第10章多元函数积分的计算方法与技巧
一、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分
假定积分区域 D 可用不等式 a 空x 空b i (x)岂卄 2(x)表
示, _—1 -------------- 1_—I ----------------------------- 1 0 a b x 0 a b *
这个先对y,后对x 的二次积分也常记作
b ^2(x)
f(x, y)d ：二 dx f(x, y)dy D a 】(x)
如果积分区域D 可以用下述不等式
c 兰 y 兰
d ,J(y)兰 x 兰 *2(y)
表示，且函数\(y), 2(y)在［c, d ］上连续,f (x, y)在
D 上连
续,则
d *(y)
1
f (x, y)d
f (x, y)dx dy 二
D
c 一 】(y)
dy
di
2
(y)
f(x,y)dx (2)
i (y)
其中S(x),
2
(x)在［a,b ］上连续.
2
显然,（2）式是先对x ,后对y 的二次积分. 积分限的确定
几何法.画出积分区域D 的图形（假设的图形如下）
在［a, b ］上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线，该直线穿
过区域D ,与区域D 的边界有两个交点（x, i （x ））与（x, 2（x ）
）, 这里的i （x ）. 2（x ）就是将x ,看作常数而对y 积分时的下限和 上限；又因x 是在区间［a,b ］上任意取的，所以再将x 看作变 量而对x 积分时，积分的下限为a 、上限为b .
例1计算D 如，其中D 是由抛物线…及直线…2 所围成的区域. 解：Z)］： 0D
i\ r>2
1
4 V?
=\dx \ xydy dx \xycfy 0 — l 工—2
V7
4
C A = J- JC -(^-2) 1 2L
d x -勺
-Jx
4r =0+ f —y
x-2
45
dx~~8
2)
2
D: _ 1 乞 y 乞 2, y x -
2 y 2
xyd = dy xydx =
D
-1 y 2
1 2
2 y(y 2)2
-
2 -i
2. 利用极坐标计算二重积分 1、rdrd-就是极坐标中的面积元素
2、极坐标系中的二重积分，可以化归为二次积分来计算.
:_ 71 _ -
£ ) - r - 2⑴
其中函数W,二⑴在V / ］上连续.
p
Y)
则 f(rcos ,rsin)rdrd 二 d f(rcos,rsin )rdr D
:
1C)
【例5】计算JJt?7 —F 丛创』其中D:x 2 -h y 2 解：加? ms
2 2 2
\\^~x ~y dxdy = |[e~r -rdrdO D 2 凭 ct 2
2?z
=\ d&\ e~r
rdr = J
0 0 0 2?r 1 J )朋=兀Q Y
0 2
注：本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确 值.
y 2
2「1 2 严 d
厉X y
」2
dy
-1 y
y 5丽45
8
0D
T 1尸 ---- e 2
1住
dG 0 < < 2^-
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则
（1）、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示 （含圆弧, 直线段）；
⑵、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单（含 （x 2 y 2r ,，为实数）.
解此积分区域为
D : 0 乞 x 乞 a , 一 x 乞 y 乞 一 a 一 a 2 一 x 2 该区域在极坐标下的表示形式为
D:
丁小0 ,°汀」2
站
32
二、三重积分的计算 1、积分区域"可表示成
a ^ x
b , %（x ） ' y y 2（x ） , ^（x,y ）乞 z' Z 2（x, y ）
b
y 2（x ） Z 2（x,y ） 贝y !!! f （x, y, z ）dv = dx dy f （x, y, z ）dz
a
y'x ）
N （x,y ）
这就是三重积分的计算公式，它将三重积分化成先对积
a -a+\ a 2 _x 2
例6计算M dx
-x
dy
x 2 y 2 4a 2 -（x 2 y 2）
（a 0）
rdrd"
D r \ 4a 2 - r 2
0 -2a si nv
d ，
dr
0 f
JI
arcsin n -2as in
日 r
2a
2
JI
2
- r 2
