抛物线的焦点与准线

抛物线的焦点与准线(高中知识有关)九上P54、活动2 (新书)一、高中知识：文科选修(1-1) P53-55；理科选修(1-1) P56-59抛物线的儿个定义：把平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线•点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线.八亠XII7 ；“亠—彳b Acic — b~+l、亠八、“4QC —b?— 1公式：抛物线y = ax^ +bx+c的焦点为（一——’-------- ）,淮线为y = -------------------2a 4a 4a二、试题：1、(2010黄冈市，25, 15分)已知抛物线y = ax2 +bx + c(a^0)顶点为C (1, 1)且过原点O.过抛物线上一点P (x, y)向直线y =-作4 垂线，垂足为M,连FM (如图). (1)求字母a, b, c的值；3(2)在直线x=l上有一点F(l,—),求以PM为底边的4等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时为正三角形；(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N (1, /),使PM=PN恒成立，若存在请求出(值，若不存在请说明理由.2、2012年山东潍坊市24.(本题满分11分)如图，己知抛物线与坐标轴分别交于4(一2, 0)、BQ, 0)、C(0, 一1)三点，过坐标原点0的直线尸&与抛物线交于M、N两点.分别过点C,D(0, —2)作平5 4行于x轴的直线/】、/2.(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线厶相切；(3)求线段MN的长(用R表示)，并证明M、N两点到直线12的距离之和等于线段的长.3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷y = A x24、如图所示，过点F （0, 1）的直线y=kx+b与抛物线给交于M （xi，yi）和N（X2，V2）两点（其中Xl<0, X2>0）・（1）求b的值.(2)求X1・X2的值.（3）分别过M, N作直线1： y=- 1的垂线，垂足分别是Mi和Ni.判断△ MiFNi的形状，并证明你的结论.4、2010年南通市中考试题（五中月考）28.（本小题满分14分）（2010年南通市）己知抛物线y = aW + bx + c经过4 （ -4, 3）、B （2,0）两点，当尸3和尸一3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C （0, -2）的直线/与x轴平行，O 为坐标原点.（1）求直线43和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，40为半径的圆记为04,判断直线/与的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为一1, P（加，/?）是抛物线y = ax2 + bx+c上的动点，当厶PDO的周长亲小时，求四边形CODP的面积.432111111 1 1 1 .-4-3 -2 -1O-11 2 3 4 x-2--3--4-（4）对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,（第28题）5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22. （14分）己知抛物线y = d/+b兀+ c（d工0）经过点4 （-2, 0）、B（0, 1）两点，且对称轴是y轴，经过点C （0, 2）的直线/与x轴平行，O为坐标原点，P、0为抛物线），=ax2 +bx+c （QH O）上的两动点。

第十一课 抛物线的画法和性质一．抛物线的定义1．在平面内，与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

2．抛物线的标准方程：从定点F 向定直线l 作垂线，垂足为K ，取KF 的中点O 作为原点，KF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设|KF |＝p ，则F 点的坐标是 (2p, 0),准线l 的方程是x ＝－2p，设抛物线上任意一点的坐标是M (x , y )，自M 点向准线作垂线，垂足是D ，则|MF |＝|MD |∴ 22y )2p x (+-＝|x ＋2p| 图11－1整理得到抛物线的标准方程为 y 2＝2px . (p >0)二．抛物线的画法 画法1：图11－21．先画出定点F 和定直线l ，按要求画出直角坐标系；2．在图形外画一条射线BC ，在射线BC 上取一点M (M 点为动点)； 3．在BC 反方向上取一点A ，使|AB |＝|OF |，作线段AM ；A B4．以F为圆心，|AM|为半径作圆；5．先后选定A、M点，用“变换”菜单中的“标记向量”功能，标记向量AM，选中直线l，用“变换”菜单中的“平移”功能，将直线l平移；6．平移后的直线与圆相交，定义交点为P、Q；将它们定义为“追踪点”；先后选定P、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线的一部分，同样先后选定Q、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线的另一部分；在射线BC上拖动M点，则P、Q两点的轨迹画出抛物线。

理论根据：P点在以F为圆心，|AM|为半径的圆上，∴|PF|＝|AM|，又将准线l平移了AM的长度，∴P点到准线的距离等于|AM|。

画法2图11－31．先画出定点F和定直线l，按要求画出直角坐标系；2．在直线l上取一点M(M点为动点)；3．连接MF，作线段MF的中垂线；4．过M点作直线l的垂线与MF的中垂线相交于P点，将它定义为追踪点；5．先后选定P、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线；6．在直线l上拖动M点，则P点的轨迹是抛物线理论根据：PM⊥准线l，PM是P点到准线的距离，又|PF|是P点到焦点F的距离，P点在MF的中垂线上，所以|PM|＝|PF|。

抛物线的焦点坐标
抛物线焦点坐标
在抛物线y=2px中，焦点坐标是（p/2，0）。

在抛物线y=-2px中，焦点坐标是（-p/2，0）。

在抛物线x=2py中，焦点坐标是（0，p/2）。

在抛物线x=-2py中，焦点坐标是（0，-p/2）。

抛物线焦点坐标的方程
抛物线的标准方程为y=2px，它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2，0），准线方程为x=-p/2。

离心率e=1，范围：x≥0。

抛物线的方程为y=-2px，它表示抛物线的焦点在x的负半轴上，焦点坐标为（-p/2，0），准线方程为x=p/2。

离心率e=1，范围：x≤0。

抛物线的方程为x=2py，它表示抛物线的焦点在y的正半轴上，焦点坐标为（0，p/2），准线方程为y=-p/2。

离心率e=1，范围：y≥0。

抛物线的方程为x=-2py，它表示抛物线的焦点在y的负半轴上，焦点坐标为（0，-p/2），准线方程为y=p/2。

离心率e=1，范围：y≤0。

抛物线焦点坐标方程简介
抛物线方程就是指抛物线的轨迹方程，是一种用方程来表示抛物线的方法，在几何平面上可以根据抛物线的方程画出抛物线。

抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数
图像。

抛物线焦点坐标方程定义
平面内与一个定点抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上。

它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e=1时为抛物线，当0＜e＜1时为椭圆，当e＞1时为双曲线。

焦点准线公式
二次函数焦点，准线的一般公式：
抛物线y=a(x-h)^2+k,
变为(x-h)^2=(1/a)(y-k),
其顶点(h.k),
焦点(h,k+1/(4a)),
准线y-k=-1/(4a).
一次函数的函数表达式：y=kx+b(k≠0）
一次函数中k,b对函数图象的影响：
k＞0时，y随x增大而增大，k＜0，t随x的增大而减小。

|k|越大，角度越大（图象越陡峭），反之角度越小（图象越平缓）。

常数项b对图象的影响
b＞0时，图像交y轴于正半轴；b＜0时，图像交y轴于负半轴；b=0时，图像交于原点。

二次函数的函数表达式：
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0）
顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0），顶点为:（h,k）
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0）,x1,x2为函数与x轴的两个交点
二次函数中a,b,c对函数图象的影响：
二次项系数a决定函数图象的开口方向与开口大小。

a＞0开口向上；a越大开口越小。

二次项系数a对函数图象的影响
a＜0，开口向下，a越大开口越大。