(整理)多元函数积分.

多元函数积分计算方法在数学中，多元函数积分是一种重要的计算方法，能够求解多元函数在给定区域上的面积、体积以及相关的物理量。

本文将介绍一些常见的多元函数积分计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一数学工具。

一、重积分的定义重积分是单变量函数积分的推广，用于求解多元函数在给定区域上的面积或体积。

设函数f(x,y)在区域D上有定义，D的边界可以用曲线C表示，则重积分的定义为：∬_D▒〖f(x,y)dA=lim⁡(Δx→0,Δy→0)⁡∑▒f(x_i^*,y_j^*)ΔA〗其中，ΔA为区域D中小面积元素，f(x_i^*,y_j^*)为该小面积元素上一点的函数值。

二、二重积分的计算方法1. 矩形区域上的二重积分计算若D为矩形区域，可以采用迭代积分的方法求解二重积分。

先对x 进行积分，再对y进行积分，即：∬_D▒〖f(x,y)dA=∫_(a_y)^(b_y)▒(∫_(a_x)^(b_x)▒f(x,y)dxdy)〗2. 极坐标下的二重积分计算对于极坐标下的积分区域D，可以将二重积分转化为极坐标形式进行计算。

设D在极坐标下的表示为(r,θ)，则二重积分的计算公式为：∬_D▒〖f(x,y)dA=∫_(θ_1)^(θ_2)▒(∫_(r_1(θ))^(r_2(θ))▒f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdθ)〗三、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分计算若函数f(x,y,z)在空间区域V上有定义，则三重积分的计算公式为：∭_V▒〖f(x,y,z)dV=∫_(a_z)^(b_z)▒(∫_(a_y)^(b_y)▒(∫_(a_x)^(b_x)▒f(x,y,z)dxdydz )〗2. 柱坐标系或球坐标系下的三重积分计算对于柱坐标或球坐标下的积分区域V，可以将三重积分转化为柱坐标或球坐标形式进行计算。

具体转化公式可以根据坐标系关系进行推导，然后套用相应的公式进行计算。

四、应用举例1. 面积计算对于二维平面上的函数f(x,y)，可以通过二重积分来计算给定区域D的面积。

（整理）多元函数积分多元函数积分1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分类型（一）计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续，且D 关于y 轴（或x 轴）对称，则（1）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的奇函数时，有??=Ddxdy y x f 0),(；（2）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的偶函数时，有=D D dxdy y x f dxdy y x f 1),(2),(；其中D 1是D 落在y 轴（或x 轴）一侧的那一部分区域.命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称，D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0（或x ≤0,y ≤0）的部分，则-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或命题3 设积分区域D 对称于原点，对称于原点的两部分记为D 1和D 2.（1）;),(2),(),,(),(1==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若（2）.0),(),,(),(??=-=--Dd y x f y x f y x f σ则若命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，则+==DD D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),(,0),,(),( ,),(2),(1类型（二）计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy 平面对称，而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分，则Ω∈?=-Ω∈?--=-=ΩΩ;),,(),,,(),,(,),,(2,),,(),,,(),,(,0),,(1z y x z y x f z y x f d z y x f z y x z y x f z y x f d z y x f υυ 若Ω关于yOz 平面（或zOx 平面）对称，f 关于x （或y ）为奇函数或偶函数有类似结论.命题2 若Ω关于xOy 平面和xOz 平面均对称（即关于x 轴对称），而Ω1为Ω对应于z ≥0,y ≥0的部分，则=ΩΩ为奇函数；或关于，当为偶函数，关于当z y f z y f d z y x f d z y x f 0,,),,(4),,(1υυ 若Ω关于xOz 平面和yOz 平面均对称（即关于z 轴对称），或者关于xOy 平面和yOz 平面均对称，那么也有类似结论.命题3 如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则=ΩΩ为奇函数；或或关于，当均为偶函数，关于当z y x f z y x f d z y x f d z y x f 0,,,),,(8),,(1υυ 命题4 若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z 为奇函数，即.0),,(),,,(),,(=----=Ωυd z y x f z y x f z y x f 则题型三计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5 如果积分区域关于变量x,y,z 具有轮换对称性（即x 换成y,y 换成z,z 换成x ，其表达式不变），则ΩΩΩΩ++===υυυυd y x z f x z y f z y x f d y x z f d x z y f d z y xf )],,(),,(),,([31),,(),,(),,(.1.2 利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分类型（一）计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1 设曲线L 关于y 轴对称，则=??，0,),(2),(1L L ds y x f s d y x f 是奇函数，关于是偶函数，关于x y x f x y x f ),(),( 其中L 1是L 在x ≥0的那段曲线，即L 1是L 在y 轴右侧的部分；若曲线L 关于x 轴对称，则有上述类似结论.命题1.2.2 设f(x,y)在分段光滑曲线L 上连续，若L 关于原点对称，则=??，LL ds y x f s d y x f ),(2,0),( 为偶函数，关于若为奇函数，关于若),(),(),(),(y x y x f y x y x f 其中L 1为L 的右半平面或上半平面部分.类型（二）计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.命题1.2.3 设积分曲面Σ关于yOz 对称，则=∑∑1),,(2,0),,(dS z y x f dS z y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当x z y x f x z y x f ),,(),,( 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.注意不能把Σ向xOy 面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0.题型二计算平面积分曲线关于y=x 对称的第一类曲线积分命题1.2.4 若L 关于直线y=x 对称，则??=L Lds x y f ds y x f ),(),(. 题型三计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5 若曲线Γ方程中的三变量x,y,z 具有轮换对称性，则ΓΓΓΓΓΓ====ds z ds y ds x zds yds xds 222,. 1.3 利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.命题1.3.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续，（1）L 关于y 轴对称，L 1是L 在y 轴右侧部分，则=??,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为偶函数；关于若为奇函数，关于若x y x P x y x P ),(),( =??,),(2,0),(Q 1L L dy y x Q dy y x .),(),(为奇函数关于若为偶函数，关于若x y x Q x y x Q （2）L 关于x 轴对称，L 1为L 在x 轴上侧部分，则=??,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为奇函数；关于若为偶函数，关于若y y x P y y x P ),(),( =??,),(2,0),(1L L dy y x Q dy y x Q .),(),(为偶函数关于若为奇函数，关于若y y x Q y y x Q （3）L 关于原点对称，L 1是L 在y 轴右侧或x 轴上侧部分，则+=+,2,0),(),(1L L L Qdy Pdx dy y x Q dx y x P .),(),(),,(),(),(),,(为奇函数关于若为偶函数，关于若y x y x Q y x P y x y x Q y x P （4）L 关于y=x 对称，则.),(),(),(),(),(),(+-=+=+-LL L dx x y Q dy x y P dx x y Q dy x y P dy y x Q dx y x P 即若L 关于y=x 对称，将x 与y 对调，则L 关于直线y=x 翻转，即L 化为L —.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分命题1.3.2 设Σ关于yOz 面对称，则=∑∑,0,),,(2),,(1dydz z y x P dydz z y x P .),,(),,(为偶函数关于当为奇函数，关于当x z y x P x z y x P 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.这里对坐标y 和z 的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz 面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.2. 交换积分次序及转换二次积分题型一交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分转换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D 的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该区域D 在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，然后配置积分限.3. 计算二重积分题型一计算被积函数分区域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max 或min 及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.题型二计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为)(22y x f y x m n +或)/(x y f y x m n 的形状时，常作坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,得到用极坐标（r ，θ）计算二重积分的公式：=')sin ,cos (),(D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ （其中rd θdr 是极坐标系下的面积元素）. 用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在位置分为下述六个类型（其中a,b,c 均为常数）.类型（一）计算圆域x 2+y 2≤a 上的二重积分. 类型（二）计算圆域x 2+y 2≤2ax 上的二重积分.类型（三）计算圆域x 2+y 2≤-2ax 上的二重积分.类型（四）计算圆域x 2+y 2≤2ay 上的二重积分.类型（五）计算圆域x 2+y 2≤-2ay 上的二重积分.类型（六）计算圆域x 2+y 2≤2ax+2by+c 上的二重积分.4. 计算三重积分题型一计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分当积分区域Ω主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，如果积分区域Ω的边界方程中含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。

多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。

多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。

例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。

多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。

2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。

多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。

多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。

3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。

二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。

二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。

4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。

三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。

三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。

5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。

其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。

这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。

6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。

2多元函数积分的计算公式多元函数积分是微积分中的重要内容，用于计算多元函数在给定区域上的面积、体积以及质量等问题。

在本文中，我将介绍多元函数积分的定义、计算方法以及一些重要性质。

1.多重积分的定义多重积分是对多元函数在给定区域上的进行求和的过程。

对于二重积分来说，可以表示为：\[ \iint_D f(x,y) dA \]其中，f(x,y)是定义在平面区域D上的函数，dA表示面积元素。

对于三重积分来说，可以表示为：\[ \iiint_V f(x,y,z) dV \]其中，f(x,y,z)是定义在空间区域V上的函数，dV表示体积元素。

2.多重积分的计算方法多重积分的计算方法有两种：直接计算和间接计算。

直接计算是通过将积分区域划分成小的子区域，然后在每个子区域上计算函数值，并将所有结果相加。

间接计算是通过将多重积分转化为一重积分进行计算。

对于二重积分，可以使用极坐标转换将其转化为一重积分。

极坐标转换公式为：\[ x = r\cos(\theta) \]\[ y = r\sin(\theta) \]面积元素dA可以表示为：\[ dA = r dr d\theta \]将这个转换应用于二重积分计算中，可以得到：\[ \iint_D f(x,y) dA = \int_\alpha^\beta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta)) r dr d\theta \]其中，\(\alpha\)和\(\beta\)是极角的范围，\(r_1(\theta)\)和\(r_2(\theta)\)是每个极角对应的极径范围。

对于三重积分，可以使用柱面坐标或球面坐标进行转换。

柱面坐标转换公式为：\[ x = r\cos(\theta) \]\[ y = r\sin(\theta) \]\[z=z\]体积元素dV可以表示为：\[ dV = r dr d\theta dz \]将这个转换应用于三重积分计算中，可以得到：\[ \iiint_V f(x,y,z) dV = \int_\alpha^\beta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} \int_{z_1(r, \theta)}^{z_2(r, \theta)} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta), z) r dz dr d\theta \]其中，\(\alpha\)和\(\beta\)是极角的范围，\(r_1(\theta)\)和\(r_2(\theta)\)是每个极角对应的极径范围，\(z_1(r, \theta)\)和\(z_2(r, \theta)\)是每个极径和极角对应的高度范围。

多元函数的微积分多元函数的微积分一、概念多元函数是指具有多个自变量的函数。

在多元函数中，自变量可以有两个、三个甚至更多。

相应地，函数的取值也不再是一个数，而是一个有序组。

多元函数的微积分研究的是多元函数的导数、偏导数、不定积分、定积分等性质。

二、多元函数的导数1. 偏导数在多元函数中，偏导数指的是只以其中一个自变量为变化量，其余自变量视为常数时求取的导数。

偏导数有两种表示形式，一种是用∂表示，被当作普通的符号；另一种是用d表示，表示它是一个变差量。

对于二元函数y=f(x, z)，其偏导数可以通过以下公式计算：∂f/∂x = ∂y/∂x = dy/dx∂f/∂z = ∂y/∂z = dy/dz2. 方向导数方向导数告诉我们，一个函数在给定点上沿着某个特定方向变化的速率。

对于函数f(x, y, z)而言，其在点(a, b, c)处沿着向量v=(v1, v2, v3)的方向导数可以通过以下公式计算：Dv(f) = ∂f/∂x * v1 + ∂f/∂y * v2 + ∂f/∂z * v3三、多元函数的积分1. 不定积分多元函数的不定积分与一元函数的不定积分类似，是求解原函数的过程。

对于多元函数f(x, y)，其不定积分可以写为：∫f(x, y) dx = F(x, y) + C1其中，C1是常数，F(x, y)是f(x, y)的一个原函数。

2. 定积分对于多元函数f(x, y)在区域D上的定积分，其结果为对D内每个小区域的积分之和。

具体计算过程中，常用的方法是先将区域D切割成许多小的面积，然后对每个小面积进行积分累加。

定积分的计算方法包括直接计算和变量替换两种方式。

四、应用领域多元函数的微积分在实际问题中有广泛的应用。

具体领域包括但不限于：1. 经济学：研究供给与需求函数、利润函数、效用函数等方面的微积分问题。

2. 物理学：研究质点的质量、速度、加速度等与时间和空间的关系。

3. 工程学：研究材料特性、电力电子等领域的微积分问题。

多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一项重要的概念和计算方法。

与一元函数的积分类似，多元函数的积分可以帮助我们求解曲线下的面积、体积等问题，以及解决一些与实际问题相关的计算。

一、二重积分二重积分是多元函数积分中最基础的一种形式。

它的计算方法依赖于重积分的定义以及二重积分的性质。

对于二重积分来说，我们需要将待求的函数转化为极坐标形式、直角坐标形式等，并确定积分区域的范围。

通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到二重积分的值。

在实际应用中，二重积分可以用来计算平面图形的面积、求解平面质心等问题。

二、三重积分与二重积分类似，三重积分是多元函数积分中的另一种形式。

三重积分的计算方法也依赖于重积分的定义以及三重积分的性质。

与二重积分不同的是，三重积分需要确定积分区域的范围，并将待求的函数转化为球坐标形式、柱坐标形式等。

同样地，通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到三重积分的值。

在实际应用中，三重积分可以用来计算空间图形的体积、质心等问题。

三、重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质对于计算积分结果以及简化计算过程都非常有帮助。

其中一些常见的性质包括积分线性性、积分对称性、积分的加法性和积分的估值性等。

积分线性性：对于常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，有∬[D](af(x,y)+bg(x,y))dA = a∬[D]f(x,y)dA + b∬[D]g(x,y)dA。

这个性质使得我们在计算重积分时可以将积分区域分解成若干个子区域进行计算。

积分对称性：如果函数f(x,y)在区域D上关于x轴对称，则有∬[D]f(x,y)dA = 2∬[D1]f(x,y)dA，其中D1是区域D在x轴上方的部分。

类似地，还有关于y轴对称和原点对称的性质。

积分的加法性：对于两个不重叠的区域D1和D2，有∬[D1∪D2]f(x,y)dA = ∬[D1]f(x,y)dA + ∬[D2]f(x,y)dA。

多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。

若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。

2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。

若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。

高 数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。

多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。

在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。

本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。

一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。

它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。

二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。

根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。

•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。

•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。

2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。

它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。

三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。

二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。

它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。

Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。

对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。

2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。

极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。

通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。

在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。

三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。

第六章 多元函数积分学一．重积分例1：将⎰⎰=Dd y x f I σ),(用两种积分次序表为二次积分。

（1）D ：由曲线1,21,0,8222====+y y x y y x 所围； （2）⎩⎨⎧≤≤-≤≤axy x ax ax D 2220:2例2：交换二次积分⎰⎰xdy y x f dxsin 020),(π的顺序。

例3：计算二次积分⎰⎰xxdy yxdx 2sin21π⎰⎰+2422sinxdy yxdx π例4：计算二次积分+⎰⎰--yxR y dx e dy e 0222⎰⎰---22222y R x RR ydx edy e例5：计算二重积分⎰⎰=Dydxdy I ，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域。

（答案：24π-）例6：计算二重积分⎰⎰-=Ddxdy x y I 2，其中D 是由直线2,1,1=-==y x x 和x 轴所围成的平面区域。

（答案：352+π） 例7：设)(t f 在),0[+∞上连续，且 +=1)(t f ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22242221t y x dxdy y x f 求)(t f （答案：24)(t e t f π=）例8：设闭区域D ：.0,22≥≤+x y y x ),(y x f 为D 上的连续函数，且 ---=221),(y x y x f ()⎰⎰Ddudv v u f ,8π求),(y x f （答案：---=221),(y x y x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32234ππ） 例9：计算二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 由圆轴及直线x x y x y x ==+,222所围成的平面区域。

（答案：2910） 例10：设D 是xoy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限部分，则⎰⎰+Ddxdy y x xy )sin cos (等于)(A ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x )(B ⎰⎰12D xydxdy)(C ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy 0)(D例11：计算⎰⎰++++++=Ddxdy y x x x y y I 22211ln 1）（ 其中}01{22≥≤+=y y x y x D ，），（。

多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一个重要的概念和计算方法。

与一元函数的积分不同，多元函数的积分需要考虑多个自变量和相应的积分变量。

一、多元函数的积分定义对于二元函数f(x, y)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∬f(x, y)dA = limΔx,Δy→0 Σf(xi, yj)ΔA其中，Δx和Δy分别表示x和y方向的分割长度，Σ表示对所有的(i, j)求和，xi和yj表示分割后的小区域的任意点，ΔA表示小区域的面积。

对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∭f(x1, x2, ..., xn)dV = limΔx1,Δx2,...,Δxn→0 Σf(x1i, x2j, ..., xnk)ΔV其中，Δx1, Δx2, ..., Δxn分别表示各个方向的分割长度，Σ表示对所有的(i1, i2, ..., in)求和，x1i, x2j, ..., xnk表示分割后小区域的任意点，ΔV表示小区域的体积。

二、多元函数的积分计算与一元函数的积分类似，对于多元函数的积分计算也需要借助于定积分的性质、微积分的基本定理和换元积分法等方法。

1. 球坐标和柱坐标对于具有某种对称性的多元函数，可以选择适当的坐标系来简化积分计算。

常用的坐标系有球坐标和柱坐标。

球坐标系适用于具有球对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ其中，r代表点到坐标原点的距离，θ表示点与正z轴的夹角，φ表示点在xy平面上与正x轴的夹角。

柱坐标系适用于具有柱对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rcosθ, y = rsinθ, z = z其中，r代表点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上与正x轴的夹角，z表示点在z轴上的坐标。

2. 积分的性质多元函数的积分具有类似于一元函数积分的一些性质，如线性性质、可加性质、保号性质等。