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1.1(1)-(2)回归分析

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大同机车中学数学必修I－II学案
第一章 统计案例 2013-7-27

第 1 页 共 4 页
课题 1.1回归分析和基本思想及初步应用
第一课时 回归直线方程
编号： 主备人： 寇善瑞、李慧 审核： 李学军
课型： 探究课 授课时间：

〖自学导航〗
阅读教材P1~3及数学必修三P92“阅读与思考”中关于“相关系数的强弱”有关内容，回
答下列问题。
1． 什么叫两个变量的相关关系？

2． 相关关系与函数关系有什么不同？

3． 什么是回归分析？什么是线性回归分析？他们之间有什么区别和联系？
4． 什么叫散点图？

5． 相关系数r用来衡量两个线性相关变量的什么性质？r的取值范围是什么？r的变化与
两个变量相关关系的强弱有什么关系？

6． 求回归直线方程ybxa中未知参数b和a的估计值：
ˆ
b
________________，ˆa________________，

其中ˆb的意义是：_________________________________。
7． 回归直线一定过样本中心点（_____，_____）吗？
〖自学效果检验〗
1． 当一个变量取值一定时，另一个变量的取值范围带有一定的______性的两个变量之间的
关系叫相关关系。如果散点图中，点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称
这两个变量之间具有_________关系。
2． 下列两个变量具有相关关系的是（ ）
（Ａ）正方体的体积与棱长 （Ｂ）匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间
（Ｃ）人的身高与体重 （Ｄ）人的身高与视力
大同机车中学数学必修I－II学案
第一章 统计案例 2013-7-27

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3． 样本相关系数||1r，
（１）当0r时，表示两个变量________相关，当0r时，表示两个变量________相关；
（２）r的绝对值越接近____时，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近____
时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

4． 已知一组观察值(,),1,2,...,iixyin，作出散点图后确定具有线性相关关系。若对于

ˆ
ˆˆ
ybxa

，求得

ˆ
0.8b
，12.5x，17.6y，则回归直线方程为___________

5． 设有一个回归方程为ˆ22.5yx，当自变量x增加一个单位时，则（ ）
（Ａ）y平均增加2.5个单位 （Ｂ）y平均增加2个单位
（Ｃ）y平均减少2.5个单位 （Ｄ）y平均减少2个单位

〖质疑探究〗
1． 例１中有如下表述：由8名女大学生的身高和体重的数据给出的散点图中样本点或条状
分布，表明身高和体重有比较好的线性相关关系，我们就可以用回归直线ybxa来
“近似”刻画它们之间的关系，你如何理解其中“近似”一词的含义？你能预设一下身
高为165cm的女大学生的体重吗？

〖总结提高〗
1．归纳一下求回归直线方程的一般步骤：

〖课后巩固〗
分级训练P1、1~8

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选修1-2 1.1-回归分析的基本思想及其初步应用

选修1-2 1.1-回归分析的基本思想及其初步应用


几点说明： 身高 /cm 165
第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。 如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采 48 57 50 54 64 61 43 59 体重/kg 集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带 预报体 54.373 54.373 47.581 58.618 62.863 54.373 45.883 58.618 状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 重
预报体 54.373 54.373 47.581 58.618 62.863 54.373 45.883 58.618 重
残差
-6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382
你会计算上面的总体偏差平方和、残差平方和、回归平方和吗？
354
128.361
残差
-6.373
2.627
2.419
-4.618
1.137
6.627
-2.883
0.382
异 常 点
• 错误数据 • 模型问题
如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？
1）计算 ei y b x a （ （i=1,2,...n） i i 残差分析（ 2）画残差图 （ 1）查找异常样本数据 （3）分析残差图（ 2）残差点分布在以O为中心的水平带状区域，并沿 水平方向散点的分布规律相同。
R2
0.98 0.80
由图的对比可以看出，指数模拟优于线性模拟
回 归 分 析 基 本 思 想 及 其 初 步 应 用
教学设计2：1.1　回归分析的基本思想及其初步应用(二)

教学设计2：1.1　回归分析的基本思想及其初步应用(二)

回归分析的基本思想及其初步【教学目标】：（1）知识与技能：了解回归模型的选择；进一步理解非线性模型通过变换转化为线性回归模型；体会不同模型拟合数据的效果。

（2）过程与方法：从实例出发，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，通过学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果，进而归纳出回归分析的一般步骤，并对具体问题进行回归分析，用于解决实际问题。

（3）情感态度与价值观：任何事物都是相对的，但又有一定的规律性，我们只要从实际出发，不断探求事物的内在联系，就会找出其中的规律性，形成解决实际问题的方法和能力。

【教学重点】：1、加深体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；2、了解在解决问题的过程中寻找更好的模型的方法。

【教学难点】：1、了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模；2、通过比较相关指数对不同的模型进行比较。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：练习与测试1． 在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是（ A ）A ．模型1的相关指数2R 为98.0B ．模型2的相关指数2R 为80.0C ．模型3的相关指数2R 为50.0D ．模型4的相关指数2R 为25.02． 已知两个变量的回归模型为x y 22⋅=，则样本点的（1，4.4）的残差是_____________________【答案】0.43． 残差平方和用数学符号表示为___________________，它代表了随机误差的效应；解释变量的效应值称为回归平方和，可以用相关指数2R 来刻画回归的效果，其计算公式是___________________。

显然，2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好。

【答案】4． 在研究硝酸纳的可溶性程度时，对不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下表所示： 则由此得到的回归直线的斜率是____________。

高中数学选修1-2-1.1回归分析的基本思想及其初步应用

高中数学选修1-2-1.1回归分析的基本思想及其初步应用


例题 从某大学中随机选出8名女大学生，其身 高和体重数据如下表：
编号 1 2 165 57 3 157 50 4 5 6 7 8 170 59
身高 165 体重 48
170 175 54 64
165 155 61 43
（1）画出它的散点图 （2）根据女大学生的身高预报体重的回归方程
（3）预报一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重
ˆi 称为相应于点 e （xi , yi） 的残差
残差分析
在研究两个变量间的关系时，首先要根 据散点图来粗略的判断他们是否线性相关， 是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后 可以通过残差
e1 , e2 ,...,en
来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是 否存在可疑数据，把这个工作称为残差分析.
t=x2
y=bt+a
线性关系
产卵数
-40
-30
-20
-10 -100 -200
0
10
20
30
40
气 温
方案2解答
平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a 就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a
温度 温度的平方t 产卵数y/个 21 441 7 23 529 11 25 625 21 27 729 24 29 841 66 32 1024 115 35 1225 325
②画残差图 几点说明： 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本
第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 出的图形称为残差图。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
1.1.1回归分析

1.1.1回归分析


( A)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.y平均减少3个单位
D.y平均减少3个单位
2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，
4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为（ ）A
A.y=x+1 B. y=x+2
C. y=2x+1
D. y=x-1
解析：因为x 1 2 3 4 2.5, y 3.5而回归直线必过点 4
（x, y）,所以把点2.5，3.5代入各个选项检验知.
小结：
1.如何求线性回归方程（公式法） 2.线性回归方程系数的含义 3.线性回归方程的应用
1. 散点图；
2.回归方程：
y 0.849x 85.172
身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
例2：上节中的练习热茶的杯数（y）与气温（x） 之间是线性相关的
气温 26
18
13
10
4
-1
杯数 20
24
34
38
50
64
1）求线性回归方程
2、回归直线必经过点 ( x, y)
3.
x
x1
x2
x3
x4
….
xn
y
y1
y2
y3
y4
….
yn
求线性回归方程的系数:
n
b
x1 y1 xn yn nx y
x12
xn2
2
nx
xi yi nxy
i 1 n
xi2 n(x)2
i 1
a y bx
线性回归方程: