解析几何大题带答案

47． 已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．48． 如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.49． 已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.50． 已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S的取值范围.51． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.52． 已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=，求m 的值. 53． 已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线P A P 的坐标；（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．54． 已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．55． 在平面直角坐标系xOy中，(A，B ，C 是满足π3ACB ∠=的一个动点． （1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =，求证：||k > 56． 平面上一动点C的坐标为),sin θθ.（1）求点C 轨迹E 的方程；（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.答案及解析47．（1）2212x y +=；（2）是定值，该定值为0．【分析】（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】（1）由题意可知：22b =，1b =，椭圆的离心率c e a ==a =①椭圆E 的标准方程：2212x y +=；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦222222228242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦． ①120k k +=为定值．【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()12121212221x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦.48．（1）2214x y +=；（2）①14- ；①yy =+【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r ==整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+， 令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+， 所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++， 整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =， 因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以mm =，因为0B mx k=->，所以当k =m =k =时，m =；所以所求1l的方程为y =或y = 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.49．（1）2214x y +=；（2）最小值为2，0x =或0x +-=.【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，又椭圆的离心率为c e a =c =2221b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=1=，即221m k =+，设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则221114x y +=，即221114x y =-，又2F ，21|2|MF x =-=12x -，同理222NF x =，于是得)22124MF NF x x +=+， 由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+， 又km <0，且221m k =+，因此得1228||14km x x k +=+令2411t k =+≥，则12x x +=113t =，即t =3时等号成立，于是得22MF NF +存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值为2，由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以所求直线2l的方程为y x =y x =0x =或0x +=.【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=. 化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 故曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，DP .以线段DP 为直径的圆的方程为()22212p x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上， 由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)： 设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)， 即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=； 点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论： 圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：200()()()()x a x a y b y b r --+--=， 圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022x x y yx x y y D E F ++++++= 椭圆22221x y a b+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；双曲线22221x y a b-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；抛物线22y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.【分析】（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解； 【详解】解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，则OP =，解得1x =-，故()1,1P --.（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l的距离，故min PO ==所以min 1PA =.（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000022224x x x x x y +----⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()220020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，联立()002221,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫⎪⎝⎭，可得Q 点轨迹为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.故存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．52．（1；（2）m = 【分析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=， 即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=， 故()222481840,m m m ∆=--=->解得m < 12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=， 又22111x y +=故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-， 将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得m =又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小【分析】（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，化简为()()222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则AB =.【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2MP ==，解得0b =或45b =， 所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒， 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()()222220x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）因为圆N 方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()222220x y bx b y b ++-++=①又圆22:430M x y y +-+=①①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．点()0,2M 到直线AB的距离d =所以相交弦长AB == 所以当25b =时，AB【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ； （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】（1）2AOB π∠=，∴点O 到l 的距离2d r =，k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=， 上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的， 所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-.解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=， 即：22(2)0x tx y t y -+--=， 又C 、D 在圆22:2O x y +=上，两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2221m k ≥+，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】设ABC 的外心为1O ，半径为R ，则有22sin ABR ACB==∠，所以1πcos 13OO R ==即1(0,1)O ，设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠）， 由CH AB ⊥，则有0x x =，由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，所以有(220(3(1)12x x x y y y yy y---=-===-，则有()220014x y ++=（02y ≠-），所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）； （2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有d =所以||DE==，设()11,P x y，()22,Q x y，联立2221y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，有()2222210k x kmx m+++-=，所以()224220k m∆=+->，||PQ==由||2||DE PQ=，可得()()()()()2222222222222418141(1)8412222k m k km mk k kk k++++-=-≤-+++++，所以()22222248(1)212m mk kk++≤+++，即有()()()22222224181(1)22k k mmk k+++≤+++，所以()()()22222222418122(1)22k k mm mk k+++--≥-++，即22222222222221(1)101222k k m k mm mk k k k⎛⎫-=-⇒-≥⇒≥+⎪+++⎝⎭又0∆>，可得2212km<+，所以222112kk+<+，解得22k>，故||k>56．（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【分析】（1）利用22sin cos1θθ+=求得点C的轨迹E的方程.（2）设直线l的方程为1x my=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1PQMN=求得m的值，从而求得直线l的方程.【详解】 （1）设(),C x y ，则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos sin yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以2212x y +=，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .联立2221,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22+2210m y my --=，此时()281m ∆=+0>，且12222m y y m +=+，12212y y m =-+又由弦长公式得MN =整理得2212m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以2212p p x my m -=-=+，所以222222p m PQ x m ++=+，所以1PQMN =， 所以21m =，即1m =±.综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =， 此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。

大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。

2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。

对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。

二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。

答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。

将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。

2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。

答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。

这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。

三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。

解析几何大题精选题-共四套(答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一）1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值．2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。

（1） 求实数b 的值；（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.解析几何大题训练（二）1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I) 求椭圆C 的离心率；(II) 如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。

解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。

2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。

答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。

3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。

答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。

由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。

又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。

将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。

因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。

4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。

答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。

5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。

答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

解析几何大题及答案解析几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间图形的性质和变换。

在高中数学中，解析几何是一个关键的考点，也是学生容易遇到的难点之一。

本文将解析几何中的几个大题进行解析，并给出详细的答案。

一、平面直角坐标系与向量1. 设平面上一直线的方程为3x-y+4=0，求该直线的斜率及与坐标轴的交点坐标。

答案：首先将直线的方程转化为斜截式的形式，即y=3x+4。

由此可得该直线的斜率为3。

与x轴的交点坐标可通过令y=0，解得x=-4/3；与y轴的交点坐标可通过令x=0，解得y=4。

因此，该直线与x轴的交点坐标为(-4/3,0)，与y轴的交点坐标为(0,4)。

2. 已知平面内的向量a=(4,3)，求向量2a的模和方向角。

答案：向量2a=(2*4,2*3)=(8,6)。

模可以通过向量的标准模公式计算：|2a|=√((8)^2+(6)^2)=√100=10。

方向角可以通过向量的方向角公式计算：tanθ=y/x=6/8=3/4，所以θ=arctan(3/4)。

因此，向量2a的模为10，方向角为arctan(3/4)。

二、直线的方程与位置关系1. 设直线L1过点A(1,3)且与直线L2:2x+3y-7=0相交于点B，求线段AB的中点坐标。

答案：首先求直线L1的方程，由过点A(1,3)，设斜率为k，则直线L1的方程为y-3=k(x-1)。

将直线L2的方程与直线L1的方程联立，可求出点B的坐标。

解方程组得到B的坐标为(-1,3)。

线段AB的中点坐标可以通过两点坐标的平均值计算：((1+(-1))/2,(3+3)/2)=(0,3)。

因此，线段AB的中点坐标为(0,3)。

2. 设直线L1:x+2y-3=0与直线L2:2x-y-1=0相交于点A，直线L1与直线L3:2x+3y-4=0平行，求直线L3的方程。

答案：由直线L1与直线L2的方程可解得直线L1与直线L2的交点A的坐标为(1,1)。

由直线L1与直线L3平行可得其斜率相等，即2=3k，解得k=2/3。

21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，AP OM ∥，BP ON ∥．（1）求椭圆C 的方程；（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）22:14x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）221,11442,AP BPb k k b a a ⎫=⎪=-⇒⇒=⎬⎪=⎭g ，椭圆22:14x C y +=．（2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()22222,4184401,4y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+，()()1212121212121211404044y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=， ()()22121241440kx x kt x x t ++++=，()2222222448414402414141t ktk kt t t k k k ⎛⎫-+-+=⇒-= ⎪++⎝⎭，MN ====，d =，1S ===． ∴OMN △的面积为定值1．20．（本小题满分12分）[2017平安一中]上顶点B 是抛物线24x y =的焦点． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）若P 、Q 是椭圆M 上的两个动点，且OP ⊥OQ （O 是坐标原点），由点O 作OR ⊥PQ 于R ，试求点R 的轨迹方程．【答案】（1【解析】（1① 又1b =······②所以椭圆M（2）（i ）若直线PQ ∥x 轴，设直线:PQ y m =OP ⊥OQ （ii ）若直线PQ 不平行x 轴，设直线:PQ x ty n =+()t R n R ∈∈，，联立椭圆M 的方程消x 得222(2)2(2)0t y tny n +++-=，设11()P x y ，，22()Q x y ，，OP ⊥OQ 得0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即12120x x y y +=， 即1212()()0ty n ty n y y +++=······⑤又原点O 到直线PQ 所以动点R20．（本小题满分12分）[2017郑州一中]已知圆M ：222()0x y r r +=>与直线1l ：40x +=相切，设点A 为圆上一动点，AB x ⊥轴于B ，且动点N 满足2AB NB =u u u r u u u r ，设动点N 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线l 与直线1l 垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求OPQ △面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1． 【解析】（1）设动点()N x y ，，00()A x y ，，因为AB x ⊥轴于B ，所以0(0)B x ，， 设圆M 的方程为222:x y M r +=， 由题意得2r ==， 所以圆M 的方程为22:4x M y +=．由题意，2AB NB =u u u r u u u r，所以00(0)2()y x x y -=--，，， 所以，即002x xy y =⎧⎨=⎩，将(2)A x y ，代入圆22:4x M y +=，得动点N 的轨迹方程2214x y +=．（2）由题意设直线l ：0x m +=，设直线l 与椭圆2214x y +=交于11()P x y ，，22()Q x y ，，联立方程2244y m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2213440x m ++-=， 222192413(44)16(13)0m m m ∆=-⨯-=-+>，解得2 13m <，12x ==，又因为点O 到直线l 的距离||2m d =，122||PQ x x =-=。

2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃上两点，0FM FN ⋅=，求2102y px −+==可得，，因为0FM FN ⋅=，所以)()(★方法2：焦半径表示面积设直线()11:,,MN x my n M x y =+,()22,N x y ,则1||2MFN S FM FN ∆=‖ ()()121112x x =++()()121112my n my n =++++()2212121(1)(1)2m y y m n y y n ⎡⎤=+++++⎣⎦2(1).n =− ，因为0FM FN ⋅=，所以)()(★方法2.斜率转化与齐次化.如图，设线段AB 垂直于x 轴，D 为AB 中点，P 为线外任意一点，则有：PD PB PA k k k 2=+.设直线PQ 的方程为(2)1m x ny ++=.因为直线PQ 过点(2,3)−.,代入得13n =.因为点,P Q 在椭圆22:9436C x y +=上，变形得229[(2)2]436x y +−+=，整理可得：229(2)36(2)40x x y +−++=.齐次化得229(2)36(2)[(2)]40, x x m x ny y +−++++=化简得22436(2)(936)(2)0.y ny x m x −++−+=等式两边同除以2(2)x +，构造斜率式得 24369360,22y y n m x x ⎛⎫−⋅+−= ⎪++⎝⎭把13n =代入得 24129360,22y y m x x ⎛⎫−⋅+−= ⎪++⎝⎭由根与系数的关系得32AQ AP AE k k k +==，其中E 为椭圆上顶点，故所以线段MN 的中点是定点()0,3. ★方法3.同构双割线设直线AP 方程为(2)y k x =+,联立22194(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得:()2222491616360k x k x k +++−=，当0∆>时,由22163649A P k x x k −⋅=+及2A x =−得2281849P k x k −+=+ 所以22281836,4949k k P k k ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭，设直线PQ 为:(2)3y m x =++,代入点P 化简 得:2123636270k k m −++=同理，设直线AQ 的斜率为k '，同理得到2123636270k k m −'++=k 和k '是二次方程2123636270x x m −++=的两个根,所以3k k +'=.直线,AP AQ 的方程分别为(2),(2)y k x y k x =+='+，当0x =时,2,2M N y k y k =='，即有32M Ny y k k +=+'=，综上,MN 的中点为定点(0,3).则1,0AB BC k k a b ⋅=−+<<同理令0BC k b c n =+=>，且设矩形周长为C ,由对称性不妨设1依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，易知直线的斜率分别为k 和1k −，由对称性，不妨设则联立2214()y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩直线1MA 的方程为(112y y x x =+与直线2NA 的方程可得：22x x +−★方法4.消y 留x 之后的非对称处理记过点(4,0)−的直线为l .当l 与x 轴垂直时,易知点(4,(4,M N −−−,(1,P −−.当直线l 与x 轴不垂直时,设点(1M x ,)()()12200,,,,y N x y P x y ,直线:(4)l y k x =+.将(4)y k x =+代人221416x y −=,得)()2222(4816160k x k x k −−−+=.依题意,得()221212221618,. 44k k x x x x k k −++==−−设1212()x x x x λμ=++，即()22221618. 44k k k kλμ−++=−−即12x x =()12542x x −+−①. 直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222yy x x =−−，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()()12120021212422,2242y x x x x x y x x x −+−−==++++即01212012122248. 2428x x x x x x x x x x −−+−=++++将①代入式得0022x x −=+()1212338338x x x x −−+=−−+,即1x =−，据此可得点P 在定直线=1x −上运动.已知B A ,分别为椭圆1:222=+y ax E )1(>a 的左右顶点，G 为E 的上顶点，8=⋅→→GB AG ，点P 为直线6=x 上的动点，PA 与E 的另一个交点为C ，PB 与E 的另一个交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：（1）E 的方程为1922=+y x . （2）假设),(),,(),,6(2211y x D y x C t P .则由P C A ,,及P D B ,,三点共线可得：33;392211−=+=x y t x y t 将上面两式相除，再平方可得：91)3()3(21222221=+−⋅x x y y ....① 由于),(),,(2211y x D y x C 均在椭圆E 上，故满足：91;9122222121x y x y −=−=...② 将②代入①可得：91)3)(3()3)(3(2121=++−−x x x x ，整理可得：0364)(152121=−−+x x x x ...③假设直线CD 的方程为m kx y +=代入椭圆方程1922=+y x 可得： 09918)19(222=−+++m kmx x k将1999,19182221221+−=+−=+k m x x k km x x 代入③中，可得：023=+m k ，于是，直线CD 的方程为k kx y 23−=，故其过定点)0,23(.解法2.设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x −=+−−，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++−=，解得：3x =−或20203279y x y −+=+，将20203279y x y −+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+，所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫−− ⎪++⎛⎫⎛⎫−−⎝⎭−=−⎪ ⎪−+−++⎝⎭⎝⎭−++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫−−+=−=− ⎪ ⎪+++−−⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=− ⎪−−−⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭解法3.不禁思考，为何此题使用三点共线就可成功地实现了设而不求，整体代入的思想呢？关键在于对椭圆方程的理解，即所谓的第三定义：))(()1(222222x a x a ab a x b y +−=−=这样的话，在遇到与椭圆左右顶点有关的三点共线结构时，我们就可以通过斜率关系再利用点在椭圆上将))(()1(222222x a x a ab a x b y +−=−=代入斜率式，从而构造出含21x x +与21x x 的方程，整体代入完成求解.而上面这个问题有着明显的极点极线背景：从直线t x =上任意一点P 向椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点引两条割线21,PA PA 与椭圆交于N M ,两点，则直线MN 恒过定点)0,(2ta .2024届九省联考解析几何的深度探究的交点，求GMN面积的最小值．，由直线AB与直线1、x m=S=GMNS=MNG例2.过椭圆22221x y a b+=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a −<<作两条互相垂直的弦,AB CD ，若弦,AB CD 的中点分别为,M N ，那么直线MN 恒过定点222,0a s a b ⎛⎫⎪+⎝⎭．证明：如图，设AB 的直线方程为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=−+ 联立方程组22221x my s x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()2222222220m b a y b msy b s a +++−=则()()22222222221212222222240,,b s a msb a b m b a s y y y y m b a m b a−−∆=+−>+=⋅=++ 由中点坐标公式得22222222,a s msb M m b a m b a ⎛⎫− ⎪++⎝⎭ 将m 用1m −代换得到222222222,a sm msb N m a b m a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以MN 的直线方程为()()2222222222221a b m b sm a s y x b m a b m a a m +⎛⎫+=− ⎪++−⎝⎭令0y =，得222a sx a b =+．所以直线MN 恒过定点222,0a s a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 二．对点训练的斜率均存在，求FMN面积的最大值解析：（1）由题意得1c =，2c a =（2）证明：①当直线AB ，CD 有一条斜率不存在时，直线2,03P ⎛⎫⎪⎝⎭. 12FMNFPMFPNSSS=+=⨯S=FMN[2,∞+S取得最大值FMN。

解析几何经典练习题(含答案)题目一：已知平面直角坐标系中两点A（-3，4）和B（5，-2），求直线AB的斜率和方程。

解答：直线AB的斜率可以使用斜率公式计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，A的坐标为(x1, y1) = (-3, 4)，B的坐标为(x2, y2) = (5, -2)。

斜率 = (-2 - 4) / (5 - (-3)) = -6 / 8 = -3/4直线AB的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - 4 = (-3/4)(x + 3)化简得到直线AB的方程为：4y - 16 = -3x - 9整理得到标准形式方程：3x + 4y = 7答案：直线AB的斜率为 -3/4，方程为 3x + 4y = 7。

题目二：已知直线L的斜率为2，经过点A（3，-1），求直线L的方程。

解答：直线L的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = 2(x - 3)化简得到直线L的方程为：y + 1 = 2x - 6整理得到标准形式方程：2x - y = 7答案：直线L的方程为 2x - y = 7。

题目三：已知直线L的方程为 3x + y = 5，求直线L的斜率和经过点A （2，-1）的方程。

解答：直线L的斜率可以从方程的标准形式中直接读取：3x + y = 5将方程转化成斜截式形式：y = -3x + 5可以看出直线L的斜率为-3。

经过点A（2，-1）的直线方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = -3(x - 2)化简得到通过点A的直线方程为：y + 1 = -3x + 6整理得到标准形式方程：3x + y = 5答案：直线L的斜率为-3，经过点A（2，-1）的方程为 3x + y = 5。

新高考优质解析几何大题练习一．解答题（共30小题）1．（2022秋•浙江月考）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），|AF|＝5．（1）求p和m的值；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN．过点A作AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．2．（2022秋•浙江月考）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（b＞0）上．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；（Ⅱ）设直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N．当△AMN的面积为时，求k的值．3．（2022秋•玄武区校级月考）设A，B为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．（1）求双曲线C的离心率；（2）已知AB＝4，若直线AM，AN分别交直线x＝1于P，Q两点，若D（t，0）为x 轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若∠PDQ为锐角，求t的取值范围．4．（2022•南京模拟）已知点F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点F2到一条渐近线的距离为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝mx+n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为k OM，k ON，且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．5．（2022春•开福区校级月考）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．（1）求C的方程；（2）设Q（1，0），直线x＝t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ 与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．6．（2022秋•皇姑区校级月考）已知椭圆Γ的方程为，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于A，B两点，且|AB|＝3，如图．（1）求圆C的方程；（2）如图，过点（0，1）的直线l与椭圆Γ相交于P，Q两点，求证：射线AO平分∠PAQ．7．（2022秋•开福区校级月考）已知双曲线经过点（2，﹣3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A，B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M（m，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．8．（2022秋•锦州期中）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点；且C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由．9．（2022秋•湖北期中）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（﹣2，0），且sin B＝sin A．（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线y＝2上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点（异于P，Q两点），试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由．10．（2022秋•南阳期中）已知动点P到两个定点的距离之和为4，记点P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）若点Q（0，﹣3），过点T（0，1）的直线l与Γ交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．11．（2022•临澧县校级开学）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞0），斜率为k（k≠0）的直线与C交于M，N两点．（1）若G为MN的中点，O为坐标原点，且直线OG的斜率为﹣，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，若P是椭圆C的左顶点，直线PM的斜率为k PM，直线PN的斜率为k PN，k PM•k PN＝﹣，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k 的取值范围．12．（2022秋•辽宁期中）如图所示：已知椭圆C：的长轴长为4，离心率．A是椭圆的右顶点，直线l过点M（﹣1，0）交椭圆于C，D两点，记△ACD的面积为S．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求S的最大值．13．（2022•烟台三模）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，（，1）为C与抛物线x2＝2py的交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与椭圆交于M，N两点，试探究直线AM，AN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．14．（2022•雨花区校级模拟）如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2022•鞍山模拟）已知O为坐标原点，F1、F2为椭圆C的左、右焦点，|F1F2|＝2，P 为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过F1、F2的圆与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F2作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•洛阳模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），A是C上位于第一象限内的动点，它到点B（3，0）距离的最小值为．直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂直平分线交C于E，F两点．（1）求p的值；（2）若中，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程．17．（2022•德州二模）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．（1）求曲线G的方程；（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．18．（2022•襄城区校级四模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．（1）求抛物线的方程及点A坐标；（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．19．（2021秋•淄博期末）已知O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线C：y2＝4x的两个交点，满足．试求y1y2的值，并证明直线l恒过定点．20．（2021秋•十堰期末）已知抛物线，，点M（x0，y0）在C2上，且不与坐标原点O重合，过点M作C1的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为k1，k2，k3．（1）当x0＝1时，求k1+k2的值；（2）当点M在C2上运动时，求的取值范围．21．（2021秋•武汉期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N（4，0），且∠ONP＝∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．22．（2021秋•菏泽期末）已知Rt△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），∠CAB＝90°，，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）求曲线E的方程；（2）过点（1，0）的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q．使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．23．（2021秋•南京月考）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）过点D（3，1），且该双曲线的虚轴端点与两顶点A1，A2的张角为120°．（1）求双曲线E的方程；（2）过点B（0，4）的直线l与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点，求|BP|+|BQ|的取值范围．24．（2018秋•福田区校级期末）已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点A（﹣c，0），且＝2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．25．（2021•辽宁模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），椭圆C2：＝1（a＞b＞0），抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），且椭圆C2的离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；（Ⅱ）直线l1的方程为x＝﹣4，若不经过点P（4，8）的直线l2与抛物线交于A，B（A，B分别在x轴两侧），与直线l1交于点M，与椭圆交于点C，D，设PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2．（ⅰ）证明：直线l2恒过定点；（ⅱ）点D关于x轴的对称点为D′，试问△CFD′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．26．（2021•平邑县校级开学）已知椭圆（a＞b＞0）过点（，0），其焦距的平方是长轴长的平方与短轴长的平方的等差中项．（1）求椭圆的标准方程：（2）直线l过点M（1，0），与椭圆分别交于点A，B，与y轴交于点N，各点均不重合且满足，，求λ+μ．27．（2022秋•青羊区校级月考）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4x与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且|PF1|＝．（1）求椭圆的方程；（2）过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB 的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．28．（2022秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC 边的中点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点M为BC边的中点．（1）求点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线Γ，直线MF1与曲线Γ的另一个交点为N，线段MF2的中点为E，记，求S的最大值．29．（2022秋•迎泽区校级月考）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）与圆O：x2+y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C 相交于不同的两点M，N．（1）求抛物线C的方程．（2）过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P（x0，y0）是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上．参考公式：（cx2）′＝2cx，其中c为常数．30．（2022秋•香坊区校级月考）动点M与定点A（1，0）的距离和M到定直线x＝9的距离之比是常数．（1）求动点M的轨迹G的方程；（2）设O为原点，点B（﹣3，0），过点A的直线l与M的轨迹G交于P、Q两点，且直线l与x轴不重合，直线BP、BQ分别与y轴交于R、S两点，求证：|OR|⋅|OS|为定值．新高考优质解析几何大题练习参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2022秋•浙江月考）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），|AF|＝5．（1）求p和m的值；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN．过点A作AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【答案】（1）p＝2，m＝4；（2）证明见解析．【解答】解：（1）由抛物线定义知：，则p＝2，又A（4，m）（m＞0）在抛物线上，则m2＝4×4，可得m＝4．（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由（1）知：A（4，4），所以，，又AM⊥AN，所以（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1﹣4）（y2﹣4）＝x1x2﹣4（x1+x2）+y1y2﹣4（y1+y2）+32＝0，令直线MN：x＝ky+n，联立C：y2＝4x，整理得y2﹣4ky﹣4n＝0，且Δ＝16k2+16n＞0，所以y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4n，则，，综上，n2﹣16k2﹣12n﹣16k+32＝（n﹣4k﹣8）（n+4k﹣4）＝0，当n＝8+4k时，MN：x＝k（y+4）+8过定点B（8，﹣4）；当n＝4﹣4k时，MN：x＝k（y﹣4）+4过定点（4，4），即A，M，N共线，不合题意；所以直线MN过定点B（8，﹣4），又AD⊥MN，故D在以AB为直径的圆上，而AB中点为Q（6，0），即为定值，得证．2．（2022秋•浙江月考）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（b＞0）上．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程；（Ⅱ）设直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N．当△AMN的面积为时，求k的值．【答案】（Ⅰ）y＝±x．（Ⅱ）2．【解答】解：（Ⅰ）因为点A（2，1）在双曲线上，所以﹣＝1，b2＝1，即双曲线C的方程为﹣y2＝1，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．（Ⅱ）设直线AE的方程为y＝k1（x﹣2）+1，直线AF的方程为y＝k2（x﹣2）+1，联立，得（1﹣2k1）2x2+（8k12﹣4k1）x﹣8k12+8k1﹣4＝0，所以x A+x E＝﹣＝，所以x E＝﹣2＝，y E＝，所以E（，），同理可得F（，），联立，得M（3，k1+1），同理N（3，k2+1），所以|MN|＝|k1﹣k2|，＝|MN|×2＝|k1﹣k2|＝，所以S△AMN不妨设k1＞k2，即k1＝k2+，所以E（，），又E，F在直线l上，所以，解得，所以k的值为2．3．（2022秋•玄武区校级月考）设A，B为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．（1）求双曲线C的离心率；（2）已知AB＝4，若直线AM，AN分别交直线x＝1于P，Q两点，若D（t，0）为x 轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若∠PDQ为锐角，求t的取值范围．【答案】（1）2；（2）（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．【解答】解：（1）由l⊥x轴，△AMN为等腰直角三角形，可得|AF|＝|NF|＝|MF|，所以a+c＝，即c2﹣ac﹣2a2＝0，可得e2﹣e﹣2＝0，解得e＝2或e＝﹣1（舍），所以双曲线的离心率为2；（2）由AB＝4，可得2a＝4，即a＝2，所以直线PQ的方程为：x＝1，由（1）可得离心率为2，可得c＝4，b＝＝2，所以双曲线的方程为：﹣＝1；由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+4，m≠±，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理可得：（3m2﹣1）y2+24my+36＝0，可得y1+y2＝﹣，y1y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）+8＝，x1x2＝（my1+4）（my2+4）＝m2y1y2+4m（y1+y2）+16＝，直线AM的方程为y＝（x+2），直线AN的方程为：y＝（x+2），令x＝1，可得P（1，），Q（1，），∵D（t，0），∴＝（1﹣t，），＝（1﹣t，），∵•＝（1﹣t）2+×＝（1﹣t）2+＝（1﹣t）2+＝（1﹣t）2﹣9，∵∠PDQ为锐角，∴•＞0，∴（1﹣t）2﹣9＞0，∴t＜﹣2或t＞4．∴t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．4．（2022•南京模拟）已知点F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点F2到一条渐近线的距离为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝mx+n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为k OM，k ON，且，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）；（2）证明解析；定点为（﹣2，0）或（2，0）．【解答】解：（1）由题知，F2（c，0），其中一条渐近线为，即bx﹣ay＝0，所以，解得，所以，（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），将y＝mx+n代入，整理得：（5m2﹣4）x2+10mnx+5n2+20＝0，则，由Δ＝100m2n2﹣4（5m2﹣4）（5n2+20）＝80（n2﹣5m2+4）＞0得n2﹣5m2+4＞0，因为＝，所以，得n2＝4m2，即n＝±2m，所以直线l的方程为y＝m（x±2），所以当n2﹣5m2+4＞0，且n＝2m时，直线l过定点（﹣2，0）；所以当n2﹣5m2+4＞0，且n＝﹣2m时，直线l过定点（2，0）．5．（2022春•开福区校级月考）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．（1）求C的方程；（2）设Q（1，0），直线x＝t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ 与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．【答案】（1）﹣y2＝1．（2）直线AD过定点（3，0）．点N在以QM为直径的圆上．【解答】解：（1）因为双曲线C的渐近线方程为，故设C的方程为﹣y2＝λ（λ≠0），又C过点P（3，）．所以﹣（）2＝λ，解得λ＝1，所以C的方程为﹣y2＝1．（2）证明：显然直线BQ的斜率不为0，设直线BQ为x＝my+1，B（x1，y1），D（x2，y2），A（x1，﹣y1），联立，消去x整理得（m2﹣3）y2+2my﹣2＝0，依题意m2﹣3≠0且Δ＝4m2+8（m2﹣3）＞0，即m2＞2且m2≠3，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，直线AD的方程为y+y1＝（x﹣x1），令y＝0，得x＝+x1＝＝＝＝＝3，所以直线AD过定点（3，0）．过Q点作QN⊥AD于N，设QM的中点为R，若N和M不重合，则△QNM为直角三角形，所以|RN|＝|MQ|，若N和M重合，|RN|＝|MQ|，所以点N在以QM为直径的圆上．6．（2022秋•皇姑区校级月考）已知椭圆Γ的方程为，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于A，B两点，且|AB|＝3，如图．（1）求圆C的方程；（2）如图，过点（0，1）的直线l与椭圆Γ相交于P，Q两点，求证：射线AO平分∠PAQ．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解答】解：（1）依题意，设圆心C（2，b），r＝b，，解得，所以所求圆方程为：．（2）证明：x＝0代入圆C方程，得y＝1或y＝4，所以B（0，1），A（0，4），若过B点的直线斜率不存在，此时A，P，Q在y轴上，∠PAB＝∠QAB＝0，射线AO平分∠PAQ；若过B（0，1）的直线l斜率存在，设其方程为y＝kx+1，联立整理得（2k2+1）x2+4kx﹣6＝0，Δ＝16k2+24（2k2+1）＝8（8k2+3）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），，＝，∴∠PAB＝∠QAB．所以射线AO平分∠PAQ．综上，射线AO平分∠PAQ．7．（2022秋•开福区校级月考）已知双曲线经过点（2，﹣3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A，B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M（m，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在M（﹣1，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点．【解答】解：（1）∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率或，即或；当时，由，得：a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为：；当时，方程无解；综上所述：双曲线C的方程为：．（2）由题意得：F2（2，0），假设存在定点M（m，0）满足题意，则恒成立；①当直线l斜率存在时，设l：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）＝0，∴，∴，，∴＝＝0，∴（4k2+3）（1+k2）﹣4k2（2k2+m）+（m2+4k2）（k2﹣3）＝0，整理可得：k2（m2﹣4m﹣5）+（3﹣3m2）＝0，由，得：m＝﹣1；∴当m＝﹣1时，恒成立；②当直线l斜率不存在时，l：x＝2，则A（2，3），B（2，﹣3），当M（﹣1，0）时，，，∴成立；综上所述：存在M（﹣1，0），使得以线段AB为直径的圆恒过M点．8．（2022秋•锦州期中）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点；且C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）△AOB的面积为定值2，理由见解答．【解答】解：（1）∵双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线＝1有相同的焦点，∴c＝，又C的一条渐近线与直线x﹣2y+2＝0平行，∴＝，又a2+b2＝c2＝5，解得a＝2，b＝1，∴双曲线C的方程为；（2）设直线l的方程为y＝kx+m，联立，可得（4k2﹣1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴Δ＝64k2m﹣16（4k2﹣1）（m2+1）＝0，∴4k2＝m2+1，设直线l与x轴交点为D，则OD＝||，＝S△OAD+S△OBD＝＝，∴S△AOB又双曲线的渐近线方程为y＝±x，联立直线l：y＝kx+m，可得A（，），B（，），＝＝＝，∴S△AOB又4k2＝m2+1，＝2，∴△AOB的面积为定值．∴S△AOB9．（2022秋•湖北期中）在△ABC中，已知A（﹣1，0），B（﹣2，0），且sin B＝sin A．（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线y＝2上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点（异于P，Q两点），试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由．【答案】（1）x2+y2＝2（y≠0）；（2）直线MN恒过点（0，）．【解答】解：（1）A（﹣1，0），B（﹣2，0），由sin B＝sin A，得，即，设C（x，y），则，整理得x2+y2＝2（y≠0）；（2）曲线E：x2+y2＝2（y≠0），由题意不妨设P（0，），Q（0，﹣），T（m，）（m≠0），TP：y＝，TQ：y＝，联立，得（m2+2）x2+4mx＝0，得M（，）；联立，得（m2+18）x2﹣12mx＝0，得N（，）．当m≠±3时，直线MN方程为y＝．∴直线MN恒过点（0，）．10．（2022秋•南阳期中）已知动点P到两个定点的距离之和为4，记点P的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）若点Q（0，﹣3），过点T（0，1）的直线l与Γ交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由题意可知，P点轨迹为Γ是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a＝4，，所以a＝2，b＝1，所以Γ的方程为：；（2）因为直线l的斜率存在，设直线l的方程：y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），，消去y，整理得：（k2+4）x2+2kx﹣3＝0，Δ＝（2k）2+4（k2+4）×3＝16（k2+3）＞0，所以，，所以，所以△QMN面积，设，所以在上单调递减，故当，即k＝0时，△BMN面积取得最大值，最大值为，所以△QMN面积的最大值．11．（2022•临澧县校级开学）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞0），斜率为k（k≠0）的直线与C交于M，N两点．（1）若G为MN的中点，O为坐标原点，且直线OG的斜率为﹣，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，若P是椭圆C的左顶点，直线PM的斜率为k PM，直线PN的斜率为k PN，k PM•k PN＝﹣，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k 的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）设M，N两点坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），G（x0，y0），代入椭圆方程，得，则，可得，因为，所以，所以a2＝4，椭圆C的方程为．（2）设MN方程为y＝kx+m，则，所以（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，所以，，所以，所以＝，所以＝，解得m＝2k（舍）或m＝﹣k，若F在以MN为直径的圆内，则，即，，即4k2﹣12+8k2+3k2﹣12k2+3+4k2＝0，即7k2﹣9＜0，且k≠0，解得且k≠0，所以k的取值范围为．12．（2022秋•辽宁期中）如图所示：已知椭圆C：的长轴长为4，离心率．A是椭圆的右顶点，直线l过点M（﹣1，0）交椭圆于C，D两点，记△ACD的面积为S．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求S的最大值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）令椭圆E的半焦距为c，依题意，a＝2，＝，解得c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆E的标准方程为．（2）依题意，设直线l：x＝ty﹣1，设C（x1，y1），D（x2，y2），由，消去x并整理得：（t2+4）y2﹣2ty﹣3＝0，则y1+y2＝，y1y2＝﹣，|y1﹣y2|＝＝＝，由（1）知A（2，0），|AM|＝3，则有S＝＝＝，令u＝，显然函数y＝在[，+∞）上单调递增，，当且仅当，即＝±1时取等号．显然取等号情况不成立，故当＝时S取得最大值，即S≤，所以S的最大值为．13．（2022•烟台三模）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，（，1）为C与抛物线x2＝2py的交点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，斜率为k的直线过抛物线的焦点F且与椭圆交于M，N两点，试探究直线AM，AN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）直线AM，AN的斜率之积为定值．【解答】解：（1）由题意可知，，可得a2＝2c2，又a2＝b2+c2，可得a2＝2b2，所以椭圆方程为，将代入方程得：，解得b2＝4，所以a2＝8，所以椭圆C的方程：；（2）直线AM，AN的斜率之积为定值，且定值为．由（1）可得A（0，2），将代入抛物线可得6＝2p，p＝3，所以抛物线方程为x2＝6y，所以，则设直线MN的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线MN的方程，，消去y，整理得（2+4k2）x2+12kx﹣7＝0，所以，，，所以＝，所以，直线AM，AN的斜率之积为定值．14．（2022•雨花区校级模拟）如图，已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）（0，1）．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴，∵a2＝c2+1，∴，∴椭圆方程为：．（2）动直线l的方程为：，由得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则.．由对称性可设存在定点M（0，m）满足题设，则，⇒6（m2﹣1）k2+（3m2+2m﹣5）＝0，由题意知上式对∀k∈R成立，∴m2﹣1＝0且3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1．∴存在定点M，使得以AB为直径的适恒过这个点，且点M的坐标为（0，1）．15．（2022•鞍山模拟）已知O为坐标原点，F1、F2为椭圆C的左、右焦点，|F1F2|＝2，P 为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过F1、F2的圆与直线相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F2作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；．【解答】解：（1）依题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），，由椭圆定义知：椭圆长轴长，即，而半焦距c＝1，即有短半轴长b＝1，所以椭圆C的标准方程为：．（2）依题意，设直线l方程为x＝my+1，由消去x并整理得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，假定存在点T（t，0），直线TM与TN的斜率分别为，，＝，要使k TM⋅k TN为定值，必有﹣1﹣2（1﹣t）+（1﹣t）2＝0，即，当时，∀m∈R，，当时，∀m∈R，，所以存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值．16．（2022•洛阳模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），A是C上位于第一象限内的动点，它到点B（3，0）距离的最小值为．直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂直平分线交C于E，F两点．（1）求p的值；（2）若中，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程．【答案】（1）2；（2）（x﹣9）2+（y﹣2）2＝64．【解答】解：（1）设A（2py2，2py），则，令t＝y2∈[0，+∞），则，对于二次函数m＝4p2t2+（4p2﹣12p）t+9，其对称轴为，当p≥3时，在[0，+∞）上单调递增，其最小值为9，即|AB|的最小值为3，不满足题意，当0＜p＜3时，，所以当时m＝4p2t2+（4p2﹣12p）t+9取得最小值，即所以，解得p＝2或p＝4（舍），所以p＝2；（2）由（1）可得，当时，，点A（1，2），所以，直线AB的方程为y＝﹣x+3，由可得x2﹣10x+9＝0，解得x＝1或x＝9，所以D（9，﹣6），所以AD的中点为N（5，﹣2），所以直线EF的方程为y+2＝1⋅（x﹣5），即y＝x﹣7，设E（x1，y1），F（x2，y2），由可得y2﹣4y﹣28＝0，所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣28，所以线段EF的中点为，因为，所以d，D，E，F四点共圆，圆心为M（9，2），半径为8，所以该圆的方程为（x﹣9）2+（y﹣2）2＝64．17．（2022•德州二模）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．（1）求曲线G的方程；（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】；（2）四边形OMDN的面积是定值，其定值为．【解答】解：（1）因为圆E为△ABC的内切圆，所以|CA|+|CB|＝|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|＝2|CP|+|AR|+|BR|＝2|CP|+|AB|＝4＞|AB|，所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆，所以，a＝2，则b＝1，所以曲线G的方程为．（2）由y≠0可知直线l的斜率存在，设直线l方程是y＝kx+m，由平面图形OMDN是四边形，可知m≠0，代入到，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以Δ＝16（4k2+1﹣m2）＞0，，．所以，所以，又点O到直线MN的距离，由，得，，因为点D在曲线G上，所以将D点坐标代入椭圆方程得1+4k2＝4m2．由题意四边形OMDN为平行四边形，所以OMDN的面积为，由1+4k2＝4m2，代入得，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为．18．（2022•襄城区校级四模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．（1）求抛物线的方程及点A坐标；（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．【答案】（1），（2）．【解答】解：（1）由抛物线定义可知：，得p＝2，∴抛物线方程为x2＝4y，将点坐标代入抛物线方程得：∴点A坐标为，（2）直线l的方程为y＝k（x﹣2），设M、N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立消去y，整理得：x2﹣4kx+8k＝0，由Δ＞0⇒16k2﹣32k＞0⇒k＜0或k＞2．且x1+x2＝4k，x1x2＝8k，又即（x1﹣2，y1）＝λ（x2﹣2，y2）∴，∵，∴，又，令，∴，又：k＜0或k＞2．∴k的取值范围是．19．（2021秋•淄博期末）已知O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线C：y2＝4x的两个交点，满足．试求y1y2的值，并证明直线l恒过定点．【答案】y1y2＝﹣8，证明见解析．【解答】证明：设l：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）．由得y2﹣4my﹣4n＝0．∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，∴x1+x2＝4m2+2n，x1x2＝n2．又•＝﹣4，∴x1x2+y1y2＝n2−4n＝−4，解得n＝2，∴y1y2＝﹣8．∴直线l方程为x＝my+2，∴直线l恒过点（2，0）．20．（2021秋•十堰期末）已知抛物线，，点M（x0，y0）在C2上，且不与坐标原点O重合，过点M作C1的两条切线，切点分别为A，B．记直线MA，MB，MO的斜率分别为k1，k2，k3．（1）当x0＝1时，求k1+k2的值；（2）当点M在C2上运动时，求的取值范围．【答案】（1）k1+k2＝4．（2）（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．【解答】解：（1）因为x0＝1，所以y0＝﹣1．设过点M并与C1相切的直线方程为y＝k（x﹣1）﹣1．联立方程组整理得x2﹣kx+k+1＝0，则Δ＝（﹣k）2﹣4（k+1）＝k2﹣4k﹣4＝0．由题可知，k1，k2即方程k2﹣4k﹣4＝0的两根，故k1+k2＝4．（2）因为，所以可设过点M并与C1相切的直线的方程为．联立方程组整理得，则．由题可知，k1+k2＝4x0，．又，所以．当x0＞0时，，所以，当且仅当时，等号成立．当x0＜0时，，所以，当且仅当时，等号成立．故的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．21．（2021秋•武汉期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N（4，0），且∠ONP＝∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．【答案】（1）x2﹣＝1（x≤﹣1）；（2）证明过程见详解，定点（，0）．【解答】解：（1）动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2＜|F1F2|，所以动点M的轨迹为双曲线的左支，且2a＝2，c＝，所以可得a＝1，b2＝c2﹣a2＝10﹣1＝9，所以双曲线的方程为：x2﹣＝1（x≤﹣1）；（2）证明：由题意可得P，Q关于x轴对称，设直线PB的方程为：y＝kx+t，设P（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，﹣y1），联立，整理可得：（9﹣k2）x2﹣2ktx﹣t2﹣9＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，则直线BQ的方程为：y＝（x﹣x2）+y2，因为直线过N（4，0）点，所以0＝（4﹣x2）+y2，整理可得：（x2﹣4）（y2+y1）＝y2（x2﹣x1），即2kx1x2+（t﹣4k）（x1+x2）﹣8t＝0，所以+﹣8t＝0，整理可得：﹣2kt2﹣18k+2kt2﹣8k2t﹣72t+8tk2＝0，即k＝﹣4t，所以直线PB的方程为：y＝﹣4tx+t＝﹣4t（x﹣），可证得：直线PB恒过定点（，0）22．（2021秋•菏泽期末）已知Rt△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），∠CAB＝90°，，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）求曲线E的方程；（2）过点（1，0）的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q．使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）．（2）存在点．【解答】解：（1）由题意，可得，而，所以点P的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为的椭圆，由，故，所以曲线E的方程为．（2）当直线l的斜率为不为0时，设直线l的方程为x＝my+1，设定点Q（t，0），联立方程组消x可得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得，所以＝（my1+1﹣t）（my2+1﹣t）+y1y2＝＝，要使上式为定值，则，解得，此时，当直线l的斜率为0时，，此时，也符合；所以，存在点，使得为定值．23．（2021秋•南京月考）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）过点D（3，1），且该双曲线的虚轴端点与两顶点A1，A2的张角为120°．（1）求双曲线E的方程；（2）过点B（0，4）的直线l与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点，求|BP|+|BQ|的取值范围．【答案】（1）．；（2）|BP|+|BQ|的取值范围是（，18﹣6）．【解答】解：（1）由已知可得，结合a2+b2＝c2，解得，故双曲线E的方程；．（2）设直线方程y＝kx+4，M（x1，y1），N（x2，y2），直线DM的方程为y﹣1＝（x﹣3），可得P（0，1﹣），直线DN的方程为y﹣1＝（x﹣3），可得Q（0，1﹣），联立，消去y，整理可得（1﹣3k2）x2﹣24kx﹣54＝0，则，可得，|BP|+||BQ|＝4﹣y M+4﹣y N＝6+＝6+3×＝6+3×＝6+3×＝＝＝8﹣，又，∴3k+5∴|BP|+|BQ|的取值范围是（，18﹣6）．24．（2018秋•福田区校级期末）已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长2，焦点F（c，0），点A（﹣c，0），且＝2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P、Q两点，且以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线PQ的方程；不存在，说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知，b＝，F（c，0），A（﹣c，0），则，，由＝2，得c＝，解得：c＝2．∴a2＝b2+c2＝6，∴椭圆的方程为，离心率为；（2）A（3，0），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣3），联立，得（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∴＝k2（）＝．由已知得OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，即，解得：k＝，符合Δ＞0，∴直线PQ的方程为y＝．25．（2021•辽宁模拟）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），椭圆C2：＝1（a＞b＞0），抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），且椭圆C2的离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；（Ⅱ）直线l1的方程为x＝﹣4，若不经过点P（4，8）的直线l2与抛物线交于A，B（A，B分别在x轴两侧），与直线l1交于点M，与椭圆交于点C，D，设PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2．（ⅰ）证明：直线l2恒过定点；（ⅱ）点D关于x轴的对称点为D′，试问△CFD′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）椭圆C2的方程为，抛物线C1的方程为y2＝16x；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）△CFD'的面积存在最大值，最大值为．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，因为抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），则y2＝16x且c＝4，因为椭圆C2的离心率为e＝，解得a＝5，所以b2＝a2﹣c2＝9，故椭圆C2的方程为，抛物线C1的方程为y2＝16x；（Ⅱ）（i）证明：当直线l2的斜率k＝0时，不符合题意；当直线l2的存在且不为0时，设直线l2：y＝kx+b，令x＝﹣4，可得y＝﹣4k+b，则点M（﹣4，﹣4k+b），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得ky2﹣16y+16b＝0，则Δ＞0，所以，直线PA的斜率，同理可得直线PB的斜率为，直线PM的斜率为，因为k1+k3＝2k2，所以，即，整理可得，，所以b＝4k或b＝﹣4k，当b＝4k时，y1y2＝64，与A，B在x轴两侧矛盾；当b＝﹣4k时，直线l2的方程为y＝kx﹣4k，即直线l2恒过定点（4，0）；（ii）解：设C（x3，y3），D（x4，y4），D'（x4，﹣y4），设直线CD的方程为x＝ty+4（t≠0），代入椭圆C2的方程可得，（9t2+25）y2+72ty﹣81＝0，。