=（x，y，﹣asinφ）．∴φ．又∵|•cosθ=a••cosθ．∴﹣acosφ•y+a2sinφ=a．（11分）平方整理得cos2θ•x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0．i．当cos2θ﹣cos2φ=0，即θ=φ时，上式为抛物线方程；ii．当cos2θ﹣cos2φ＞0，即θ＜φ时，上式为椭圆方程；iii．当cos2θ﹣cos2φ＜0，即θ＞φ时，上式为双曲线方程．（14分）故当φ=时，点B的轨迹为圆；当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆；当θ=φ＜时，点B的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线．（16分）点评：第（1）题考查圆锥的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．第（2）题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．25．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C 于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．考点：椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析：（1）待定系数法求椭圆的方程．（2）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率．（3）设出AB直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算△PAB面积，使用基本不等式求最大值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由题意，解得a2=4，b2=2．所以，椭圆C的方程为．故点P（1，）（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，则PB的直线方程为．由得，．。

高三数学解析几何压轴题训练——直线与圆一、选择题1．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线所在直线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上．又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以半径最小的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.2．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，因此2＋a －1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(2＋4)2＋(1＋1)2－4＝6.3．若曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 解析：选C 注意到y ≥1，曲线y ＝1＋4－x 2是圆x 2＋(y －1)2＝4在直线y ＝1的上方部分的半圆．又直线kx －y －2k ＋4＝0⇒y －4＝k (x －2)知恒过定点A (2,4)．如图，由B (－2,1)，知k AB ＝4－12－(－2)＝34，当直线与圆相切时，|－1－2k ＋4|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝512，故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.4．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，易知d max ＝12＋32＝10，所以|AB |min ＝214－10＝4.5．已知P 是过三点O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)的圆M 上一点，圆M 与x 轴、y 轴的交点(非原点)分别为S ，T ，则|PS |·|PT |的最大值为( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选B 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0， 即(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8.令x＝0，得y2＋6y＝0，解得y＝0或y＝－6.所以S(8,0)，T(0，－6)．而圆心(4，－3)在直线ST上，所以PS⊥PT.即|PS|2＋|PT|2＝(2r)2＝100.所以|PS|·|PT|≤12(|PS|2＋|PT|2)＝50.所以(|PS|·|PT|)max＝50.6．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：选B当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.7．若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于两点A，B，且∠ACB ＝60°(其中C为圆心)，则直线l的方程是()A．4x－3y－5＝0 B．x＝2或4x－3y－5＝0C．4x－3y＋5＝0 D．x＝2或4x－3y＋5＝0解析：选B由题意可得，圆C的圆心为C(－1,2)，半径为23，因为∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，边长为23，所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，与圆相交且圆心C到直线l的距离为3，满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设l：y－1＝k(x－2)，则圆心C到直线l的距离d＝|3k＋1|k2＋1＝3，解得k＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0. 8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2.当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|.又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0间距等于1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求的圆的半径的取值范围是(4,6)．10．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13解析：选C 法一：(排除法)由圆心在x 轴上，可排除A 、B ，又圆过(0,1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝⎛⎭⎫332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，|PO |＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴|PO |min ＝|MO |－1，|PO |max ＝|MO |＋1， ∵|MO |＝a 2＋(a －4)2，∴由a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 12．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，又|PQ |＝29－d 2，所以S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝(9－d 2)d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：法一：由题意，设M (2＋cos θ，2＋sin θ)，则N (2＋cos θ，－2－sin θ)，将N 的坐标代入kx ＋y ＋3＝0，可得sin θ－k cos θ＝2k ＋1.因为sin θ－k cos θ＝k 2＋1sin(θ－φ)，其中tan φ＝k ，所以|2k ＋1|≤k 2＋1，即3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43. 法二：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 问题转化为直线kx ＋y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝1有公共点N . 所以|2k －2＋3|k 2＋1≤1，即|2k ＋1|≤k 2＋1，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43.答案：－4314．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：415．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上不同的两点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．解析：由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，0在直线x －y －1＝0上，所以－k2－1＝0，解得k ＝－2，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为322，所以△PAB 面积的最大值为12×22×⎝⎛⎭⎫1＋322＝3＋ 2.答案：3＋ 216．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有一个，两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝5， 圆心(－1,0)，r ＝5，两直线分别与圆相切时对应的a 的边界值为：|－2＋a 2＋1|5＝5时，a ＝±6； |a －2|5＝5时，a ＝－3或a ＝7， 所以a 的边界值分别为－3,7，±6.由题意可知，两平行直线中必有一条与圆相切，另一条与圆相离，相切，相交三种情况都满足题意，故a ∈[]－3，－6∪[]6，7.答案：[]－3，－6∪[]6，7。