因动点产生的相似三角形问题
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．
思路点拨
1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．
2．求△ABC的面积，一般用割补法．
3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．
满分解答
（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．
将点A(2, 4)代入
k
y
x
=，得k＝8．
（2）将点B(n, 2)，代入
8
y
x
=，得n＝4．
所以点B的坐标为(4, 2)．
设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．
所以点C的坐标为(0,－2)．
由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离
和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．
所以AB＝BC＝ABC＝90°．图2
所以S △ABC ＝
12BA BC ⋅＝1
2
⨯8．
（3）由A (2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,－2)，得AD ＝AC ＝． 由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ． 所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：
①如图3，当
CE AD
CA AC
=
时，CE ＝AD ＝ 此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．
②如图4，当
CE AC
CA AD ==
CE ＝C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10, 8)．
图3 图4
考点伸展
第（2）题我们在计算△ABC 的面积时，恰好△ABC 是直角三角形． 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法． 如图5，作△ABC 的外接矩形HCNM ，MN //y 轴．
由S 矩形HCNM ＝24，S △AHC ＝6，S △AMB ＝2，S △BCN ＝8，得S △ABC ＝8．
图5
例2 2014年武汉市中考第24题
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在
△ABC的中位线EF上．
思路点拨
1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．
3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．
满分解答
（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．
△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：
①如果BP BA
BQ BC
=，那么
510
848
t
t
=
-
．解得t＝1．
②如果BP BC
BQ BA
=，那么
58
8410
t
t
=
-
．解得
32
41
t=．
图3 图4
（2）作PD⊥BC，垂足为D．
在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cos B ＝
4
5
，所以BD ＝BP cos B ＝4t ，PD ＝3t ． 当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ．
所以AC CD QC PD =
，即68443t t t -=．解得78
t =．
图5 图6
（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ． 由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点． 又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ． 因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．
所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．
例3 2012年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线211(1)444
b
y x b x =
-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．
