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计算(裂项、换元、通项归纳)

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1 计算（裂项、换元与通项归纳） 第一部分 裂项 【1】 计算 121＋261＋3121＋4201＋……＋204201 ＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（21＋61＋121＋201＋……＋4201） ＝210＋（211＋321＋431＋541＋……＋21201） ＝210＋（1－21＋21－31＋31－41＋41－51201－211 ） ＝210＋（1－211 ） ＝2102120 【2】 1312－＋1512－＋1712－＋1912－＋11112－＋11312－ ＝421＋641＋861＋1081＋12101＋14121 ＝（21－41＋41－61＋61－81＋81－101＋101－121＋121－141）×21 ＝（21－141）×21 ＝146×21 ＝143 【3】计算 53＋76＋65＋127＋209＋3011＋4213 ＝53＋76＋（21＋31）＋（31＋41）＋（41＋51） ＋（51＋61）＋（61＋71） ＝（53＋51＋51）＋（76＋71）＋（21＋41＋41）＋（31＋31＋61＋61） ＝4 【4】计算：（此题用到公式knnknnk11）

1－2112－321213－……－10321932110 ＝1－312－633－1064－15105－……－554510 ＝1－（11－31）－（31－61）－（61－101）－（101－151）－……－（451－551） ＝1－1＋31－31＋61－61＋101－101＋151－……－451＋551 2

＝551 【5】计算： 1223344556677889910________． 1111112323412391011891033333



L

1910113303

从这个题目我们可以归纳出一般性的结论。 1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋n(n＋1)

＝31×1×2×3＋(31×2×3×4－31×1×2×3) ＋(31×3×4×5－31×2×3×4) ＋……

＋ [31n(n＋1)(n+2)－31(n-1) n(n＋1)] ＝31 n(n＋1)(n+2) 即：112231123nnnnnL 另外，例6还有另外一种解法： 根据 21nnnn 所以 1223344556677889910 222112299L

222129129LL

119101991062330

第二部分 换元 【6】计算：（126621＋358739＋947458）×（358739＋947458＋207378）－（126621＋358739＋947458＋207378）×

（358739＋947458） 解：设a＝358739＋947458 b＝358739＋947458＋207378 原式＝（126621＋a）b－（126621＋b）a ＝126621 b＋ab－126621 a－ab ＝126621×207378 ＝9 【7】计算：（1＋21＋31＋……＋20071）×（21＋31＋……＋20081）－（1＋21＋31＋……＋20081）×（21＋31＋……＋20071） 解： 设a＝21＋31＋……＋20071 b＝21＋31＋……＋20081 原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a 3

＝b＋ab－a－ab ＝b－a ＝20081 第三部分 通项归纳 【8】计算： 11＋211＋3211＋……＋1003211 解：先推导出通项公式。 ɑɑan＝n3211＝211nn＝12nn

原式＝212＋322＋432＋……＋1011002 ＝2×（211＋321＋431＋……＋1011001）

＝2×（1－21＋21－31＋31－41＋……＋1001－1011） ＝2×（1－1011） ＝2×101100＝101200

【9】计算：12222×13322×14422×……×1999922

⑴先推导出通项公式an＝122nn＝)1)(1(nnnn n＝2、3、4、……、99 ⑵ 12222×13322×14422×……×1999922 ＝3122×4233×5344×……×100989999 ＝12×10099 ＝ 5099 【10】计算1－65＋127－209＋3011－4213＋5615－7217＋9019 ＝1－（21＋31）＋（31＋41）－（41＋51）＋（51＋61）－（61＋71） ＋（71＋81）－（81＋91）＋（91＋101） ＝1－21－31＋31＋41－41－51＋51＋61－61－71＋71＋81－81－91＋91＋101 4

＝1－21＋101 ＝53 【11】计算：54213＋65324＋76435＋……＋1413111012

＝5432132＋6543242＋7654352＋……＋1413121110122 ＝54321451＋65432461＋76543472＋……＋141312111041410 ＝（5432151＋6543261＋7654372＋……＋14131211101410）＋（543214＋654324＋765434＋……＋14131211104） ＝（4321＋5431＋6541＋……＋1312111）＋（543214＋654324

＋765434＋……＋14131211104）

＝21×﹝321－431＋431－541＋541－651＋……＋12111－13121﹞＋﹝43211－54321＋54321－65431＋……＋131211101－

141312111﹞ ＝21×﹝321－13121﹞＋﹝43211－141312111﹞ ＝121－131221＋241－141312111 ＝61675

【12】计算：1132－21213322＋321321333222－4321432133332222＋……＋26212621333222

⑴归纳通项公式an＝nn3332222121＝46)12)(1()1(22nnnnn＝32×（n1＋11n） ⑵ 1132－21213322＋321321333222－4321432133332222＋……＋26212621333222 ＝32×｛（11＋21）－（21＋31）＋（31＋41）－……－（261＋271）｝ ＝32×（1－271） 5

＝32×2726＝8152 [13] 计算：1155×﹝4325＋5437＋……＋109817＋1110919﹞

⑴归纳通项公式an＝)2()1()1(nnnnn＝)2()1(1nn＋)2(1nn （n=2、3、4、…、9） ⑵ 1155×﹝4325＋5437＋……＋109817＋1110919﹞ ＝1155×﹝431＋421＋541＋531＋……＋11101＋1191﹞ ＝1155×｛﹝431＋541＋651＋……＋11101﹞＋﹝421＋531＋……＋1191﹞｝ ＝1155×｛﹝31－111﹞＋﹝21－101＋31－111﹞×21｝ ＝1155×｛338＋﹝52＋338﹞×21｝ ＝1155×5531 ＝651 14、 101＋401＋881＋154

1

＋2381

＝521＋851＋1181＋14111＋17141

＝31×（21－51＋51－81＋81－111＋111－141＋141－171）

＝31×（21－171） ＝31×3415 ＝34

5

15、 41＋51＋127＋209＋158＋3017＋12

5

＝41＋51＋31＋41＋41＋51＋31＋51＋52＋61＋41＋61 ＝（31＋31＋61＋61）＋41×4＋＋51×5 ＝3 16、 233445100101L ．

分析：应用公式112231123nnnnnL 原式1223344510010112L

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五年级下册数学试题-计算综合.裂项(B级)(解析版)全国通用

五年级下册数学试题-计算综合.裂项(B级)(解析版)全国通用

（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。

（4） 通项归纳一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭考试要求知识结构裂项()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

奥数七大模块重要知识点-模块体系梳理脑图

奥数七大模块重要知识点-模块体系梳理脑图

奥数七大模块重要知识点-模块体系梳理脑图导语：历年小升初考试中数学成绩占有重要地位，择校考试过程中为了更进一步的拉开分数的距离，除了基础的数学知识必须熟练掌握熟练之外，数学的拓展内容也成为考核的重点部分。

数学思维拓展，也就是大家常说的奥数。

所有的奥数知识，总的来分可以分为七大模块，各类试题都由这七大模块而来。

那么，奥数都有哪些模块呢？每个模块都有哪些重要知识呢？一起看看这些模块你掌握住了多少？奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题同学们，看到这七大模块你都熟悉吗？模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除性质4、位值原理5、余数的性质6、同余问题7、中国剩余定理（逐级满意法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变更与一半模子4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、屡次相遇追及问题11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数使用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、列举法之分类列举、标数法、树形图法2、分类列举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手。

第4讲 换元法计算ok

第4讲 换元法计算ok

重难点
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
换元思想
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
【例 1】计算：
【巩固】
【巩固】计算：
第14讲换元法计算
学生姓名
学生年级
六年级小升初
学科
数 学
授课教师
上课日期
时段
核心内容
换元法计算
课型
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”
【巩固】计算：( ) ( )
( ) ( )
【巩固】计算下面的算式
( )【巩固】计算：⑴( ) ( ) ( ) ( )
⑵
【巩固】计算： =。
【例 2】计算：
【巩固】
【巩固】计算
【巩固】计算
【例 3】计算：
【例 4】计算
【例 5】计算：
【例 6】计算：
【巩固】计算 （4级）
1.将本堂课错题本中的练习再做一遍。
2.熟练掌握每道题型,举一反三.
小学奥数的七大模块

小学奥数的七大模块

奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除性质4、位值原理5、余数的性质6、同余问题7、中国剩余定理（逐级满足法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变换与一半模型4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、多次相遇追及问题11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数应用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法2、分类枚举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手2、对应与转化思想3、从反面与从特殊情况入手思想4、染色与覆盖5、游戏与对策6、体育比赛问题7、逻辑推理问题8、数字谜9、数独。